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Géométrie vectorielle
Table des matières
1
2
3
4
notion de vecteur et vecteurs égaux
1.1 activités . . . . . . . . . . . . . .
1.2 corrigé activités . . . . . . . . .
1.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . .
1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . .
1.5 corrigés exercices . . . . . . . . .
somme de vecteurs
2.1 activités . . . . .
2.2 corrigé activités
2.3 a retenir . . . . .
2.4 exercices . . . . .
2.5 interrogation . .
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multiplication d’un vecteur
3.1 activités . . . . . . . .
3.2 corrigé activités . . .
3.3 à retenir . . . . . . . .
3.4 exercices . . . . . . . .
3.5 interrogation . . . . .
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2
2
4
7
8
10
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11
11
13
15
16
17
par un nombre réel
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19
19
20
21
21
22
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23
23
25
30
30
31
33
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vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points.
4.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 corrige activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
évaluations
34
6
devoir maison
6.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
36
37
7
tp
7.1
7.2
38
38
41
tp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
corrigé tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
annexes
42
9
logique
9.1 Activité 1 : (cause ou conséquence ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
1
1.1
notion de vecteur et vecteurs égaux
activités
activité 1 : (vecteurs égaux, colinéaires, opposés)
−−→
→
s’il n’est pas nul, un vecteur est représenté
par une flèche. (par exemple −
v = CD ci dessous)

origine : le point ...



−−→ D

 extrémité : le point...
CD
−−→
direction : la droite ...
on dit que le vecteur CD a pour :


sens : du point ... vers ...



longueur (ou norme) : la longueur ...
C
un vecteur est définit par la donnée de : sa direction, son sens et sa longueur.
deux vecteurs colinéaires
deux vecteurs opposés
deux vecteurs égaux
pour reconnaître :
directions
parallèles
parallèles
parallèles
sens
longueurs
opposés
identiques
égales
égales
A.trouver dans la figure ci dessous : (réponses à rédiger à droite de la figure)
→
−
r
deux vecteurs colinéaires :
F
→
−
w
P
O
K
−
→
t
N
−
→
z
M
E
−
→
u
A
B
deux vecteurs opposés :
L
G
J
R
−
→
y
−
→
v
−
→
x
C
deux vecteurs égaux :
D
H
Q
I
B.construire dans la figure ci dessus :
−−→ −→
−→
a. le point S tel que : KL = SR et construire SR
−→
−−→ −−→
−→
b. le point T tel que : QT = −P O = OP et construire QT
−−→ −−→
−−→
c. le point U tel que : QU = P O et construire QU
D
C
I
activité 2 : (vecteurs et parallèlogrames)
A
B
A. On sait que ABCD est un parallèlogramme de centre I
a. en déduire 10 couples de vecteurs égaux et 2 couples de vecteurs non égaux
−−
→
AB = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... = ...
−→
AA = ...
... = ...
... = ...
... = ...
... 6= ...
B.compléter les phrases suivantes pour quelles soient vraies :
−−→
si EF GH est un parallélogramme alors EF = ...
−−
→
et F G = ...
−
→
si I est le milieu du segment [AB] alors AI = ...
−
→
et IA = ...
−−→ −−→
si KL = M N et K, L et M non alignés alors ...
−→ −−→
si P R = OP alors le point ...
est un parallélogramme
est le milieu du segment ...
... 6= ...
activité 3 : (vecteurs et translation)
−
−→ →
→
le point A a pour image B par la translation de vecteur −
u ⇐⇒ AB = −
u
−
→
→
(A)
=
B
(comme
pour
les
fonctions)
:
A
−
7
→
B
ou
encore
t
on note : t−
u
u
I. construire les points D, E, F etG tels que les conditions 1, 2, 3 et 4 soient respectées.
−−
→
1.par la translation de vecteur AB, C a pour image D
−
−→
3. E est l’image de B par la translation de vecteur AB
−
→ : A 7−→ G
2. t−
CB
−
→ (B) = F
4. t−
CB
II. pour chacune des conditions, donner deux vecteurs nécessairement égaux.
on a 1. donc : ...
= ...
on a 2. donc : ...
= ...
on a 3. donc : ...
= ...
B
A
on a 4. donc : ...
= ...
C
III. Démontrer que BCDE est un parallélogramme à partir des hypothèses 1, 2, 3, 4.
(rédaction sur le cahier)
activité 4 : (vecteurs égaux)
ABCDEF est un hexagone régulier.
A
B
1. compléter les égalités par un vecteur afin qu’elles soient vraies.
−−
→
AB = ...
;
−−→
OF = ...
;
−−→
F B = ...
;
−→
2. donner tous les vecteurs égaux à F A : ...
−−
→
F C = ...
F
O
E
activité 5 : (vecteurs et parallélogrammes)
on sait que : CDEG et CDHF sont des parallélogrammes avec G, C et F non alignés.
1. faire une figure.
2. démontrer que GFHE est un parallélogramme
en utilisant les vecteurs égaux.
C
D
1.2
corrigé activités
corrigé activité 1 : (vecteurs égaux, colinéaires, opposés)
−−→
→
s’il n’est pas nul, un vecteur est représenté
par une flèche. (par exemple −
v = CD ci dessous)

origine : le point C



−−→ D

 extrémité : le point D
CD
−−→
on dit que le vecteur CD a pour :
direction : la droite (CD)


sens : du point C vers le point D



longueur (ou norme) : la longueur CD
C
un vecteur est définit par la donnée de : sa direction, son sens et sa longueur.
pour reconnaître :
deux vecteurs colinéaires
deux vecteurs opposés
deux vecteurs égaux
directions
parallèles
parallèles
parallèles
sens
longueurs
opposés
identiques
égales
égales
A.trouver dans la figure ci dessous : (réponses à rédiger à droite de la figure)
→
−
r
deux vecteurs colinéaires :
F
→
−
−
−→
−−→
w
P
O
K
AB et CD
−→
−−→
S −
AB et KL
→
−
→
−
N
M
−
−→
−−→
t
z
AB et EF
−
−→
−−→
AB et GH
E
deux vecteurs opposés :
→
−
L
B
u
−
−→
−−→
J
R
G
AB et CD
→
−
y
−→
−−→
→
−
C −
v
EF et GH
→
−
A
x
deux vecteurs égaux :
−−→
−−→
OP et M N
D
−−→
−−→
KL et GH
Q
I=U
H=T
B.construire dans la figure ci dessus :
−−→ −→
−→
a. le point S tel que : KL = SR et construire SR
−→
−−→ −−→
−→
b. le point T tel que : QT = −P O = OP et construire QT
−−→
−−→ −−→
c. le point U tel que : QU = P O et construire QU
D
C
I
corrigé activité 2 : (vecteurs et parallèlogrames)
A
B
A. On sait que ABCD est un parallèlogramme de centre I
a. en déduire 10 couples de vecteurs égaux et 2 couples de vecteurs non égaux
−−
→
−−→
AB = DC
−→
−
→
AI = IC
−
−→
−−→
BA = CD
−→
−
→
IA = CI
−−→
−−→
AD = BC
−→
−→
DI = IB
−−→
−−→
DA = CB
−→
−→
ID = BI
−→
−−→
AA = BB
−−
→ −−
→
AB 6= BA
−
→ −→
IA 6= IC
−−→
−−→
CC = DD
H
B.compléter les phrases suivantes pour quelles soient vraies :
G
−−→ −−→
−
−→ −−→
si EF GH est un parallélogramme alors EF = HG et F G = EH
E
−
→ −→
−
→ −→
si I est le milieu du segment [AB] alors AI = IB et IA = BI
F
A
B
I
M
N
−−→ −−→
si KL = M N et K, L et M non alignés alors KLN M est un parallélogramme
K
−→ −−→
si P R = OP alors le point P est le milieu du segment [OR]
L
R
O
P
corrigé activité 3 : (vecteurs et translation)
−
−→ →
→
le point A a pour image B par la translation de vecteur −
u ⇐⇒ AB = −
u
−
→
→
(A)
=
B
(comme
pour
les
fonctions)
:
A
−
7
→
B
ou
encore
t
on note : t−
u
u
I. construire les points D, E, F etG tels que les conditions 1, 2, 3 et 4 soient respectées.
−−
→
1.par la translation de vecteur AB, C a pour image D
−
−→
3. E est l’image de B par la translation de vecteur AB
−
→ : A 7−→ G
2. t−
CB
−
→ (B) = F
4. t−
CB
II. pour chacune des conditions, donner deux vecteurs nécessairement égaux.
−−
→
−−→
on a 1. donc : AB = CD
F
G
−−→
−→
on a 2. donc : CB = AG
E
−−
→
−−→
on a 3. donc : AB = BE
B
A
D
−−→
−−→
on a 4. donc : CB = BF
C
III. Démontrer que BCDE est un parallélogramme à partir des hypothèses 1, 2, 3, 4.
−−
→
1.par la translation de vecteur AB, C a pour image D
−−
→ −−→
AB = CD
−−→ −−→
CD = BE
−−
→
3.E est l’image de B par la translation de vecteur AB
−
−
→ −−→
AB = BE
BCDE parallélogramme
corrigé activité 4 : (vecteurs égaux)
ABCDEF est un hexagone régulier.
A
B
1. compléter les égalités par un vecteur afin qu’elles soient vraies.
−−
→
−−→
AB = F O
−−→
−−→
OF = CO
;
−−→
−−→
F B = EC
−→
2. donner tous les vecteurs égaux à F A :
−→
−−→ −−→ −−→
F A = EO = OB = DC
;
−−→
−−→
FC = FC
O
F
E
C
D
corrigé activité 5 : (vecteurs et parallélogrammes)
on sait que : CDEG et CDHF sont des parallélogrammes avec G, C et F non alignés.
G
E
1. figure
C
D
F
H
2. démontrer que GFHE est un parallélogramme
en utilisant les vecteurs égaux.
CDEG parallélogramme
−−→ −−→
CD = GE
−−→ −−→
GE = F H
CDHF parallélogramme
−−→ −−→
CD = F H
GF HE parallélogramme
1.3
a retenir
définition 1 : (même direction ou colinéaires)
Quels
que soient les points A 6= B et C 6= D,
−−
→
✞
☎
AB
−−
→
−−→
AB et CD ont même direction ⇐⇒ (AB)//(CD)
✝
✆
A
(parallèles)
−−→
CD
D
C
B
définition 2 : (même sens)
Quels que soient les points A 6= B et C 6= D,
 −
−
→
−−→
AB et CD ont même direction




 et
−−
→
−−→
AB et CD ont même sens ⇐⇒
le sens "de A vers B"



est
"le même" que


le sens "de C vers D"
définition 3 : (opposés)
Quels que soient les points A6= B et C 6= D,
−−
→
−−→

AB et CD ont même direction



 et




 le sens "de A vers B"
−−
→
−−→
est "le sens contraire "
AB et CD sont opposés ⇐⇒


du sens "de C vers D"





et


→
−−→
 −−
AB et CD ont même longueur
définition 4 : (même norme)
Quels
que soient les points A 6= B et C 6= D,☎
✞
−−
→
−−→
✝AB et CD ont même norme ⇐⇒ AB = CD ✆
( la norme d’un vecteur est sa longueur)
−−→
CD
C
−−
→
AB
A
B
−−→
CD
D
C
−−
→
AB
A
B
−−
→
AB
D
A
définition 5 : (égalité de vecteurs)
Quels que soient
points A 6= B et C
 les
−−
→
−−→

AB et CD ont même

−−
→
−−→
−−
→
−−→
AB = CD ⇐⇒
AB et CD ont même

→
−−→
 −−
AB et CD ont même
D
−−→
CD
C
B
−−→
CD
6= D,
direction
sens
norme
C
D
−−
→
AB
A
B
propriété 1 : (égalité de vecteurs et parallélogramme)
C
quels
que soient les points A 6= B, C 6= D, A, B☎et C non alignés
✞
−−
→ −−→
ABDC est un parallélogramme ⇐⇒ AB = CD
✝
✆
(attention à l’ordre des lettres)
A
D
B
démonstration : (laissée en exercice)
propriété 2 : (égalité de vecteurs et milieu d’un segment)
quels
que soient les points A 6= B, et I
✞
☎
−
→ −→
AI = IB ⇐⇒ I est le milieu du segment [AB]
✝
✆
(attention à l’ordre des lettres)
B
A
I
démonstration : (laissée en exercice)
1.4
exercices
exercice 1 :
ABC est un triangle quelconque, C est le milieu du segment [BD]
ABCI est un parallèlogramme, ACDJ est un parallèlogramme
1. faire une figure
2. que semble t-il pour les points I et J ?
−
→ −→
3. démontrer que AI = AJ et que I = J
(pour cela : recopier et compléter le schéma de démonstration ci dessous puis rédiger
un texte de démonstration)
C = m[BD]
−−→ −−→
BC = CD
−−→ −
→
CD = AI
ABCI plgm
−−→ −
→
BC = AI
−
→ −→
AI = AJ
I=J
−−→ −→
CD = AJ
ACDJ plgm
exercice 2 :
ABC est un triangle quelconque, A est le milieu du segment [M B]
ABRC est un parallèlogramme, ACM P est un parallèlogramme
1. faire une figure
2. que semble t-il pour le point A par rapport au segment [P R] ?
−→ −→
3. démontrer que P A = AR et que A est le milieu du segment [P R]
(pour cela : recopier et compléter le schéma de démonstration ci dessous puis rédiger
un texte de démonstration)
A = m[M B]
−−
→ −−→
AB = M A
−−→ −→
M A = CR
ABRC plgm
ACM P plgm
M ARC plgm
−−→ −→
M C = AR
−−
→ −→
AB = CR
−→ −→
AR = P A
−−→ −→
MC = PA
A = m[P R]
4. conclure
1.5
corrigés exercices
2
2.1
somme de vecteurs
activités
activité 1 : construction d’une somme de deux vecteurs
→
→
soient −
u et −
v deux vecteurs non nuls,
→
→
→
→
→
la somme des vecteurs −
u et −
v est un vecteur noté −
w =−
u +−
v
→
−
→
(1) on représente v au bout de −
u
→
−
→
−
→
−
pour représenter w = u + v :
−
→
(2) on joint d’une flèche, l’origine de →
u à l’extrémité de −
v
−
−
−
−
−
1. représenter →
w =→
u +→
v ainsi que →
v +→
u et comparer ces deux vecteurs.
→
−
u
−
→
v
−
−
→
−
→
2. placer le point B tel que AB = →
u +−
v
→
−
u
−
→
v
A
−
−
→
−
−
3. placer le point B tel que AB = →
u +→
v et faire une remarque
→
−
u
−
→
v
A
−
−
→
−
→
4. placer le point B tel que AB = →
u +−
v
−
→
u
−
→
v
A
activité 2 : somme de deux vecteurs et relation de Chasles
A
ABCDEF est un hexagone régulier.
1. compléter les égalités afin qu’elles soient vraies.
(dans une somme on peut remplacer n’importe
quel vecteur par un vecteur égal)
−−
→
−−→
AB + BC = ...
−
−
→
−→
AB + AO = ...
−−
→
−−→
AB + BO = ...
−
−→
−→
AB + AF = ...
−−
→
−
−→
AB + BA = ...
−−
→
−−→
AB + DE = ...
B
O
F
E
C
D
−
−→
−−→ −−→
AB + BC+ CD= ...
−−
→
−→
−→
AB + AO + AF = ...
−−→
−−→
OC + OF = ...
−→
−→
−−
→
AB + AO + AF = ...
2. compléter les égalités afin qu’elles soient vraies.
−→
−→ −−→
AE = AF + ... E
−→
−−→
AE = ... + OE
−→
−−−→ −−−→
AE = A... + A...
−−→
−−→ −−→
F B = F O+ ... B
−−→
−
−
→
F B = ... + AB
−−→
−−−→ −−−→
F B = F... + F...
−−→
−−→ −−→
OB = OC+ ... B
−−→
−
−
→
OB = ... + AB
−−→
−−−→ −−−→
OB = O... + O...
activité 3 : somme de deux vecteurs, parallélogrammes et milieux
1. compléter les propriétés suivantes :
D
propriété
quels que soient les points A, B, C et D avec A, B et D non alignés
−→ −−→ −−→
ABCD est un parallélogramme ⇐⇒ AC = A... + A...
(attention à l’ordre des lettres)
A
C
B
propriété
quels que soient les points A, B et I avec A 6= B
−−→ −−→ −
→
I est le milieu du segment [AB] ⇐⇒ I ... + I ... = 0
B
A
I
2. on sait que :
ABC est un triangle quelconque.
A est le milieu du segment [M B]
A est le milieu du segment [CN ]
ABRC est un parallélogramme
AM P N est un parallélogramme
a. faire une figure
b. que semble t-il pour A par rapport au segment [P R] ?
−→ −→ −
→
c. montrer que AR + AP = 0 et que A est le milieu de [P R] en utilisant les hypothèses
ainsi que les propriétés 3 et 4
(utiliser le schéma de démonstration ci dessous)
2.2
corrigé activités
corrigé activité 1 : construction d’une somme de deux vecteurs
→
→
soient −
u et −
v deux vecteurs non nuls,
→
→
→
→
→
la somme des vecteurs −
u et −
v est un vecteur noté −
w =−
u +−
v
→
−
→
−
(1)
on
représente
v
au
bout
de
u
→
→
→
pour représenter −
w =−
u +−
v :
−
→
(2) on joint d’une flèche, l’origine de →
u à l’extrémité de −
v
−
−
−
→
1. représenter →
u +→
v ainsi que →
v +−
u et comparer ces deux vecteurs.
→
−
u
☎
✞
→
−
→
→
→
→
→
v +−
u
il semble que : −
v +−
u =−
u +−
v
→
−
→
−
✝
✆
v
v
→
−
→
u +−
v
→
−
u
−
−
→
−
→
2. placer le point B tel que AB = →
u +−
v
→
−
u
−
→
u
−
→
v
−
→
v
A
B
−
−
→
−
−
3. placer le point B tel que AB = →
u +→
v et faire une remarque
→
−
u
✞
→
−
→
→
−
→ −
−
u
B
✝u + v = 0
→
−
v
→
−
A
v
−
−
→
−
→
4. placer le point B tel que AB = →
u +−
v
−
→
u
−
→
v
−
→
u
−
→
v
et
☎
A=B✆
B
−
→
→
u +−
v
A
corrigé activité 2 : somme de deux vecteurs et relation de Chasles
A
ABCDEF est un hexagone régulier.
1. compléter les égalités afin qu’elles soient vraies.
(dans une somme on peut remplacer n’importe
quel vecteur par un vecteur égal)
✞
☎
✞
☎
✞
−−
→
−−→
−→
AB + BC = ✝AC ✆
−−
→
−−→
−→
AB + BO = ✝AO ✆
☎
✞
−−
→
−−
→
−→
−
→
AB + BA = ✝AA = 0 ✆
✞
☎
F
O
C
☎
−
−→
−→
−→
AB + AO = ✝AC ✆
✞
B
E
D
☎
−−
→
−→
−→
AB + AF = ✝AO ✆
✞ ☎
−−
→
−−→
→
−
AB + DE = ✝0 ✆
✞
−−
→
−→
−→
−−→
AB + AO + AF = ✝AD ✆
✞ ☎
✞ ☎
−−
→
−→
−−→
→
−
AB + AO + DF = ✝0 ✆
−−→
−−→
→
−
OC + OF = ✝0 ✆
2. compléter les égalités afin qu’elles soient vraies.
✞
☎
✞
☎
✞
☎
✞
☎
✞
☎
✞
☎
☎
−
−
→
−−→ −−→
−−→
AB + BC+ CD= ✝AD ✆
✞
☎ ✞
☎
✞
☎ ✞
☎
✞
☎ ✞
☎
−−→
−→
−→
AE = AF + ✝F E ✆
−→
−→
−−→
AE = ✝AO ✆
+ OE
−→
−→
−→
AE = ✝AF ✆
+ ✝AO ✆
−−→
−−→
−−→
F B = F O+ ✝OB ✆
−−
→
−−→
−→
+ AB
F B = ✝F A ✆
−−→
−→
−−→
F B = ✝F A ✆
+ ✝F O ✆
−−→
−−→
−−→
OB = OC+ ✝CB ✆
−
−
→
−−→
−→
+ AB
OB = ✝OA ✆
−−→
−→
−→
OB = ✝OA ✆
+ ✝AC ✆
corrigé activité 3 : somme de deux vecteurs, parallélogrammes et milieux
1. compléter les propriétés suivantes :
D
propriété
quels que soient les points A, B, C et D avec A, B et D non alignés
−→ −−
→ −−→
ABCD est un parallélogramme ⇐⇒ AC = AB + AD
A
(attention à l’ordre des lettres)
C
B
propriété
quels que soient les points A, B et I avec A 6= B
−
→ −→ −
→
I est le milieu du segment [AB] ⇐⇒ IA + IB = 0
B
A
I
2. on sait que :
ABC est un triangle quelconque.
A est le milieu du segment [M B]
A est le milieu du segment [CN ]
ABRC est un parallélogramme
AM P N est un parallélogramme
C
R
M
a. figure
P
N
A
B
b. il semble que A soit le milieu du segment [P R]
−→ −→ −
→
c. montrer que AR + AP = 0 et que A est le milieu de [P R] en utilisant les hypothèses
ainsi que les propriétés 3 et 4
(on utilise le schéma de démonstration ci dessous)
ABRC plgm
−−
→ −→ −→
AB + AC = AR
−→ −→ −
−→ −→ −−→ −−→
AR + AP = AB + AC + AM + AN
AM P N plgm
−−→ −−→ −→
AM + AN = AP
−→ −→ −
−→ −−→ −→ −−→
AR + AP = AB + AM + AC + AN
A = m[CN ]
−→ −−→ −
→
AC + AN = 0
−→ −→ −
→ −
→ −
→
AR + AP = 0 + 0 = 0
A = m[M B]
−
−
→ −−→ −
→
AB + AM = 0
A = m[P R]
2.3
a retenir
définition 6 : (somme de vecteurs )
A
quels que soient les points A, B, C et D
soit E un point quelconque
B
F
D
−−→ −
−→
soit X tel que EX = AB
−−→ −−→
soit F tel que XF = CD
C
E
X
✞
☎
−−→
−−
→
−−→
−−→ −−
→ −−→
le vecteur EF est appelé "vecteur somme" de AB et CD et on note : ✝EF = AB + CD ✆
A
propriété 3 : (commutativité de la somme de vecteurs)
B
quels que soient les points A, B, C et D
✞
D
☎
−−
→ −−→ −−→ −−
→
✝AB + CD = CD + AB ✆
C
démonstration : (cette propriété est admise)
propriété 4 : (somme de vecteurs et parallélogramme)
D
quels
que soient les points A, B, C et D avec A, B et
✞
☎ D non alignés
−→ −
−
→ −−→
ABCD est un parallélogramme ⇐⇒ AC = AB + AD
✝
✆
A
(attention à l’ordre des lettres)
C
B
démonstration : (cette propriété est admise)
propriété 5 : (milieu et somme de vecteurs)
quels
que soient les points A, B et I avec A 6= B ☎
✞
−
→ −→ −
→
I est le milieu du segment [AB] ⇐⇒ IA + IB = 0
✝
✆
(attention à l’ordre des lettres)
B
A
I
démonstration : (cette propriété est admise)
propriété 6 : (relation de Chasles)
quels
que soient☎les points A, B et C
✞
−−
→ −−→ −→
✝AB + BC = AC ✆
C
A
B
démonstration : (cette propriété est admise)
remarques :
−→ −−→
→
−
i. AA = BB = ... = 0 est appelé le vecteur nul, il n’a pas de direction et pas de sens.
2.4
exercices
exercice 3 :
a. simplifier au maximum :
−−→ −−→ −−→ −−→
→
i. −
u = EF + F H + HD + DE
−
−→ −−→ −−→ −−→
→
ii. −
u = AB + BC + DA + CD
−−→ −
−→ −→ −−→
→
iii. −
v = BC − BA + CA − CB
−→ −−→ −
−→
→
iv. −
w = P A − P B − AB
b. soient les points B,C,D et E :
−−→ −−→ −−→ −−→
en utilisant le relation de Chasles, montrer que EC = BC − DE + DB
−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −−→
c. on sait que : OA = OB + OF et OD = BO + F O
−→ −−→ −
→
montrer que OA + OD = 0 et en déduire une conséquence pour les point A, D et O
d. BCDE est un parallélogramme
−−→ −−→ −−→
démontrer que ED + CD = BD
exercice 4 :
ABC est un triangle
ABCM est un parallélogramme
ABM P est un parallélogramme
1. faire une figure
−−→ −−→ −
→
2. démontrer que M C + M P = 0
3. qu’en déduire pour M relativement à [P C]
(la démonstration pourra être présentée par un schéma, puis rédigée en toutes
lettres)
...
...
...
...
plgm
−−→ −−→
M C + M P = ...
...
−−→ −−→
M P = BA
2.5
interrogation
3
3.1
multiplication d’un vecteur par un nombre réel
activités
activité 1
1. construire les vecteurs suivants :
→
−
a. −
v = 2→
u d’origine A
−
→
b. →
w = −3−
u d’origine B
2−
→
c. −
x = →
u d’origine C
3
3→
→
u d’origine D
d. −
y =− −
2
2. trouver le nombre qui manque
→
→
a. −
z = ...−
u
B
−
→
u
C
D
A
→
−
z
−
→
t
−
→
→
b. t = ...−
u
activité 2
T
S
R
A Q B
M
P
trouver le nombre qui manque :
−−→
−−
→
a. AM = ...AB
−→
−−
→
e. AS = ...AB
−→
−−
→
i. P S = ...AB
−→
−−
→
b. AP = ...AB
−→
−−→
f. AT = ...AB
−−→
−−
→
j. BQ = ...AB
−→
−−→
c. AQ = ...AB
−−→
−−
→
g. BM = ...AB
−−→
−−
→
k. P B = ...AB
−→
−−→
d. AR = ...AB
−
−
→
−−
→
h. BA = ...AB
−→
−−
→
l. BT = ...AB
activité 3
A
B
placer les points X, Y, Z, T, U, V et W à partir des égalités vectorielles ci dessous
−−→
−−
→
a. AX = 3AB
−→ 3 −−
→
e. AV = AB
4
−→
−−
→
b. AY = −3AB
−−→ 4 −−→
f. AW = AX
3
−→ 3 −−
→
c. AZ = AB
2
−→
3−
−→
g. AT = − AB
2
−→ 2 −−→
h. AU = AX
3
activité 4
4→
−
→
−
u est horizontal, de gauche à droite, de longueur 6 cm et →
v =− −
u
3
→
−
déterminer le vecteur v en direction, sens et longueur
3.2
corrigé activités
corrigé activité 1
1. construire les vecteurs suivants :
→
−
a. −
v = 2→
u d’origine A
→
−
→
b. w = −3−
u d’origine B
2
→
−
c. −
x = →
u d’origine C
3
3→
→
u d’origine D
d. −
y =− −
2
2. trouver le nombre qui manque
1−
→
a. −
z = →
u
3
2→
→
−
u
b. t = − −
3
−
→
u
B
2−
→
u
3
C
→
2−
u
→
−3−
u
3−
u
− →
2
A
D
→
−
z
−
→
t
corrigé activité 2
T
S
R
A Q B
M
P
trouver le nombre qui manque :
−−→
−−→
a. AM = 2AB
−→
−−
→
e. AS = −2AB
−→
−−→
b. AP = 4AB
−→
−−
→
f. AT = −3, 5AB
−
→
−→ 1 −
c. AQ = AB
2
−→
−−
→
d. AR = −1AB
−−→
−−→
g. BM = 1AB
−→
−
−→
i. P S = −6AB
−
→
−−→
1−
j. BQ = − AB
2
−−→
−−
→
k. P B = −3AB
−
−→
−
−→
h. BA = −1AB
−→
−−→
l. BT = −4, 5AB
corrigé activité 3
Y
T
V
A
Z
U
X
B
placer les points X, Y, Z, T, U, V et W à partir des égalités vectorielles ci dessous
−−→
−−
→
a. AX = 3AB
−→
−−
→
b. AY = −3AB
−→ 3 −−
→
c. AZ = AB
2
−→ 3 −−
→
e. AV = AB
4
−−→ 4 −−→
f. AW = AX
3
−→
−→
3−
g. AT = − AB
2
−→ 2 −−→
h. AU = AX
3
corrigé activité 4
4→
→
−
−
u est horizontal, de gauche à droite, de longueur 6 cm et →
v =− −
u
3
→
déterminer
le vecteur −
v en direction, sens et longueur
 −
→
→
v a la même direction que celle de −
u





 −
→
→
v a le sens contraire de celui de −
u





4
4
→
→
 ||−
v || = × ||−
u || = × 6 = 8 cm
3
3
W
3.3
à retenir
D
définition 7 : (produit d’un vecteur par un nombre)
quels que soient les points A et B, A 6= B
quel que soit le nombre réel non nul k ∈ R
soit C un point quelconque
soit D tel que :












(
C
A
B
E
−−→
−
−→
CD a pour direction la direction de AB
−−→
CD a pour sens
−−→
−−
→
CD = −2AB
F
−−→
−−
→
EF = 2AB
−−
→
le sens de AB si k > 0
−
−→
le sens contraire de celui de AB si k < 0




(




−
−
→
la longueur de


 CD a pour longueur
la longueur de
−
−
→
AB multipliée par k si k > 0
−
−
→
AB multipliée par −k si k < 0
☎
✞
−−→
−
−→
−−→
−−
→
le vecteur CD est appelé "vecteur produit" de AB par k et on note : ✝CD = kAB ✆
3.4
exercices
exercice 5 :
(a) placer tous les points sur le segment de droite ci dessous sachant que :
→
−−→ 1 −
−→
−→
→
−
→ 4−
−
→
−→
−−
→
−→ 1 −−
1 −−
DB = AB;
AE = − AB;
AI = AB;
AJ = 1, 5AB;
AC = AB;
3
2
2
3
G
A
B
−−→ √ −
−→
AK = 2AB;
H
F
(b) compléter les égalités par les nombres qui manquent en vous aidant de la droite ci dessus :
−→
−−
→
AF = ......AB;
−→
−−
→
AG = ......AB =,
−−→
−−
→
AH = ......AB,
−−→
−−
→
F H = ......AB
exercice 6 :
(a) Soit le segment de droite [AB] ci dessous
A
−→ −−→ −
→
On a pour seul indice que le point G est tel que : GA + GB = 0
Préciser où se trouve alors le point G et placer celui ci
B
(b) Soit le segment de droite [AB] ci dessous
A
−→
−−→ −
→
On a pour seul indice que le point G est tel que : GA + 2GB = 0
→
−→ 2 −−
i. démontrer que l’on a alors AG = AB
3
ii. placer alors le point G sur le segment ci dessus
−→
−−→ −
→
(c) On sait que AB = 14cm et que 3GA + 4GB = 0
−→
−−
→
Exprimer AG en fonction de AB puis faire une figure
B
3.5
interrogation
4
4.1
vecteurs colinéaires, parallélisme de droites et alignement de points.
activités
activité 0 :
D
b
C
B
b
−
→
j
b
b
b
−
A →
i
Le carré et le rectangle contiennent les 4 mêmes pièces (à vérifier)
donc le carré et le rectangle ont la même aire
donc 8 × 8 = 13 × 5
donc 64 = 65
donc 0 = 1
où est l’erreur ?
Aide :
−→
−−→
(a) exprimer les vecteurs AC et AD
→
−
→
−
en fonction des vecteurs i et j (non colinéaires)
−→
−−→
(b) chercher s’il existe un coefficient de proportionnalité entre les deux vecteurs AC et AD
−→
−−→
(c) les vecteurs AC et AD sont-ils colinéaires ?
(d) les points A, C et D sont-ils alignés ?
(e) où est l’explication du paradoxe ci dessus ?
activité 1 :
→
−
−
−
−
−
(a) si −
v = k→
u que peut-on dire des directions de →
u et →
v ? que dire de →
u et →
v ?
(b) on admettra la propriété suivantes :
→
→
quels que soient les vecteurs non nuls −
u et −
v
☎
✞
→
−
→
−
−
→
−
∗ tel que →
u
et
v
sont
colinéaires
⇐⇒
il
existe
un
réel
non
nul
k
∈
R
v
=
k
u
✝
✆
→
−
→
−
i. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires
→
→
montrer dans chaque cas que les vecteurs −
u et −
v sont colinéaires.
→
−
→
−
−
→
→
−
→
→
−
A. −
u =3 i +3j
et
v = i + j
→
−
→
−
−
→
→
−
→
−
→
−
B. u = 5 i − 15 j
et v = 10 i − 30 j
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
C. −
u =4 i +6j
et
v =6 i +9j
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
D. −
u = 8 i − 12 j
et
v = −20 i + 30 j
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
−
E. −
u =3 i −4j
et
v = 9 i − 12 j
→
−
→
−
ii. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires
→
→
montrer que les vecteurs −
u et −
v ne sont pas colinéaires en utilisant un raisonnement
par l’absurde
→
−
→
−
(supposer qu’ils sont colinéaires, exprimer i en fonction de j et conclure)
→ −
−
→
→ −
−
→
→
→
−
A. −
u = i + j
et
v =2i + j
activité 2
(a) Soient les points A 6= B et C 6= D
−
−
→
−−→
si les vecteurs AB et CD sont colinéaires, que dire des droites (AB) et (CD) ?
−→
−→
(b) soient OI et OJ deux vecteurs non colinéaires
déterminer dans chaque cas si les droites (AB) et (CD) sont parallèles en justifiant.
(raisonner par l’absurde si nécessaire)
−
−→ −→ −→
−−→
−→
−→
i. AB = OI + OJ
et
CD = 2OI + 2OJ
−
−→
−→
−→
−−→
−→
−→
ii. AB = 2OI − 4OJ
et
CD = −OI + 2OJ
−
−→
−→
−→
−−→
−→
−→
iii. AB = 15OI − 12OJ
et
CD = −10OI + 8OJ
−
−→
−→
−→
−−→
−→
−→
iv. AB = 2OI + 3OJ
et
CD = 4OI + 7OJ
activité 3 :
−
−
→
−→
(a) si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, que dire des points A, B et C ?
(b) déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés en justifiant.
raisonner par l’absurde si nécessaire.
−
−→ 1 −→
−→
i. AB = OI + 3OJ
2
−→
−
−→ 2 −→
ii. AB = OI − 2OJ
3
−→ 3 −→
−
−→
iii. AB = −OI + OJ
5
−
−→
−→
−→
iv. AB = 4OI + 6OJ
et
−→ −→
−→
AC = OI + 6OJ
et
−→
−→
−→
AC = 4OI − 12OJ
et
et
−→
−→
−→
AC = 5OI − 3OJ
−→
−→
−→
AC = 12OI + 21OJ
4.2
corrige activités
corrigé activité 0 :
D
b
C
B
b
−
→
j
b
b
b
−
A →
i
−→
−−→
(a) exprimer les vecteurs AC et AD
→
−
→
−
en fonction des vecteurs i et ✞j (non colinéaires)
☎ ✞
☎
−→
−−→
→
−
→
−
→
−
→
−
AD = 13 i + 5 j
on lit sur le dessin ci dessus : AC = 8 i + 3 j
✝
✆
✝
✆
−→
−−→
(b) chercher s’il existe un coefficient de proportionnalité entre les deux vecteurs AC et AD
−−→
−→
−
→
(on admettra que les vecteurs AC et AD sont proportionnels si leurs coefficients en i et
−
→
j sont proportionnels)
13
5
= 1, 625 | d’autre part : ≃ 1, 666...
8
3
✟
☛
5
13
6=
donc
8
3 ✠
✡
☎
✞
−→
−−→
donc AC et AD ne sont pas proportionnels
d’une part :
✝
✆
☎
✝
✆
−→
−−→
AC et AD ne sont pas colinéaires
(c) les vecteurs
(d) les points
✞
✞
A, C et D ne sont pas alignés
✝
☎
✆
✞
☎
✝
✆
(e) l’explication du paradoxe ci dessus est qu’il y a un carreau de caché dans la diagone [AD]
corrigé activité 1 :
→
−
−
−
−
−
(a) si −
v = k→
u , on peut dire que →
u et →
v on même direction et que →
u et →
v sont colinéaires
(b) on admettra la propriété suivantes :
→
→
quels que soient les vecteurs non nuls −
u et −
v
☎
✞
→
−
→
−
−
→
−
∗ tel que →
u
et
v
sont
colinéaires
⇐⇒
il
existe
un
réel
non
nul
k
∈
R
v
=
k
u
✝
✆
→
−
→
−
i. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires
→
→
montrer dans chaque cas que les vecteurs −
u et −
v sont colinéaires.
→
−
→
−
−
→
→
−
→
→
−
A. −
u =3 i +3j
et
v = i + j
→ −
−
→
−
→
u = 3( i + j )
→
−
→
u = 3−
v
→
−
→
−
u et v sont colinéaires
→
−
→
−
−
B. →
u = 5 i − 15 j
−
→
→
−
−
et →
v = 10 i − 30 j
→
−
→
−
−
→
v = 2(5 i − 15 j )
→
−
→
v = 2−
u
→
−
→
−
u et v sont colinéaires
→
−
→
−
−
C. →
u =4 i +6j
et
→
−
→
−
−
→
v =6 i +9j
9
6
= 1, 5 et = 1, 5
4
6
→
−
→
v = 1, 5−
u
→
−
→
−
u et v sont colinéaires
→
−
→
−
−
D. →
u = 8 i − 12 j
et
→
−
→
−
−
→
v = −20 i + 30 j
30
−20
= −2, 5 et
= −2, 5
8
−12
→
−
→
v = −2, 5−
u
→
−
→
−
u et v sont colinéaires
→
−
→
−
−
E. →
u =3 i −4j
et
→
−
→
−
−
→
v = 9 i − 12 j
→
−
→
−
−
→
v = 3(3 i − 4 j )
→
−
→
u = 3−
v
→
−
→
−
u et v sont colinéaires
→
−
→
−
ii. soient i et j deux vecteurs non nul et non colinéaires
→
→
montrer que les vecteurs −
u et −
v ne sont pas colinéaires en utilisant un raisonnement
par l’absurde
→
−
→
−
(supposer qu’ils sont colinéaires, exprimer i en fonction de j et conclure)
→ −
−
→
→ −
−
→
→
→
−
A. −
u = i + j
et
v =2i + j
→
→
supposons que −
u et −
v soient colinéaires
→
→
il existe un réel k 6= 0 tel que −
v = k−
u
on remarque que k 6= 2, k 6= 1
on a donc
→ −
−
→
→ −
−
→
2 i + j = k( i + j )
→ −
−
→
→
−
→
−
2 i + j =k i +k j
→
−
→
−
→ −
−
→
2 i −k i =k j − j
→
−
→
−
(2 − k) i = (k − 1) j
k − 1−
→
−
→
j (k 6= 2, k 6= 1)
i =
2−k
donc
→
−
→
−
i et j sont colinéaires
ce qui contredit l’énoncé
→
→
conclusion : −
u et −
v ne sont pas colinéaires
corrige activité 2
(a) Soient les points A 6= B et C 6= D
−
−
→
−−→
si les vecteurs AB et CD sont colinéaires, que dire des droites (AB) et (CD) ?
−
−
→
−→
si les vecteurs AB et AC sont colinéaires
−→
−−
→
les vecteurs AB et AC ont même direction
les droites (AB) et (CD) sont parallèles
(b) soient les points O, I et J non alignés
déterminer dans chaque cas si les droites (AB) et (CD) sont parallèles en justifiant.
(raisonner par l’absurde si nécessaire)
−
−→ −→ −→
−−→
−→
−→
i. AB = OI + OJ
et
CD = 2OI + 2OJ
−−→
−−→
CD = 2AB
−−→
−−
→
CD et AB sont colinéaires
les droites (CD) et (AB) sont parallèles
−
−→
−→
−→
ii. AB = 2OI − 4OJ
−−→
−→
−→
CD = −OI + 2OJ
et
−1
2
= −0, 5 et
= −0, 5
2
−4
→
−−→
1 −−
CD = − AB
2
−−→
−−
→
CD et AB sont colinéaires
les droites (CD) et (AB) sont parallèles
−
−→
−→
−→
iii. AB = 15OI − 12OJ
et
−−→
−→
−→
CD = −10OI + 8OJ
2
8
2
−10
= − et
=−
15
3
−12
3
→
−−→
2 −−
CD = − AB
3
−−→
−−
→
CD et AB sont colinéaires
les droites (CD) et (AB) sont parallèles
−
−→
−→
−→
iv. AB = 2OI + 3OJ
et
−−→
−→
−→
CD = 4OI + 7OJ
on raisonne par l’absurde
−
−
→
−−→
supposons que AB et CD soient colinéaires
−−→
−
−→
il existe un réel k 6= 0 tel que CD = kAB
7
on remarque que k 6= 2, k 6=
3
on a donc
−→
−→
−→
−→
4OI + 7OJ = k(2OI + 3OJ )
−→
−→
−→
−→
4OI + 7OJ = 2kOI + 3kOJ
−→
−→
−→
−→
4OI − 2kOI = −7OJ + 3kOJ
−→
−→
(4 − 2k)OI = (3k − 7)OJ
−→ 3k − 7 −→
7
OJ (k 6= 2, k 6= )
OI =
4 − 2k
3
donc
−→
−→
OI et OJ sont colinéaires
ce qui contredit l’énoncé
−−
→
−−→
donc AB et CD ne sont pas colinéaires
donc (AB) et (CD) ne sont pas parallèles
corrige activité 3 :
−
−
→
−→
(a) si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, que dire des points A, B et C ?
(AB) et (AC) sont parallèles
A, B et C sont alignés.
(b) déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés en justifiant.
raisonner par l’absurde si nécessaire.
−
−→ 1 −→
−→
−→ −→
−→
i. AB = OI + 3OJ
et
AC = OI + 6OJ
2
−
−→ 1 −→
AB = AC
−
−→ 2−→
AB et AC sont colinéaires
les points A, B et C sont alignés.
−
−→ 2 −→
−→
−→
−→
−→
ii. AB = OI − 2OJ
et
AC = 4OI − 12OJ
3
−
−→ 1 −→
AB = AC
−
−→ 6−→
AB et AC sont colinéaires
les points A, B et C sont alignés.
−→
−→
−→
−
−→
−→ 3 −→
et
AC = 5OI − 3OJ
iii. AB = −OI + OJ
5
−
−→
1 −→
AB = − AC
5
−
−→
−→
AB et AC sont colinéaires
les points A, B et C sont alignés.
−
−→
−→
−→
iv. AB = 4OI + 6OJ
et
−→
−→
−→
AC = 12OI + 21OJ
on raisonne par l’absurde
−
−
→
−→
supposons que AB et AC soient colinéaires
−→
−−
→
il existe un réel k 6= 0 tel que AC = kAB
21
on remarque que k 6= 3, k 6=
6
on a donc
−→
−→
−→
−→
12OI + 21OJ = k(4OI + 6OJ )
−→
−→
−→
−→
12OI + 21OJ = 4kOI + 6kOJ
−→
−→
−→
−→
12OI − 4kOI = −21OJ + 6kOJ
−→
−→
(12 − 4k)OI = (6k − 21)OJ
−→ 6k − 21 −→
21
OI =
OJ (k 6= 3, k 6= )
12 − 4k
6
donc
−→
−→
OI et OJ sont colinéaires
ce qui contredit l’énoncé
−−
→
−→
donc AB et AC ne sont pas colinéaires
donc (AB) et (AC) ne sont pas parallèles
donc A, B et C ne sont pas alignés
4.3
à retenir
propriété 7 : (vecteurs colinéaires)
→
−
→
−
→
→
quels
que soient les vecteurs non nuls −
u 6= 0 et −
v 6= 0
☎
✞
→
−
→
−
→
u et −
v sont colinéaires ⇐⇒ il existe un réel non nul k ∈ R∗ tel que →
v = k−
u
✝
✆
démonstration (cette propriété est admise)
propriété 8 : (droites parallèles)
quels
que soient les points A 6= B et C 6= D
✞
☎
✝
✆
−
−→
−−→
les droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇐⇒ AB et CD sont colinéaires
démonstration (cette propriété est admise)
A
C
−−→
CD
−−
→
AB
B
D
propriété 9 : (points alignés)
quels
que soient les points A 6= B et A 6= C
✞
☎
−
−→
−→
les points A, B et C sont alignés ⇐⇒ AB et AC sont colinéaires
✝
✆
démonstration (cette propriété est admise)
4.4
A
−−
→
AB
−→
AC
B
exercices
exercice 7 : : (39bis page 239)
C
−−→
−→
−−→
ABC est un triangle et M est le point tel que M B = 3CA + 4M A
(a) essayer de faire une figure et remarquer qu’il n’est pas aisé de placer le point M car il
apparaît dans deux vecteurs
(b) i. en utilisant la relation de Chasles, démontrer que :
−→
−−→
−→
−−→
−−→ −→ 4 −
M B = 3CA + 4M A ⇐⇒ BM = CA + BA
3
ii. construire grâce à cette nouvelle égalité le point M sur la figure
exercice 8 : : (41bis page 239)
ABC est un triangle.
−−→ 2 −→
−→ 3 −
−→
D et E sont des points tels que AD = AC et AE = AB
3
2
(a) faire une figure.
(b) que semble t-il pour les droites (DB) et (CE) ?
−→ −→
−−→ 3 −
(c) i. en utilisant la relation de Chasles et les hypothèses, démontrer que : CE = AB − AC
2
−−→ −
−
→ 2 −→
ii. de même, montrer que : DB = AB − AC
3
−−→ 3 −−→
iii. démontrer que CE = DB
2
−−→
−−→
iv. qu’en déduire pour les vecteurs CE et DB ?
puis pour les droites (CE) et (DB) ?
4.5
corrigés exercices
exercice 7 : (39bis page 239)
−−→
−→
−−→
ABC est un triangle et M est le point tel que M B = 3CA + 4M A
−−→
−→
−−→
(a) M B = 3CA + 4M A
−
→
−−→ −
−→
−−→
⇐⇒ M B = 3CA + 4(M B + BA)
(Chasles)
−−
→
−−→
−→
−−→
⇐⇒ M B = 3CA + 4M B + 4BA
(distributivité)
−−→
−−→
−→
−−
→
⇐⇒ M B − 4M B = 3CA + 4BA
(résolution)
−−→
−→
−−
→
⇐⇒ −3M B = 3CA + 4BA
(résolution)
1
−−→
1
−→
−
−→
× (3BM ) = × (3CA + 4BA)
(résolution)
3
3
−−→ −→ 4 −
−→
⇐⇒ BM = CA + BA
(résolution)
3
⇐⇒
☛
✟
−−→ −→ 4 −−
→
⇐⇒ M B = CA + BA
3
✡
✠
(b) on construit grâce à cette nouvelle égalité le point M sur une figure.
C
b
A
M
b
b
4−
−
→
BA
3
b
B
b
b
−→
CA
exercice 8 : : (41bis page 239)
ABC est un triangle.
−−→ 2 −→
−→ 3 −
−→
D et E sont des points tels que AD = AC et AE = AB
3
2
(a) figure.
C
b
D
−−→
CE
b
b
−−→
DB
A
B
b
b
E
b
(b) (DB) et (CE) semblent parallèles
−−→ 3 −
−
→ −→
(c) i. en utilisant la relation de Chasles et les hypothèses, démontrons que : CE = AB − AC
2
−−→ −→ −→
CE = CA + AE
(Chasles)
→
−−→ −→ 3 −−
CE = CA + AB
2
−−→ 3 −−
→ −→
CE = AB + CA
2
☛
(Hypothèses)
(Commutativité)
✟
−
→ −→
−−→ 3 −
CE = AB − AC
2
✡
✠
(vecteurs opposés)
−−→ −−
→ 2 −→
ii. de même, montrons que : DB = AB − AC
3
−
→
−−→ −−→ −
(Chasles)
DB = DA + AB
−−→
−−→ −−
→
DB = −AD + AB
(vecteurs opposés)
−−→
→
2 −→ −−
DB = − AC + AB
3
( Hypothèses)
−−→ −
−
→ 2 −→
DB = AB − AC
3
✡
✠
(Commutativité)
☛
✟
−−→ 3 −−→
iii. démontrons CE = DB
2
3
3
d’une part : 2 =
1
2
−1
1
3
d’autre part :
= =
2
2
3
−
3
3
3
3
=
2
2
☛
✟
−−→ 3 −−→
donc CE = DB
2
✡
✠
☎
✞
−−→
−−→
iv. on en déduit que✞les vecteurs ✝CE et DB sont ☎colinéaires ✆
donc les droites (CE) et (DB) sont parallèles
✝
✆
4.6
interrogation
5
évaluations
6
devoir maison
6.1
corrigé devoir maison 1
6.2
corrigé devoir maison 2
7
7.1
tp
tp 1
tp : logiciels et vecteurs
nom, prénom : ...
buts :
— utiliser le logiciel géogebra
— conjecturer des résultats
— faire des démonstrations de certaines conjectures
situation :
on construit au hasard un quadrilatère quelconque ABCD
on construit le quadrilatère des milieux EF GH
bien que ABCD ait été construit au hasard,
il semble que EF GH ne soit pas quelconque,
qu’en est-il vraiment ?
B
E
A
F
H
C
D
G
1. lancer le logiciel geogebra
2. construire un quadrilatère quelconque ABCD
(utiliser le menu) (polygone, puis cliquer dans la figure à 4 endroits et fermer le polygone
en cliquant sur le premier point)
3. construire le milieu E du segment [AB]
(
4. construire de même les milieux F, G et H de respectivement [BC] , [CD] et [DA] dans cet
ordre
5. construire le quadrilatère EF GH
6. sélectionner le point A puis le déplacer et observer le quadrilatère EF GH
(quelle semble toujours être la nature de EF GH ? : ...
7. construire le segment [AC]
(
8. afficher les longueurs des segments [AC] et [EF ]
(
9. entrer dans la barre de saisie (en bas) la commande : rapport = e/i
quel résultat obtient-on à gauche dans la barre d’algèbre ? : rapport = ...
à quoi correspond ce nombre concrètement ? :
...
−→
−−→
10. construire les vecteurs AC et EF
dessiner ci contre le bouton à trouver dans le menu ...
−−→
−→
11. déplacer le point A et observer les vecteurs AC et EF
−→
−−→
les vecteurs AC et EF semblent-ils colinéaires ? ...
−→
−−→
−−→
−→
quel semble-être le rapport de proportion entre AC et EF ? : EF = ...AC
12. compléter le schéma de démonstration
E milieu de [AB]
EF = 1/2AC et (EF)//(AC)
F milieu de [BC]
théorème de la droite des ...
G...
HG= ...
H...
théorème ...
−−→
EF = ...
dans
−−→
EF = ...
−−→
HG = ...
EF GH...
13. trouver le bouton qu’il faut dans le menu et tracer la droite (BD)
14. déplacer le point A pour que les points E, F, G et H soient alignés
15. activer la trace de A ( clic droit sur A puis cocher "Trace activée")
16. déplacer le point A de façon telle à ce que les points E, F, G et H restent alignés et observer
la trace laissée par A
préciser au maximum quel semble être le lieu géométrique décrit par A ? (cercle, droite,
courbe quelconque, ... )
: ...
17.(a) démontrer ci dessous (par un schéma de démonstration) que :
−−→
−→
si E, F, G et H sont alignés alors DB et AC sont colinéaires
−−→
−−→
(aide : montrer que si E, F, G et H sont alignés alors HE et EF sont colinéaires)
(b) en déduire que A est sur la parallèle à (DB) passant par C
18. réciproquement, démontrer ci dessous (par un schéma de démonstration) que :
si A est sur la parallèle à (DB) passant par C alors E, F, G et H sont alignés
19. en déduire le lieu décrit par A et construire ce lieu en trouvant les boutons à utiliser avec
géogébra
7.2
corrigé tp1
8
annexes
−−
→
−−→ −−→
−→ −−→
−
→
u = AB + CD - CB + EA - ED
−−
→
−−→
−−→
−→ −−→
−
→
u = AB + CD + BC + EA +DE
−−
→ −−→
−−→
−−→
−→
−
→
u = AB +BC + CD + DE + EA
−→
−−→
−→
−
→
u = AC + CE + EA
−→
−→
−
→
u = AE + EA
−→
−
→
u = AA
→
−
−
→
u = 0
9
9.1
logique
Activité 1 : (cause ou conséquence )
1. compléter les phrases ci dessous
( utiliser chaque môt ou combinaison de môts de la liste une et une seule fois)
Liste :
car / donc / par conséquent / du fait que / vient de ce que / sachant que / est la
conséquence de / d’où / résulte de ce que / par conclusion / alors
−
−
(a) →
u et →
v ont même direction
...
−
−
(b) →
u et →
v ont des sens opposés
...
−
−
(c) →
u et →
v ont des sens opposés
−−
→ −−→
(d) AB = CD
−
→
−
u et →
v ont même sens
−
→
−
u et →
v ont même direction
...
...
(AB)//(CD)
(f ) AB = CD
...
−−
→ −−→
AB = CD
−−
→ −−→
AB = CD
−−
→ −−→
(g) AB = CD
...
AB = CD
(e) (AB)//(CD)
−−
→ −−→
(h) AB = CD
...
...
ABDC est un parallélogramme
(i) ABDC est un parallélogramme
(j) I est le milieu de [AB]
−
→ −→
(k) AI = IB
−
→
−
u et →
v sont opposés
−
→ −→
AI = IB
...
...
−
−
→ −−→
AB = CD
...
I est le milieu de [AB]
2. classer les môts ou combinaisons de môts de la liste ci dessous dans les catégories
Liste :
car... / donc... / par conséquent... / du fait que... / vient de ce que... / sachant que...
/ est la conséquence de... / d’où... / résulte de ce que... / par conclusion... / alors...
mais aussi... / dont...
introduit une conséquence
introduit une cause
aucune des deux
−→
−−
→
AC = kAB
−−→
−
−→
AD = kAB
−−
→
−→
AE = kAB
−−
→
−→
AF = kAB
−→
−−
→
AG = kAB
−−→
−
−→
AH = kAB
−−→
−−
→
AK = kAB
−→
−
−→
AL = kAB