dérivation vectorielle coordonnées cylindriques et sphériques

DÉRIVATION VECTORIELLE
COORDONNÉES CYLINDRIQUES ET SPHÉRIQUES
I. DÉRIVATION VECTORIELLE
I.1Définition
G G G
G G G
Soit ( e1 , e2 , e3 ) une base orthonormée directe. Soit ℜ = ( O, e1 , e2 , e3 ) un référentiel.
G G G
On considère un vecteur quelconque qui dépend du temps t. On projette ce vecteur dans la base ( e1 , e2 , e3 ) :
G
G
G
G
A ( t ) = x1 ( t ) e1 + x2 ( t ) e2 + x3 ( t ) e3
G
Par définition, la dérivée de A ( t ) par rapport au temps t et relativement au référentiel ℜ est :
G
 dA 
G
G
G

 = x1e1 + x2 e2 + x3 e3
 dt  ℜ
G G G
Rappels : les vecteurs ( e1 , e2 , e3 ) sont fixes dans le référentiel ℜ .
I.2 Propriétés
G G
G
G
 d A+ B 

 =  dA  +  dB 
 dt   dt 


dt
ℜ
ℜ 

ℜ 
G
G
 d λA 

 = λ  dA  si λ est un réel constant.
 dt 
 dt 

ℜ

ℜ
(
)
( )
I.3 Dérivée d’un produit scalaire
G G
G
G
 d (u ⋅ v ) 
G  dv 
G  du 

 = u ⋅   + v ⋅ 

 dt ℜ
 dt ℜ
 dt ℜ
I.4 Dérivée d’un produit vectoriel
G G
G
G
 d (u ^ v ) 
 du  G G  dv 
+
^
^
v
u

 = 

 dt 
 ℜ
 dt ℜ  dt ℜ
Attention : l’ordre des vecteurs est impératif.
I.5 Conclusion
G
La dérivée d’un vecteur A ( t ) par rapport au temps dépend du référentiel.
G
G
 dA 
 dA 
On verra plus tard la relation entre 
 et 
 .
 dt ℜ
 dt  ℜ '
G
 dA 
S’il n’y a aucune ambiguïté dans l’exercice, on peut oublier la notation ℜ et écrire 
 .
 dt 
En mécanique, tous les vecteurs peuvent varier a priori. On utilisera les mêmes règles de dérivation qu’avec des
fonctions. Dans les chapitres qui suivront, on travaillera dans un seul référentiel par contre, on projettera le résultat (par
exemple le vecteur vitesse) dans telle ou telle base de projection (base des coordonnées cartésiennes, cylindriques et
sphériques).
G
G
G
G
d (α ( t ) u + β ( t ) v )
G
du G
dv
= α u + α
+βv+β
dt
dt
dt
G
G
 dA 
G
G
G
G G G
G
G
G
Si ℜ = ( O, e1 , e2 , e3 ) et A ( t ) = x1 ( t ) e1 + x2 ( t ) e2 + x3 ( t ) e3 , on retrouve facilement 
 = x1e1 + x2 e2 + x3 e3 puisque
t
d

ℜ
G G G
( e1 , e2 , e3 ) est fixe dans ℜ .
Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103)
Page 1 sur 5
JN Beury
II. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
G G G
On considère un point M et le référentiel ℜ = ( O ; u x , u y , u z ) . Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le
référentiel ℜ .
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) .
−∞ < x, y, z < ∞
JJJJG
G
G
G
OM = xu x + yu y + zu z
JJJJG
G
G dOM dl
G
G
G dx G dy G dz G
x + yu
y + zu
z = ux + u y + uz
v=
=
= xu
dt
dt
dt
dt
dt
G JJJJJG
G
G
G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = dxu x + dyu y + dzu z .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit : dτ = dx dy dz .
x = cte : dS x = dy dz
y = cte : dS y = dx dz
z = cte : dS z = dx dy
III. COORDONNÉES CYLINDRIQUES OU SEMI-POLAIRES
III.1 Définition
G G G
On considère un point M et le référentiel ℜ = ( O ; u x , u y , u z ) . Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le
référentiel ℜ . Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) .
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle important dans l’exercice.
On définit le point H projeté orthogonal de M sur l’axe Oz et le
point m projeté orthogonal de M dans le plan Oxy.
H
G
On définit le vecteur radial ur dirigé de O vers m.
G
G G G
On définit le vecteur orthoradial uθ tel que la base ( ur , uθ , u z )
soit orthonormée directe.
JJJJG JJJG JJJJG
G
G
On a alors OM = Om + mM = rur + zu z
m
Pour recouvrir l’espace une seule, on astreint ces coordonnées à rester dans les intervalles :
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , −∞ < z < +∞
En physique, on a toujours r ≥ 0.
Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103)
Page 2 sur 5
JN Beury
 x = r cos θ

On peut passer facilement des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes :  y = r sin θ
z = z

Si z = 0, le mouvement est plan. On dit que l’on a des coordonnées polaires.
On retient par cœur :
JJJJG
G
G
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) . On a : OM = rur + zu z
Remarque : ne pas rajouter une coordonnée suivant le vecteur orthoradial !!! On retrouve cette formule avec le schéma et la
relation de Chasles.
III.2 Base des coordonnées cylindriques
G G G
À chaque instant t, on a donc une base orthonormée directe ( ur , uθ , u z ) . On verra que cette base de projection sera très
pratique à utiliser dans les exercices où la distance à un axe joue un rôle important.
G
Soit A un vecteur quelconque.
Ce vecteur quelconque peut être projeté dans :
G
G
G
G
G
• la base des coordonnées cartésiennes. A a pour coordonnées ( Ax , Ay , Az ) . On a alors : A = Ax u x + Ay u y + Az u z
G
• la base des coordonnées cylindriques. A a pour coordonnées ( Ar , Aϑ , Az ) . Ar est appelée coordonnée radiale,
G
G
G
G
Aθ est appelé coordonnée orthoradiale. On a alors : A = Ar ur + Aθ uθ + Az u z
III.3 Dérivation des vecteurs unitaires
G
G
Comment dériver ur et uθ par rapport au temps dans le référentiel ℜ ? La méthode est de projeter dans ce référentiel et
de calculer la dérivée des différentes composantes.
G
G
G
ur = cos θ u x + sin θ u y
On a donc :  G
G
G
uθ = − sin θ u x + cos θ u y
G
G
du r
G
G
G
 dur 
=
= −θ sin θ u x + θ cos θ u y = θ uθ
 dt 
dt

ℜ
G
G
duθ
G G
 duθ 
G
 dt  = dt = −θ cos θ u x − θ sin θ u y = −θ ur

ℜ
G
G
G  duθ 
 dur 
G
 dt  = θ uθ ;  dt  = −θ ur

ℜ

ℜ
Il faut connaître par cœur le résultat et surtout la méthode consistant à projeter dans une base de projection fixe
dans le référentiel ℜ .
III.4 Vitesse du point M et déplacement élémentaire
JJJJG
G
G
du
d G
dθ G dz G
G
G dOM dl
G
G
G dr G
r + r r + zu
z = ur + r
=
= ( rur + zu z ) = ru
v ( M )ℜ = v =
uθ + u z
dt
dt dt
dt
dt
dt
dt
G
G
dl dr G
dθ G dz G
G
G
G
uθ + u z , on a : dl = drur + rdθ uθ + dzu z
= ur + r
Comme
dt dt
dt
dt
Interprétation graphique :
• Si θ et z sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace
G
G
G
parallèlement à ur de dr. On retrouve donc : dl = drur .
•
Si r et z sont fixés. On fait varier θ de dθ . Le point M se déplace
G
parallèlement à uθ sur le cercle de centre H et de rayon r. Comme la
variation d’angle vaut dθ , le déplacement est donc rdθ , d’où
G
G
dl = rdθ uθ
•
Si r et θ sont fixés. On fait varier z de dz. Le point M se déplace
G
G
G
parallèlement à u z de dz. On retrouve donc : dl = dzu z
Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103)
Page 3 sur 5
JN Beury
dθ G dz G
G dr G
uθ + u z
La vitesse du point M vaut : v = ur + r
dt
dt
dt
G JJJJJG
G
G
G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + dzu z .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
Ces résultats sont à connaître par cœur et peuvent s’en déduire graphiquement.
G
G
G
ur est dans le sens des r croissants. De même pour uθ et u z dans le sens des θ et z croissants.
On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( dz ) .
r = cte : dS r = rdθ dz
θ = cte : dSθ = dr dz
z = cte : dS z = dr rdθ
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.
2
2
 dr 
 2dr 
2
π ( r + dr ) H − π r 2 H = π r 2  1 +  H − π r 2 H = π r 2  1 +
 H − π r H = 2π rdrH
r 
r 


Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre de
rayon r et de hauteur H multipliée par dr : dτ = 2π rdrH
IV. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
IV.1 Définition
G G G
On considère un point M et le référentiel ℜ = ( O ; u x , u y , u z ) . Toutes les vitesses et déplacements sont calculés dans le
référentiel ℜ . Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , ϕ ) .
On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans l’exercice.
m•
JJJJG
G
G
On appelle r la distance OM. Soit ur le vecteur unitaire dirigé de O vers M. On a alors : OM = rur .
G JJJG
G JJJJG
Soit m le projeté orthogonal de M dans le plan Oxy. On définit ϕ = u x , Om et θ = u z , OM
G G G
On définit donc 3 vecteurs unitaires ( ur , uθ , uϕ ) .
G
G
G
ur est dans le sens des r croissants. De même pour uθ et uϕ dans le sens des θ et ϕ croissants.
(
)
(
)
Géographie terrestre :
G
ur est dirigé selon la verticale ascendante du lieu.
G
uθ est dirigé vers le sud.
G
uϕ est dirigé vers l’est.
θ est appelé la colatitude. ϕ est la longitude.
Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103)
Page 4 sur 5
JN Beury
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
JJJJG
G
OM = rur
 x = r sin θ cos ϕ

 y = r sin θ sin ϕ
 z = r cos θ

IV.2 Dérivation des vecteurs unitaires
G
• Soit u le vecteur unitaire dirigé de O vers m.
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
On a : ur = cos θ k + sin θ u avec u = cos ϕ u x + sin ϕ u y . D’où ur = cos θ k + sin θ cos ϕ u x + sin θ sin ϕ u y
•
Si on remplace θ par θ +
π
G
G
, remplace ur par uθ .
2
G
G
G
π G
π
π



On a donc : uθ = cos  θ +  k + sin  θ +  cos ϕ u x + sin  θ +  sin ϕ u y , d’où
2
2
2



G
G
G
G
uθ = − sin θ k + cos θ cos ϕ u x + cos θ sin ϕ u y
G
G
G
π G
π G


On a : uϕ = cos  ϕ +  u x + sin  ϕ +  u y = − sin ϕ u x + cos ϕ u y
2
2




G
G
dur
G
G
G
•
= −θ sin θ k + θ cos θ cos ϕ u x − ϕ sin θ sin ϕ + θ cos θ sin ϕ u y + ϕ sin θ cos ϕ u y
dt
G
dur
G
G
= θuθ + ϕ sin θ uϕ
On a donc :
dt
•
IV.3 Vitesse du point M et déplacement élémentaire
JJJJG
G
G
G
d ( ur )
dr G
dθ G
dϕ G
G dOM dl d ( rur )
G
G
G
G
r +r
r + rθuθ + r sin θϕ uϕ = ur + r
v=
uθ + r sin θ
uϕ
=
=
= ru
= ru
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Interprétation graphique :
G
• Si θ et ϕ sont fixés. On fait varier r de dr. Le point M se déplace parallèlement à ur de dr. On retrouve donc :
G
G
dl = drur .
G
• Si r et ϕ sont fixés. On fait varier θ de dθ . Le point M se déplace parallèlement à uθ sur le cercle de centre O et
G
G
de rayon r. Comme la variation d’angle vaut dθ , le déplacement est donc rdθ , d’où dl = rdθ uθ
G
• Si r et θ sont fixés. On fait varier ϕ de dϕ . Le point m se déplace parallèlement à uϕ sur le cercle de centre O et
de rayon Om = r sin ϕ . Comme la variation d’angle vaut dϕ , le déplacement est donc r sin ϕ dϕ , d’où
G
G
dl = r sin θ dϕ uϕ
G JJJJJG
G
G
G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
Ces résultats sont à connaître par cœur et peuvent s’en déduire graphiquement.
G
G
G
ur est dans le sens des r croissants. De même pour uθ et uϕ dans le sens des θ et ϕ croissants.
On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( r sin θ dϕ ) .
r = cte : dS r = ( rdθ )( r sin θ dϕ )
θ = cte : dSθ = ( dr )( r sin θ dϕ )
ϕ = cte : dSϕ = dr rdθ
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr.
3
4
4
4
4
3
 dr  4
 3dr  4 3
2
π ( r + dr ) − π r 3 = π r 3 1 +  − π r 3 = π r 3 1 +
 − π r = 4π r dr
3
3
3
3
3
3
r
r




Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère de
rayon r multipliée par dr : dτ = 4π r 2 dr
Q Dérivation vectorielle – Bases de projection (33-103)
Page 5 sur 5
JN Beury