Chapitre 4 : Séries Enti`eres

Chapitre 4 : Séries Entières
Feuille d’exercices
Exercice 1 :
Déterminer le rayon de convergence des séries entières dont les termes généraux sont les
suivants :
zn
un = √
n
yn =
nn n
z
n!
vn =
;
;
n2 + 2n − 1 zn
n+2
n!
;
wn =
z3n
(3n)!
zn =
zn
n a n!
;
xn = (ln n) zn
où a ∈ R donné
Exercice 2 :
Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières suivantes :
un = n2 xn
xn =
sin(na) n
x
n!
vn =
;
x2n+2
n(n + 1)(2n + 1)
;
yn =
;
wn =
xn
n(n + 1)(n + 2)
cos(na) n
x
n!
;
zn =
a ∈ R
,
xn
(n + 4) n!
Exercice 3 :
Développer en série entière les fonctions suivantes et préciser leur rayon de convergence :
arctan x
;
ln(1 + x)
1+x
;
arcsin x
µ
arctan
1
, a réel
1 − 2x cha + x2
;
1 − x2
1 + x2
¶
;
³
´
p
ln x + 1 + x2
Exercice 4 :
1. Déterminer le rayon de convergence, puis calculer la somme de la série entière
(−2)n n
∑ n! x
n≥0
2. On considère le problème de Cauchy suivant :
½ 0
y + 2y − 6 = 0
( E)
y(0) = 0
Trouver une série entière dont la somme pour | x| < R soit solution du système (E).
Reconnaı̂tre la somme de cette série entière.
Exercice 5 :
On considère le probème de Cauchy suivant :

 (1 − x2 ) y” − x y0 = 0
( E)
y(0) = 0

y0 (0) = 1
Trouver une série entière dont la somme pour | x| < R soit solution du système ( E).
Exercice 6 :
On considère la fonction f : IR −→ IR définie par :
(
−1
e x + e x2
f ( x) =
1
si x 6= 0
si x = 0
a) Montrer que f est de classe C ∞ sur IR.
b) Calculer f (n) (0), puis déterminer la série entière ∑ an xn engendrée par f .
c) f est-elle développable en série entière autour de l’origine ?
Exercice 7 :
On considère l’équation différentielle :
xy” + 3y0 − 4x3 y = 0
( E)
Montrer qu’il existe une solution et une seule F de ( E) développable en série entière autour
de l’origine telle que F (0) = 1.
Reconnaı̂tre F comme expression de fonctions élémentaires.
Exercice 8 :
a) Développer en série entière l’application z 7−→
b) En déduire que : ∀r ∈ ]0, 1[ ,
1 − r2
1 − 2r cos x + r2
2r sin x
1 − 2r cos x + r2
1+z
.
1−z
∞
= 1+2
∑ rn cos(nx)
n=1
∞
= 2
∑ rn sin(nx)
n=1
Exercice 9 :
On définit la suite réelle ( an )n∈ IN par :
a0 = a1 = 1
et
∀n ∈ IN ∗ , an+1 = an +
2
an−1
n+1
a) Montrer que ∀n ∈ IN , 1 ≤ an ≤ n2 .
En déduire le rayon de convergence R de la série entière ∑ an xn .
∞
b) Calculer f ( x) =
∑ an xn
pour | x| < R.
n=0
Exercice 10 :
a) Rechercher une solution, sous forme de série entière, de l’équation différentielle :
( E)
xy” + 2y0 + ω2 xy = 0
où ω est une constante réelle
b) Utiliser le résultat du a) pour obtenir l’expression de la solution générale de ( E).
Exercice 11 :
On donne a ∈ IR − π .Z. Soient les sommes des deux séries entières :
∞
S( x) =
sin(na) xn
n
n=0 ( sin a ) n!
∑
∞
et
T ( x) =
cos(na) xn
n
n=0 ( sin a ) n!
∑
a) Montrer que leurs rayons de convergences sont infinis. Calculer S( x) et T ( x).
b) Montrer directement que S vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre et
retrouver l’expression de S.