BREVET – 3 exercices de trigonométrie et leur corrigé
Transcription
BREVET – 3 exercices de trigonométrie et leur corrigé
BREVET – 3 exercices de trigonométrie et leur corrigé Exercice 1 : (Clermont-Ferrand 1999) Le triangle LMN est rectangle en M et [MH] est sa hauteur issue de M. On donne : ML = 2,4 cm , LN = 6,4 cm 1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle . On donnera le résultat sous forme d'une fraction simplifiée. 2) Sans calculer la valeur de l'angle , calculer LH. Le résultat sera écrit sous forme d'un nombre décimal. Exercice 2 (Toulouse 1997) On considère le triangle ABC rectangle en A tel que AB = 5, BC = 9, l'unité étant le cm. a) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. b) Calculer la valeur exacte de AC. c) Calculer la mesure de l'angle (ABC) à un degré près par défaut. d) Le cercle de centre B et de rayon AB coupe le segment [BC] en M. La parallèle à la droite (AC) qui passe par M coupe le segment [AB] en N. Compléter la figure et calculer la valeur exacte de BN. Exercice 3 (Problème, France métropolitaine 2007) Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit. Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre. - Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. - Le triangle HIE est rectangle en I. - Le quadrilatère IEAB est un rectangle. - La hauteur du sol au sommet du toit est HB. On donne : AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5 Partie I On suppose dans cette partie que AE = 2 . 1) Justifier que HI = 3 . 2) Démontrer que HE = 3, 75 . 3) Calculer au degré près la mesure de l'angle du toit avec la maison. Partie II = 45° et Dans cette partie, on suppose que on désire déterminer AE. 1) Quelle est la nature du triangle HIE dans ce cas ? Justifier. 2) En déduire HI puis AE. Partie III Dans cette partie, on suppose que = 60° et on désire déterminer AE. 1) Déterminer la valeur arrondie au cm de HI. 2) En déduire la valeur arrondie au cm de AE. Corrigé de l’exercice 1 1) Calculer la valeur exacte du cosinus de l'angle 2) Sans calculer la valeur de l'angle . , calculer LH. Si on considère le triangle rectangle LHM, nous avons : Les deux angles et étant identiques, . Corrigé de l’exercice 2 a) Construire le triangle ABC en vraie grandeur. b) Calculer la valeur exacte de AC. Le triangle ABC est rectangle en A par hypothèse. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore : AC2 + AB2 = BC2 AC2 + 52 = 92 AC2 = 92 - 52 AC2 = 81 - 25 AC2 = 56 ou AC = AC = AC est une longueur donc un nombre positif : La valeur exacte de AC est . c) Calculer la mesure de l'angle à un degré près par défaut. ABC est un triangle rectangle par hypothèse. On peut donc utiliser la trigonométrie. Par rapport à l'angle , on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse : on va donc utiliser le cosinus. La calculatrice donne environ 56,2°. L'angle mesure 56° à une unité près d) Compléter la figure et calculer la valeur exacte de BN. Dans le triangle ABC, la droite (MN) est parallèle au segment [AC]. On peut utiliser le théorème de Thalès. On a : M est le point d'intersection du cercle et du segment [BC] donc le segment [BN] est un rayon et il mesure 5 cm. Le segment [BN] mesure cm. Corrigé de l’exercice 3 Partie I 1) Les droites (IE) et (BA) sont deux perpendiculaires à HB et donc sont parallèles. Le quadrilatère BAEI qui a un angle droit en B est donc un rectangle et IB = AE = 2. I étant situé entre H et B, nous avons HI + IB = HB ou HI = HB - IB = 5 - 2 = 3. 2) BAEI étant un rectangle, IE = AB = 2,25. Appliquons le théorème de Pythagore au triangle rectangle HIE pour déterminer la longueur HE. HE2 = HI2 + IE2 = 32 + 2,252 = 9 + 5,0625 = 14,0625 = 3,752. donc HE = 3,75. 3) ; Cette valeur correspond à un angle de 37° à un degré près. Partie II Si l'angle mesure 45°, le triangle HIE est isocèle rectangle en I et HI = IE = 2,25. Nous pouvons en déduire que IB = HB - HI = 5 - 2,25 = 2,75. AE qui est le côté opposé à BI dans le rectangle AEIB a la même mesure que IB. Donc AE = 2,75. Partie III Si l'angle mesure 60°, à 1 cm près, HI = 1,3 m. AE = BI = HB - HI = 5 - 1,3 = 3,7. à 1 cm près, AE = 3,7 m.
Documents pareils
Correction du diplôme national du Brevet Métropole
Si ABC était rectangle en C, alors [AB] serait un diamètre du cercle. Cependant, le centre du
cercle O n’appartient pas à ce segment, ce n’est donc pas un diamètre.
ABC n’est pas rectangle.
2. Figu...
Brevet Juin 2007 - France métropolitaine
Brevet Juin 2007 - France métropolitaine - Série Collège - Sujet
Problème
Dans le jardin de sa nouvelle maison, M. Durand a construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir
d'un toit. P...