L2 - UE MAT234 Année 2006-2007 Feuille d`exercices n 1 1

L2 - UE MAT234
Année 2006-2007
Feuille d’exercices n◦ 1
1. Déterminer le domaine de définition des fonctions de deux variables suivantes :
1 1
1
1
1
f1 (x, y) = +
f2 (x, y) =
f3 (x, y) =
f4 (x, y) = ln( )
x y
x+y
|x| + |y|
xy
2. Associer à chacune des 12 surfaces la fonction qui lui correspond parmi les suivantes :
1
f1 (x, y) = x2
f2 (x, y) = (5 − x + 2y)
f3 (x, y) = y 2 − x2
f4 (x, y) = y
6
f5 (x, y) = y 2
f6 (x, y) = −y 3
f7 (x, y) = − sin x
f8 (x, y) = 1 − (x2 + y 2 )
f9 (x, y) = 5
f10 (x, y) = x2 + y 2
f13 (x, y) = cos x
f14 (x, y) =
f11 (x, y) = sin x
q
x2 + y 2
f12 (x, y) = x2 + y 2 − 1
f15 (x, y) = 3 − x − y
3. Donner l’allure des courbes de niveau et du graphe des fonctions de deux variables réelles
x, y suivantes :
f2 (x, y) = (x − 2)2
f1 (x, y) = x + y
f5 (x, y) = x2 − y 2
f6 (x, y) = x2 + x − y
f3 (x, y) = (y + 1)3
f7 (x, y) = xy
f9 (x, y) = x2 + y 2 − 2x + 4y + 5
f4 = x3 + y
f8 (x, y) = x2 + xy + y 2
f10 (x, y) = ax + by + c
4. Donner l’expression en coordonnées polaires des fonctions suivantes :
f1 (x, y) =
q
x2 + y 2
f2 (x, y) =
x2
1
+ y2
f3 (x, y) =
y
x
f4 (x, y) = arctan
y
x
En déduire l’allure de ces fonctions.
5. Etudier la continuité en (0, 0) des fonctions suivantes :
xy
• f1 (x, y) = 2
si (x, y) 6= (0, 0) et f1 (0, 0) = 0
x + y2
x2 y 2
• f2 (x, y) = 4
x + y2
si (x, y) 6= (0, 0) et f2 (0, 0) = 0
• f3 (x, y) =
xy 3
x2 + y 2
si (x, y) 6= (0, 0) et f3 (0, 0) = 0
• f4 (x, y) =
x3 − y 3
x2 + y 2
si (x, y) 6= (0, 0) et f4 (0, 0) = 0
• f5 (x, y) =
x2 − y 2
x2 + y 2
si (x, y) 6= (0, 0) et f5 (0, 0) = 0
• f6 (x, y) =
(1 + x2 + y 2 ) sin y
y
• f7 (x, y) =
ex+y − 1
x+y
si (x, y) 6= (0, 0) et f6 (0, 0) = 1
si (x, y) 6= (0, 0) et f7 (0, 0) = 1
Reprendre cet exercice en utilisant l’expression en coordonnées polaires des fi .
6. On définit la fonction ”signe” par sgn(x) = 1 si x > 0, = −1 si x < 0 et = 0 si x = 0.
Etudier la continuité de f (x1 , x2 ) = sgn(x1 ) sgn(x2 ) et de g(x1 , x2 ) = sgn(x1 −x2 ) sgn(x1 +x2 )
7. Soient f1 , . . . , fn des fonctions continues de IR vers IR. Montrer que la fonction f (x1 , . . . , xn ) =
f1 (x1 ) f2 (x2 ) . . . fn (xn ) est continue sur IRn .
8. Déterminer le domaine de définition et calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes :
f1 (x, y) = 4x4 y 2 − 3x2 y 3 + xy − y + 1
f2 (x, y) =
x−y
x+y
f3 (x, y) = x2 + xy 2 − 5y 4
f4 (x, y) = sin(x2 y)
f5 (x, y) = exp(xy) sin x
x2 − y 2
f7 (x, y) = 2
x + y2
f8 (x, y) =
x2
xy
+ y2
q
f6 (x, y) = ln( x2 + y 2 )
f9 (x, y) =
x2
1
− xy + y 2 + 1
9. Calculer les dérivées directionnelles des fonctions suivantes dans la direction d:
• f (x, y) = xex+y , d = (1, 2)
• g(x, y) =
x−y
, d = (3, −1)
x+y
10. Etudier la continuité et les dérivées premières de f définie par :
(
f (x, y) =
x2
y2
si |x| < |y|
si |x| ≥ |y|
11. Soit f définie par :

 f (x, y) = (x2 + y 2 ) sin √
1
x2 +y 2
si (x, y) 6= (0, 0)
 f (0, 0) = 0
Montrer que f est continue et admet des dérivées premières sur IR2 . Ses dérivées partielles
sont-elles continues sur IR2 ?
12. On considère la fonction f : IR2 → IR définie par
f (x, y) =
x3 y
, si (x, y) 6= (0, 0),
x2 + y 2
et f (0, 0) = 0. Montrer que f est de classe C 1 sur IR2 tout entier. Calculer df(0,0) , et df(1,1) .
13. Soient a, b, c, d des réels donnés.
1. On pose f (x, y, z) = ax + by + cz + d. Montrer que f est différentiable sur IR3 .
2. Soit g : IR3 −→ IR telle que :
∀(x, y, z) ∈ IR3 , ∀(h1 , h2 , h3 ) ∈ IR3
dg[x, y, z](h1 , h2 , h3 ) = ah1 + bh2 + ch3
Déterminer g.
1
2
2
2yz
dx
−
2xz
dy
+
(x
−
y
)
dz
est la différentielle d’une fonc(x + y)2
tion f que l’on déterminera.
14. Montrer que