Les Glucides

Circunferência
Círculo
.
Circunferência é uma linha curva, plana, fechada e que tem
todos os pontos que a constitui, equidistantes de um ponto interior
chamado centro.
Portanto, circunferência é a linha que contorna o círculo.
ELEMENTOS DE UMA CIRUNFERÊNCIA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
Tangente: tem um único ponto em comum
com a circunferência.
Secante: tem dois e somente dois pontos
em comum com a circunferência.
Externa: não há ponto comum.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA
PROPRIEDADES
● Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao
raio no ponto de tangência.
r
.
C
T
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA
Externas
Uma interna à outra
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA
Secantes
Dizemos que duas retas são secantes se elas têm exato dois pontos
em comum.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA
Tangentes interiormente
Nesse caso, as circunferências têm apenas um único ponto em
comum, e o centro de uma delas é interno à outra.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA
Tangentes exteriormente
Nesse caso, as circunferências têm apenas um único ponto em
comum, e o centro de uma delas é externo à outra.
História do 
Os egípcios sabiam trabalhar muito bem com
razões. Descobriram logo que a razão entre o
comprimento de uma circunferência e o seu
diâmetro é a mesma para qualquer circunferência.
Foi graças a Euler
que, em 1737,
tornou-se conhecido
o símbolo para o
número .
comprimento
 =
diâmetro
C = d (sendo o diâmetro 2r)
C = 2r
ÁREA DO CÍRCULO
Compreendendo a fórmula utilizada no
cálculo da área de um círculo:
r
2.r
Sabendo que a área do triângulo é:
base .altura
Área 
2
b.h
A
2
2 . . r . r
A
2
r
2.r
SEGMENTOS TANGENTES
PROPRIEDADES DA RETA TANGENTE
• 1º Propriedade: Qualquer reta tangente a uma
circunferência é perpendicular (forma um ângulo
de 90°) ao raio no ponto de tangência.
• 2º Propriedade: Se de um ponto P, exterior a uma
circunferência, traçamos os segmentos PA e PB,
tangentes a circunferência nos pontos A e B, então
os segmentos PA e PB são congruentes
EXEMPLOS:
• Determine o valor de x:
•
X = 10 cm
O quadrilátero circunscritível
• Um quadrilátero é circunscritível quando os quatro lados
são tangentes a uma mesma circunferência. Nesse caso,
dizemos que a circunferência esta inscrita no
quadrilátero.
• Em todo quadrilátero circunscritível as somas dos
lados opostos são iguais.
Num quadrilátero circunscritível os pontos de tangência de cada
lado com a circunferência são congruentes. Temos então:
AM = AQ
BM = BN
CP = CN
DP = DQ
Somando membro a membro obtemos:
AM  BM  CP  DP  AQ  DQ  BN  CN ou seja:
 


AB
CD


 
AD
AB + CD = AD + BC
BC
Exemplo:
• Determine o perímetro do quadrilátero ABCD,
circunscritível, da figura.
3x  1  7
x 1 3
3x  6
2x  4
Ângulo Central
O ângulo central é um ângulo cujo vértice está no centro da
circunferência. E, nesse caso, diremos ainda que o arco AB
corresponde ao ângulo central de ACB
“
Podemos dizer que 𝛼
“enxerga” o arco AB.
ACB
ângulo ao centro
arcoAB  arco correspondente
Ângulo Central
Ângulo central Possui vértice no centro da
circunferência e seus lados são os raios. É o ângulo
de menor abertura.
Ângulo inscrito em uma circunferência
Um ângulo inscrito é um ângulo cujo vértice é um ponto da
circunferência e cujos lados contêm cordas.
ACB
ângulo inscrito
arcoAB  arco correspondente
• A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do
arco correspondente.
O ângulo ao centro AÔB
e ao ângulo inscrito ACˆ B
corresponde o mesmo arco AB
Propriedade 1
• A amplitude de um ângulo ao centro é igual à amplitude do
arco correspondente.
AÔB = 60°
arco 𝑨𝑩 = 60°
Propriedade 2
• A amplitude de um ângulo inscrito é igual a metade da
amplitude do ângulo ao centro correspondente.
𝑨𝑪𝑩 = 𝑨𝑶𝑩 ∶ 𝟐
â
e consequentemente o
ângulo ACB também
será a metade do arco AB
Propriedade 3
• A ângulos ao centro geometricamente iguais correspondem
arcos e cordas geometricamente iguais.
𝑨Ô𝑩 = 𝑪Ô𝑫
𝑨𝑩 = 𝑪𝑫
𝑨𝑩 = 𝑪𝑫
Propriedade 4
Ângulos inscritos que contêm o mesmo arco são geometricamente iguais.
Ângulo 𝑨𝑪𝑩 = 𝑨𝑩 ∶ 𝟐
Ângulo 𝑨𝑫𝑩 = 𝑨𝑩 ∶ 𝟐
Ângulo 𝑨𝑬𝑩 = 𝑨𝑩 ∶ 𝟐
Ângulo inscrito = a metade do Ângulo central
QUADRILÁTEROS INSCRITÍVEIS
Um quadrilátero é dito inscritível se, e somente se,
existe uma circunferência que passa pelos seus
quatro vértices.
1) Trace uma circunferência e com um quadrilátero inscrito (a
partir de pontos pertencentes á circunferência).
2) Utilize um transferidor para obter as medidas dos
ângulos internos de seu quadrilátero.
3) Qual a conclusão que chegou?
Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, tiver a soma de
dois ângulos opostos iguais a 180◦.