2 - Séries enti`eres

UNIVERSITE NICE SOPHIA ANTIPOLIS - UFR SCIENCES
ANNÉE UNIVERSITAIRE 2016-2017
MASTER 2 MPA Agrégation - UE5
2 - Séries entières
A savoir:
- Lemme d’Abel
- Rayon de convergence, Disque ouvert de convergence, Type de convergence à l’intérieur
du disque ouvert de convergence
- Détermination du rayon de convergence, Règle de Cauchy, de d’Alembert, Formule
d’Hadamard
- Opérations sur les séries entières (somme, produit)
- Continuité, Série dérivée, Dérivabilité, Infinie dérivabilité, Analyticité
- Développement d’une fonction en série entière
Exercice 1 - (Définition du rayon de convergence et premières propriétés)
P
a - Rappeler la définition du rayon de convergence R d’une série entière
an z n .
On rappelle que le disque ouvert
R) := {z ∈ C; |z| < R} s’appelle le disque de
P D(0,
n
convergence de la série entière
an z .
P
n
b - Soit an z une sériePentière de rayon de convergence R. Montrer que pour tout z ∈ C
tel que |z| < R, la série
an z n est absolument convergente.
P
P
c - Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R. Montrer que la série
an z n
converge normalement (et donc uniformément) sur tout compact inclus dans le disque
(ouvert) de convergence.
P
Montrer que z0 est à la
d - Soit z0 ∈ C tel que la série
an z0n soit semi-convergente.
P
frontière du disque de convergence de la série entière
an z n .
Exercice 2 - (Détermination du rayon de convergence)
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes:
X sin n
n
n
z ;
X nn
n!
n
z ;
X 1 nα
ch
zn .
n
Exercice 3 - Soit
P (ann ) une suite de nombres complexes et R le rayon de convergence
P 2 n de
la série entière
an z . Déterminer le rayon de convergence de la série entière
an z .
1
2
Exercice 4 - Soit (an ) une suite à termes non nuls telle que
|a2n+1 |
= l1
n→+∞ |a2n |
|a2n+2 |
= l2 .
n→+∞ |a2n+1 |
P
Déterminer le rayon de convergence de la série entière
an z n . Indication: on pourra
considérer les séries entières formées à partir des termes pairs, respectivement impairs.
lim
et
lim
P
Exercice 5 - (Séries dérivées) Soit
an z n une série entière de
Prayon de convergence R.
∗
Soit k ∈ N . Montrer que la série dérivée d’ordre k donnée par (n + k) · · · (n + 1)an+k z n
a le même rayon de convergence R.
Exercice 6 - (Régularité des séries entières de variable réelle)
P
a - Soit
an xn une série entière de la variable réelle x de rayon de convergence R et de
somme f . Montrer que f est de classe C ∞ sur ] − R, R[ et que pour tout k ∈ N∗ , f (k) est
la somme de la série dérivée d’ordre k, soit
f (k) (x) =
+∞
X
(n + k) · · · (n + 1)an+k xn .
n=0
En déduire une expression de an en fonction de f (n) (0).
b - Réciproquement toute fonction de classe C ∞ sur un ouvert de R contenant 0 peut-elle
s’écrire comme la somme d’une série entière au voisinage de 0?
Exercice 7 - (Développement d’une fonction en série entière) On rappelle que l’on dit
qu’une fonction f d’un ouvert Ω de R (ou C) est développable en série entière en z0 ∈ Ω
s’il existe r > 0 tel que D(z0 , r) ⊂ Ω et une suite (an )n≥0 telle que
f (z) =
+∞
X
an (z − z0 )n
n=0
pour tout z ∈ D(z0 , r). Développer en série entière en 0 les fonctions suivantes:
Z x 2
2
t
2
− x2
x 7→ ln(1 + x + x ) ; x 7→ e
e 2 dt ; x 7→ sin2 x .
0
1 − x3
Indications: écrire 1 + x + x2 =
; utiliser une équation différentielle; penser aux
1−x
formules de trigonométrie.
P
Exercice 8 - (Primitives) Soit an xn une série entière de
réelle x de rayon de
Pla variable
n
convergence R et de somme f . Montrer que la série entière bn x où b0 = 0 et bn = an−1 /n
pour n ≥ 1 a même rayon de convergence R et que sa somme F est la primitive de f qui
s’annule en 0.
3
Exercice 9 - Soit (an ) une suiteP
à termes strictement positifs. On suppose
que le rayon
P
n
de convergence de la série entière
an x est égal à 1 et que la série
an diverge.
P
n
a - Montrer que la somme f de la série entière
an x tend vers +∞ quand x tend vers
−
1 .
b - Soit (bn ) une suite à termes complexes.P On suppose que bn = o(an ). Montrer que
le rayon de convergence de la série entière
bn xn est supérieur ou égal à 1 et que, si g
désigne la somme de cette série entière, on a
g(x)
lim−
=0.
x→1 f (x)
Indication: Utiliser une méthode ”à la Césaro”.
c - Soit (cn ) une suite à termes complexes. On suppose
que cn est équivalent à an . Montrer
P
n
que le rayon de convergence de la série entière
cn x est égal à 1 et que
+∞
X
cn x n ∼ −
x→1
n=0
+∞
X
an x n .
n=0
Indication: se ramener au cas de la question précédente.
cn
= l ∈ C∗ ?
n→+∞ an
d - Que peut-on dire dans le cas où l’on suppose que lim
Exercice
P 10 n- (Théorèmes Taubériens)
Soit
an z une série entière de rayon de convergenceP
égal à 1. On note f sa somme et
on suppose que lim− f (x) = l ∈ C. Montrer que la série
an converge et a pour somme l
x→1
dans les deux cas suivants:
(i) an ≥ 0 pour tout n ≥ 0,
(ii) an = o(1/n) quand n tend vers +∞.
Exercice 11 - (Calcul de sommes)
X 1
a - Calculer
.
(5n)!
n≥0
1
x5n et utiliser la résolution d’une équation
(5n)!
différentielle linéaire dont elle est solution.
X (−1)n−1
b - Montrer que
= ln 2.
n
n≥1
Indication: considérer la série entière
P
Indication: considérer la fonction f (x) = ln(1 + x).
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Exercice 12 - (Calcul de suites)
On définit par récurrence la suite (an )n∈N par an+1 =
n
X
ak an−k et a0 = a où a est un
k=0
réel strictement positif.
X
a - On considère la série entière
an xn et on note f sa somme. Etablir une relation entre
f 2 et f .
√
1 − 1 − 4ax
b - En déduire que f (x) =
puis, en utilisant un développement en série
2x
entière, conclure à la valeur des an .
Exercice 13 - (Dénombrement)
Soit n ∈ N. On cherche à calculer an le cardinal de l’ensemble {(u, v) ∈ N2 ; 2u+3v = n}.
P
a - Montrer que la série entière
an z n s’obtient en effectuant le produit de deux séries
entières simples.
b - En déduire une méthode permettant de calculer la valeur des an (on ne demande pas
d’effectuer ces calculs).
Exercice 14 - (Résolution d’équations différentielles)
a - On cherche à résoudre l’équation de Bessel x2 y 00 + xy 0 + (x2 − ν 2 )y = 0. On suppose
+∞
X
λ
que 2ν 6∈ Z. On cherche une solution sous la forme x
an xn avec a0 6= 0.
n=0
- Montrer que (λ2 − ν 2 )a0 = 0, ((λ + 1)2 − ν 2 )a1 = 0 et que ((n + λ)2 − ν 2 ) an + an−2 = 0
pour n ≥ 2.
- Calculer les an dans le cas où λ = ν.
- Traiter les autres cas.
Exercice 15 - (Dénombrement et équations différentielles)
On rappelle qu’une involution est une permutation s telle que s2 = Id. On note In le
nombre d’involutions de {1, . . . , n}.
a - Montrer que In+1 = In + nIn−1 pour n ≥ 2.
X In
On pose f (x) =
xn .
n!
n≥1
b - Montrer que f 0 (x) = 1 + x + f (x) + x f (x).
c - Exprimer In en fonction des coefficients an du développement en série entière en 0 de
2
la fonction g(x) = ex+x /2 − 1.
Références: Francinou, Gianella, Nicolas (Exercices de Mathématiques - Oraux X-ENS Analye 2 ); Pommellet (Cours d’analyse).