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Expressions du gradient _cartésien, cylindrique, sphérique
Complément mathématique Expression de grad en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques 1 En coordonnées cartésiennes FIGURE 1 Coordonnées cartésiennes On part de , , ,, ,, ,, , , , , , , . , . . Par identification, on trouve : !"#, $, % ,, , d’où : &"#, $, % &"#, $, % &"#, $, % $ % '# ' ' &# &$ &% COMPLEMENT MATHEMATIQUE Expressions du gradient Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ 2 En coordonnées cylindriques FIGURE 2 Coordonnées cylindriques (à gauche) et base locale cylindrique (à droite) ( ) , * ( ( * * , , ), (,*, (,*, ) (,*, , d’où : . puis ( * !", +, % &", +, % , &", +, % &", +, % % ' '+ ' & &% &+ 2/3 COMPLEMENT MATHEMATIQUE Expressions du gradient Thierry ALBERTIN http://ts2-thierrymaulnier.wifeo.com/ 3 En coordonnées sphériques FIGURE 3 Coordonnées sphériques (à gauche) et base locale sphérique (à droite) ( ) , * -./)0 1 ( ( * * 1 , 1 , ), 0 (,*,1 (,*,1 ) (,*,1 0, d’où : . puis ( !", +, 2 * 1 &", +, 2 , &", +, 2 , &", +, 2 ' '+ '2 &+ &2 & 345+ 3/3
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la distance r de l'origine à sa
projection sur Oxy ;
l'angle θ que fait la projection du
vecteur sur le plan Oxy par
rapport à Ox ;
la hauteur h du point par rapport
au plan Oxy.
