CHAPITRE 05 : TRIGONOMETRIE.

M. ETIENNE
http://www.sylvain-etienne.fr/
2013/2014
Chapitre 05
Cours
CHAPITRE 05 : TRIGONOMETRIE.
OBJECTIFS :
1. Connaître les relations entre le cosinus, le sinus, la tangente d’un angle aigu et les
longueurs de deux des côtés d’un triangle rectangle.
2. Savoir utiliser ces relations.
3. Savoir déterminer des valeurs approchées, à l’aide de la calculatrice, de longueur de côté
ou de mesure d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Activités : Activité 8 (TI).
I. DEFINITIONS.
A. COSINUS D’UN ANGLE AIGU.
Définition 1 :
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient :
longueur du côté adjacent
.
longueur de l'hypoténuse
Exemple 1 :
Dans le triangle ABC rectangle en A cicontre, le côté adjacent à l’angle ABC est le
côté [ AB ] et l’hypoténuse de ce triangle est le
côté [ BC ] .
(
)
On a donc : cos ABC =
AB
.
BC
Remarque 1 :
Les longueurs sont des nombres positifs. De plus, l’hypoténuse est toujours plus grande que
(
)
l’un des deux autres côtés. Nous avons donc : 0 < cos ABC < 1 .
B. SINUS D’UN ANGLE AIGU.
Définition 2 :
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est égal au quotient :
longueur du côté opposé
.
longueur de l'hypoténuse
Exemple 2 :
Dans le triangle ABC rectangle en A cicontre, le côté opposé à l’angle ABC est le côté
[ AC ] et l’hypoténuse de ce triangle est le côté
[ BC ] .
(
)
On a donc : sin ABC =
AC
.
BC
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Remarque 2 :
Les longueurs sont des nombres positifs. De plus, l’hypoténuse est toujours plus grande que
(
)
l’un des deux autres côtés. Nous avons donc : 0 < sin ABC < 1 .
Remarque 3 :
(
)
Dans l’exemple 2, nous avons : cos ACB =
(
)
(
)
AC
, donc sin ABC = cos ACB .
BC
C. TANGENTE D’UN ANGLE AIGU.
Définition 3 :
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est égal au quotient :
longueur du côté opposé
.
longueur de côté adjacent
Exemple 3 :
Dans le triangle ABC rectangle en A cicontre, le côté adjacent à l’angle ABC est le
côté [ AB ] et l’hypoténuse de ce triangle est le
côté [ BC ] .
(
)
On a donc : tan ABC =
AC
.
AB
Remarque 4 :
(
)
Les longueurs sont des nombres positifs. Nous avons donc : 0 < tan ABC .
Remarque 5 :
Un moyen pour retenir les définitions est l’anagramme : CAH SOH TOA où par exemple S
désigne le Sinus d’un angle aigu égal au quotient de la longueur du côté Opposé (O) par la longueur
de l’Hypoténuse (H).
II. METHODES.
Méthode 1 : Pour calculer la longueur d’un côté.
RST est un triangle rectangle en R. Nous avons RS = 5 cm et RST = 30° . Combien mesure
la distance ST à 1 millimètre près ?
• Commencer par faire un schéma.
•
Déterminer alors l’outil qui va être utilisé : on connait un angle, son côté adjacent et on
cherche l’hypoténuse, c’est donc le cosinus qui va être utilisé.
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RS
.
ST
On conduit les calculs en utilisant ici un produit en « Y » et la calculatrice :
On écrit la phrase : RST est un triangle rectangle en R, donc cos RST =
D’où BC =
5 ×1
et ainsi : BC ≈ 5,8 cm .
cos ( 30° )
Méthode 2 :
LMP est un triangle rectangle en P. Nous avons : PL = 3 cm et PM = 7 cm . Quelle est la
mesure de l’angle PLM au degré près ?
• Commencer par faire un schéma.
•
•
•
III.
Déterminer alors l’outil qui va être utilisé : on connait les deux côtés de l’angle droit et
on cherche un angle, c’est donc la tangente qui va être utilisée.
PM
On écrit la phrase : LMP est un triangle rectangle en P, donc tan PLM =
.
PL
On conduit les calculs en utilisant la calculatrice (touche tan −1 , Atn ou Arctan ) :
7
tan PLM = d’où : PLM ≈ 67° .
3
(
(
)
)
RELATIONS TRIGONOMETRIQUES.
Proposition 1 :
Soit x la mesure en degré d’un angle aigu, nous avons :
( cos ( x ) ) + ( sin ( x ) )
2
tan ( x ) =
sin ( x )
cos ( x )
2
=1.
.
Exemple 4 :
Soit x la mesure d’un angle aigu tel que cos ( x ) = 0, 6 .
La première formule permet de trouver le sinus de cet angle :
( cos ( x ) ) + ( sin ( x ) )
2
( 0, 6 ) + ( sin ( x ) )
2
2
2
=1
=1
0,36 + ( sin ( x ) ) = 1
2
( sin ( x ) )
2
= 1 − 0,36 = 0, 64
Comme le sinus d’un angle est positif, nous avons donc : sin ( x ) = 0, 64 = 0,8 .
La seconde formule permet de déterminer la tangente de cet angle :
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tan ( x ) =
sin ( x )
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cos ( x )
0,8 4
=
0, 6 3
Une valeur approchée de la tangente de l’angle est 1,33 .
tan ( x ) =
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