Interrogation de 10 minutes

SUJET G
D.S. n°10 : Vecteurs
2nde 4
Calculatrices interdites, 55 min. Ce sujet est à rendre avec la copie.
Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . .
Communication : + 0 −
Technique
: + 0 −
Raisonnement : + 0 −
Signature des parents : Note :
Vu
20
• RAPPELS SUR LA FRAUDE AUX EXAMENS : Aucun échange de matériel ou d'informations
n'est autorisé. Les téléphones portables doivent être éteints et rangés dans les sacs.
En cas de similitudes dans les copies, les deux élèves concernés auront zéro : Laisser copier un
camarade, c'est encourager la triche et accepter de pénaliser ceux qui ne trichent pas.
Toute fraude ou tentative de fraude donnera lieu à un rapport qui sera consigné dans le dossier
scolaire des élèves concernés. En cas de triche avec récidive, en plus de ce rapport, une mention figurera
dans le bulletin scolaire des élèves concernés.
• RAPPEL 2 : Il faut toujours prouver vos affirmations (sauf mention contraire de l'énoncé) et, lorsque
vous justifiez vos réponses, la propriété employée doit apparaître clairement.
/4 Exercice 1.
Graphiquement
Placez sans justification les points demandés
sur la figure ci-contre dans laquelle tous les
petits triangles en pointillés sont identiques.
1) Placer M tel que ⃗
CA+⃗
CE=⃗
CM .
2) Placer N tel que ⃗
DB+⃗
ED=⃗
AN .
2
3
BP= ⃗
ED− ⃗
AB .
3) Placer P tel que ⃗
3
2
Rappel : Calculatrices INTERDITES.
/3 Exercice 2.
PR=7⃗
MN et ⃗
SR=−4⃗
MN . Sans utiliser de
M, N, P , R et S sont des points tels que ⃗
coordonnées, montrez que les droites (PS) et (MN) sont parallèles.
/13 Exercice 3.
/1
/1,5
/2
/2
/2
/2
/2,5
Dans le repère orthonormé (O ; ⃗
i , ⃗j ) , les points N, G et S ont pour coordonnées respectives
1
N (−2; 1) ,G −6 ;− et S (−1; −2) .
3
1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure que de nouveaux objets (points,
droites...) apparaissent dans l'énoncé.
2) Déterminer par le calcul les coordonnées de L, image de S par la translation de vecteur ⃗
NG .
3) Soit A le milieu de [SG]. Montrez sans aucun calcul que L, A et N sont alignés.
4) Quelle est la nature du quadrilatère SNGL ? Soyez aussi précis(e) que possible.
5) (SG) coupe l'axe des ordonnées en K. Déterminer par le calcul les coordonnées de K.
6) a) Soit M le point défini par ⃗
MS +⃗
MN +⃗
MG= ⃗
0 . Déterminer par le calcul les coordonnées
de M.
b) Soit I le milieu de [SN]. Déterminer par le calcul les coordonnées de I puis montrez que I,
M et G sont alignés.
(
)
CORRIGÉ du D.S. n°10 : Vecteurs
Exercice 1.
2nde 4
Sujet G
Graphiquement
Placez sans justification les points demandés sur
la figure ci-contre dans laquelle tous les petits
triangles en pointillés sont identiques.
1) M est tel que ⃗
CA+⃗
CE=⃗
CM par la règle du
parallélogramme.
2) N est tel que ⃗
DB+⃗
ED=⃗
ED+⃗
DB=⃗
EB=⃗
AN .
2
3
BP= ⃗
ED− ⃗
AB .
3) Placer P tel que ⃗
3
2
Exercice 2.
⃗
PS =⃗
PR+⃗
RS par la relation de Chasles, d'où ⃗
PS =⃗
PR−⃗
SR=7⃗
MN +4 ⃗
MN =11⃗
MN . Les vecteurs ⃗
PS
et ⃗
MN sont donc colinéaires ce qui prouve que droites (PS) et (MN) sont parallèles.
Exercice 3.
Dans le repère orthonormé (O ; ⃗
i , ⃗j ) , les points N, G et S ont pour coordonnées respectives
1
N (−2; 1),G −6;−
et S (−1; −2) .
3
(
)
2) L est image de S par la translation de vecteur ⃗
NG
⃗
⃗
signifie
que
à
dire
SL= NG c'est
1) Figure :
( )( )
10
L (−5 ;− ) .
3
{
{
x L=−6+2−1
x L=−5
−6+ 2
x L+1
= 1
⇔
⇔
1
1 9
10
− −1
y L=− −1−2
y L =− − =−
y L+2
3
3
3 3
3
3) L est image de S par la translation de vecteur ⃗
NG
signifie que ⃗
SL=⃗
NG donc SNGL est un parallélogramme.
A est le milieu de la diagonale [SG].
Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, A est aussi le milieu de l'autre diagonale,
qui est [LN]. Les points L, A et N sont donc alignés.
4) ● On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, on conjecture que c'est un rectangle.
Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore :
2
2
2
2
2
2
2
2
10 1
10
4
16
2
2
GL =(−5+6 ) + − + =( 1 ) +(−3 ) =10 ; SL =( −5+1 ) + − +2 =(−4 ) + − =16+ et
3 3
3
3
9
2
2
2
2
1
5
25
GS 2=(−1+6 ) + −2+ =( 5 ) + − =25+
.
3
3
9
16
16
16
9 16
25
2
2
2
On a donc SL +GL =10+16+ =26+ =25+1+ =25+ + =25+ =GS . Par la réciproque du
9
9
9
9 9
9
théorème de Pythagore SL 2+GL2=GS 2 montre que l'angle ̂
GLS est droit.
● SNGL est donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c'est donc un rectangle.
(
(
)
)
(
)
( )
( )
5) K appartient à l'axe des ordonnées donc x K =0 . S, G et K sont alignés donc les vecteurs ⃗
SK et ⃗
SG sont
y K +2
( )( )
−6+1
−5
1
et ⃗
.
SG 1
= 5 . En comparant les abscisses on voit que x ⃗
SG =−5 x⃗
SK
y K +2
− +2
3
3
( )( )
colinéaires. Or ⃗
SK x K +1 =
5
c'est à dire, en divisant
3
7
K 0 ;−
3
y⃗
SG =−5 y ⃗
SK c'est à dire −5( y K +2)=
Le coefficient de colinéarité est donc −5 d'où
(
1
1
7
les deux membres par -5, y K +2=− c'est à dire y K =− −2=− .
3
3
3
)
6) a)
)(
)() {
{
−6− x M
−3 x M −9=0
3 x M =−9
⃗
MS+⃗
MN +⃗
MG=⃗0 ⇔ −1− x M + −2−x M + 1
= 0 ⇔
⇔
1
1
4.
− − yM
0
−3 y M −1− =0
3 y M =−1− =−
−2− y K
1− y K
3
3
3
3
(
)(
(
Les coordonnées de M sont donc M −3 ;−
4
9
)
.
x S + x N −1−2
y + y N −2+1
3 1
3
1
=
=− et y I = S
=
=− . I − ;−
2 2
2
2
2
2
2
2
Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs ⃗
MG sont colinéaires. Or
I M et ⃗
(
b) I est le milieu de [SN] donc x I =
( )( )( )
3
3
3
−
−
2
2
⃗
IM
=
= 2 et
4 1
8
9
1
− +
− +
9 2
18 18
18
−3+
⃗
MG
( )( )( )
−6+3
−3
−3
1 4 = 3 4 = 1 .
− +
− +
3 9
9 9
9
3
− ×2=−3
2
et
)
1
1
×2= donc
18
9
2⃗
I M =⃗
MG . Les vecteurs ⃗
MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés.
I M et ⃗
CORRIGÉ du D.S. n°10 : Vecteurs
Exercice 1.
Graphiquement
Placez sans justification les points demandés sur
la figure ci-contre dans laquelle tous les petits
triangles en pointillés sont identiques.
1) Placer M tel que ⃗
AB+⃗
AC=⃗
AM par le règle du
parallélogramme.
2) Placer N tel que ⃗
AB+⃗
CA=⃗
CA+⃗
AB=⃗
CB=⃗
DN
.
1
3
EP= ⃗
CD− ⃗
AB .
3) Placer P tel que ⃗
3
2
Exercice 2.
Sujet D
2nde 4
⃗
EF =⃗
EC +⃗
CF par la relation de Chasles, d'où ⃗
EF =⃗
EC −⃗
FC =3⃗
AB+5 ⃗
AB=8 ⃗
AB . Les vecteurs ⃗
EF
⃗
et AB sont donc colinéaires ce qui prouve que droites (EF) et (AB) sont parallèles.
Exercice 3.
2) L est image de S par la translation de vecteur ⃗
NG
⃗
⃗
signifie
que
à
dire
SL= NG c'est
1) Figure :
){
( )(
1
L ( 5; ) .
3
{
x L=6−2+1
x L=5
6−2
x L−1
= 8
⇔
⇔
8
8 9 1
− +4
y L=− +4−1
y L=− + =
y L+1
3
3
3 3 3
3) L est image de S par la translation de vecteur ⃗
NG
signifie que ⃗
SL=⃗
NG donc SNGL est un parallélogramme.
A est le milieu de la diagonale [SG].
Comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu, A est aussi le milieu de l'autre diagonale,
qui est [LN]. Les points L, A et N sont donc alignés.
4) ● On sait déjà que SNGL est un parallélogramme et au vu de la figure, on conjecture que c'est un rectangle.
Montrons qu'il a un angle droit par la réciproque du théorème de Pythagore :
2
2
2
2
2
2
2
2
1 8
1
4
16
GL2=( 5−6 ) + + =( −1 ) +( 3 ) =10 ; SL 2=( 5−1 ) + +1 =( 4 ) +
=16+
et
3 3
3
3
9
2
2
2
2
8
5
25
GS 2=( 1−6 ) + −1+ =( −5 ) +
=25+
.
3
3
9
16
16
16
9 16
25
2
2
2
On a donc SL +GL =10+16+ =26+ =25+1+ =25+ + =25+ =GS . Par la réciproque du
9
9
9
9 9
9
théorème de Pythagore SL 2+GL2=GS 2 montre que l'angle ̂
GLS est droit.
● SNGL est donc un parallélogramme qui possède un angle droit, c'est donc un rectangle.
( )
( )
( )
()
()
5) K appartient à l'axe des ordonnées donc x K =0 . S, G et K sont alignés donc les vecteurs ⃗
SK et ⃗
SG sont
( )( )
colinéaires. Or ⃗
SK x K −1 = −1
y K +1
y K +1
et ⃗
SG
( )( )
6−1
5
.
= 5 . En comparant les abscisses on voit que x ⃗
8
SG =−5 x⃗
SK
− +1
−
3
3
5
Le coefficient de colinéarité est donc −5 d'où y ⃗
c'est à dire, en divisant
SG =−5 y ⃗
SK c'est à dire −5( y K +1)=−
3
1
1
2
2
K 0 ;−
les deux membres par -5, y K +1= c'est à dire y K = −1=− .
3
3
3
3
(
)
6) a)
)(
)() {
{
6−x M
−3 x M +9=0
3 x M =9
⃗
MS+⃗
MN +⃗
MG=⃗0⇔ 1−x M + 2− x M + 8
= 0 ⇔
⇔
8
8
23
− − yM
0
−3 y M −5− =0
3 y M =−5− =−
−1− y K
−4− y K
3
3
3
3
(
)(
(
Les coordonnées de M sont donc M 3 ;−
23
9
)
.
x S + x N 1+2 3
y + y N −1−4
3 5
5
;−
=
= et y I = S
=
=− . I
2 2
2
2
2
2
2
2
Montrons que I, M et G sont alignés : Pour cela on va montrer que les vecteurs ⃗
MG sont colinéaires. Or
I M et ⃗
(
b) I est le milieu de [SN] donc x I =
⃗
IM
( )( )( )
3
3
2
=
= 2
et
23 5
46 45
1
− +
− +
−
9 2
18 18
18
3−
3
2
⃗
MG
( )(
)( )
6−3
3
−3
8 23 = 16 23 = 1 .
− +
− +
3 9
9
9
9
)
3
1
1
− ×2=−3 et − ×(−2)=
2
18
9
donc −2⃗
I M =⃗
MG . Les vecteurs ⃗
MG sont colinéaires donc I, M et G sont alignés.
I M et ⃗