TD séries 5: séries enti`eres

L2 S3
2006/2007
Mathématiques
TD séries 5: séries entières
Calculs de rayons de convergence
Exercice 1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes.
a)
X
(ln n)2 z n ;
b)
X n2 + n
3n
zn;
X
nn z n ;
X ln(√n + 1)
√
g)
zn;
ln( n − 1)
c)
X 2
z 2n
,
f)
zn ;
2 − sin(n)
P
Exercice 2. Soit
an z n une série entière de rayon de convergence R > 0.
a) Calculer le rayon de convergence des séries entières suivantes.
X
X
an z 2n et
k n an z n .
e)
X
X n!
zn;
nn
X √
√
h)
(e n+1 − e n )z n .
d)
X
b) Montrer que le rayon de convergence de
nd an z n (d ∈ Z), est R et que le rayon de convergence de
X
a2n z n est R2 .
X an z n
c) Montrer que le rayon de convergence de
est infini.
n!
Exercice 3. Déterminer les rayons de convergence des séries entières suivantes.
X n2 + n
zn;
2n + n!
X (2n)!
zn;
d)
n!2 nn
X 1
z 2n ;
3n
p
X
f)
(n3 + n2 + n)1/3 − n2 + 1 z n .
X
(ln(n!))2 z n ;
nα
X
1
cosh
e)
zn;
n
b)
a)
n≥1
c)
Calculs de sommes
Exercice 4. Déterminer le rayon de convergence et trouver la somme de la série entière
X
n≥0
coefficients ont pour valeur an = 3n si n est pair et an = 2−n si n est impair.
Exercice 5. Déterminer le rayon de convergence et trouver la somme des séries entières
a)
X xn
;
n
n≥1
b)
X
n≥0
xn
;
(n + 2)
c)
X 1 + an
x2n (a ∈ R).
n
n≥1
Exercice 6. Même question qu’à l’exercice précédent.
a)
X
(2n + 1)x2n ,
n≥0
b)
X
nx2n ,
n≥0
c)
+∞
X
n n
x .
n
2
n=1
Exercice 7. Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière
X sin(nθ)
xn (θ ∈ R).
n!
n≥0
1
an xn dont les
2
Étude de la somme sur le cercle de convergence
Exercice 8. Soit
S(x) =
X xn
.
n
n≥1
Donner le rayon de convergence R de S et étudier la continuité de S en R et en −R. En déduire
X (−1)n
.
n
n≥1
Exercice 9. On considère la série entière
X
n≥1
sin
1
√
n
xn .
a) Déterminer son rayon de convergence R.
b) Étudier la convergence en R et −R. Étudier la continuité de la somme S sur l’intervalle de définition.
c) Montrer que lim (1 − x)S(x) = 0.
x→1−
Développements en série entière et équations différentielles
Exercice 10. Donner le développement en série entière, en 0, des fonctions suivantes:
1
, x 7→ ln(1 + x), arctan .
x 7→ x3 ex , x 7→
1 − x2
Exercice 11. Soit α > 0 et f (x) = (1 + x)α . En trouvant une équation différentielle d’ordre 1 vérifiée par
f , montrer que f est développable en série entière en 0 et donner son développement.
Exercice 12. Soit f (x) = sh(arcsin x) définie sur I = ] − 1, 1[.
a) Montrer que f est solution de l’équation différentielle
(1 − x2 )y 00 = y + xy 0
(E)
sur I.
On rappelle que pour tout couple de réels (y0 , y1 ), (E) admet une unique solution y telle que y(0) = y0 et
y 0 (0) = y1 .
P
b) Soit y(x) = n≥0 an xn une éventuelle solution développable en série entière de (E). Donner une relation
de récurrence entre les an , en déduire le rayon de convergence de la série entière.
c) Montrer à l’aide des questions précédentes que f est développable en série entière en 0 et déterminer ce
développement.
Exercice 13. Montrer que l’équation différentielle xy 00 +y 0 +y = 0 d’inconnue y : R → R admet une solution
et une seule développable en série entière en 0 et prenant la valeur 1 en 0. On déterminera également le
rayon de convergence de cette série.
Exercice 14. Montrer que l’équation différentielle 4xy 00 − 2y 0 + 9x2 y = 0 (x ∈ R) admet comme solution
une série entière (non-nulle) dont on déterminera le rayon de convergence.
? Exercice 15. On cherche les solutions développables en série entière de l’équation différentielle
xy 00 − y 0 + 4x3 y = 0.
(E)
Soit y(x) =
X
an xn une telle solution.
n≥0
a) Trouver une relation de récurrence entre les an .
b) Montrer que an est nul si n est impair, et donner une expression simple des a2k , k ∈ N. En déduire le
rayon de convergence de la série entière.
c) Déduire de la question précédente que (E) admet bien des solutions développables en séries entières et
expliciter ces solutions à l’aide de fonctions usuelles.