Séries enti`eres

Préparation à l’Agrégation de Mathématiques
Séries entières
1. A savoir
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Lemme d’Abel
Rayon de convergence, disque ouvert de convergence
Détermination du rayon de convergence
Critères de Cauchy (d’Hadamard ?) et d’Alembert
Opération sur les séries entières (somme, produit, substitution)
Continuité, dérivabilité, infini-dérivabilité
Théorème d’Abel sur le comportement sur la frontière (cf U.E. 5)
Développement d’une fonction en série entière
Analyticité, principe des zéros isolés et formule de Cauchy (cf U.E. 5)
Application des séries entières (cf U.E. 5)
2. Pour approfondir
– Théorème de Tauber
3. En lien avec...
– la feuille sur l’interversion limite-intégrale
– le développement sur le théorème de Bernstein
4. Exercices
Exercice 1 : Théorème d’Abel [P]
+∞
X
X
an Rn converge. Montrer
1.1 Soit
an xn une série entière de rayon R ∈]0, +∞[. On suppose que
que la convergence de la série
X
an xn est uniforme sur [0, R] et que lim
x→R
n=0
+∞
X
an xn =
n=0
+∞
X
an Rn .
n=0
1.2. Que peut-on dire de la réciproque ?
Exercice 2 : Détermination du rayon de convergence [P, M, Gos 3]
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
α
X 1 n
X nn
X (3n)!
X
X sin n
zn,
ch
zn,
zn,
zn,
sin(nθ)z n (θ 6= kπ),
2n
n
n
n!
n!n
X
√
an z n , où an est la n-ème décimale de 2.
Exercice 3 : Sommes de séries entières [M, G]
Déterminer le rayon de convergence puis sommer les séries entières suivantes :
X xn
X
X
n
xn
,
n(−1) xn ,
.
2n + 1
n(n + 2)
Exercice 4 : Développement d’une fonction en série entière [Gos3]
Développer les fonctions suivantesZ en série entière :
x
2
2
x → ln 1 + x + x2 , x → e−x /2
et /2 dt, x → arcsin2 x, x → sin2 x.
0
Exercice 5 : Equivalents de séries entières [FGN2, M]
+∞
X
X
X
Soit
an xn et
bn xn deux séries entières de rayons Ra et Rb . On note fa (x) =
an xn et
n=0
+∞
X
an
= l ∈ C.
fb (x) =
bn xn . On suppose que bn > 0, et que lim
n→+∞ bn
n=0
5.1. Montrer que Ra ≥ Rb .
X
fa (x)
5.2. On suppose que Rb = 1 et que
bn diverge. Montrer que lim−
= l.
x→1 fb (x)
1
2
5.3. On suppose que Rb = +∞. Montrer que lim
x→+∞
fa (x)
= l.
fb (x)
5.4. Application 1 : Soit p ∈ N, déterminer la limite quand x → 1− de (1 − x)p+1
+∞
X
np xn .
n=0
2
n n
+∞ X
1
x
5.5. Application 2 : Déterminer un équivalent de
1+
quand x → +∞.
n
n!
n=1
Exercice 6 : Inverse d’une série entière [G ou M]
Soit f une fonction développable en série entière au voisinage de 0 telle que f (0) 6= 0. Montrer que
g = 1/f est développable en série entière au voisinage de 0.
Exercice 7 : Développement d’une fraction rationnelle en série entière [FGN2]
7.1. Soient P et Q deux polynômes à coefficients complexes, avec Q(0) 6= 0. Pour z ∈ C tel que
P (z)
. Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0
Q(z) 6= 0, on pose f (z) =
Q(z)
et que les coefficients de ce développement vérifient une relation de récurrence linéaire à coefficients
constants. Préciser le rayon de convergence.
7.2. Réciproquement, si la suite de nombres complexes (un )n∈N vérifie une relation de récurrence
X
linéaire à coefficients constants, montrer que la série entière
un z n a un rayon de convergence R > 0
+∞
X
P (z)
.
un z n =
et qu’il existe deux polynômes P et Q avec Q(0) 6= 0 tels que
Q(z)
n=0
Exercice 8 : Détermination de rayons de convergence [Gos3, FGN2]
∞
X
a2n+1
a2n+2
an z n une série entière telle que lim
8.1. Soit f (z) =
= l1 et lim
= l2 avec l1
n→+∞ a2n
n→+∞ a2n+1
n=0
et l2 dans R+ . Que dire du rayon de convergence de cette série ?
8.2. Soit (an )n∈N une suite de nombres complexes et R le rayon de convergence de la série entière
X
X
an z n . Déterminer le rayon de convergence de
a2n z n .
Exercice 9 : Détermination du domaine de convergence [Gos3]
X
n!
zn.
Soit α ∈ R∗+ . Donner le domaine de convergence de la série entière
(α + 1) · · · (α + n)
Exercice 10 : Calcul d’intégrale [Gos3]
10.1. Déterminer le rayon de convergence et le domaine de convergence de
X
1
ln 1 +
n
xn .
10.2. Donner la valeur de la somme
Z 1 en −1.
(−1)E(1/x)
dx et la calculer.
10.3. Prouver la convergence de
x
0
Exercice - X
Examen 11 : Théorème taubérien faible [G, p. 284 ; CL1, p. 106]
Soit f (x) =
an xn une série entière de rayon 1. On suppose que lim− f (x) = l ∈ C.
x→1
+∞
X
X
1
Si an = o
ou si an ≥ 0, montrer que
an converge et que
an = l.
n→+∞ n
n=0
Exercice - Examen
12 : Théorème taubérien fort [G, p. 284]
X
Soit f (x) =
an xn une série entière de rayon supérieur à 1. On suppose que lim f (x) = 0. Si
x→1−
+∞
X
X
1
an = O
, on cherche à montrer que
an converge et que
an = 0.
n
n=0
P
On définit Φ comme l’ensemble des fonctions ϕ : [0, 1] → R telles que ∀x ∈ [0, 1[,
an ϕ(xn ) converge
+∞
X
et lim−
an ϕ(xn ) = 0 ; on note g = χ[1/2,1] .
x→1
n=0
12.1. Etablir que tout polynôme P ∈ R[X] tel que P (0) = 0 appartient à Φ.
3
12.2. Etant donné Q ∈ R[X], démontrer l’égalité lim (1 − x)
x→1−
+∞
X
n
n
Z
x Q(x ) =
n=0
1
Q(t)dt.
0
g(x) − x
sur [0, 1], avec h(0) = −1 et h(1) = 1. On se fixe ε > 0. Montrer
x(1 − x)
Z 1
qu’il existe deux fonctions s1 et s2 continues sur [0, 1] telles que s1 ≤ h ≤ s2 et
s2 (t) − s1 (t)dt < ε.
12.3. On définit h(x) =
12.4. Montrer alors qu’il existe deux polynômes P1 et P2 vérifiant
(i) P1 (0) = P2 (0) = 0 et P1 (1) = P2 (1) = 1,
(ii) P1 ≤ g ≤ P2 sur [0, 1] et
Z 1
P2 (x) − P1 (x)
.
(iii)
Q(t)dt < ε, avec Q(x) =
x(1 − x)
0
12.5. Montrer que g ∈ Φ.
12.6. En déduire le résultat.
0
5. Indications
Exercice 1 :
1.1. Utiliser une transformation d’Abel avec an Rn = An − An+1 où An est le reste de la série et
montrer le critère de Cauchy uniforme.
Exercice 2 :
Dans le désordre : règle de d’Alembert, d’Hadamard, comportement sur le bord, critère de comparaison...
Exercice 3 :
Séparer les cas x ≤ 0 et x ≥ 0. Séparer les indices pairs et les impairs. Décomposer en éléments
simples.
Exercice 4 :
1 − x3
Penser à 1 + x + x2 =
. Chercher des équations différentielles. Se souvenir des formules
1−x
trigonométriques.
Exercice 5 :
5.2. Commencer par montrer que lim− fb (x) = +∞, puis preuve de type Cesàro.
x→1
Exercice 6 :
X
Pour simplifier, supposer que f (0) = 1. Chercher g sous la forme
bn xn en développant le produit
de Cauchy f × g. Majorer ensuite les coefficients ainsi obtenus en utilisant une majoration des an .
Exercice 7 :
7.1. Décomposer en éléments simples et montrer que le rayon vaut le minimum des modules des
pôles.
q
X
7.2. Majorer le terme général d’une suite récurrente linéaire à coeficients constants un =
αk un−k
k=1
!
q
X
n
par M K où M = max |uk | et K = max 1,
|αk | .
0≤k≤q−1
k=1
Exercice 8 :
1
8.1. Montrer que R = √
en considérant une série entière formée à partir des termes pairs et une
l1 l2
formée à partir des termes impairs.
8.2. Montrer que R0 = R2 .
Exercice 9 :
n
X
α
Commencer par montrer que un =
ln 1 +
− α ln n définit une suite convergente. On remark
k=1
n
Y
1
quera que an =
. Penser également au critère d’Abel...
1 + α/k
k=1
Exercice 10 :
2
10.2. Montrer que f (−1) = ln
en utilisant Stirling.
π
Exercice 11 :
4
Commencer par montrer que pour 0 < ε < 1, il existe n0 ∈ N tel que pour n ≥ n0 ,
ε
| ≤ M ε.
|Sn − f 1 −
n
6. Références
[CL1] Chambert-Loir, Fermigier et Maillot, Analyse 1, exercices, Dunod.
[FGN2] Francinou, Gianella, Nicolas, Exercices de mathématiques. Oraux X-ENS. Analyse 1, Cassini.
[Gos3] Gostiaux, Cours de mathématiques spéciales. Tome 3, PUF.
[G] Gourdon, Les maths en tête. Analyse, Ellipses.
[L] Leichtnam, Exercices corrigés de mathématiques posés à l’oral des concours de Polytechnique et
des ENS. Tome Analyse, Ellipses.
[M] Merlin , Methodix Analyse, Ellipses.
[P] Pommellet, Cours d’analyse, agrégation de mathématiques, Ellipses.
[QZ] Queffélec et Zuily, Analyse pour l’agrégation, Dunod.