Systèmes de coordonnées du plan et de l`espace

Systèmes de coordonnées du plan et de l'espace
I- Systèmes de coordonnées dans le plan
I-1 Coordonnées cartésiennes
I-1-a) Définition
Un point M quelconque du plan peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes (x,y) dans la base
r r
orthonormée u x , u y .
M'
y + dy
2
dS
M
y
On peut alors écrire :
r
r
r
OM = x. u x + y. u y
avec ( x, y) ∈ℜ 2
r
uy
O
r
ux
x + dx
x
I-1-b) Déplacement infinitésimal
On renvisage le déplacement infinitésimal du point M(x,y) au point M'(x+dx, y+dy). Le déplacement
MM' peut alors s'écrire :
r
r
r
r
MM' = dx.ux +dy.uy = dOM
I-1-c) Elément de surface infinitésimal
On considère la surface infinitésimale engendrée par le déplacement du point M précédemment
décrit. L'aire de cette surface est donnée par:
d2S = dx.dy
I-2 Coordonnées polaires
I-2-a) Définition
M'
d2S
dr
M
r
uy
O
r
dθ
r
uθ
r
ux
θ
On peut alors écrire :
r
r
OM = r. u r
avec r≥0 et 0 ≤ θ ≤ 2π
r
ur
Un point M quelconque du plan peut être repéré
par ses coordonnées polaires (r,θ) dans la base
r r
orthonormée u r , u θ .
I-2-b) Déplacement infinitésimal
On renvisage le déplacement infinitésimal du point M(r,θ) au point M'(r+dr, θ+dθ). Le déplacement
MM' peut alors s'écrire :
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r
r
r
r
MM ' = dr. u r + r. dθ. u θ = dOM
I-2-c) Elément de surface infinitésimal
On considère la surface infinitésimale engendrée par le déplacement du point M précédemment
décrit. L'aire de cette surface est donnée par:
d2S = dr.r.dθ
II- Systèmes de coordonnées dans l'espace
II-1 Coordonnées cartésiennes
II-1-a) Définition
Un point M quelconque de l'espace peut être repéré par ses coordonnées cartésiennes x, y et z dans
r r r
la base associée au repère cartésien (O, u x , u y , u z ).
z + dz
z
d3τ
M'
r
uz
r
ux
O
r
r
r
r
On peut alors écrire : OM = x. u x + y. u y + z. u z
Avec (x,y,z) ∈ℜ 3
M
y
r
uy
y + dy
x
x + dx
d 2S z
II-1-b) Déplacement infinitésimal
On envisage le déplacement
infinitésimal du point M(x,y,z) au point M'(x+dx, y+dy, z + dz). Le
r
déplacement MM' peut alors s'écrire :
r
r
r
r
r
MM ' = dx. u x + dy. u y + dz. u z = dOM
II-1-c) Elément de volume infinitésimal
On considère le volume infinitésimal d3τ engendré par le déplacement du point M précédemment
décrit. Ce volume est donné par:
d3τ = dx.dy.dz
II-1-d) Elément de surface infinitésimal
Fixant l’une des coordonnée, le point M se déplace dans une surface élémentaire d’aire :
d2Sx = dy.dz si l’on fixe l’abscisse x ;
d2Sy = dx.dz si l’on fixe l’ordonnée y;
d2Sz = dx.dy si l’on fixe la côte z
II-2 Coordonnées cylindriques
II-2-a) Définition
Un point M de l’espace peut être repéré par ses coordonnées cylindriques r, θ et z dans la base
r r r
associée au repère cylindrique (O, u r , u θ , u z ).
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r
r
r
On peut alors écrire : OM = r. u r + z. u z
avec r≥0; 0 ≤ θ ≤ 2π et z ∈ℜ .
II-2-b) Déplacement infinitésimal
On envisage le rdéplacement infinitésimal du point M(r,θ,z) au point M'(r+dr, θ+dθ, z+dz). Le
déplacement MM' peut alors s'écrire :
r
r
r
r
r
MM ' = dr. u r + r. dθ. u θ + dz. u z = dOM
II-2-c) Elément de volume infinitésimal
On considère le volume infinitésimal d3τ engendré par le déplacement du point M précédemment
décrit. Ce volume est donné par:
d3τ = dr.r.dθ.dz
II-2-d) Elément de surface infinitésimal
Fixant l’une des coordonnée, le point M se déplace dans une surface élémentaire d’aire :
d2Sr = rdθ.dz si l’on fixe le rayon r ;
d2Sθ = dr.dz si l’on fixe l’angle θ;
d2Sz = dr. rdθ si l’on fixe la côte z
II-3 Coordonnées sphèriques
II-3-a) Définition
Un point M de l’espace peut être repéré par ses coordonnées sphèriques r, θ et ϕ dans la base
r r r
associée au repère sphérique (O, u r , u θ , u ϕ ).
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On peut alors écrire :
r
r
OM = r. u r
avec r≥0 ; 0 ≤ θ ≤ π et 0 ≤ ϕ ≤
2π.
z
M
θ
r
r
ur
m
O
r
uϕ
Le domaine de variation de l’angle θ peut surprendre. En fait, faire varier θ
sur un intervalle de longueur 2π reviendrait à parcourir 2 fois l’espace.
Le système de coordonnées sphériques s’inspire de la localisation
géographique d’un point à la surface de la terre. L’angle ϕ représente l’angle
de longitude tandis que l’angle θ représente le complémentaire de l’angle de
latitude.
r
uθ
Dans le plan OMm
II-3-b) Déplacement infinitésimal
On envisage le rdéplacement infinitésimal du point M(r,θ,z) au point M'(r+dr, θ+dθ, ϕ+dϕ). Le
déplacement MM' peut alors s'écrire :
r
r
r
r
r
MM' = dr.ur +r.dθ.uθ + r. sin(θ).dϕ.uϕ = dOM
II-3-c) Elément de volume infinitésimal
On considère le volume infinitésimal d3τ engendré par le déplacement du point M précédemment
décrit. Ce volume est donné par:
d3τ = dr.r.dθ.r.sin(θ).dϕ
II-3-d) Elément de surface infinitésimal
Fixant l’une des coordonnée, le point M se déplace dans une surface élémentaire d’aire :
d2Sr = rdθ. r.sin(θ).dϕ si l’on fixe le rayon r ;
d2Sθ = dr. r.sin(θ).dϕ si l’on fixe l’angle θ;
d2Sϕ = dr. rdθ si l’on fixe l’angle ϕ
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