Solution de la 2ème partie

Solution de la 2ème partie
L'accélération dans le trièdre de Serret-Frenet s'écrit:
•• JJG
•
2
JJG
•• JJG
•
2
•• JJG
JJG
a = s T + s N= s T + s N= A θ T +
ρ
A
JJG
Le bilan des forces conduit à:
JJG
JJG
JJG
JJG
A
JJG
2 •2
θ JJG
N
A
JJG
F = m g + τ = m g (− cos θ N − sin θ T ) + τ N
L'application de la loi fondamentale:
JJG
JJG
F =m a
donne:
JJG
JJG
m g (− cos θ N − sin θ T ) + τ

N=m


JJG
•• JJG
Aθ
• 2 JJG
T + A θ N


En multipliant scalairement, cette relation par chacun des vecteurs de bases, il
vient:

•2
τ = m θ + m g

 ••
 θ = − g sin θ

A
A
cos θ
En travaillant la deuxième équation:
θ =−
A
•
• 2
dθ
2θθ=
dt
• ••
•
dθ
sin θ =
dt
g
••
=−
2θg
sin θ =
A
• 2
dθ
dt
⇒
2g d
( cos θ )
A dt
d  2g
cos

dt  A
=
⇒

θ

Par intégration de cette équation on obtient:
• 2
θ
2g
=
A
cos θ + Cst
Cette relation à l'instant initiale fournit la valeur de la constante Cst:
•2
θ0 =
0 =
2g
A
2g
A
cos
cos θ0 + Cst
π
+ Cst
2
⇒
0 = Cst
Le carré de la vitesse angulaire vaut donc à tout instant:
• 2
θ
=
2g
A
cos θ
⇒
• 2
mAθ
= 2 m g cos θ
Le report dans la première équation du système donne le résultat demandé:
τ = 3mg
cos θ