2) Vecteurs colinéaires

2) Vecteurs colinéaires
a) Définition
• Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires signifie qu’il existe
un nombre réel k tel que v = k u.
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
Remarque :
si k = 0 alors v = 0. Mais comme v  0, alors k  0.
b) Propriétés(admises)
• Trois points A, B, C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
• Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
c) Exemple
Les points A, B, C, D, E sont donnés par leurs coordonnées :
A (-1 ; -1), B (2 ; 8), C (-2 ; -4), D (3 ; 3) et E (9 ; 21).
a. Démontrer que les points A, B et C sont alignés.
b. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
d) Caractérisation analytique de la colinéarité
Les vecteurs u (x ; y) et v (x’, y’) sont colinéaires si, et seulement si, xy’ – x’y = 0.
Démonstration :
• Premier cas : l’un des vecteurs, par exemple u est nul.
Les coordonnées de u sont donc (0 ; 0).
Il est colinéaire à tout vecteur du plan.
Dans ce cas , la condition est vérifiée : 0 × y’ – x’× 0 = 0.
• Deuxième cas : les deux vecteurs sont non nuls.
Si u et v sont colinéaires, il existe un réel k tel que v = k u donc : x’ = kx et y’= ky.
Ainsi, xy’ – x’y = x × (ky) – (kx) × y = kxy – kxy = 0.
Réciproquement, si xy’ – x’y = 0, alors , xy’ = x’y.
Comme u est non nul, l’une de ses coordonnées, par exemple x, est différente de 0.
On pose k =
x′
x
c'est-à-dire x’ = kx.
On a ainsi : xy’= kxy, d’où y’ =ky.
Il existe donc un réel k tel que v = ku.
Les vecteurs u et v sont donc colinéaires.
e) Exemple
1) Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs u et v sont colinéaires ou non :
a. u (3 ; -2) et v (6 ; -1)
b. u (10 ; -5) et v (-4 ; 2)
2) Déterminer le réel x pour que u (4 ; x) et v (-4 ; 2) soient colinéaires.