Comment démontrer que trois vecteurs sont coplanaires ?

M5 - Comment démontrer que trois vecteurs sont coplanaires ?
Comment démontrer que trois vecteurs sont coplanaires ?
ABCDEFGH est un cube
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [BF]
K est le milieu de [BC]
etAG
sont-ils
, AK
Les vecteurs EB
coplanaires ?
;AD
; On va se placer dans le repère (A ;AB
AE)
Etape 1 : Choisir un repère
+ EB = EA
AB(Chasles)
= D’où EB
AB − AE
Etape 2 : Calculer les coordonnées des trois vecteurs dans le repère
•
On a alors EB(1; 0; −1)
NB : On peut aussi calculer les coordonnées de 67 en déterminant les
coordonnées de E puis de B dans le repère et en appliquant la
formule : 89:
= 8: − 89 ;<=9:
= =: − =9 .
(Chasles)
AK = AB + BK
(dans un cube, les
D’où AB = AB + AD
•
côtés opposés sont parallèles)
On a alors AK(1; ; 0)
= AK
EB
1 = × 1
=1
D’où 0 = ′ × ⇔ = 0
=∅
−1 = ′′ × 0
(Chasles)
AG = AB + BC + CG
+ AE
(parallélisme)
D’où AG = AB + AD
•
On a alors AG(1; 1; 1)
Etape 3 : Montrer que deux vecteurs ne sont pas colinéaires
,
= AK
Il n’existe pas de réel tel queEB
et donc EB
AK ne sont pas colinéaires.
+ %)*
Etape 4 : On cherche des réels "#$% tels que &' = "&(
+ ,EB
AG = +AK
D’où :
1 =+×1+,×1
α+β=1
1
1
+=2
- 1 = + × + , × 0 ⇔ - + = 1 ⇔ 1
,
= −1
2
2
−, = 1
1 = + × 0 + , × (−1)
− EB
Donc AG = 2AK
sont coplanaires.
34&'
On a démontré que les vecteurs )*, &(
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