Exercices de rentrée MPSI-PCSI - Lycée Saint

Transcription

Exercices de rentrée
MPSI-PCSI
Lycée Saint-Louis
2015-2016
Introduction
Cette feuille d’exercices s’adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée SaintLouis.
Il s’agit d’exercices qui sont entièrement au programme de mathématiques de terminale (voire
de première). Il est en effet inutile de commencer le programme de classes préparatoires avant la
rentrée. Par contre, il est indispensable de consolider les acquis du lycée.
Ce sont des exercices de mathématiques qui ont pour objectif d’être à la fois utiles pour les
mathématiques et la physique. Certains exercices sont constitués de calculs extrêmement basiques
mais sur lesquels les étudiants ont l’habitude de faire des erreurs. D’autres exercices utilisent des
notions plus compliquées.
Les exercices sont classés en quatre catégories :
– Les exercices d’échauffement : il s’agit d’exercices basiques qui doivent être traités en respectant l’indication de temps afin d’acquérir plus de rapidité dans la résolution. Ces exercices
doivent être parfaitement maîtrisés. Il peut donc être profitable de les recommencer en cas
d’erreur ou de non respect de la durée indiquée.
– Les exercices corrigés : ils sont accompagnés d’une correction rédigée. Il ne faut pas vérifier
uniquement la validité du résultat obtenu, mais également la manière de rédiger afin de
commencer à repérer les différences entre la rédaction demandée au lycée et celle demandée
en MPSI ou en PCSI.
– Les exercices à préparer : ils sont accompagnés d’indications et ce sont les exercices sur
lesquels il faut accentuer ses recherches, quitte à ne pas travailler les exercices supplémentaires.
– Les exercices supplémentaires : ils sont également accompagnés d’indications et sont destinés aux élèves qui ont assez de temps pour les travailler.
Il est indispensable de se remettre au travail avant la rentrée afin d’être prêt à démarrer
directement au rythme d’une classe préparatoire. Il est donc vivement conseillé de travailler les
exercices de cette feuille au moins deux semaines avant la rentrée, et en cas de difficultés, de
consulter son cours ou un livre afin de combler ses lacunes. Cependant il n’est pas obligatoire de
réussir à faire tous les exercices, le but de cette feuille est, principalement, d’aborder sereinement
la rentrée.
Nous remercions Florence Rasle pour sa relecture précise et ses remarques constructives.
Si vous remarquez des erreurs dans cette feuille, merci de les signaler à l’adresse suivante :
[email protected]
1
Table des matières
I
Exercices
3
1 Résolution d’équations et d’inéquations
4
2 Puissances et suites géométriques
8
3 Récurrences
11
4 Géométrie plane et trigonométrie
15
5 Dérivation et intégration
20
6 Formules de trigonométrie
23
7 Fonctions cosinus et sinus
26
8 Nombres complexes
29
II
32
Indications et corrections
9 Indications et solutions
33
10 Corrections
43
2
Première partie
Exercices
3
Chapitre 1
Résolution d’équations et
d’inéquations
Echauffement : 20 minutes
1. Soient a, b ∈ R∗ tels que a 6= b. Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R∗ :
1 1
1
+ = .
x b
a
2. Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x ∈ R :
(a) 2x + 4 ≤ 3,
(b) 3 − 2x > 5,
(c) |2x − 5| < 13,
(d) |3 − 4x| ≥ 17.
3. Résoudre les équations suivantes d’inconnue x ∈ R :
(a) 2x2 − 14x + 24 = 0,
(b) 3x2 − 12x + 12 = 0,
(c) x2 − 2x + 2 = 0.
Indications p 33
Exercice corrigé
1. (a) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
7
3x + 1
=− .
6x − 3
6
(b) Résoudre l’inéquation d’inconnue x ∈ R :
3x + 1
7
≤− .
6x − 3
6
4
(c) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
2
3x + 1
≤ 16.
6x − 3
2. Soient a, b, c ∈ R tels que a 6= 0. Soit :
f: R
x
→ R
7
→
ax2 + bx + c.
(a) Montrer que la courbe représentative de f admet un extremum (c’est-à-dire un maxib
mum ou un minimum) au point d’abscisse x = − .
2a
(b) Déterminer lim f (x) et lim f (x).
x→+∞
x→−∞
On étudiera différents cas en fonction du signe de a.
(c) On considère les courbes suivantes :
Déterminer, en justifiant la réponse, les courbes qui correspondent aux valeurs :
i. a = 2, b = −4, c = 2,
ii. a = −2, b = 4, c = −2,
iii. a = 1, b = 2, c = 1,
iv. a = 1, b = 2, c = 2,
v. a = 1, b = 2, c = 12 .
Correction p 43
Exercice à préparer
1. Soient a, b, c, d ∈ R tels que a 6= 0 et d 6= 0.
On considère l’équation d’inconnue x ∈ R :
(a − x)(d − x) − bc = 0.
5
(a) Donner une condition sur a, b, c, d pour que cette équation admette deux racines réelles
distinctes.
(b) On considère l’équation d’inconnue x ∈ R :
(2 − x)(1 − x) − 6 = 0.
Montrer que cette équation admet deux racines distinctes et déterminer ses racines
que l’on notera r1 et r2 avec r1 > r2 .
On pose :
x0 = 2, y0 = 1,
pour tout n ∈ N, xn+1 = 2x2 − 3yn , yn+1 = −2xn + yn ,
pour tout n ∈ N, Xn = xn − yn , Yn = 2xn + 3yn .
(c) Montrer que, pour tout n ∈ N,
Xn = r1n et Yn = 7r2n .
(d) En déduire, pour n ∈ N, les valeurs de xn et de yn en fonction de n.
2. Soient a, b, c ∈ R tels que a 6= 0.
On considère l’équation d’inconnue x ∈ R :
ax2 + bx + c = 0.
(a) Donner une condition sur a, b, c pour que cette équation admette au moins une racine
r ∈ R.
On suppose dorénavant que cette condition est vérifiée.
(b) On pose :
f: R
x
→ R
7
→
erx .
Sans calculer r, montrer que, pour tout x ∈ R :
af 00 (x) + bf 0 (x) + cf (x) = 0.
(c) On pose :
g: R
x
→ R
7
→
xerx .
Quelle relation a, b, c doivent-ils vérifier pour que, pour tout x ∈ R :
ag 00 (x) + bg 0 (x) + cg(x) = 0.
Indications p 33
Exercice supplémentaire
1. On considère l’équation (E1 ) d’inconnue x ∈ R :
x3 − 8x2 + 17x − 10 = 0.
(a) Montrer que 1 est solution de (E1 ).
6
(E1 )
(b) Montrer qu’il existe trois réels a, b, c tels que, pour tout x ∈ R,
x3 − 8x2 + 17x − 10 = (x − 1)(ax2 + bx + c),
et déterminer leur valeur.
(c) Résoudre l’équation (E1 ).
(d) Soit r une racine de (E1 ). On pose
f: R
x
→ R
7
→
erx .
Montrer que, pour tout x ∈ R :
f 000 (x) − 8f 00 (x) + 17f 0 (x) − 10f (x) = 0.
2. On considère l’équation (E2 ) d’inconnue x ∈ R :
x2 − 4x + 5 = 0.
(E2 )
(a) Résoudre l’équation (E2 ).
(b) On pose
g: R
x
→ R
7
→
cos(2x)ex ,
h: R
x
→ R
7
→
sin(2x)ex .
et
Montrer que, pour tout x ∈ R,
g 00 (x) − 4g 0 (x) + 5g(x) = 0 et h00 (x) − 4h0 (x) + 5h(x) = 0.
Indications p 34
7
Chapitre 2
Puissances et suites géométriques
1. Simplifier (sans utiliser la calculatrice) les expressions suivantes :
√
√
√ 7
610
95
2+ 8
a = 7 8, b =
2 ,c=
√ 5 , d = 8 .
2 .3
3
− 2
2. Soient x ∈ R, y ∈ R∗ . Simplifier les expressions suivantes :
A = x5 .(2x)3 , B =
10
y2
(xy)9
y 9 + (−y)14
,
C
=
,
D
=
6 .
y7
y 7 + y 12
(y 3 )
3. On considère les suites suivantes :
u0 = 1,
pour tout n ∈ N, un+1 = 2un ,
v1 = 2,
.
pour tout n ∈ N∗ , vn+1 = 31 vn
Exprimer un en fonction de n ∈ N et vn en fonction de n ∈ N∗ .
4. On considère les suites suivantes :
pour tout n ∈ N, un =
√
1 + en ,
pour tout n ∈ N, vn = −
1
.
n+2
Montrer que les suites (un )n∈N et (vn )n∈N sont croissantes.
Indications p 34
Exercice corrigé
Soit x ∈ R.
On veut montrer les résultats connus suivants :
8
• si |x| < 1, alors lim xn = 0,
n→+∞
• si x > 1, alors lim xn = +∞,
n→+∞
• si x = 1, alors lim xn = 1,
n→+∞
• si x ≤ −1, alors la suite (xn )n∈N n’a pas de limite en +∞.
On pose, pour tout n ∈ N, un = xn .
1. Si x = 1, montrer que lim un = 1.
n→+∞
2. Si x = −1, montrer que la suite (un )n∈N n’a pas de limite en +∞.
3. On suppose, dans cette question, que |x| < 1.
(a) Montrer que la suite (|un |)n∈N est décroissante.
(b) Montrer que la suite (|un |)n∈N est minorée.
(c) Montrer que la suite (|un |)n∈N converge.
On pose l = lim un .
n→+∞
(d) Supposer que l 6= 0 et obtenir une contradiction.
(e) Montrer que lim un = 0.
n→+∞
4. On suppose, dans cette question, que |x| > 1.
(a) Montrer que la suite (|un |)n∈N est croissante.
(b) On suppose, dans cette question, que x > 1.
i. Montrer que, pour tout n ∈ N, un ≥ n(x − 1) + 1.
On pourra étudier la fonction définie, pour tout x ∈ [1, +∞[, par f (x) = xn −
n(x − 1) − 1.
ii. Montrer que lim un = +∞.
n→+∞
(c) On suppose, dans cette question, que x < −1.
i. Montrer que lim |un | = +∞.
n→+∞
ii. En raisonnant par l’absurde, montrer que la suite (un )n∈N n’a pas de limite en
+∞.
Correction p 45
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. (a) Montrer que, pour tout n ∈ N,
n 3
1
.
2n − 3n + 4n = 4n 1 + n −
2
4
(b) Montrer que :
lim 2n − 3n + 4n = +∞.
n→+∞
n 2
n
2n
(6 ) − 2.3 = 6
9
2
1− n .
3
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N,
1
5.36n − 3n = 62n 5 − n .
2
(c) En déduire :
(6n )2 − 2.3n
.
n→+∞ 5.36n − 3n
lim
3. Déterminer :
(−1)n + 7n − 32n
.
n→+∞
42n + 6n+1
lim
4. On définit la suite :
u0 = 12 ,
pour tout n ∈ N, un+1 =
n2
2n2 +1 un .
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, 0 ≤ un+1 ≤ 12 un .
1
2n+1 .
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N, 0 ≤ un+1 ≤
(c) En déduire la limite de la suite (un )n∈N .
Indications p 34
1. Montrer que, pour tout n ∈ N, pour tout x > 0 :
xn = en ln x .
2. Montrer que :
lim
x→0
ln(1 + x)
= 1.
x
On pourra utiliser la définition du nombre dérivé et remarquer que :
ln(1+x)
x
=
ln(1+x)−ln(1+0)
.
x−0
3. Soit a ∈] − 1, +∞[.
(a) Montrer que :
a
= a.
lim n ln 1 +
n→+∞
n
(b) Montrer que :
lim
n→+∞
Remarque : on a lim 1 +
n→+∞
4. Trouver une suite (un )n∈N∗
1+
a n
= ea .
n
a n
a
6= 1.
= 1 et pourtant, en général, lim 1 +
n→+∞
n
n
telle que lim un = 1 et lim unn = +∞.
n→+∞
n→+∞
5. Trouver une suite (vn )n∈N∗ telle que lim vn = 1 et lim vnn = 0.
n→+∞
Indications p 35
10
n→+∞
Chapitre 3
Récurrences
Avertissement
La compréhension des raisonnements par récurrence signifie que l’on sait faire le raisonnement
mais également que l’on sait quand le faire.
Toutes les questions de ce paragraphe ne se traitent donc pas par récurrence, c’est à vous de
voir si c’est le cas ou non.
Notation
Soit n ∈ N∗ , soit f une fonction.
Si elle existe, on note f (n) la dérivée n-ième de f .
Par convention, on pose f (0) = f . On a donc :
f (0) = f, f (1) = f 0 , f (2) = f 00 , f (3) = f 000 , . . .
1. On pose, pour tout n ∈ N,
un =
1 + cos(πn2 + 2)
.
2
Montrer que, pour tout n ∈ N, un ≤ 1.
2. (a) Soit n ∈ N, montrer que si n est pair, alors n2 est pair et que si n est impair, alors n2
est impair.
(b) On pose u0 ∈ N et, pour tout n ∈ N, un+1 = u2n + un .
Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , un est un entier pair.
3. Soit f : R → R, x 7→ e3x . Montrer que, pour tout n ∈ N, f (n) : R → R, x 7→ 3n e3x .
4. Soit f : R → R, x 7→ x cos(2πx).
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, f (n) ≤ f (n + 1).
(b) Montrer que f n’est pas croissante.
Indications p 35
11
Exercice corrigé
1. On pose :
v0 = 1 et, pour tout n ∈ N, vn+1 = (n + 1)vn .
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, vn ≥ 0.
(b) Montrer que la suite (vn )n∈N est croissante.
(c) Montrer que, pour tout n ∈ N, vn ≥ n.
(d) En déduire lim vn .
n→+∞
(e) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ ,
vn = 1 × 2 × 3 · · · × n.
Pour n ∈ N, vn est appelée la factorielle de n et on note, pour n ∈ N∗ :
n! = vn = 1 × 2 × 3 · · · × n.
2. On pose, pour tout n ∈ N :
fn : R → R
n −x
e
x 7→ x n!
(avec la convention 00 = 1)
et
Z
1
un =
0
e−x xn
dx =
n!
Z
1
fn (x) dx.
0
(a) Soit n ∈ N∗ , exprimer fn0 en fonction de fn et de fn−1 .
R1
(b) Soit n ∈ N, calculer 0 fn0 (x) dx.
(c) Calculer u0 .
(d) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ :
un = un−1 −
(e) Montrer que la suite (un )n∈N est décroissante.
(f) Montrer que, pour tout n ∈ N, un ≥ 0.
(g) En déduire que la suite (un )n∈N converge.
(h) Montrer que, pour tout n ∈ N :
un ≤
(i) En déduire la limite de la suite (un )n∈N .
Correction p 47
12
1
.
n!
1
.
en!
On pose :
f: R → R
x 7→ xe3x .
1. Montrer que, pour tout n ∈ N∗ :
f (n) : R
x
→ R
7
→
3n xe3x + n3n−1 e3x .
2. (a) Etudier les variations de f .
(b) Montrer que f − 31 > − 13 .
On pose u0 ∈ R et, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ).
3. Que peut-on dire de la suite (un )n∈N lorsque u0 = 0 ? On justifiera la réponse.
4. Montrer que si la suite (un )n∈N converge vers l ∈ R, alors l = 0.
5. On suppose dans cette question que u0 ∈]0, +∞[.
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, un ∈]0, +∞[.
(b) Montrer que la suite (un )n∈N est croissante.
(c) Montrer que, pour tout n ∈ N, un ≥ u0 .
(d) Montrer que lim un = +∞.
n→+∞
6. On suppose dans cette question que u0 ∈ − 13 , 0 .
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N, un ∈ − 13 , 0 .
(b) Montrer que, pour tout x ∈ − 31 , 0 , f (x) − x ≥ 0.
(c) En déduire que la suite (un )n∈N est croissante.
(d) Montrer que lim un = 0.
n→+∞
7. On suppose dans cette question que u0 ∈ −∞, − 31 .
(a) Montrer que u1 ∈ − 13 , 0 .
(b) En déduire la limite de la suite (un )n∈N .
Indications p 35
On pose :
f:
[0, 1] → R
x 7→ − ln(x + 1) +
1+ln 2
2 .
1. (a) Etudier les variations de f .
(b) Montrer, sans utiliser la calculatrice, que 0 ≤ f (1) ≤ f (0) ≤ 1.
(c) Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], on a f (x) ∈ [0, 1].
2. On pose u0 = 0 et, pour tout n ∈ N, un+1 = f (un ).
(a) Montrer que cette suite est bien définie.
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N, u2n ≤ u2n+1 .
13
(c) Donner les valeurs exactes, puis, en utilisant la calculatrice, des valeurs arrondies à
10−2 près de u0 , u1 , u2 et u3 .
(d) Montrer que la suite (u2n )n∈N est croissante.
(e) Montrer que la suite (u2n+1 )n∈N est décroissante.
(f) La suite (un )n∈N est-elle monotone ?
Indications p 36
14
Chapitre 4
Géométrie plane et trigonométrie
Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct R = (O,~i, ~j).
Sauf mention du contraire, les coordonnées des points seront données dans ce repère et les
coordonnées des vecteurs dans la base (~i, ~j).
1. Simplifier (sans utiliser la calculatrice) :
a=
0, 1 + 3
2(0, 1 + 2, 6)
0, 4 − 0, 2
,b=
,c=
, d = 10.(0, 2 + 0, 3)2 .
0, 1
0, 9
1, 6 − 1, 3
2. Soit A le point de coordonnées (2,
1), soit B le point d’ordonnée 2, d’abscisse strictement
√
inférieure à 2 et tel que AB = 25 . Soit C le point d’abscisse strictement supérieure à 1,
√
15
tel que le triangle ABC soit rectangle en A et tel que BC =
.
3
(a) Représenter les points A, B et C sur une figure.
(b) Calculer l’abscisse de B.
(c) Calculer la longueur AC.
−−→ −−→
(d) Soit θ l’angle formé par les vecteurs BA et BC.
Calculer le cosinus et le sinus de θ.
En déduire la valeur de θ.
Indications p 36
Exercice corrigé
Soit A un point du plan de coordonnées (xA , yA ).
Soit B un point du plan de coordonnées (xB , yB ) tel que xA 6= xB .
Soit ~u un vecteur du plan de coordonnées (x0 , y0 ) tel que x0 6= 0.
1. (a) Montrer que la droite (AB) est bien définie et n’est pas verticale.
On peut donc considérer a, b ∈ R tels que la droite (AB) ait pour équation : y = ax+b.
15
(b) Montrer que :
a=
(c) Montrer que :
b=
yA − yB
.
xA − xB
xA yB − xB yA
.
xA − xB
2. Soit D la droite passant par A et dirigée par ~u.
(a) Montrer que la droite D est bien définie et n’est pas verticale.
On peut donc considérer a, b ∈ R tels que la droite (AB) ait pour équation : y = ax+b.
(b) Montrer que :
a=
(c) Montrer que :
b=
y0
.
x0
x0 yA − xA y0
.
x0
(a) Montrer qu’on peut se ramener au cas où x0 > 0.
(b) Soit θ ∈ − π2 , π2 l’angle orienté (~i, ~u).
Faire une figure en indiquant θ.
On dit que θ est l’angle entre D et l’axe des abscisses.
(c) Donner une formule reliant cos θ, sin θ et la pente de D.
4. Applications :
(a) Calculer la pente de la droite D, l’équation réduite de la droite D et l’angle θ entre
D et l’axe des abscisses, dans les cas suivants :
√
i. D est la droite passant par√le point A de coordonnées ( 3, −2) et dirigée par le
vecteur ~u de coordonnées ( 3, 3),
√
ii. D est la droite passant par√le point A de coordonnées (2 3, 1) et dirigée par le
vecteur ~u de coordonnées ( 3, −1),
√
√
iii. D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3 2 2 , 5 2 2 ) et le point B de
√ √
coordonnées ( 8, 3 2),
√
iv. D est la droite √
passant par le point A de coordonnées ( 3, 0) et le point B de
coordonnées (− 3, 6).
(b) Donner l’équation réduite de la droite D et un vecteur directeur de la droite D dans
les cas suivants :
i. D est la droite passant par le point A de coordonnées (−1, 2) et faisant un angle
θ = π4 avec l’axe des abscisses,
√
ii. D est la droite passant par le point A de coordonnées (2 3, 6) et faisant un angle
θ = − π6 avec l’axe des abscisses.
Correction p 49
16
1. Preuve vectorielle du théorème de Thalès.
On rappelle l’énoncé du théorème de Thalès (vu au collège et utile pour la physique de
prépa) : soient A, B, C trois points du plan deux à deux distincts et non alignés, soit D
un point de la droite (AB), soit E un point de la droite (AC). On suppose que les droites
(DE) et (BC) sont parallèles.
On a alors :
AE
DE
AD
=
=
.
AB
AC
BC
(a) Traduire vectoriellement les hypothèses suivantes :
i. D est un point de la droite (AB),
ii. E est un point de la droite (AC),
iii. (DE) et (BC) sont parallèles.
−−→
−→
(b) Soient a, b ∈ R. Montrer que si aAB + bAC = ~0, alors a = b = 0.
(c) Conclure.
(d) On considère la configuration suivante :
17
Montrer que :
F 0 A0
OA0
=
.
0
F O
OA
2. Soient A, B, C trois points du plan.
(a) Soit G l’unique point du plan tel que :
−−→ 1 −→ −−→ −−→
OG = (OA + OB + OC).
3
i. Montrer que :
−→ −−→ −−→ ~
GA + GB + GC = 0.
ii. Soit M un point du plan. Montrer que :
−−→ −−→ −−→
−−→
M A + M B + M C = 3M G.
(b) Soit I le milieu du segment [AB].
i. Montrer que :
−→ −−→
2GI + GC = ~0.
ii. Montrer que G appartient à la droite (IC).
(c) Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC, c’est-à-dire que G est l’intersection des médianes du triangle ABC.
Indications p 37
~ J)
~ tel que l’angle entre
On considère un second repère orthonormé direct du plan R0 = (O, I,
π π
~i et I~ soit égal à θ ∈ − , .
2 2
Soit ~u un vecteur de norme 2 faisant un angle α ∈ − π2 , π2 avec ~i.
1. (a) Déterminer l’affixe de ~u dans la base (~i, ~j).
18
(b) Déterminer les coordonnées de ~u dans la base (~i, ~j).
~ J).
~
(c) Déterminer l’affixe de ~u dans la base (I,
~ J).
~
(d) Déterminer les coordonnées de ~u dans la base (I,
√
2. On considère le vecteur ~v de coordonnées (3, 3) dans la base (~i, ~j).
(a) Déterminer la norme de ~v .
(b) Déterminer l’angle formé par ~i et ~v .
3. On considère, dans cette question, que α = − π3 .
(a) Déterminer les coordonnées de ~u dans la base (~i, ~j).
(b) Déterminer l’angle formé par ~i et ~u + ~v .
Indications p 37
19
Chapitre 5
Dérivation et intégration
1. (a) Soient x, y ∈ R. Exprimer en fonction de ex et ey les quantités suivantes :
a = e2x−y , b =
e−x + 1
e3x + ey−x
,
c
=
.
e−x
ex+y + e2y−3x
(b) Soient x, y ∈ R+∗ . Exprimer en fonction de ln(x) et ln(y) les quantités suivantes :
√
√ ln(y 2 eln x )
(x 6= 1).
a = ln(x2 y 5 ), b = ln − x + eln(y+ x) , c =
2 + ln ex2 )
(c) Dire pour quelles valeurs de x les expressions suivantes ont un sens et les simplifier :
√ 4
a = ln 3 ex , b = ln (ex + e−x )2 − ex (ex + e−3x ) , c = e− ln(2x ) .
2. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :
f : R∗
x
→ R
g : R+∗
1 ,
x
7
→
x4
h: R →
→ R
,
7
→
ln(2x)ex
x 7→
R
e3x
ln(x2 +1)
.
Indications p 37
Exercice corrigé
1. On pose :
f: R
x
→ R
7
→
x
2
2
x − 72 x + 4
si x ≤ 2
si x > 2
(a) Etudier les variations de f sur ] − ∞, 2] et sur ]2, +∞[, ses limites en ±∞ et tracer la
courbe représentative de f .
(b) Soit x ∈ R+ . Calculer :
Z
x
f (t) dt.
0
20
2. (a) Déterminer a, b ∈ R, tels que, pour tout x ∈ R \ {−1, 1} :
x2 − x − 6
a
b
=1+
+
.
x2 − 1
x+1 x−1
(b) En déduire la valeur de :
5
Z
x2 − x − 6
dx.
x2 − 1
I=
3
3. (a) On pose :
f : R+∗ → R
x 7→ x2 ln x.
Calculer la dérivée de f .
Z
e
x ln x dx.
J=
1
Correction p 51
1. On pose :
f: R
x
→ R
 (x−1)/2
 e
x+1
7→
 2
(x − 2)4 +
3
2
si x ≤ 1
si 1 < x < 2
si x ≥ 2
(a) Etudier les variations de f sur ] − ∞, 1], sur ]1, 2[ et sur ]2, +∞[, ses limites en ±∞
et tracer la courbe représentative de f .
(b) Soit x ∈ R+ . Calculer :
Z
x
f (t) dt.
0
2. (a) Déterminer a, b, c ∈ R, tels que, pour tout x ∈ R \ {1} :
x2 − 3x + 3
a
b
c
=
+
+
.
3
2
(x − 1)
x − 1 (x − 1)
(x − 1)3
Z
5
I=
3
x2 − 3x + 3
dx.
(x − 1)3
3. (a) On pose :
f : R+∗
x
→ R
7→
2)
e(x
x
.
Calculer la dérivée de f et la dérivée seconde de f .
Z √2 (x2 ) 2
e
(x − 1)
J=
dx.
x3
1
Indications p 38
21
ex + e−x
≥ 1.
2
(b) Montrer que, pour tout y ∈ [1, +∞[ :
p
p
0 < y − y 2 − 1 ≤ 1 ≤ y + y 2 − 1.
1. (a) Montrer que, pour tout x ∈ R+ ,
(c) Soit y ∈ [1, +∞[, résoudre l’équation d’inconnue X ∈ [1, +∞[ :
X+
1
= 2y.
X
(d) Soit y ∈ [1, +∞[, résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R+ :
ex + e−x
= y.
2
2. On pose :
f:
]1, +∞[ → R
√
x 7→ ln(x + x2 − 1).
(a) Calculer la dérivée de f .
3
Z
√
I=
2
1
dt.
−1
t2
(c) Calculer :
Z
2
lim
x→1
Indications p 38
22
x
√
1
dt.
−1
t2
Chapitre 6
Formules de trigonométrie
π π
− .
3
4
π
π
et sin .
(b) En déduire les valeurs de cos
12
12
π π
2. (a) Simplifier : + .
3
4
7π
7π
(b) En déduire les valeurs de cos
et sin
.
12
12
3. Soit θ ∈ R.
(a) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
1. (a) Simplifier :
x2 − 2x + sin2 θ = 0.
(E)
On pensera à utiliser la relation, valable pour tout x ∈ R, cos2 x + sin2 x = 1 afin de
simplifier le discriminant.
(b) Déterminer les solutions de (E) dans les cas particuliers :
θ = 0, θ =
2π
π
π
,θ=
,θ= .
3
3
6
Indications p 39
Exercice corrigé
Soit θ ∈ R.
1. (a) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de cos(π − θ) en fonction
de cos θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.
(b) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de sin(π + θ) en fonction
de sin θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.
7π
2π
et de sin
.
(c) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, les valeurs de cos
3 6
(d) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de cos π2 − θ en fonction
de sin θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.
23
(e) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de sin π2 − θ en fonction
de cos θ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.
2. (a) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
cos x = sin θ.
(b) Soit x ∈ R, montrer que :
cos x + sin x =
√
π
.
2 cos x −
4
(c) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
cos x + sin x =
√
2 sin θ.
Préciser le résultat obtenu dans le cas particulier θ =
3π
4 .
(d) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈ R :
cos x + sin x = cos θ + sin θ.
Correction p 53
Soit θ ∈ R.
1. (a) Exprimer cos(2θ) en fonction de cos θ.
(b) Exprimer cos(3θ) en fonction de cos θ.
(c) Exprimer sin(3θ) en fonction de cos θ et sin θ.
(d) Exprimer cos(5θ) en fonction de cos θ.
π
2. Posons a = cos .
10
(a) Montrer que a > 0.
(b) Montrer que :
16a4 − 20a2 + 5 = 0.
3. Résoudre (sans utiliser la calculatrice), l’équation d’inconnue x ∈ R :
16x2 − 20x + 5 = 0.
√
4. (a) Montrer que a >
2
2 .
(b) Montrer (sans utiliser la calculatrice) que :
s
√
√
5− 5
2
<
.
8
2
(c) Déterminer la valeur de a.
π
π
π
5. Déterminer les valeurs de sin , cos et sin .
10
5
5
Indications p 39
24
On pose, pour tout n ∈ N,
un = cos
π
π
et
v
=
sin
.
n
2n
2n
1. Calculer u0 , u1 , u2 , v0 , v1 et v2 .
r
un+1 =
un + 1
.
2
On fera attention à bien étudier le signe avant de conclure.
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗ ,
vn
vn+1 = q p
.
2( 1 − vn2 + 1)
(c) Calculer u3 et v3 .
3. Montrer que, pour tout n ∈ N,
2
(un − 1)2 + vn2 = 4vn+1
.
4. Montrer que, pour tout n ≥ 2,
un − vn =
√
2 cos
5. Montrer que, pour tout n ∈ N,
(un + ivn )2
Indications p 40
25
(2n−2 + 1)π
2n
n+1
= 1.
.
Chapitre 7
Fonctions cosinus et sinus
Complément
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors :
• x 7→ cos(u(x)) est dérivable sur I et a pour dérivée x 7→ −u0 (x). sin(u(x)),
• x 7→ sin(u(x)) est dérivable sur I et a pour dérivée x 7→ u0 (x). cos(u(x)).
1. Simplifier les expressions suivantes :
π
π
A=4
+
−3
3
6
B=
π 2π
−
4
3
,
2π
3π
5 + 4
π
3π
5 − 2
2. Résoudre l’inéquation d’inconnue x ∈ R :
0 ≤ 2x +
π
π
< .
3
2
3. Résoudre l’inéquation d’inconnue x ∈ R :
0 < −3x +
π
3π
≤
.
6
2
4. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :
f1 : x 7→ cos(2x) + sin(3x), f2 : x 7→ cos(2x). sin(3x)
x
f3 : x 7→ (cos x)7 , f4 : x 7→ sin
.
π
Indications p 40
26
Exercice corrigé
f: R →
x 7→
R
.
cos x + π3
(a) Calculer f (0), f π6 , f − π3 et f − π6 .
1. Soit
(b) Calculer f 0 et en déduire les variations de f sur l’intervalle − π3 , 5π
3 .
(c) Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle − π3 , 5π
3 .
(d) En utilisant la périodicité de la fonction f , tracer la courbe représentative de f sur
l’intervalle [−3π, 3π].
(e) Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction cos.
Comment passe-t-on de la courbe représentative de cos à celle de f ?
g: R → R
2. Soit
.
x 7→ cos(2x)
(a) Calculer g(0), g π4 et g π2 .
(b) Calculer g 0 et en déduire les variations de g sur l’intervalle [0, π].
(c) Tracer la courbe représentative de g sur l’intervalle [0, π].
(d) Montrer que, pour tout x ∈ R, g(x + π) = g(x).
(e) En déduire la courbe représentative de g sur l’intervalle [−3π, 3π].
Correction p 55
Soit
f: R
x
→ R
.
7→ cos 5x + π4
1. (a) Montrer que, pour tout x ∈ R, f x +
2π
5
= f (x).
(b) Comment pourra-t-on, à partir de la courbe représentative de f sur 0, 2π
5 , obtenir
la courbe représentative de f sur [−π, π] ?
2. Calculer f (0), f π5 et f 2π
5 .
π 7π 3. Calculer f 0 et en déduire les variations de f sur l’intervalle − 20
, 20 .
π 7π 4. Tracer la courbe représentative de f sur − 20 , 20 puis sur [−π, π].
Indications p 40
Soient ω ∈ R∗ , ϕ ∈] − π, π].
f: R → R
Soit
. On suppose que la courbe représentative de f est la suit 7→ cos (ωt + ϕ)
vante :
La droite représentée sur cette figure est la tangente à la courbe représentative de f au point
d’abscisse 0.
Le but de cet exercice est de déterminer, par lecture graphique, les valeurs de ω et ϕ.
27
1. (a) Calculer f (0) puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de
f (0).
(b) En déduire la valeur de ϕ.
2. Première méthode pour la détermination de ω.
(a) Calculer f 0 (0) puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de
f 0 (0).
(b) En déduire la valeur de ω.
3. Seconde méthode pour la détermination de ω.
= f (t).
(a) Montrer que, pour tout t ∈ R, f t + 2π
ω
(b) Donner, avec la précision permise par le graphique, une valeur de de T telle que, pour
tout t ∈ R, on ait f (t + T ) = f (t).
(c) En déduire la valeur de ω.
Indications p 41
28
Chapitre 8
Nombres complexes
1. Simplifier les quantités suivantes :
4+3i
a=
1
4 + 3i
− 2i, b = 2+i , c = 2+i ,
i
1−i
1−i
3
d = (2 − i)(1 + i), e =
2
1
1
2−i
+
1
1+ 23 i
−
1
7+4i
.
2. Calculer la partie réelle, la partie imaginaire et le module des nombres complexes suivants :
z1 = (1 + 2i)(3 − 8i), z2 =
√
3−i
, z3 = ( 3 − i)6 .
2
(1 − 2i)
3. Calculer le module des nombres complexes suivants :
√
√
1 + ia
z1 = (2 + i)4 , z2 = ( 18 − i 7)2 , z3 =
où a, b ∈ R.
b + ia
4. Déterminer un argument des nombres complexes suivants :
√
√
√
3−i
7
z1 = (1 − i) , z2 =
, z3 = −(1 + i 3)(1 + i)3 , z4 = i( 3 + i)5 .
5
(1 + i)
Indications p 41
Exercice corrigé
1. (a) Soit θ ∈ R. Montrer que :
eiθ + e−iθ
eiθ − e−iθ
= cos θ et
= sin θ.
2
2i
(b) Soient p, q ∈ R.
29
i. Montrer que :
ip
iq
e +e
= 2e
i p+q
2
cos
p−q
2
.
ii. Déterminer une formule analogue pour eip − eiq .
(c) Soient p, q ∈ R. Calculer |eip + eiq | et |eip − eiq |.
π
π
π
π
2. On pose z1 = ei 4 + ei 12 et z2 = ei 4 − ei 12 .
π
π
(a) Calculer |z1 | et |z2 | en fonction de cos 12
et sin 12
.
(b) Déterminer un argument de z1 et de z2 .
13π
π
13π
π
3. On pose z3 = e−i 15 + ei 5 et z4 = e−i 15 − ei 5 .
(a) Calculer |z3 | et |z4 | en fonction de cos 8π
15 et sin
(b) Déterminer un argument de z3 et de z4 .
4. Soient p, q ∈] − π, π].
(a) Montrer que −2π < p − q < 2π.
(b) Montrer que eip + eiq a pour argument :
p+q
•
si p − q ∈ [−π, π],
2
p + q + 2π
•
sinon.
2
(c) Montrer que eip − eiq a pour argument :
p+q+π
•
si p − q ∈ [0, 2π[,
2
p + q + 3π
•
sinon.
2
Correction p 58
8π
15
.
1. On pose z0 = 1 + i. Calculer z02 , z03 et z04 .
On donnera les réponses sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
2. On considère l’équation d’inconnue z ∈ C :
z 4 − 6z 3 + 18z 2 − 24z + 16 = 0
(E)
(a) Soit a ∈ R, on pose z = a + ia. Montrer que :
4
3
2
z − 6z + 18z − 24z + 16 = 0 ⇔
a4 − 3a3 + 6a − 4 = 0
a3 − 3a2 + 2a = 0.
(b) Résoudre l’équation d’inconnue a ∈ R :
a3 − 3a2 + 2a = 0.
(c) En déduire deux solutions de (E).
3. (a) Montrer que si z ∈ C est solution de (E), alors z̄ est solution de (E).
(b) En déduire quatre solutions de (E) que l’on notera z1 , z2 , z3 et z4 .
4. Montrer que, pour tout z ∈ C :
z 4 − 6z 3 + 18z 2 − 24z + 16 = (z − z1 )(z − z2 )(z − z3 )(z − z4 ).
Indications p 41
30
Soit (zn )n∈N une suite de nombres complexes et soit l ∈ C.
On dit que la suite (zn )n∈N converge vers l si les suites réelles (Re(zn ))n∈N et (Im(zn ))n∈N
convergent respectivement vers Re(l) et Im(l). On note alors :
l = lim zn .
n→+∞
1. On pose, dans cette question uniquement, pour tout n ∈ N∗ , zn =
i
1
+
n2
n
Montrer que la suite (zn )n∈N∗ converge et déterminer sa limite.
2. (a) Montrer que, si lim zn = 0, alors limn→+∞ |zn | = 0.
n→+∞
(b) Montrer que, pour tout z ∈ C,
−|z| ≤ Re(z) ≤ |z| et − |z| ≤ Im(z) ≤ |z|.
(c) Montrer que, si lim |zn | = 0, alors limn→+∞ zn = 0.
n→+∞
√ !
√
3
3
1
3
3. On pose z0 = 2 et, pour tout n ∈ N, zn+1 =
+i
zn + − i
.
4
4
4
4
(a) Montrer que, pour tout n ∈ N :
zn = 1 +
(b) Montrer que lim |zn − 1| = 0.
n→+∞
(c) En déduire lim zn .
n→+∞
Indications p 42
31
eiπ/3
2
n
.
(n + i).
Deuxième partie
Indications et corrections
32
Chapitre 9
Indications et solutions
9.1
Résolution d’équations et d’inéquations
Echauffement
1. Solution : x =
ab
b−a
1
2
(b) Solution : x < −1
2. (a) Solution : x ≤ −
(c) Remarquer que |2x − 5| < 13 ⇔ −13 < 2x − 5 < 13.
Solution : −4 < x < 9
(d) Remarquer que |3 − 4x| ≥ 17 ⇔ 4x − 3 ≥ 17 ou 4x − 3 ≤ −17.
7
Solution : x ≤ 5 ou x ≥ −
2
3. (a) Solution : Remarquer que 2x2 − 14x + 24 = 0 ⇔ x2 − 7x + 12 = 0.
Solution : x = 4 ou x = 3
(b) Remarquer que 3x2 − 12x + 12 = 0 ⇔ x2 − 4x + 4 = 0.
Solution : x = 2
(c) Solution : x = 1 + i ou x = 1 − i
1. (a) Remarquer que l’équation considérée est x2 − (a + d)x + ad − bc = 0 et étudier son
discriminant.
Solution : (a − d)2 + 4bc > 0
(b) Appliquer la question précédente à a = 2, d = 1 et bc = 6.
Solution : r1 = 4 et r2 = −1
(c) Montrer que, pour tout n ∈ N, Xn+1 = 4Xn et Yn+1 = −Yn et utiliser la formule de
suites géométriques avec X0 = 1 et Y0 = 7.
3
1
1
2
(d) Montrer que, pour tout n ∈ N, xn = Xn + Yn et yn = Yn − Xn .
5
5
5
5
3.4n + 7.(−1)n
7.(−1)n − 2.4n
Solution : xn =
et yn =
5
5
33
2. (a) Utiliser le discriminant.
Solution : b2 − 4ac ≥ 0.
(b) Remarquer que ar2 + br + c = 0.
b
(c) Raisonner par identification après avoir simplifié erx . On trouve r = − 2a
donc le
discriminant est nul.
Solution : b2 − 4ac = 0
1. (a)
(b) Raisonner par coefficients indéterminés.
Solution : a = 1, b = −7, c = 10
(c) Résoudre l’équation x2 − 7x + 10 = 0.
Solution : x = 1 ou x = 2 ou x = 5
(d) Remarquer que r3 − 8r2 + 17r − 10 = 0.
2. (a) Solution : x = 2 + i ou x = 2 − i
(b) Calculer les dérivées premières et secondes de g et h.
9.2
Echauffement
√
1. Solution : a = 72, b = 8 2, c = − 34 , d = 9.
2. Solution : A = x5 .(2x)3 , B =
(xy)9
y7 ,
2
C = y2 , D = y2 .
3. Solution : un = 2n et vn = 3n−1 .
4. Montrer, en utilisant des inégalités, que, pour tout n ∈ N, un ≤ un+1 et vn ≤ vn+1 .
1. (a) Utiliser les propriétés des puissances.
(b) Se ramener au produit d’une quantité tendant vers +∞ et d’une quantité tendant vers
1.
2. (a) Utiliser les propriétés des puissances.
(b) Utiliser les propriétés des puissances.
(c) Simplifier les 62n .
(6n )2 − 2.3n
1
Solution : lim
= .
n
n
n→+∞ 5.36 − 3
5
3. Factoriser le numérateur par 9n et le dénominateur par 16n .
(−1)n + 7n − 32n
Solution : lim
= 0.
n→+∞
42n + 6n+1
4. (a) Raisonner par récurrence pour montrer que un+1 ≥ 0 puis montrer que
(b) Raisonner par récurrence.
(c) Utiliser le théorème des gendarmes.
Solution : lim un = 0.
n→+∞
34
n2
2n2 +1
≤ 21 .
1. Utiliser les propriétés de l’exponentielle et du logarithme.
2. Montrer que la limite est égale à la dérivée de x 7→ ln(1 + x) en 0.
3. (a) Utiliser le résultat précédent en remplaçant x par
a
n.
(b)
4. Solution : un = 1 +
√1
n
5. Solution : vn = 1 −
√1
n
9.3
Récurrences
Echauffement
1. Il est inutile de faire une récurrence, il suffit de remarquer que cos(πn2 + 2) ≤ 1.
2. (a) Si n est pair, il existe k ∈ N tel que n = 2k et calculer n2 .
Si n est impair, il existe k ∈ N tel que n = 2k + 1 et calculer n2 .
(b) Raisonner par récurrence. Ne pas oublier de montrer que un+1 est un entier. Faire
deux cas selon la parité de un et utiliser la question précédente.
3. Raisonner par récurrence.
4. (a) Remarquer que f (n) = n.
(b) Montrer, par exemple, que f (0) > f
1
2
.
2. (a) Solution : f est décroissante sur −∞, − 13 et croissante sur − 13 , +∞ .
(b) Remarquer que e−1 < 1.
Solution : la suite (un )n∈N est constante égale à 0.
4. Passer à la limite dans la définition de (un )n∈N , pour montrer que le3l = l.
5. (a) Raisonner par récurrence.
(b) Raisonner par récurrence et utiliser la croissance de f sur [0, +∞[.
(c) Utiliser la croissance de (un )n∈N .
(d) Raisonner par l’absurde pour montrer que (un )n∈N est divergente et utiliser la croissance de (un )n∈N pour conclure.
6. (a) Raisonner par récurrence et utiliser la croissance de f sur − 13 , 0 .
(b) Remarquer que f (x) − x = x(e3x − 1).
(c) Appliquer la question précédente à x = un .
(d) Montrer que (un )n∈N est croissante et majorée.
7. (a) Utiliser les variations de f .
(b) Se ramener au cas précédent.
Solution : lim un = 0
n→+∞
35
1. (a) Calculer f 0 .
Solution : f est décroissante.
(b) On sait que 1 ≤ 2 ≤ e donc 0 ≤ ln(2) ≤ 1.
(c) Utiliser la décroissance de f et les inégalités précédentes.
2. (a) Comme f n’est définie que sur [0, 1], il faut prouver par récurrence que, pour tout
n ∈ N, un ∈ [0, 1].
(b) Raisonner par récurrence et appliquer deux fois la fonction f à l’inégalité u2n ≤ u2n+1 ,
donc, en changeant deux fois le sens des inégalités.
≈ 0.85, u = − ln (3 + ln(2)) +
(c) Solution : u0 = 0, u1 = 1+ln(2)
2
ln 2+1 2
2+3 ln 2
u3 = − ln − ln(3 + ln 2) +
+ 2 ≈ 0, 64.
2
1+3 ln(2)
2
≈ 0, 23,
(d) Raisonner par récurrence pour montrer que, pour tout n ∈ N, u2n ≤ u2n+2 .
(e) Raisonner par récurrence pour montrer que, pour tout n ∈ N, u2n+1 ≥ u2n+3 .
(f) Raisonner par l’absurde.
Solution : La suite (un )n∈N n’est pas monotone.
9.4
Echauffement
1. Solution : a = 4, b = 6, c = 32 , d = 2, 5
2. (a) Solution :
(b) Se ramener à l’équation : (xB − 2)2 + (2 − 1)2 =
Solution :
3
2
(c) Appliquer le
théorème de Pythagore.
√
15
Solution : 6
AB
AC
(d) Remarquer que cos θ = BC
et sin θ = BC
.
√
3
1
π
Solution : cos θ = 2 , sin θ = 2 et θ = 6 .
36
√ 2
5
2
.
1. (a)
−−→
−−→
i. Solution : AD = k1 AB, k1 ∈ R
−→
−→
ii. Solution : AE = k2 AC, k2 ∈ R
−−→
−−→
iii. Solution : DE = k3 BC, k3 ∈ R
(b) Supposer a 6= 0 et en déduire que A, B, C sont alignés, ce qui est absurde.
−−→
−→
(c) Montrer que (−k1 + k3 )AB + (k2 − k3 )AC = ~0.
(d) Appliquer deux fois le théorème de Thalès.
−→ −→ −→
2. (a) i. Remarquer que GA = G0 + OA et raisonner de même pour les autres points.
−−→ −−→ −→
ii. Remarquer que M A = M G + GA et raisonner de même pour les autres points.
−→ −−→
−→
i. Montrer que GA + GB = 2GI.
−→ −→
ii. Montrer que GI et IC sont colinéaires.
(b) Remarquer que (IC) est la médiane issue de C et raisonner de même pour les autres
points.
1. (a) Solution : 2eiα
(b) Solution : (2 cos(α), 2 sin(α))
(c) Remarquer que l’angle entre I~ et ~u est α − θ.
Solution : 2ei(α−θ)
(d) Solution : (2 cos(α − θ), 2 sin(α − θ))
√
(a) Solution : 2 3
(b) Calculer l’argument de l’affixe de ~v .
Solution : π6
√
2. (a) Solution : (1, − 3)
(b) Calculer ~u + ~v .
Solution : 0
9.5
Echauffement
1. (a) Solution : a =
(ex )2
ey ,
b = 1 + ex , c =
(ex )2
ey .
(b) Solution : a = 2 ln(x) + 5 ln(y), b = ln(y), c =
ln(x)+2 ln(y)
.
ln(x)
(c) Pour b, étudier et simplifier d’abord (ex + e−x )2 − ex (ex + e−3x )
Solution : pour x ∈ R, a = ln(3) + x2 ; pour x ∈ R, b = ln(2) ; pour x ∈ R \ {0},
c = 2x1 4 .
2. Pour f , remarquer que f (x) = x−4 .
Solution : f 0 (x) = − x45 , g 0 (x) = ( x1 + ln(2x))ex , h0 (x) =
37
(3(x2 +1) ln(x2 +1)−2x)e3x
.
(ln(x2 +1))2 (x2 +1)
1. (a) Solution : f est strictement croissante sur ]−∞, 1[, sur ]1, 2[ et sur ]2, +∞[, limx→−∞ f (x) =
0, limx→+∞ f (x) = +∞ et on obtient la courbe suivante :
(b) Une primitive de x 7→ e(x−1)/2 est x 7→ 2e(x−1)/2 , une primitive de x 7→
x 7→
2
(x+1)
4
4
3
2
5
(x−2)
5
x+1
2
3
2 x.
et une primitive de x 7→ (x − 2) + est x 7→
+
Rx
Rx
(x−1)/2
−1/2
Solution : 0 f (t) dt = 2(e
−e
) si x ≤ 1, 0 f (t) dt = 1 − 2e−1/2 +
Rx
5
(x−2)
1
si 1 < x ≤ 2, 0 f (t) dt = 4 − 2e−1/2 + 5 + 32 x si x > 2.
est
(x+1)2
4
b
c
a
3
+ (x−1)
2. (a) Mettre x−1
2 + (x−1)3 au dénominateur commun (x − 1) .
Solution : a = c = 1, b = −1.
1
(b) Sur ]1, +∞[, une primitive de x 7→ x−1
est x 7→ ln(x − 1), une primitive de x 7→
1
1
1
−3
est x 7→ − x−1 , une primitive de x 7→ (x−1)
est x 7→ − 2(x−1)
3 = (x − 1)
2.
11
4
Solution : I = ln 3 + 32 .
2
1
2
2
0
(x2 )
00
3. (a) Solution : f (x) = 2 − 2 e
, f (x) = 4x − + 3 e(x ) .
x
x x
1
(x−1)2
2
(b) Remarquer que :
2
est x 7→ e(x ) .
Solution : J =
2
f 00 (x)
e(x ) (x2 − 1)
2
= 2xe(x ) −
et qu’une primitive de x 7→ 2xe(x )
3
x
2
e
e2
− .
4
2
ex + e−x
.
2
p
p
(b) Etudier les fonctions y 7→ y − y 2 − 1 et y 7→ y + y 2 − 1.
1. (a) Etudier la fonction : x 7→
(c) Se ramener à une équation du second degré et, en utilisant la question précédente,
chercher une solution
pX ≥ 1.
Solution : X = y + y 2 − 1.
x
(d) Se ramener à la question
p précédente en posant X = e .
Solution : x = ln(y + y 2 − 1).
1
2. (a) Solution : f 0 (x) = √
.
x2 − 1
38
(b) Remarquer que I = f (3)
√ − f (2).
3+2 2
√
Solution : I = ln
2+ 3
Z 2
1
√
(c) Remarquer que
dt = f (2) − f (x) et que lim f (x) = 0.
2−1
x→1
t
x
√
Solution : ln(2 + 3)
9.6
Echauffement
1. (a) Solution :
π
12
π
π
π
π
π
(b) Utiliser les formules de trigonométrie pour avoir : cos
= cos cos + sin sin
12
3
4
3
4
π
π
π
π
π
et sin
= sin cos − sin cos .
12
3
3
√4
√4
√ √
π
2(1 + 3)
π
2( 3 − 1)
Solution : cos
=
et sin
=
12
4
12
4
7π
2. (a) Solution :
12
7π
π
π
π
π
(b) Utiliser les formules de trigonométrie pour avoir : cos
= cos cos − sin sin
12
3
4
3
4
7π
π
π
π
π
et sin
= sin cos + sin cos .
12
3
3
√4
√4
√
√
2(1 − 3)
7π
2(1 + 3)
7π
=
et sin
=
Solution : cos
12
4
12
4
3. Soit θ ∈ R.
(a) Montrer que le discriminant est ∆ = (2 cos θ)2 .
Solution : 1 + cos θ et 1 − cos θ.
π 3
1
2π 3
1
(b) Solution : Pour θ = 0 : 2 et 0, pour θ =
:
et , pour θ =
:
et , pour
3
2
2
3
2
2
√
√
π 2+ 3
2− 3
θ= :
et
.
6
2
2
1. (a) Remarquer que cos(2θ) = cos(θ + θ) et que sin2 θ = 1 − cos2 θ.
Solution : 2 cos2 θ − 1.
(b) Remarquer que cos(3θ) = cos(2θ + θ).
Solution : 4 cos3 θ − 3 cos θ.
(c) Remarquer que sin(3θ) = sin(2θ + θ).
Solution : sin θ(4 cos2 θ − 1).
(d) Remarquer que cos(5θ) = cos(3θ + 2θ).
Solution : cos θ(16 cos4 θ − 20 cos2 θ + 5).
2. (a) Remarquer que 0 ≤
(b) Remarquer que cos
π
π
10 < 2 .
π
5 10
=0
et utiliser le résultat de 1.d.
39
3. Calculer le discriminant
associé à cette équation.
√
5± 5
Solution : x =
8
π
4. (a) Remarquer que 0 ≤ 10
< π4 .
(b) Elever au carré chacun des deux membres.
q √
(c) Comme a > 0, on a a = 5±8 5 et utiliser les questions précedentes pour choisir le
signe.
s
√
5+ 5
Solution :
8
r
r
π
π
π
π
π
π
2
5. Remarquer que sin
et sin = 1 − cos2 .
= 1 − cos
, cos = cos 2
10
10
5
10 s
5
5
s
√
√
√
π
3− 5
π
1+ 5
π
5− 5
Solution :sin
=
, cos =
et sin =
.
10
8
5
4
5
8
√
√
1. Solution : u0 = −1, u1 = 0, u2 = 22 , v0 = 0, v1 = 1, v2 = 22 .
π
2. (a) Remarquer que un = cos 2 2n+1
et en déduire, en utilisant les formules de trigonométrie, que un = 2u2n+1 − 1.
p
π
(b) Remarquer que vn = sin 2 2n+1
et que un = 1 − vn2 .
(c) Utiliser les formules
aux questions précédentes.
p obtenues
√
2+ 2
1
et v3 = q √
.
Solution : u3 =
2
2( 2 + 2)
3. Remarquer que u2n + vn2 = 1.
√ √
4. Remarquer que un − vn = 2 22 cos 2 2πn −
√
2
2
sin 2 2πn
.
n
5. Remarquer que un + ivn = eiπ/2 .
9.7
Echauffement
1.
2.
3.
4.
23
Solution : A = 39π
12 , B = − 26 .
Solution : − π3 ≤ x < π6 .
π
Solution : − 4π
9 ≤ x < 18 .
Solution : f10 (x) = −2 sin(2x) + 3 cos(3x), f20(x) = −2 sin(2x) sin(3x) + 3 cos(2x) cos(3x),
f30 (x) = −7 sin(x).(cos(x))6 , f40 (x) = π1 cos πx .
1. (a) Utiliser la 2π-périodicité du cosinus.
(b) Solution : On obtient la courbe
représentative de f sur [−π, π] à partir de la courbe
représentative de f sur 0, 2π
en effectuant des translations horizontales de multiples
5
de 2π
.
5
40
√
2. Solution : f (0) =
√2
2
2π
= 2 .
2 , f
5
π 7π 0
f sur − 20 , 20 se déduit du signe du
−5 sin 5x + π4 , f est croissante sur
2
2 ,
3. L’étude du signe de
0
Solution
3π 7π : f (x) =
20 , 20 .
4.
f
π
5
√
=−
sinus
π sur
[0, 2π].
3π
− 20 , 20 et décroissante sur
1. (a) Solution : Calculer f (0) = cos(ϕ) et par lecture graphique f (0) ≈ 0, 87.
√
(b) On a cos(ϕ) ≈ 23 .
Solution : ϕ = π6 .
2. (a) Solution : f 0 (0) = −ω sin(ϕ) et par lecture graphique (pente de la tangente à l’origine)
f 0 (0) ≈ −1.5.
(b) On a −ω sin(ϕ) = −ω sin π6 ≈ − 32 .
Solution : ω = 3.
3. (a) Utiliser la 2π-périodicité du cosinus.
(b) Solution : T ≈ 2, 1
(c) Solution : ω = 2π
T = 3.
9.8
Nombres complexes
Echauffement
1. Pour e, on peut utiliser la valeur de d pour choisir le dénominateur commun.
13−9i
7
3+i
Solution : a = −3i, b = 9+13i
10 , c =
5 , d = 2 + 2i, e = 2
2. Pour z3 , passer par la forme trigonométrique.
√
Solution : Re(z1 ) = 19, Im(z1 ) = −2, |z1 | = 365, Re(z2 ) = − 51 , Im(z2 ) = 35 , |z2 | =
Re(z3 ) = −64, Im(z3 ) = 0, |z3 | = 64
3. Solution : |z1 | = 25, z2 = 25, z3 =
4. Solution : arg(z1 ) =
π
4,
arg(z2 ) =
√
2
√ 1+a .
b2 +a2
11π
12 , arg(z3 )
=
π
12 ,
√
10
5 ,
arg(z4 ) = − 2π
3 .
√ 3π
π
1. Solution : z02 = 2i = 2ei 2 , z03 = 2 − 2i = 2 eei 4 , z04 = −4 = 4eiπ
2. (a) Remplacer z par a + ia et écrire une équation pour la partie réelle et une équation
pour la partie imaginaire.
(b) Se ramener, dans le cas où a 6= 0 à une équation du second degré.
Solution : a = 0 ou a = 1 ou a = 2.
(c) Regarder, parmi les trois valeurs précédentes, celles qui vérifient a4 − 3a3 + 6a − 4 = 0.
Solution : 1 + i et 2 + 2i
3. (a) Calculer le conjugué de z 4 − 6z 3 + 18z 2 − 24z + 16.
(b) Solution : 1 + i, 1 − i, 2 + 2i et 2 − 2i.
4. Remarquer que, (z − (1 + i))(z − (1 − i)) = ((z − 1) − i)((z − 1) + i) = (z − 1)2 − i2 et
raisonner de même pour l’autre terme.
41
1. Calculer Re(zn ) et Im(zn ).
Solution : lim zn = i.
n→+∞
p
2. (a) Utiliser |zn | = Re(zn )2 + Im(zn )2 .
p
(b) Utiliser |z| = Re(z)2 + Im(z)2 , Re(z)2 ≤ Re(z)2 + Im(z)2 et Im(z)2 ≤ Re(z)2 +
Im(z)2 .
(c) Appliquer l’inégalité de la question précédente à zn et utiliser le théorème des gendarmes.
3. (a) Raisonner par récurrence.
(b) Montrer que |zn − 1| =
(c) Solution :
1
2n .
lim zn = 1
n→+∞
42
Chapitre 10
Corrections
10.1
Résolution d’équations et d’inéquations
1. (a) L’équation est définie pour 6x − 3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 12 .
Soit x 6= 12 , on a :
3x+1
6x−3
= − 67
⇔
⇔
⇔
⇔
Donc l’équation admet pour solution :
6(3x + 1) = −7(6x − 3)
18x + 6 = −42x + 21
60x = 15
15
x = 60
= 41
x=
1
.
4
(b) L’inéquation est définie pour 6x − 3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 21 .
Méthode 1 : Soit x 6= 12 , on a :
6(3x + 1) ≤ −7(6x − 3) si 6x − 3 > 0
3x+1
7
⇔
6x−3 ≤ − 6
6(3x + 1) ≥ −7(6x1 − 3) si 6x − 3 < 0
60x ≤ 15 si x > 2
⇔
60x
≥ 15 si x < 12
x ≤ 14 si x > 12
⇔
x ≥ 14 si x < 12
1
⇔ 4 ≤ x < 12
Donc l’inéquation admet pour solution :
1 1
x∈
,
.
4 2
Méthode 2 : Soit x 6= 12 , on a :
3x+1
6x−3
≤ − 76
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
43
3x+1
7
6x−3 + 6 ≤ 0
2(3x+1)
7(2x−1)
6(2x−1) + 6(2x−1)
20x−5
6(2x−1) ≤ 0
5(4x−1)
6(2x−1) ≤ 0
4x−1
2x−1 ≤ 0
≤0
On a le tableau de signes suivant :
1
4
x
4x − 1
2x − 1
−
−
+
4x−1
2x−1
0
0
1
2
+
−
−
0
0
+
+
+
x∈
1 1
,
.
4 2
(c) L’inéquation est définie pour 6x − 3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 21 .
Soit x 6= 12 , on a :
3x+1
6x−3
2
3x+1 ≤ 16 ⇔ 6x−3
≤4
⇔ |3x + 1| ≤ 4|6x − 3|
Or, on a le tableau de signes suivant :
x
3x + 1
6x − 3
− 13
− 0
−
1
2
+
−
0
+
+
Donc :
3x+1
6x−3
2
≤ 16 ⇔
⇔
⇔
Or −

 −(3x + 1) ≤ −4(6x − 3) si x ≤ − 31
(3x + 1) ≤ −4(6x − 3)
si − 31 < x <

si x > 21
 (3x + 1) ≤ 4(6x − 3) 1
 21x ≤ 13 si x ≤ − 3
27x ≤ 11 si − 31 < x < 12

1
 13 ≤1321x si x > 12
 x ≤ 21 si x ≤ − 3
x ≤ 11 si − 31 < x < 21
 13 27
si x > 21
21 ≤ x
1
1
13
1
11
1
< <
et − <
< , ainsi :
3
2
21
3
27
2
2
3x+1
≤ 16 ⇔ x ≤ − 13 ou −
6x−3
1
3
<x≤
11
27
ou
13
21
1
2
≤ x.
11
13
x ∈ −∞,
ou
, +∞ .
27
21
2. (a) Soit x ∈ R, on a : f 0 (x) = 2ax + b. Ainsi :
−b
, +∞ .
• si a > 0, f 0 est négative sur −∞, −b
2a et positive sur 2a
Donc f est décroissante sur −∞, −b
sur −b
2a et croissante
2a , +∞ .
D’où, pour tout x ∈ −∞, −b
, f (x) ≥ f −b
et, pour tout x ∈ −b
, +∞ , f (x) ≥
2a
2a
2a
f −b
2a .
Ainsi, pour tout x ∈ R, f (x) ≥ f −b
2a .
b
Donc la courbe représentative de f admet un minimum au point d’abscisse x = − .
2a
44
• si a < 0, f 0 est positive sur −∞, −b
et négative sur −b
, +∞ .
2a
2a
sur −b
Donc f est croissante sur −∞, −b
2a et décroissante
2a , +∞ .
−b
−b
D’où, pour tout x ∈ −∞, −b
2a , f (x) ≤ f 2a et, pour tout x ∈ 2a , +∞ , f (x) ≤
f −b
2a .
Ainsi, pour tout x ∈ R, f (x) ≤ f −b
2a .
Donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d’abscisse x =
b
− .
2a
Dans tous les cas, la courbe représentative de f admet un extremum au point d’abscisse
b
x=− .
2a
(b) Soit x ∈ R∗ , on a :
b
c
f (x) = ax2 1 +
+ 2 .
ax ax
Or :
lim
x→±∞
b
c
1+
+ 2
ax ax
Ainsi :
+∞ si a > 0
−∞ si a < 0,
+∞ si a > 0
−∞ si a < 0.
x→+∞
lim f (x) =
x→−∞
(c)
10.2
= 1.
lim f (x) =
et
i. On a a > 0 et −b
2a = 1 donc la courbe représentative de f admet un minimum au
point d’abscisse x = 1 et ce minimum vaut f (1) = 0.
Il s’agit donc de la courbe f1 .
ii. On a a < 0 et −b
2a = 1 donc la courbe représentative de f admet un maximum au
point d’abscisse x = 1 et ce minimum vaut f (1) = 0.
iii. On a a > 0 et −b
2a = −1 donc la courbe représentative de f admet un maximum
au point d’abscisse x = −1 et ce minimum vaut f (−1) = 0.
iv. On a a > 0 et −b
au point d’abscisse x = −1 et ce minimum vaut f (−1) = 1.
v. On a a > 0 et −b
au point d’abscisse x = −1 et ce minimum vaut f (−1) = − 21 .
1. Soit n ∈ N, on a :
un = 1n = 1.
Ainsi la suite (un )n∈N est constante égale à 1. Donc :
lim un = 1.
n→+∞
45
2. Soit n ∈ N, on a :
un = (−1)n ∈ {−1, 1}.
Donc la suite (un )n∈N est bornée. Ainsi, si elle admet une limite, cette limite est finie.
Supposons que lim un = l ∈ R. On a, pour tout n ∈ N, un+1 = −un , donc par passage
n→+∞
à la limite, l = −l, d’où l = 0.
De plus, on a, pour tout n ∈ N, |un | = 1 d’où
lim |un | = 1. Or,
n→+∞
lim |un | = |l|, ainsi,
n→+∞
|l| = 1.
On a donc |0| = 1 ce qui est absurde.
Donc (un )n∈N n’a pas de limite en +∞.
3. (a) Soit n ∈ N, on a :
|un+1 | − |un | = |x|n+1 − |x|n = |x|n (|x| − 1) ≤ 0,
car 0 ≤ |x| < 1.
Donc la suite (|un |)n∈N est décroissante.
(b) On a, pour tout n ∈ N, |un | ≥ 0.
Donc la suite (|un |)n∈N est minorée par 0.
(c) La suite (|un |)n∈N est décroissante et minorée donc est convergente.
(d) Supposons l 6= 0, on a, pour tout n ∈ N :
|un+1 | = |xn+1 | = |x|.|xn | = |x|.|un |.
Donc, en faisant tendre n vers +∞, on a :
l = |x|.l.
Or l 6= 0, donc, |x| = 1 ce qui contredit l’hypothèse |x| < 1.
(e) On a donc lim |un | = 0.
n→+∞
Or, pour tout n ∈ N, on a : −|un | ≤ un ≤ |un |.
De plus, lim |un | = lim −|un | = 0.
n→+∞
n→+∞
Donc, d’après le théorème des gendarmes, lim un = 0.
n→+∞
4. (a) Soit n ∈ N, on a :
|un+1 | − |un | = |x|n+1 − |x|n = |x|n (|x| − 1) ≥ 0,
car |x| > 1.
Donc la suite (|un |)n∈N est croissante.
(b) i. Soit n ∈ N.
On considère la fonction définie, pour tout x ∈ [1, +∞[, par f (x) = xn − n(x −
1) − 1.
La fonction f est dérivable sur R et on a, pour tout x ∈ [1, +∞[ :
f 0 (x) = nxn−1 − n = n(xn−1 − 1) ≥ 0.
Donc f est croissante sur [1, +∞[.
Ainsi, pour tout x ∈ [1, +∞[, f (x) ≥ f (1), or f (1) = 0 donc, pour tout x ∈
[1, +∞[, f (x) ≥ 0. On a donc xn − n(x − 1) − 1 ≥ 0. Donc :
un ≥ n(x − 1) + 1.
46
ii. Comme x − 1 > 0, on a : lim n(x − 1) + 1 = +∞.
n→+∞
Donc, d’après le théorème de comparaison des limites :
lim un = +∞.
n→+∞
(c)
i. Soit n ∈ N, on a : |un | = |x|n .
Donc, d’après la question précédente appliquée à |x| > 1, on a :
lim |un | = +∞.
n→+∞
ii. Supposons que la suite (un )n∈N admette une limite en +∞.
Alors, comme lim |un | = +∞, on a lim un = +∞ ou −∞.
n→+∞
n→+∞
• Si lim un = +∞, alors lim un+1 = +∞ et, comme
n→+∞
n→+∞
−∞.
Donc, comme pour tout n ∈ N, un+1 = xun , on a, par
+∞ = −∞ ce qui est absurde.
• Si lim un = −∞, alors lim un+1 = −∞ et, comme
n→+∞
n→+∞
+∞.
Donc, comme pour tout n ∈ N, un+1 = xun , on a, par
−∞ = +∞ ce qui est absurde.
Donc la suite (un )n∈N n’a pas de limite en +∞.
10.3
x < 0,
lim xun =
n→+∞
passage à la limite :
x < 0,
lim xun =
n→+∞
passage à la limite :
Récurrences
1. (a) – Pour n = 0, on a v0 = 1 ≥ 0.
– Soit n ∈ N, supposons que vn ≥ 0.
On a vn+1 = (n + 1)vn , donc, comme n + 1 ≥ 0 et vn ≥ 0, on a vn+1 ≥ 0.
On a donc prouvé par récurrence que, pour tout n ∈ N, vn ≥ 0.
(b) Soit n ∈ N, on a :
vn+1 − vn = (n + 1)vn − vn = nvn ≥ 0.
Donc la suite (vn )n∈N est croissante.
(c) – Pour n = 0, on a v0 = 1 ≥ 0.
– Soit n ∈ N, supposons que vn ≥ n.
On a vn+1 = (n + 1)vn , ainsi :
– Si n ≥ 1, comme vn ≥ n ≥ 1, on a vn+1 ≥ n + 1.
– Si n = 0, comme v0 = 1 ≥ 1, on a vn+1 ≥ n + 1.
Dans tous les cas, on a vn+1 ≥ n + 1.
On a donc prouvé par récurrence que pour tout n ∈ N, vn ≥ n.
(d) Comme lim n = +∞, on a, d’après le théorème de comparaison des limites :
n→+∞
lim vn = +∞.
n→+∞
(e) – Pour n = 1, on a v1 = 1.v0 = 1.
47
– Soit n ∈ N∗ , supposons que vn = 1 × 2 × 3 · · · × n.
On a alors :
vn+1 = (n + 1)vn = vn × (n + 1) = 1 × 2 × 3 · · · × n × (n + 1)
On a donc prouvé par récurrence que pour tout n ∈ N∗ ,
vn = 1 × 2 × 3 · · · × n.
2. (a) Soit x ∈ R,
fn0 (x) =
nxn−1 e−x + xn (−e−x )
nxn−1 e−x xn e−x
xn−1 e−x xn e−x
=
−
=
−
= fn−1 (x)−fn (x).
n!
n!
n!
(n − 1)!
n!
Donc :
fn0 = fn−1 − fn .
(b) Comme fn est une primitive de fn0 , on a :
Z 1
e−1
1
.
fn0 (x) dx = [fn (x)]0 =
n!
0
(c) On a :
Z
1
u0 =
0
1
e−x dx = −e−x 0 = −e−1 − (−1) = 1 − e−1 .
(d) Soit n ∈ N∗ , comme fn0 = fn−1 − fn , on a :
Z 1
Z 1
Z
0
fn (x) dx =
fn−1 (x) dx −
0
0
Donc :
1
fn (x) dx.
0
e−1
= un−1 − un .
n!
Ainsi :
un = un−1 −
(e) Soit n ∈ N∗ , comme
1
en!
1
.
en!
≥ 0, on a, d’après la question précédente :
un ≤ un−1 .
Donc la suite (un )n∈N est décroissante.
Z 1 −x n
xn e−x
e x
(f) Soient n ∈ N et x ∈ [0, 1], on a :
≥ 0, donc
dx ≥ 0.
n!
n!
0
Ainsi pour tout n ∈ N, un ≥ 0.
(g) La suite (un )n∈N est décroissante et minorée, elle est donc convergente.
(h) Soient n ∈ N et x ∈ [0, 1], comme 0 ≤ xn ≤ 1 et 0 ≤ e−x ≤ 1, on a :
xn e−x
1
≤ .
n!
n!
Donc, comme
R1
1
0 n!
dx =
1
n! ,
on a pour tout n ∈ N :
un ≤
48
1
.
n!
(i) On a, pour tout n ∈ N :
1
.
n!
1
Or d’après 1., lim n! = +∞, donc lim
= 0. Ainsi, d’après le théorème des
n→+∞
n→+∞ n!
gendarmes :
lim un = 0.
0 ≤ un ≤
n→+∞
10.4
1. (a) On a xA 6= xB donc A 6= B ainsi la droite (AB) est bien définie.
On a xA 6= xB donc la droite (AB) n’est pas verticale.
(b) Comme A et B sont des points de la droite (AB), on a yA = axA + b et yB = axB + b.
En soustrayant ces deux égalités, on a yA − yB = a(xA − xB ).
yA − yB
.
Et comme xA 6= xB , on obtient : a =
xA − xB
yA − yB
(c) On a donc, en réinjectant la valeur précédente : yA =
xA + b.
xA − xB
yA (xA − xB ) − (yA − yB )xA
xA yB − xB yA
yA − yB
xA =
=
.
Ainsi b = yA −
xA − xB
xA − xB
xA − xB
(a) Comme x0 6= 0, on a ~u 6= ~0 donc la droite D est bien définie.
On a x0 6= 0 donc la droite D n’est pas verticale.
−−→
(b) Soit B le point tel que AB = ~u, alors D = (AB).
De plus, xB − xA = x0 et yB − yA = y0 .
−y0
y0
yA − yB
Donc, d’après les questions précédentes, a =
=
=
.
xA − xB
−x0
x0
(c) En appliquant les résultats précédents, on a :
b=
xA yB − xB yA
xA (y0 + yA ) − (x0 + xA )yA
x0 yA − xA y0
=
=
.
xA − xB
−x0
x0
3. (a) Si x0 < 0 comme −~u est un vecteur directeur de D de coordonnées (−x0 , −y0 ) et
−x0 > 0, on peut, quitte à changer ~u en −~u, se ramener au cas où x0 > 0.
(b)
(c) Le vecteur ~u de coordonnées (cos θ, sin θ) est un vecteur directeur de D.
y0
sin θ
De plus, d’après la question 2.b, la pente de la droite D est a =
=
.
x0
cos θ
49
4. (a)
i. La pente de la droite D est :
a=
√
y0
3
= √ = 3.
x0
3
√
√
−2 3 − 3 3
√
On a b =
= −5, donc l’équation réduite de D est :
3
√
y = 3x − 5.
√
√
√
sin θ
On a cos
3, donc sin θ = 3 cos θ. Or cos2 θ + ( 3 cos θ)2 = 1, ainsi
θ = a =
1
1
cos2 θ = . De plus, θ ∈ − π2 , π2 , donc cos θ > 0, ainsi, cos θ = . De plus a > 0,
4
2
donc θ > 0, on a donc :
π
θ= .
3
ii. La pente de la droite D est :
√
y0
3
−1
a=
= √ =−
.
x0
3
3
√
On a b =
√
3+2 3
√
= 3, donc l’équation réduite de D est :
3
√
3
y=−
x + 3.
3
√
√
√
= a = − 33 , donc sin θ = − 33 cos θ. Or cos2 θ + (− 33 cos θ)2 = 1,
√
3
3
ainsi cos2 θ = . De plus, θ ∈ − π2 , π2 , donc cos θ > 0, ainsi, cos θ =
. De plus
4
2
a < 0, donc θ < 0, on a donc :
π
θ=− .
6
On a
sin θ
cos θ
iii. La pente de la droite D est :
yA − yB
a=
=
xA − xB
On a b =
D est :
√
√
√ 5√2
3 2
8.
2 .3 √ 2 −
√ 2
3 2
8
2 −
=
√
√
5 2
2√ − 3 2
√
3 2
8
2 −
9 − 10
√
− 22
√
=
2
√2
− 22
−
= 1.
√
2
= √ = 2, donc l’équation réduite de
2
y =x+
√
2.
1
= a = 1, donc sin θ = cos θ. Or cos2 θ + cos2 θ = 1, ainsi cos2 θ = . De
2
√
π π
2
plus, θ ∈ − 2 , 2 , donc cos θ > 0, ainsi, cos θ =
. De plus a > 0, donc θ > 0,
2
on a donc :
π
θ= .
4
On a
sin θ
cos θ
50
iv. La pente de la droite D est :
√
0−6
6
3
√ = − √ = − √ = − 3.
3+ 3
2 3
3
√
√
√
3.6 + 3.0
6 3
√
= √ = 3, donc l’équation réduite de D est :
On a b = √
3+ 3
2 3
√
y = − 3x + 3.
√
√
√
sin θ
2
2
On a cos
θ = a = − 3, donc sin θ = − 3 cos θ. Or cos θ + (− 3 cos θ) = 1,
1
1
ainsi cos2 θ = . De plus, θ ∈ − π2 , π2 , donc cos θ > 0, ainsi, cos θ = . De plus
4
2
a < 0, donc θ < 0, on a donc :
π
θ=− .
3
√ √ i. Le vecteur (cos θ, sin θ) est un vecteur directeur de D, or (cos θ, sin θ) = 22 , 22 =
a= √
(b)
√
2
2 (1, 1).
Ainsi (1, 1) est un vecteur directeur de D.
1
2.1 + 1.1
On a a = = 1 et b =
= 3, donc D a pour équation : y = x + 3.
1
1
√
ii. Le vecteur (cos θ, sin θ) est un vecteur directeur de D, or (cos θ, sin θ) = 23 , − 12 =
√
√
1
−1) est un vecteur directeur de D.
2 ( 3, −1). Ainsi ( 3,√
√
√
−1
6 3+2 3
3
√
On a a = √ = −
et b =
= 8, donc D a pour équation :
3
3
3
√
y = − 33 x + 8.
10.5
1. (a) On a :
1
> 0, donc f est strictement croissante sur ] − ∞, 2],
2
7
7
• pour x > 2, f 0 (x) = 2x − > 4 − > 0, donc f est strictement croissante sur
2
2
]2, +∞[.
De plus :
x
lim f (x) = lim
= −∞,
x→−∞
x→−∞ 2
et
7
lim f (x) = lim x2 − x + 4 = +∞.
x→+∞
x→+∞
2
On obtient donc la courbe suivante :
• pour x < 2, f 0 (x) =
51
(b) On a :
• si x ≤ 2 :
Z
x
Z
x
f (t) dt =
0
si x > 2 :
Rx
0
0
2 x
t
t
x2
dt =
=
,
2
4 0
4
=
R2
Rx
f (t) dt + 2 f (t) dt
R02 t
Rx 2 7
dt + (t − 2 t + 4) dt
h02 2i2 h 32
ix
t
7t2
t
−
+
4t
+
4
3
4
=
=
1 + x3 − 7x4 + 4x −
x3
7x2
8
3 − 4 + 4x − 3 .
f (t) dt =
=
03
2
2
8
3
+7−8
2. (a) Soient a, b ∈ R on a :
1+
a
b
(x + 1)(x − 1) + a(x − 1) + b(x + 1)
x2 + (a + b)x − 1 − a + b
+
=
=
x+1 x−1
(x + 1)(x − 1)
x2 − 1
Or :
a + b = −1
⇔
−1 − a + b = −6
a = −1 − b
⇔
2b = −6
a=2
b = −3
Ainsi a = 2 et b = 3 conviennent.
(b) On a :
I
=
=
=
=
=
=
=
R5
R35
x2 −x−6
x2 −1 dx
2
3
1 + x+1
+ x−1
3
dx
5
[x + 2 ln(x + 1) + 3 ln(x − 1)]3
5 + 2 ln 6 + 3 ln 4 − 3 − 2 ln 4 − 3 ln 2
2 + 2 ln 6 + ln 4 − 3 ln 2
2
2 + ln 623.4
2 + ln 18
3. (a) Soit x ∈ R+∗ , on a :
f 0 (x) = 2x ln x + x2 .
52
1
= 2x ln x + x.
x
(b) On a :
J
=
Re
x ln x dx
R1e f 0 (x)−x
dx
2
1R
1 e 0
(f
(x)
−ix) dx
2 h1
e
1
x2
f
(x)
−
2
2
1
1
e2
f
(e)
−
−
f (1) + 12
2 2
1
e2
1
2
e
−
−
0
+
2
2
2
=
e2 +1
4
=
=
=
=
=
10.6
1. (a) On a la figure suivante :
On remarque donc que :
cos(π − θ) = − cos θ
De plus, on a :
cos(π − θ) = cos π cos θ + sin π sin θ = (−1). cos θ + 0. sin θ = − cos θ.
(b) On a la figure suivante :
sin(π + θ) = − sin θ
53
De plus, on a :
sin(π + θ) = sin π cos θ + cos π sin θ = 0. cos θ + (−1). sin θ = − sin θ.
(c) On a :
π
2π
π
1
= − cos = − ,
= cos π −
3
3
3
2
et :
π
π
1
7π
= − sin = − .
= sin π +
sin
6
6
6
2
(d) On a la figure suivante :
cos
cos
π
− θ = sin θ
2
De plus, on a :
π
π
π
cos
− θ = cos cos θ + sin sin θ = 0. cos θ + 1. sin θ = sin θ.
2
2
2
(e) La figure précédente permet de remarquer que :
π
sin
− θ = cos θ
2
De plus, on a :
π
π
π
sin
− θ = sin cos θ − cos sin θ = 1. cos θ − 0. sin θ = cos θ.
2
2
2
2. (a) Soit x ∈ R, on a :
cos x = sin θ
⇔ cos x = cos π2 − θ
⇔ x = ± π2 − θ + 2kπ, k ∈ Z.
Donc les solutions sont :
x=±
π
2
− θ + 2kπ, k ∈ Z.
(b) On a :
√
√
π √ π
π
2 cos x −
= 2 cos cos x + sin sin x = 2
4
4
4
54
√
!
√
2
2
cos x +
sin x = cos x+sin x.
2
2
(c) Soit x ∈ R, on a :
cos x + sin x =
√
2=
√
√
√
π
⇔
2 cos x −
2 sin θ
4 =
π
⇔ cos
x
−
=
sin
θ
4
√
2x − π4 = ±θ + 2kπ, k ∈ Z,
⇔
2 sin θ
d’après la question précedente.
π
x = ± θ + 2kπ, k ∈ Z.
4
Dans le cas particulier θ =
3π
4 ,
les solutions sont :
x = π + 2kπ et x = −
π
+ 2kπ, k ∈ Z.
2
(d) Soit x ∈ R, on a :
√
√
π
⇔
2 cos x −
2 cos θ − π4
4 =
⇔ cos x − π4 = cos θ − π4
⇔ x − π4 = ± θ − π4 + 2kπ, k ∈ Z.
cos x + sin x = cos θ + sin θ
x=
10.7
π
π ± θ−
+ 2kπ, k ∈ Z.
4
4
1. (a) •
•
•
•
f (0) = cos π3 = 12 ,
π
π
π
f π6 =
cos
+
=
cos
= 0,
6
3
2
π
π
π
f − 3 = cos − 3 + 3 = cos (0) = 1,
√
f − π6 = cos − π6 + π3 = cos π6 = 23 .
(b) • La dérivée de x 7→ x +
π
3
est x 7→ 1, donc, pour tout x ∈ R :
π
f 0 (x) = − sin x +
3
• Si x ∈ −π3 , 5π
3 , alors x +
• Soit x ∈ − π3 , 5π
3 , on a :
π
3
∈ [0, 2π].
f 0 (x) ≤ 0
⇔ sin x + π3 ≥ 0
⇔ x + π3 ∈ [0, π]
⇔ x ∈ − π3 , 2π
3
5π
Ainsi f est décroissante sur − π3 , 2π
et croissante sur 2π
3
3 , 3 .
(c) On obtient donc la courbe suivante :
55
(d) • On a, pour tout x ∈ R :
π
π
f (x + 2π) = cos x + + 2π = cos
= f (x).
3
3
Donc f est 2π-périodique.
• L’intervalle − π3 , 5π
est de longueur 2π, donc on obtient la courbe
3
représentative
π 5π
de f sur un intervalle quelconque en partant de celle sur − 3 , 3 et en effectuant
des translations horizontales de multiples de 2π.
• On obtient donc la courbe suivante :
(e) On a :
On remarque que l’on passe de la courbe représentative de cos à celle de f par une
translation horizontale de − π3 .
56
2. (a) • g(0) = cos(0) = 1,
• g π4 = cos π2 = 0,
• g π2 = cos (π) = −1.
(b) La dérivée de x 7→ 2x est x 7→ 2, donc, pour tout x ∈ R :
g 0 (x) = −2 sin (2x)
• Si x ∈ [0, π], alors 2x ∈ [0, 2π].
• Soit x ∈ [0, π], on a :
g 0 (x) ≤ 0
⇔ sin (2x) ≥ 0
⇔ 2x ∈ [0, π]
⇔ x ∈ 0, π2
Donc g est décroissante sur 0, π2 et g est croissante sur π2 , π .
(c) On obtient donc la courbe suivante :
(d) Soit x ∈ R, on a :
g(x + π) = cos(2(x + π)) = cos(2x + 2π) = cos(2x) = g(x).
(e) On obtient la courbe représentative de g sur un intervalle quelconque en partant de
celle sur [0, π] (qui est de longueur π) et en effectuant des translations horizontales de
multiples de π. On a donc :
57
10.8
Nombres complexes
1. (a) On a :
eiθ + e−iθ
cos θ + i sin θ + cos θ − i sin θ
=
= cos θ,
2
2
et
(b)
eiθ − e−iθ
cos θ + i sin θ − cos θ + i sin θ
=
= sin θ.
2i
2i
i. On a, d’après la question précédente :
p−q
p−q
p+q
p+q
p−q
2ei 2 cos
= ei 2 ei 2 + e−i 2 .
2
Donc :
i p+q
2
2e
cos
p−q
2
p+q
p−q
2 +i 2
= ei
+ ei
p+q
p−q
2 −i 2
= eip + eiq .
ii. On a, d’après la question précédente :
p−q
p−q
p+q
p−q
i p+q
2
sin
= ei 2 ei 2 − e−i 2 .
2ie
2
Donc :
2iei
p+q
2
sin
p−q
2
= ei
p+q
p−q
2 +i 2
− ei
Ainsi :
ip
e −e
iq
= 2ie
i p+q
2
sin
p+q
p−q
2 −i 2
p−q
2
= eip − eiq .
.
(c) On a :
i p+q
p − q 2
|e + e | = 2e
cos
.
2
ip
Or, |ei
p+q
2
iq
| = 1, donc :
p − q |e + e | = 2 cos
.
2
ip
De même :
iq
p+q
p − q sin p − q .
|eip − eiq | = 2iei 2 sin
=
2
2
2
2. (a) En appliquant les formules précédentes :
π
−
|z1 | = 2 cos 4
2
et
π
|z2 | = 2 sin
58
4
−
2
π
12
π
12
= 2 cos
π
,
12
= 2 sin
π
.
12
(b) D’après la question 1.b,
z1 = 2ei
π+ π
4
12
2
π
4
cos
−
2
π
12
= 2 cos
Ainsi :
arg(z1 ) =
π
π iπ
e 6 = |z1 |ei 6 .
12
π
.
6
De même,
z2 = 2iei
π+ π
4
12
2
π
4
sin
−
2
π
12
= 2i sin
Ainsi :
arg(z2 ) =
π
2π
π
π iπ
e 6 = |z2 |ei 6 +i 2 = |z2 |ei 3 .
12
2π
.
3
3. (a) En appliquant les formules précédentes :
|z3 | = 2 cos
et
|z4 | = 2 sin
− 13π
15 −
2
− 13π
15 −
2
π
5
π
5
8π
8π
= 2 cos −
= 2 cos
,
15
15
8π
8π
= 2 sin −
= −2 sin
.
15
15
(b) D’après la question 1.b,
z3 = 2e
i
− 13π + π
15
5
2
cos
− 13π
15 −
2
π
5
= 2 cos
Ainsi :
arg(z3 ) = −
8π
15
e−i
2π
3
= |z3 |e−i
2π
3
.
2π
.
3
De même,
z4
=
2iei
− 13π + π
15
5
2
= −i|z4 |e−i
2π
3
sin
=
π
−i 2π
− 13π
15 − 5
3
= 2i sin 8π
2
15 e
π
7π
5π
−i 2π
−i
−i
|z4 |e 3 2 = |z4 |e 6 = |z4 |ei 6 .
Ainsi :
arg(z4 ) =
5π
.
6
4. (a) On a −π < p ≤ π et −π ≤ −q < π, donc, en sommant ces inégalités, −2π < p−q < 2π.
(b) • Si p − q ∈ [−π, π], alors p−q
[− π2 , π2 ], donc cos p−q
≥ 0.
2 ∈
2
Ainsi, |eip + eiq | = 2 cos p−q
.
2
D’où, d’après 1.b :
p+q
eip + eiq = 2ei 2 cos p−q
2
p+q
= |eip + eiq |ei 2
Donc eip + eiq a pour argument
p+q
.
2
59
π π
• Si p − q 6∈ [−π, π], alors p−q
2 ∈]− π, π[\[− 2 , 2 ], donc cos
p−q
Ainsi, |eip + eiq | = −2 cos 2 .
p+q
eip + eiq = 2ei 2 cos p−q
2p+q
= −|eip + eiq |ei 2
p+q
= eiπ |eip + eiq |ei 2
p+q+2π
= |eip + eiq |ei 2
p + q + 2π
.
2
p−q
≥ 0.
(c) • Si p − q ∈ [0, 2π[, alors p−q
2 ∈ [0, π[, donc sin
2
Ainsi, |eip + eiq | = 2 sin p−q
.
2
p+q
eip − eiq = 2iei 2 sin p−q
2
p+q
= i|eip − eiq |ei 2
p+q
π
= ei 2 |eip − eiq |ei 2
p+q+π
= |eip − eiq |ei 2
Donc eip + eiq a pour argument
p+q+π
.
2
p−q
• Si p − q 6∈ [0, 2π[, alors 2 ∈] − π, 0[, donc sin p−q
< 0.
2
Ainsi, |eip − eiq | = −2 sin p−q
.
2
p+q
eip − eiq = 2iei 2 sin p−q
2p+q
= −i|eip − eiq |ei 2
p+q
3π
= ei 2 |eip − eiq |ei 2
p+q+3π
= |eip − eiq |ei 2
Donc eip − eiq a pour argument
Donc eip − eiq a pour argument
p + q + 3π
.
2
60
p−q
2
< 0.

Exercices de rentrée MPSI-PCSI - Lycée Saint

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