lignes de champ, circulation, gradient surfaces équipotentielles

LIGNES DE CHAMP, CIRCULATION, GRADIENT
SURFACES ÉQUIPOTENTIELLES
I. GÉNÉRALITÉS SUR LES CHAMPS
I.1 Champ scalaire et champ vectoriel
G
G
Un champ vectoriel est une fonction M 6 a ( M ) où a ( M ) est un vecteur de \3 , défini \3 ou sur une
partie de \ 3 .
Un champ scalaire est une fonction M 6 ψ ( M ) où ψ ( M ) est réel ou parfois complexe, définie sur \3 ou
sur une partie de \ 3 .
Un champ, scalaire ou vectoriel, traduit une propriété locale de l’espace.
G
Exemples : champ électrostatique E ( M ) , potentiel électrostatique V ( M ) , champ de température T ( M ) …
Les champs peuvent dépendre également du temps ; s’ils n’en dépendent pas, ils sont dits
stationnaires, statiques, permanents.
Attention à ne pas confondre champ permanent (champ indépendant du temps) et régime permanent
(solution particulière de l’équation différentielle avec second membre)…
I.2 Ligne de champ, tube de champ
G
Une ligne de champ d’un champ vectoriel est une courbe tangente en chaque point au champ a ( M ) .
JJG
JJG
G
Les lignes de champ sont définies par : dl M = k ( M ) a ( M ) , dl M étant le déplacement élémentaire le long de
la ligne de champ et k ( M ) un nombre réel. On calcule leurs équations en résolvant les équations
G
différentielles, si a ( M ) est non nul :
dx dy dz
dr rdθ dz
en coordonnées cartésiennes ;
=
=
en coordonnées cylindriques ;
=
=
ax a y az
ar
aθ
az
dr rdθ r sin θ dϕ
=
=
en coordonnées sphériques.
ar
aθ
aϕ
G
G
Remarque : Si a ( M ) = 0 , la ligne de champ se réduit au point M.
Un tube de champ est un ensemble de lignes de champ s’appuyant sur une courbe fermée.
I.3 Circulation d’un champ de vecteurs
G
Soit un chemin orienté Γ AB allant de A à B. La circulation élémentaire du champ de vecteurs a est
G JJG
δ C = a ⋅ dl . La circulation dépend a priori du chemin suivi.
G
B G JJ
La circulation le long du chemin Γ AB est : CΓ AB = ∫ a ⋅ dl . La circulation est calculée à un instant t.
A
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On utilisera le déplacement en coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques :
JJG
JJG
JJG
G
G
G
G
G
G
G
G
G
dl = dxu x + dyu y + dzu z ; dl = drur + rdθ uθ + dzu z ; dl = drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ
Un contour est une courbe fermée orientée.
G JJG
Quand A = B, le chemin Γ est fermé, on dit que c’est un contour, et on note : C = v∫ a ⋅ dl , le cercle sur le
symbole de l’intégrale rappelle qu’il s’agit d’un chemin fermé.
G
B G JJ
Remarques : En mécanique, le travail d’une force de A vers B est : W = ∫A F ⋅ dl . Dans le cas d’un champ
de forces permanent, le travail est égal à la circulation de la force. Si la force dépend du temps, le travail
G
t B G JJ
n’est pas égal à la circulation puisque W = ∫ F ⋅ dl . Une force est conservative si le travail ne dépend pas
tA
du chemin suivi, mais uniquement du point de départ et du point d’arrivée.
I.4 Champ à circulation conservative
G
Un champ a est à circulation conservative
⇔ la circulation ne dépend pas du chemin suivi mais uniquement du point de départ A et du point
d’arrivée B.
G JJG
⇔ le long de tout contour la circulation est nulle : v∫ a ⋅ d l = 0
Γ
II. DÉFINITION DU GRADIENT
G
Soit ψ ( r ) un champ scalaire. L’opérateur gradient, appliqué à ce champ, donne un champ vectoriel noté
JJJJG JJG
JJJJG
gradψ , tel que : dψ = gradψ ⋅ d l
II.1 Expression du gradient en coordonnées cartésiennes
∂ψ
∂ψ
∂ψ
On a : dψ ( x, y, z ) =
dx+
d y+
dz
∂x
∂y
∂z
G
G
G
G
En remarquant que d l = d x u x + d y u y + d z u z , on en déduit :
JJJJG
∂ψ G ∂ψ G ∂ψ G
gradψ =
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
II.2Expression du gradient en coordonnées cylindriques
G
∂ψ
∂ψ
∂ψ
G
G
G
On a : dψ =
dr +
dθ +
d z . En remarquant que d l = d r ur + r d θ uθ + d z u z , les coordonnées du
∂r
∂θ
∂z
gradient de ψ vérifient l’équation :
JJJJG
JJJJG
JJJJG
∂ψ
∂ψ
∂ψ
dr +
dθ +
d z = gradψ d r + gradψ r d θ + gradψ d z .
r
θ
z
∂r
∂θ
∂z
Cette relation est valable quelque soient les valeurs de d r , d θ et d z . On en déduit
JJJJG
∂ψ G 1 ∂ψ G ∂ψ G
ux +
uy +
uz
gradψ =
r ∂θ
∂r
∂z
(
)
(
)
(
)
II.3 Expression du gradient en coordonnées sphériques
G
∂ψ
∂ψ
∂ψ
G
G
G
On a : dψ =
dr +
dθ +
d ϕ . En remarquant que d l = d r ur + r d θ uθ + r sin θ dϕ uϕ , les
∂r
∂θ
∂ϕ
coordonnées du gradient de ψ vérifient l’équation :
JJJJG
JJJJG
JJJJG
∂ψ
∂ψ
∂ψ
dr +
dθ +
d ϕ = gradψ d r + gradψ r d θ + gradψ r sin θ d ϕ .
r
θ
ϕ
∂r
∂θ
∂ϕ
Cette relation est valable quelque soient les valeurs de d r , d θ et d ϕ . On en déduit
JJJJG
∂ψ G 1 ∂ψ G
1 ∂ψ G
ux +
uy +
uϕ
gradψ =
r
r
r
∂
∂θ
sin θ ∂ϕ
(
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(
)
(
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III. SURFACES ÉQUIPOTENTIELLES ET LIGNES DE CHAMP
III.1 Définition d’un champ de gradient
G
Soit a un champ de vecteurs.
JJJJG
G
G
Le champ a dérive du potentiel ψ si est seulement si a = −gradψ
III.2 Surface équipotentielle
Une surface équipotentielle est une surface (Σ) pour laquelle le potentiel ψ est le même en chaque point.
M’
M
(Σ )
surface équipotentielle
ψ = cte
Soit M un point appartenant à une surface équipotentielle ( Σ ) . Soit un point M’ voisin de M appartenant à la
JJG JJJJJG
dl = MM '
et
même
équipotentielle.
En
se
déplaçant
de
M
vers
M’
JJJJG JJG
G JJG
ψ ( M ') −ψ ( M ) = 0 = dψ = gradψ ⋅ dl = − a ⋅ dl . Cette relation est vérifiée pour tout point M’ voisin de M
appartenant à l’équipotentielle. Un produit scalaire est nul si et seulement si le premier vecteur est nul ou le
G JJG
deuxième vecteur est nul ou les deux vecteurs sont orthogonaux. On en déduit que a ⊥ dl . Cette relation
doit être vérifiée pour tout point M’ voisin de M et appartenant à ( Σ ) .
Quand un champ dérive d’un potentiel, le champ en un point est orthogonal à la surface
équipotentielle passant par ce point.
III.3 Ligne de champ et surface équipotentielle
M2
Σ2
Σ1
G
n
M1
Soient deux équipotentielles proches ( Σ1 ) et ( Σ 2 ) de potentiel ψ 1 et ψ 2 . Soit M1 un point appartenant à
l’équipotentielle ( Σ1 ) . M2 est l’intersection de la normale passant par M1 et l’équipotentielle ( Σ 2 ) . On
JJG JJJJJJG
G
G JJG
applique la relation dψ = − a ⋅ dl avec dl = M 1 M 2 . On pose n le vecteur unitaire normal à (Σ1) et dirigé de
G
G
G
G
M1 vers M2 ; a = a n . On a donc dψ = ψ 2 −ψ 1 = − a n ⋅ M 1 M 2 n , d’où ψ 1 −ψ 2 = M 1 M 2 a . Si ψ 2 > ψ 1 ,
alors a < 0 et si ψ 2 < ψ 1 , alors a > 0 .
Quand un champ dérive d’un potentiel, le champ en un point est orthogonal à la surface
équipotentielle passant par ce point et dirigé dans le sens des potentiels décroissants.
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