COORDONNÉES CARTÉSIENNES, CYLINDRIQUES, SPHÉRIQUES

COORDONNÉES CARTÉSIENNES,
CYLINDRIQUES, SPHÉRIQUES
G G G
On considère un point M et le référentiel ℜ = ( O ; u x , u y , u z ) . Toutes les vitesses et déplacements dans ce
chapitre sont calculés dans le référentiel ℜ .
I. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) .
−∞ < x, y, z < ∞
JJJJG
G
G
G
OM = xu x + yu y + zu z
JJJJG
G
G dOM dl
G
G
G dx G dy G dz G
x + yu
y + zu
z = ux + u y + uz
v=
=
= xu
dt
dt
dt
dt
dt
G JJJJJG
G
G
G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = dxu x + dyu y + dzu z .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit : dτ = dx dy dz .
x = cte : dS x = dy dz
y = cte : dS y = dx dz
z = cte : dS z = dx dy
II. COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) .
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle important dans
l’exercice.
Q Systèmes de coordonnées (35-500)
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JN Beury
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , −∞ < z < +∞
JJJJG
G
G
OM = rur + zu z
 x = r cos θ

 y = r sin θ
z = z

JJJJG
G
dθ G dz G
G dOM dl
G
G
G dr G
r + rθuθ + zu
z = ur + r
=
= ru
v=
uθ + u z
dt
dt
dt
dt
dt
G JJJJJG
G
G
G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + dzu z .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( dz ) .
r = cte : dS r = rdθ dz
θ = cte : dSθ = dr dz
z = cte : dS z = dr rdθ
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.
2
2
 dr 
 2dr 
2
π ( r + dr ) H − π r 2 H = π r 2  1 +  H − π r 2 H = π r 2  1 +
 H − π r H = 2π rdrH
r 
r 


Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre
de rayon r et de hauteur H multipliée par dr : dτ = 2π rdrH
III. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , ϕ ) .
On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans
l’exercice.
Géographie terrestre :
G
ur est dirigé selon la verticale ascendante du lieu.
G
uθ est dirigé vers le sud.
G
uϕ est dirigé vers l’est.
θ est appelé la colatitude. ϕ est la longitude.
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π
JJJJG
G
OM = rur
 x = r sin θ cos ϕ

 y = r sin θ sin ϕ
 z = r cos θ

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JJJJG
G
dr G
dθ G
dϕ G
G dOM dl
G
G
G
r + rθuθ + r sin θϕ uϕ = ur + r
=
= ru
v=
uθ + r sin θ
uϕ
dt
dt
dt
dt
dt
G JJJJJG
G
G
G
Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ .
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( r sin θ dϕ ) .
r = cte : dS r = ( rdθ )( r sin θ dϕ )
θ = cte : dSθ = ( dr )( r sin θ dϕ )
ϕ = cte : dSϕ = dr rdθ
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr.
3
4
4
4
4
3
 dr  4
 3dr  4 3
2
π ( r + dr ) − π r 3 = π r 3 1 +  − π r 3 = π r 3 1 +
 − π r = 4π r dr
3
3
3
r  3
3
r  3


Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère
de rayon r multipliée par dr : dτ = 4π r 2 dr
IV. PRODUIT VECTORIEL AVEC UNE BASE ORTHONORMÉE DIRECTE
G G
On a souvent besoin dans les exercices de calculer u z ^ uθ dans les exercices.
G G G G G G
Un moyen mnémotechnique est d’écrire les 6 vecteurs unitaires à la suite : ur , uθ , u z , ur , uθ , u z .
G G G
G G G
G
G G
Si on a trois vecteurs unitaires en suivant, alors u3 = u1 ^ u2 : ur = uθ ^ u z ou uθ = u z ^ ur
G G
G
Sinon, il faut mettre un signe négatif : u z ^ uθ = −ur
C’est très pratique à utiliser sans être obligé d’utiliser en permanence les trois doigts de la main !!!
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