Exercice 4 : ABCD est un paralllogramme de centre O

Les vecteurs – Exercices de Seconde - corrigé
Méthode mise en jeu : Citées entre parenthèses lors des corrigés des questions
M1. Démontrer qu’un point I est le milieu d’un segment [AB]
On a trois façons identiques de démontrer cela :
JJG JJG
JJG JJG G
2. I est le milieu du segment [AB] si et seulement si IA + IB = 0 .
JJG 1 JJJG
3. I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = AB .
2
M2. Démontrer que deux droites (AB) et (DC) sont parallèles
1. I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI = IB .
JJJG
JJJG
(AB) et (DC) sont parallèles si et seulement si il existe un réel k non nul tel que AB = k DC ; c’est à dire
JJJG
JJJG
que les vecteurs AB et DC sont colinéaires.
M3. Démontrer que trois points A,B et C sont alignés
JJJG
JJJG
Trois points A,B et C sont alignés si et seulement si il existe un réel k non nul tel que AB = k AC .
M4. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme
JJJG JJJG
ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC ( c’est le cas de la colinéarité de deux
vecteurs pour k = 1 ).
M5. Dire que A, B et C sont alignés signifie que A appartient à (BC).
Exercice 1 :
JJJJG JJJG JJJG 3 JJJG JJJG
1. MO = MA + AO = BA + OC
2
JJJG JJJG
JJJJG 3 JJJG JJJG 3 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
ABCD est un parallélogramme donc AB = DC et MO = BA + OC = CD + OC = CP + OC = OP
2
2
JJJJG JJJG
MO = OP (M1) signifie donc que O est le milieu de [MP].
2. Démontrer que MN = QP .
JJJJG JJJG JJJG JJJG 3 JJJG JJJG 3 JJJG 3 JJJG JJJG 3 JJJG
MN = MA + AB + BN = BA + AB + BC = BA + AB + BC
2
2
2
2
JJJJG 3 JJJG JJJG 3 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
MN = CD + DC + AD = CP + DC + QD = QD + DC + CP = QP
2
2
3. En déduire la nature de MNPQ.
MN = QP signifie que MNPQ est un parallélogramme.
http://www.efdamas.org/MathsS/index.htm
1
Philippe Demaria
Exercice 2 : (M2)
JJJG JJJG JJJG JJG JJG
JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG JJG
AP = AB − 2 AC = AI + IB − 2 AI + IC = AI + IB − 2 AI − 2 IC = IB − AI − 2 IC
JJJG JJG JJG JJG
JJG
JJJG
JJG
AP = IA + IB − 2 IC = −2 IC c’est à dire AP = −2 IC
Donc les droites (AP) et (IC) sont parallèles.
(
)
Exercice 3 :
Soit ABC un triangle.
1. Construire les points D et E définis par :
AD = 3 AB + BC
et
BE =
1
BC
3
2. Démontrer que les points A,D,E sont alignés. (M3)
JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG
AD = 3 AB + BC = 3 AB + 3BE = 3 AE
Donc A, D et E sont alignés
Exercice 4 :
1. Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure
2. Démontrer que AIKD est un parallélogramme.
JJG 1 JJJG
JJJJG 1 JJJG
JJJG JJJG
AI = AB et DK = DC . Or ABCD est un parallélogramme donc (M4) DC = AB .
2 JJG JJJJG
2
Donc AI = DK et AIKD est un parallélogramme.
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2
Philippe Demaria
3. On appelle R l’intersection des droites (AK) et (ID). Démontrer que LR =
1
AB et
4
1
AB
2
AIKD est un parallélogramme donc les diagonales (AK) et (ID) se coupent en leur milieu R et
JJJG JJJG
JJJG JJG
AR = RK et DR = RI (M1).
JJJG JJG JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1 JJJJG 1 JJG 1 1 JJJG 1 JJJG
LR = LA + AR = DA + AK = DK = AI = × AB = AB (M4).
2
2
2
2
2 2
4
JJJG JJG JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1 JJJG
LO = LA + AO = DA + AC = DC = AB (M4).
2
2
2
2
LO =
En déduire que les points L,R et O sont alignés.
JJJG 1 JJJG
JJJG 1 JJJG
JJJG 1 JJJG
LO = AB et LR = AB donc LR = LO donc les points L,R et O sont alignés.
2
4
2
4.
On appelle S l’intersection des droites (IC) et (KB). Démontrer que les points L,R,O,S et J sont
alignés.
IBCK est un parallélogramme donc les diagonales (BK) et (IC) se coupent en leur milieu S et
JJJG JJJG
JJJG JJG
BS = SK et CS = SI (M1).
JJJG JJG JJG 1 JJG 1 JJG 1 JJJG 1 JJG 1 1 JJJG 1 JJJG
OS = OI + IS = KI + IC = KC = IB = × AB = AB (M4).
2
2
2
2
2 2
4
JJJG JJJG JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1 JJJG 1 JJJG
OJ = OB + BJ = DB + BC = DC = AB (M4).
2
2
2
2
JJJG 1 JJG
JJJG 1 JJJG
JJJG 1 JJJG
J
OS = AB et OJ = AB donc OS = OJ donc les points J, S et O sont alignés.
4
2
2
JJJG 1 JJJG
JJJG 1 JJJG
D’après la question précédente, LO = AB donc OS = LO L, O et S sont alignés. (M5)
2
2
Donc les points J, S, L et O sont alignés.
Comme R appartient à la droite (LO), les points L,R,O,S et J sont alignés. (M5)
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Philippe Demaria