Séries enti`eres

Séries entières
Définition : Une série entière est une série de fonctions
X
fn de C dans C telle qu’il existe
n≥0
n
une
X suite complexe (an )n∈N telle que : ∀n ∈ N, ∀z ∈ C, fn (z) = an z . La série sera notée
n
an z .
n≥0
Lemme d’Abel : SiX
il existe z0 ∈ C tel que la suite (an z0n )n∈N soit bornée, alors, ∀z ∈ C tel que
|z| < |z0 |, la série
an z n est absolument convergente.
n≥0
P
Rayon de convergence : L’ensemble des réels positifs {|z| ∈ R+ ; n≥N |an z n | converge} est
un intervalle de [0,X
+∞[, et sa borne supérieure, notée R, est appelée le rayon de convergence
de la série entière
an z n .
n≥0
Propriétés : Soit une série entière
X
an z n de rayon de convergence R.
n≥0
(1) Si R = 0, alors la série est divergente pour tout z 6= 0.
(2) Si R = +∞, alors la série est convergente pour tout z ∈ C.
(3) Si 0 < R < +∞, alors, DR = {z ∈ C ; |z| < R} est le disque ouvert de convergence.
X


∀z ∈ DR , la série
an z n est absolument convergente,




n≥0

X

∀z
∈
/
D̄
,
la
série
an z n est divergente,
R
(4)

n≥0

X



∀z
∈
C
tel
que
|z|
=
R,
la
nature
de
la
série
an z n est indéterminée.


n≥0
X
n
Définition : Soit la série entière
an z , et R son rayon de convergence. On appelle somme de
n≥0
+∞
X
la série entière, l’application S : {z ∈ C ; |z| < R} → C, telle que S(z) =
an z n .
n=0
X
n
Règle de d’Alembert : Soit la série entière
an z . Si il existe N ∈ N, tel que ∀n ≥ N ,
n≥0
an 6= 0, et si la suite (|an+1X
/an |)n∈N admet une limite ` dans [0, +∞[, alors le rayon de convergence R de la série entière
an z n est égal à 1/` (avec R = +∞ si ` = 0).
Conséquence : Si
X
n≥0
an z n est une série entière telle qu’il existe une fraction rationnelle F
n≥0
de C(X) − {0} telle que, ∀n ∈ N, an = F (n), alors R = 1.
X
X
Propriétés : Soient les séries entières
an z n et
bn z n , de rayons de convergences respecn≥0
n≥0
1
tifs Ra et Rb , et de sommes respectives Sa et Sb .
(1) Si |an | ≤ |bn |, alors Ra ≥ Rb .
(2) Si |an | ∼ |bn |, alors Ra = Rb .
+∞
(3) Si |an | = o(nα bn ), avec α ∈ R, alors Ra ≥ Rb .
(4) Si
XRa 6= Rb , alors Ra+b = Inf(Ra , Rb ), avec Ra+b , le rayon de convergence de la série
entière
(an + bn ) z n .
n≥0
(5) Si Ra = Rb , alors Ra+b ≥ Ra .
(6) Soit la série produit de Cauchy
X
cn z n , telle que cn =
n≥0
n
X
ak bn−k . Son rayon de
k=0
convergence Rc est tel que Rc ≥ Min(Ra , Rb ). Sa somme Sc est telle que
∀z ∈ C, |z| ≤ Min(Ra , Rb ) =⇒ Sc (z) = Sa (z) Sb (z).
X
Théorème : Soit la série entière
an z n , et R son rayon de convergence.
n≥0
Les ensembles suivants :
X
E1 = {|z| ∈ R+ ;
an z n est absolument convergente}
n≥0
X
E2 = {|z| ∈ R+ ;
an z n est convergente}
n≥0
E3 = {|z| ∈ R+ ; (an z n )n∈N est bornée}
E4 = {|z| ∈ R+ ; (an z n )n∈N converge vers 0},
ont tous la même borne supérieure qui est égale à R.
X
Théorème : Toute série entière
an z n est normalement convergente sur tout compact contenu
n≥0
dans le disque ouvert de convergence Dr .
Conséquence :
(1) S : z 7→ S(z) =
+∞
X
an z n est continue sur tout compact de Dr , donc sur Dr .
n=0
(2) Toute série entière
est
X
X
an z n est dérivable sur tout compact de Dr , et la série entière dérivée
n≥0
n an z
n−1
. La série entière dérivée a le même rayon de convergence que la série entière
n≥1
X
an z n .
n≥0
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Développement en séries entières
Définition : Soient une fonction f : C → C,
et z0 ∈ C. Si f est définie dans un ouvert contenant
X
z0 et si il existe une série entière complexe
an (z − z0 )n de rayon R > 0, et un disque ouvert
D de centre z0 tel que : ∀z ∈ D, f (z) =
n≥0
+∞
X
an (z − z0 )n , alors f est développable en série
n=0
entière en z0 , et son développement en série entière (D.S.E) en z0 est la somme
+∞
X
an (z − z0 )n .
n=0
Dans la suite, on ne considère que des fonctions de R dans C.
X
Théorème de dérivation : Soit la série entière
an (x − x0 )n de rayon R > 0, et de somme
n≥0
f . La fonction f est de classe C ∞ sur ]x0 − R, x0 + R[ , et
∀k ∈ N , ∀x ∈] − R, R[ , f
(k)
(x) =
+∞
X
n=k
Conséquence :
(1) ∀k ∈ N , ak =
n!
an (x − x0 )n−k .
(n − k)!
X
f (k) (x0 )
an (x − x0 )n est la série de Taylor de f en
, et la série entière
k!
n≥0
x0 . Le D.S.E de f en x0 est unique.
(2) Si la série de Taylor de f en x0 converge simplement vers f , alors f est D.S.E au voisinage
de x0 , et son D.S.E est sa série de Taylor.
∞
Théorème : Soit une fonction
¯Z fx : R →n C de classe¯ C . La fonction f est D.S.E en 0 ssi
¯
¯
(x − t) (n+1)
∃R > 0, ∀x ∈] − R, R[ , ¯¯
f
(t) dt¯¯ = |Rn (x)| −→ 0 , avec Rn le reste
n!
n→+∞
0
d’ordre n.
Théorème : Soit une fonction f : R → C de classe C ∞ . Si, ∃(M, R) ∈ R?2
+ , ∀n ∈ N,
∀x ∈]x0 − R, x0 + R[, f (n) (x) < M n n! , alors f est D.S.E en x0 .
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I Quelques développements en série entière usuels en 0
∀x ∈ R, exp(x) =
∀x ∈ R, cos(x) =
∀x ∈ R, sin(x) =
+∞ n
X
x
,
n!
n=0
+∞
X
(−1)n 2n
x ,
(2n)!
n=0
+∞
X
(−1)n
x2n+1 ,
(2n
+
1)!
n=0
∀x ∈ R, cosh(x) =
∀x ∈ R, sinh(x) =
+∞
X
1
x2n ,
(2n)!
n=0
+∞
X
1
x2n+1 ,
(2n
+
1)!
n=0
∀x ∈] − 1, 1[ , arctan(x) =
∀x ∈] − 1, 1[ , argth(x) =
∀x ∈] − 1, 1[ , ln(1 + x) =
∀x ∈] − 1, 1[ ,
+∞
X
(−1)n 2n+1
x
,
2n + 1
n=0
+∞
X
1
x2n+1 ,
2n
+
1
n=0
+∞
X
(−1)n n+1
x
,
n+1
n=0
+∞
X
1
=
xn ,
1 − x n=0
+∞
X
1
n
=
Cn+k
xn ,
∀x ∈] − 1, 1[ ,
(1 − x)(n+1)
k=0
+∞
X
x
=
n xn ,
(1 − x)2
 n=0
+∞
∀(x, α) ∈] − 1, 1[×R 
X
α (α − 1) . . . (α − n + 1) n
ou
(1 + x)α = 1 +
x ,

n!
n=1
∀(x, α) ∈ R × N
+∞
X
1 × 3 × . . . × (2n − 1) x2n+1
∀x ∈ [−1, 1] , arcsin(x) = x +
,
2 × 4 × . . . × (2n) 2n + 1
n=1
∀x ∈] − 1, 1[ ,
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