Feuilles 1,2,3 4 et 5

Math 202 PC. Exercices 2009/2010
PARTIE I : Calcul différentiel.
Feuille I –Fonctions de plusieurs variables : généralités, limites, continuité
1.1) Généralités. Fonctions de plusieurs variables, domaine de définition, image. Graphe, traces et courbes de niveau.
1.2) Limite d’une application en un point. Limite d’une application en un point, unicité. Propriétés (opérations,
gendarmes, composition). Limites suivant un chemin. Fonctions usuelles et exemples de calcul.
1.3) Continuité . Définition et exemples. Propriétés (opérations, composition de fonctions continues, fonctions
usuelles).
Exercice 1
Déterminer et représenter les domaines de définition pour chacune des fonctions suivantes.
p
√
1
b. f (x, y) = 2x + y 2 .
c. f (x, y) = p
.
a. f (x, y) = x + y.
2
x + y2
p
√
1
x2 − 4 + 4 − y 2
p
d. f (x, y) = √
.
e. f (x, y) = arcsin(x + y).
f. f (x, y) =
.
x+y
9 − x2 − y 2
p
x sin y + ln(x + 5y).
p
j. f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 − z 2 .
g. f (x, y) =
i. f (x, y) = ln(x + y 2 )
h. f (x, y) = ln(1 − xy).
k. f (x, y, z) =
1
.
x + y + |z|
Exercice 2
Dessiner (à l’aide des traces) les graphes des fonctions suivantes :
1. f (x, y) = cos x. Décrire précisément les intersections avec les plans d’équation {y = k}.
2. f (x, y) = 4x2 + y 2 .
3. f (x, y) = −xy. Indiquer les courbes de niveau correspondant respectivement à {z = 1} et {z = −1}.
4. f (x, y) = x2 − y 2 .
Exercice 3
Déterminer l’ensemble image des fonctions suivantes :
a.f (x, y) = cos x
b.f (x, y) = ln(2x − y + 1).
c.f (x, y) = y 2 exy .
d. f (x, y) = x2 − y 2 .
Exercice 4
Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0, 0) et donner leurs valeurs si elles existent.
a.
d.
g.
x2 − y 2
.
x2 + y 2
b.
x2 y
.
+ y2
e.
x2
e
−|x − y|
x2 − 2xy + y 2
k.
(x + y)2
.
x2 + y 2
o.
sin x − sin y
.
shx − shy
x2 − 2xy + y 2
.
x2 + y 2
1+x+y
.
x2 − y 2
c.
xy + y 2
.
x2 + 4xy + y 2
f.
|x − y|
.
x2 − 2xy + y 2
!
1 + x2 + y 2
sin y
y
h.
l.
i. |x|y .
xy
.
x+y
p.
sin x
.
cos y − chx
1
m.
xy 6
.
x6 + y 8
q.
sin x − y
.
x − sin y
j.|x|1/y .
n.
x2 + y 2
.
x4 + y 4
r.
sin x4 + (1 − cos y)2
.
4x4 + y 4
s.
1 − cos(xy)
.
y2
w.
x3 + y 3
.
x2 + y 2
t.
x.
ch(xy) − cos(xy)
.
x2 y 2
x3 − y 3
.
x2 + y 2
y.
u.
sin x − y
.
x − sin y
v.
[(x − 1)2 + y 2 ] ln[(x − 1)2 + y 2 ]
.
|x| + |y|
Exercice 5
Etudier la continuité des fonctions suivantes.
(
(x+2y)3
si (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
a. f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
(
sin(xy)
si y 6= 0,
y
b. f (x, y) =
x
si y = 0
(
x2
e− |y|
si y 6= 0,
c. f (x, y) =
0
si y = 0
xy
e −1
si (x, y) 6= (0, 0),
x2 +y 2
d. f (x, y) =
0
si (x, y) = (0, 0)
(
e. f (x, y) =
f. f (x, y) =
z.
x3 y 5
(x2 +y 2 )2
(x2 + y 2 ) sin
0
0
1
xy
sin x4 + sin y 4
p
.
x4 + y 4
|y|α
, α ∈ R.
+ |y|
x2
si (x, y) 6= (0, 0),
si (x, y) = (0, 0)
si xy 6= 0,
si xy = 0
Exercice 6
x2 y 2
possède la propriété suivante : les
x2 y 2 + (x − y)2
existent et sont égales mais f n’a pas de limite en (0, 0).
a. Vérifier que la fonction définie pour (x, y) 6= (0, 0) par f (x, y) =
limites itérées
lim lim f (x, y) et
x→0 y→0
lim lim f (x, y)
y→0 x→0
1
1
sin possède la propriété suivante : aucune des
x
y
n’existe mais f a bien la limite nulle en (0, 0).
b. Vérifier que la fonction définie pour xy 6= 0 par f (x, y) = (x + y) sin
limites itérées
lim lim f (x, y) et
x→0 y→0
lim lim f (x, y)
y→0 x→0
2
Feuille II : Calcul differentiel I
Math 202 PC
• Dérivées partielles du premier ordre pour les fonctions numériques. Dérivée directionnelle.
• La différentiabilité, définition, conditions nécessaires (la continuité, la dérivabilité ”partielle”) , condition suffisante (C 1 ).
Proprietes sur la somme, le produit de fonctions différentiables.
• La différentielle : df = fx dx + fy dy. La différentielle d’une application linéaire ou affine. Le plan tangent Z − f (x0 , y0 ) =
fx (x0 , y0 )(X − x0 ) + fy (x0 , y0 )(Y − y0 ).
• Théorème des Accroisements Finis pour le cas de 2 variables et à valeurs numeriques. Inégalités des Accroisements Finis,
applications au calcul d’incertitudes.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de définition, les dérivées partielles de premier ordre pour les fonctions suivantes.
y
a. 3x/y .
b. cos(x2 + y).
c. arctan 2 .
x
1
d. p
.
e. y sin(xz).
f. tan(arctan x + arctan y).
1 + x + y2 + z2
Exercice 2
Etudier la continuité, l’existence et la continuité des dérivées partielles des fonctions définies par :
a. f (x, y) = p
x|y|
x2 + y 2
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
b. f (x, y) = x2 y 2 ln(x2 + y 2 ), si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
1
c. f (x, y) = (x + y)p sin( p
x2
+ y2
), si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0. Discuter suivant les valeurs de l’entier p ∈ N.
x
d. f (x, y) = y 2 sin , si y 6= 0, f (x, 0) = 0.
y
e. f (x, y) =
sin(x3 + y 3 )
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
f. f (x, y) =
x sin y − y sin x
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
Exercice 3
1. Calculer pour chacune des fonctions suivantes la dérivée directionnelle dans la direction donnée :
a. sin x + cos y en (0, 0) dans la direction du vecteur (cos θ, sin θ) avec θ = 0, π/6 ou π/3.
b. z 2 − x2 − y 2 en (1, 0, 1) dans la direction du vecteur (4, 3, 0).
c. xyz − xy − yz − zx + x + y + z en (2, 2, 1) dans la direction du vecteur (2, 2, 0).
d. xz 2 + y 2 + z 3 en (1, 0, −1) dans la direction du vecteur (2, 1, 0).
2. Soit f : R2 → R définie par :
y3
f (x, y) = p
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 4
a. Montrer que f est continue en (0, 0).
→
→
b. Montrer que pour tout vecteur −
v non nul de R2 , la dérivée directionnelle de f en (0, 0) suivant −
v existe et la calculer.
Exercice 4
Vérifier que la fonction f (x, y) = (xy)1/3 est continue, que ses dérivées partielles ∂x f , ∂y f existent à l’origine mais que la
dérivée directionnelle n’existe dans aucune autre direction.
Exercice 5
p
a. Vérifier que |xy| n’est pas différentiable en (0, 0).
b. Etudier la différentiabilité des fonctions définies dans l’exercice 2.
3
Exercice 6
Trouver l’équation du plan tangent à la surface définie par z = f (x, y) au point A = (x0 , y0 ) dans chacun des cas suivants.
a. f (x, y) = 3x2 + 4y 2 , A = (0, 1).
b. f (x, y) = 2 cos(x − y) + 3 sin x, A = (π, π/2).
p
c. f (x, y) = x2 + y 2 , A = (1, 2).
Exercice 7
Soit (S) la surface d’équation : z = x2 + y 2 + x + y − xy = f (x, y).
a. Déterminer l’équation du plan tangent à (S) en M0 = (x0 , y0 , z0 ).
B. Déterminer le point où le plan tangent à (S) est parallèle au plan z = 0. Etudier en ce point, la position de (S) par rapport
à son plan tangent.
Exercice 8
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0, où α est un nombre réel.
+ y 2 )α
Pour quelles valeurs de α, la fonction f est-elle continue sur R2 différentiable sur R2 ? de classe C 1 sur R2 ?
Considérons la fonction f définie sur R2 par f (x, y) =
(x2
Exercice 9
Etudier la différentiabilité en (0, 0) de la fonction définie par f (x, y) =
Exercice 10
Considérons la fonction f définie sur R2 par f (x, y) =
x3 y
si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x4 + y 2
x3 − y 3
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
a. Etudier la continuité de f sur R2 .
b. Déterminer les dérivées partielles premières de f sur R2 . La fonction f est-elle différentiable sur R2 ?
c. La fonction φ : R → R2 est définie par φ(t) = (u(t), v(t)), où u(t) = t et v(t) = −t. Posons F = f ◦ φ. Calculer F 0 (0)
∂f
0
0
et A = ∂f
∂x (0, 0)u (0) + ∂y (0, 0)v (0).
Exercice 11
Calculs d’incertitude
a. Donner une valeur approximative à la variation de (x + y)/(x − y) lorsque x varie de x = 2 à x = 2, 5 et y de 4 à 4, 5.
b. Donner une valeur approchée de ln((1, 02)1/4 + (0, 96)1/6 − 1) et de e0,2 /0, 9.
c. Les longueurs x et y des deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle sont connues avec une précision inférieure ou
égale respectivement à h et k. Encadrer l’erreur avec laquelle sera calculée l’aire du triangle.
Exercice 12
p
La période T d’un pendule, exprimée en secondes, est donnée par la formule T = 2π `/g où ` est sa longueur exprimée en
mètres et g l’accélération de la pesanteur en mètres pas seconde au carré.
a. Calculer T pour ` = 2m, g = 9, 81m/s2 et π = 3, 14.
b. Estimer l’incertitude sur T sachant que ∆π = 10−2 , ∆` = 10−3 m et ∆g = 10−2 m/s2 .
Exercice 13
Deux résistances R1 et R2 , respectivement de 30Ω et 40Ω sont connues à 0, 5%.
a. Le montage en séries des résistances R1 et R2 fournit une résistance équivalente R = R1 + R2 . Calculer R et estimer la
précision du résultat.
b. Reprendre la question précédente, lorsque les résistances sont montées en parallèle, sachant qu’alors 1/R = 1/R1 + 1/R2 .
4
Math 202 PC. Exercices 2009/2010
Feuille III – Calcul differentiel II
• Dérivés partielles d’ordre supérieur, Théorème de Schwarz.
• Formule de Taylor. Extrema locaux.
• Matrice Jacobienne. Composition
• Changement de coordonnées, C 1 -difféomorphismes
Dérivées partielles secondes.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de définition, les dérivées partielles de second ordre des fonctions suivantes.
x−y
a.
.
b. y ln x.
x+y
c. e−
x2 +y 2
4z
1
d. p
.
x2 + y 2 + z 2
.
Exercice 2
Soit f : R2 → R définie par :
y4
f (x, y) = 2
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x + y2
a. Montrer que f est de clase C 1 sur R2 .
b. Montrer que
∂2f
∂x∂y (0, 0)
c. Montrer que
∂2f
∂x∂y
et
et
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂y∂x (0, 0)
existent et sont égales.
ne sont pas continues en (0, 0)
Exercice 3
Soit f : R2 → R définie par :
xy(x2 − y 2 )
f (x, y) =
, si (x, y) 6= (0, 0),
x2 + y 2
f (0, 0) = 0.
a. Montrer que f est de clase C 1 sur R2 .
b. Montrer que f admet des dérivées partielles secondes croisées
∂2f
∂2f
∂2f
∂2f
2
∂x∂y et ∂y∂x sur R et montrer que ∂x∂y (0, 0) 6= ∂y∂x (0, 0) ; conclure.
Exercice 4
Soit f : R2 → R définie par :
xn y
f (x, y) = 2
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x + y2
Discuter suivant les valeurs de l’entier positif n, l’appartenance de f aux classes C 0 (R2 ), C 1 (R2 ) et C 2 (R2 ).
Exercice 5
On note U := {(x, y) ∈ R2 : x + y 6= 0}. Trouver toutes les applications φ : R∗ → R de classe C 2 telles que pour
l’application f : U → R définie par f (x, y) = φ(x + y) et pour tout (x, y) dans U , on a :
∂2f
2f (x, y)
(x, y) =
∂x∂y
(x + y)2
5
Formule de Taylor-Extrema locaux des fonctions de 2 variables
Exercice 6
Soit f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy + 1
a. Ecrire la formule de Taylor au point (0, 0) à l’ordre 2 de f .
b. Déterminer les points critiques de f et leurs natures.
Exercice 7
On veut fabriquer une boite rectangulaire sans couvercle avec 12 m2 de carton. Quel est le volume maximal réalisable pour
une telle boite.
Matrice jacobienne. C 1 -difféomorphismes
Exercice 8
Considérons la fonction f définie sur E = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} par f (x, y) = (
x2 y 2
, ).
2y 2x
a. Montrer que f est différentiable sur E.
b. Ecrire la matrice jacobienne de f sur E.
c. Montrer que f est une bijection de E sur E.
d. On pose g = f −1 . Déterminer g et vérifier que g est différentiable sur E.
e. Ecrire la matrice jacobienne de g sur E.
Exercice 9
Soit φ : R2 → R2 l’application définie par φ(x, y) = (x + y, x + my), où m ∈ R est un paramètre.
a. A quelle condition la matrice jacobienne de φ est-elle injective ?
b. A quelle condition φ est-il un changement de variables ou C 1 -difféomorphisme ?
Exercice 10
Montrer que φ : R2 → R2 définie par φ(x, y) = (ex − ey , x + y) est un C 1 -difféomorphisme.
Exercice 11
Soit f : R3 → R2 l’application définie par f (x, y, z) = (x + y 2 , xy 2 z).
a. Ecrire la matrice jacobienne de f au point (x, y, z).
b. Soit g : R2 → R3 l’application définie par g(u, v) = (u2 + v, uv, ev ). Ecrire la matrice jacobienne de g au point (u, v).
c. Ecrire la matrice jacobienne de g ◦ f au point (x, y, z).
Exercice 12
Trouver un ouvert U de R2 tel que l’application φ : U → R2 définie par φ(x, y) = (x − y, xy) soit un C 1 -difféomorphisme
de U sur φ(U ).
6
Feuille IV – Calcul differentiel III : Equations aux Dérivées Partielles (EDP) d’ordre 1 et 2.
Equations aux Dérivées Partielles du premier ordre
Exercice 1. Résoudre les EDP d’inconnue f : U → R de classe C 1 sur l’ouvert indiqué U et à l’aide du changement de variable
fourni (u, v) :
∂f
∂f
a. 2
−
= x2 y ;
U = R2
(u = x, v = x + 2y)
∂x
∂y
∂f
∂f
b.
−
= 1;
U = R2
(u = x − y, v = x + y)
∂x
∂y
∂f
∂f
c. x
−y
= xy 2 ;
U = R+∗ × R
(u = x, v = xy)
∂x
∂y
p
∂f
∂f
+y
= x4 + y 4 ;
d. x
U = R+∗ × R
(u = xy , v = x2 + y 2 )
∂x
∂y
Exercice 2. On considère l’EDP (E) : x
∂f
∂f
+y
= 0 sur U = R+∗ × R.
∂x
∂y
a. Résoudre (E) à l’aide du changement de variable (u = x, v = xy ).
b. Résoudre (E) en passant en coordonnées polaires.
Exercice 3. Soit a un réel fixé. Résoudre l’EDP (E) : y
∂f
∂f
−x
= a.f sur U = R+∗ × R en passant en coordonnées
∂x
∂y
polaires.
Exercice 4. Soit U = R+∗ × R+∗ et φ : U → R2 définie par : φ(x, y) = (xy, xy ).
a. Montrer que φ est un C 1 -difféomorphisme de U sur U .
b. A f ∈ C 1 (U, R) on associe g ∈ C 1 (U, R) définie par f (x, y) = g(xy, xy ) pour tout (x, y) ∈ U . Donner une CNS sur g
∂f
∂f
pour que f soit une solution de l’équation x
+y
= 2xy (E).
∂x
∂y
c. Déduire de b. les solutions de (E) sur U .
Exercice 5. Soit U1 = {(x, y) ∈ R2 : y > x} et φ : U1 → R2 définie par : φ(x, y) = (xy, x + y).
1. a. Montrer que φ est un C 1 -difféomorphisme de U1 surφ(U1 ) que l’on déterminera.
b. A f ∈ C 1 (U1 , R) on associe g ∈ C 1 (U1 , R) définie par f (x, y) = g(xy, x + y) pour tout (x, y) ∈ U1 . Donner une CNS
∂f
∂f
sur g pour que f soit une solution de l’équation
−
= 3(y − x)f (E).
∂x
∂y
c. Déduire de b. les solutions de (E) sur U .
2. Sans refaire les calculs, donner les solutions de (E) sur U2 = {(x, y) ∈ R2 : y < x}.
3. En étudiant les ” raccords” sur la droite d’équation x = y d’une solution de (E) sur U1 et d’une solution de (E) sur U2 ,
trouver les solutions de (E) sur R2 .
Equations aux Dérivées Partielles du second ordre
Exercice 6. Résoudre les EDP d’inconnue f : U → R de classe C 2 sur l’ouvert indiqué U et à l’aide du changement de variable
fourni (u, v) :
1 ∂f
∂2f
∂2f
− 4x2 2 = 0 ;
U = R+∗ × R
(u = x2 − y, v = x2 + y)
a. 2 2 −
∂x
x ∂x
∂y
∂2f
∂2f
b. x2 2 − y 2 2 = 0 ;
U = R+∗ × R+∗
(u = xy , v = xy)
∂x
∂y
∂2f
∂2f
∂2f
c. x2 2 + 2xy
+ y2 2 = 0 ;
U = R+∗ × R
(u = x, v = xy )
∂x
∂x∂y
∂y
∂2f
1 ∂2f
d.
−
= 0 c > 0 fixé ;
U = R2
(u = x + ct, v = x − ct)
∂x2
c2 ∂t2
2
2
∂ f
∂f
∂ f
∂f
e. x2 2 + x
− y2 2 = 0 − y
= 0;
U = R+∗ × R+∗
(u = ln x, v = ln y)
∂x
∂x
∂y
∂y
7
Partie II : Calcul intégral.
Feuille V : Intégrales multiples.
a) Rappels sur l’intégrale définie des fonctions d’une variable réelle : somme de Riemann, aire d’un domaine dans le plan,
Rb
Rb
théorème fondamental : a Fx0 (x)dx = F (b) − F (a) ; propriétés et méthodes de calculs (IPP, changement de variable : a f ◦
R
φ(b)
φ φ0 dt = φ(a) f dx).
b) Construction générale avec sommes de Riemann en 2D. Propriétés, intégrale double de f ≥ 0 sur D interprétée comme
volume du solide s’élevant verticalement au dessus de D et couvert par la portion de graphe de f . Intégration des fonctions
continues, lien avec les intégrales itérées. Théorèmes de Fubini. Changement de variables. Passage en coordonnées polaires.
Exercice 1
ZZ
x cos(xy)dxdy, D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
1. a. Calculer
ZZD
b. Calculer
r2 cos θdrdθ, R = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤
R
π
2 }.
π
2 }.
2. a. Calculer le volume délimité par le parabolı̈de d’équation 2x2 + y 2 + z = 9, les trois plans coordonnées et les plans
d’équations x = 1 et y = 1.
b. Calculer le volume qui se trouve sous le plan d’équation 3x + 2y + z = 12 et au dessus du rectangle R = [0, 1] × [−2, 3].
ZZ p
3. Calculer
9 − y 2 dxdy, R = [0, 4] × [0, 2], puis dessiner le solide dont le volume est représenté par cette intégrale.
R
Exercice 2
Calculer les intégrales itérées suivantes :
ZZ
1 x
a.
dxdy.
2
0
x
Z πZ cos θ
r sin θdrdθ.
b.
0 0
ExerciceZZ
3
Calculer
(x2 + y 2 )dx dy, où D est le triangle de sommets A(0, 0), B(1, 0) et C(1, 1).
D
ExerciceZZ
4
Calculer
xy 2 dx dy, où D est le losange de sommets A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2) et D(−1, 1).
D
Exercice 5
On pose D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ x + y ≤ 4} et
f (x, y) =
1
.
(x + y)(x2 + 1)
a. Dessiner le domaine D.
ZZ
b. Donner les deux écritures du théorème de Fubini pour I =
f (x, y)dx dy.
D
c. Calculer I.
Exercice 6
Dessiner puis calculer l’aire de la partie de R2 délimitée par les courbes définies par les équations suivantes :
1. y = x2 et y = 2x + 3.
2. y 2 = x3 et y = x.
Exercice 7
ZZ
Calculer l’ intégrale double
f (x, y)dx dy.
D
8
1. f (x, y) =
1
(x2 +1)(y 2 +1) ,
D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.
2
2. f (x, y) = ey , D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ y ≤ 1}.
3. f (x, y) = x2 , D est la région du premier quadrant délimitée par l’hyperbole xy = 16 et les droites y = x, y = 0 et
x = 8.
4. f (x, y) = x, D est la région délimitée par y = x2 et les droites y = x.
5. f (x, y) = y, D est la région délimitée par y = 0, y 2 = 4x et y 2 = 5 − x.
6. f (x, y) =
7. f (x, y) =
(x+y)2
x2 +y 2 +1 , D
x−y
x2 +y 2 , D =
= {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}.
{(x, y)|y ≥ 0, x2 + y 2 − x ≥ 0, x2 + y 2 − 2x ≤ 0}.
Exercice 8
1. Calculer le volume du solide contenu dans la boule de centre (0, 0) et de rayon 4 et à l’extérieur du cylindre x2 + y 2 = 4.
(Indication : figure et polaires).
ZZ
x+y
2. Calculer
e x−y dx dy, où D est le trapèze de sommets (1, 0), (2, 0), (0, −2) et (0, −1), en utilisant le changement de
D
variables : (u = x + y, v = x − y).
ZZ
3. Calculer
xydx dy, où D est la région du premier quadrant délimitée par les hyperboles xy = 1 et xy = 3 et les droites
D
y = x et y = 3x, en utilisant le changement de variables : (x = uv , y = v).
9