Exercices sur les vecteurs

Exercices sur les vecteurs
Exercice 1
ABCD est un parallélogramme et ses diagonales se coupent en O.
(1)
(2)
Compléter par un vecteur égal :
JJJG
a) AB = ...
JJJG
b) BC = ...
JJJG
c) DO = ...
JJJG
d) OA = ...
JJJG
e) CD = ...
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses et justifier :
JJJG
JJJG
e) AB = DC
a) OB = OC
JJJG
b) [ AB ] = [ DC ]
f) O = mil AC
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
c) OA = OC
g) mil BD = mil AC
JJJG
JJJG
d) OA = OC
h) AA = BB
Exercice 2
En utilisant le quadrillage, dire pour
chaque égalité si elle est vraie ou fausse :
JJJG
JJJG
(1) AB = EF
JJJG
JJJG
(2) CD = −AB
JJJG
JJJG
(3) DA = DB
JJJG
JJJG
(4) ED = BD
JJJG
JJJG
(5) AE = BF
JJJG
JJJG
(6) EF = −DC
Exercice 3
Soit ABC un triangle quelconque.
(1)
Construire :
•
•
•
JJJG
JJJG
le point N tel que AN = BC ;
JJJG
JJJG
le point P tel que PA = BC ;
JJJG
JJJJG
le point M tel que BM = AC .
(2)
Montrer que A = mil [ NP ] , B = mil [ PM ] et C = mil [ MN ] .
(3)
Quel est le rapport des aires des triangles ABC et MNP ? Justifier !
Exercice 4
Sur
la
figure
ci-contre,
formée
de
parallélogrammes juxtaposés, déterminer :
JJJG
(1) un représentant de DB
JJJG
(2) trois représentants de AE
JJJG
(3) un représentant de FG d’origine B
JJJG
(4) un représentant de CF d’extrémité E
G
(5) un représentant de 0
JJJG
(6) un représentant de −AF
Exercice 5
(1)
Reproduire le parallélogramme ABCD ci-dessus dans votre cahier puis
construire les points E, F, G, H et I définis par :
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
CE = AC ; BF = AC ; DG = AC ;
JJJG
JJJG
JJJG JJG
AH = −BC ; IA = AC .
(2)
Quelle est la nature des quadrilatères BCEF et DGEC.
(3)
Que représente le point A pour le segment [ IC ] ?
Exercice 6
Calculer les sommes vectorielles indiquées en
utilisant la figure ci-contre :
JJJG JJJG
(1) AE + AO
JJJG JJJG
(2) AE + DF
JJJG JJJG JJJG
(3) BD − BA − AO
JJJG JJJG
(4) OC − FC
JJJG JJJG JJJG
(5) DO + BC + AE
JJJG JJJG
(6) AB + AD
Exercice résolu 7
Déterminer la somme des vecteurs sur chacune des figures suivantes et
expliquer votre démarche.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Exercice 8
(1)
(2)
(3)
G G
Sur les figures (1) à (8) de l’exercice 7, construire u − v .
G G G
Sur les figures (9) et (10) de l’exercice 7, construire u − v − w .
G
G G
Sur les figures (11) et (12) de l’exercice 7, construire u = a − b ,
G G
G
G
G
G G
G G
v = b − c et w = a − c . Quelle est la relation entre u , v et w ?
Exercice résolu 9
Sur la figure ci-dessus, formée de parallélogrammes juxtaposés, déterminer un
représentant de
JJJG JJJG
(1) AD + CF
JJJG JJJG
(2) GC + AC
JJJG JJJG
(3) HE + BC
JJJG JJJG
DH
(4) DE
JJG − JJJ
G
(5) GJ + BF
JJG JJG
(6) DI + JI
JJJG JJG
(7) FG − AI
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
JJG JJG
IF
JJG − FJ
JJJG JJG
AI + AE + FJ
JJJG JJJG JJJG
AF + HD + BD
JJG JJJG JJG
JE + FG − ID
JJG JJJG JJG
GJ − DA + BI
JJJG JJG JJJG JJJG
FD + IA + CG − FH
JJJG JJJG JJJG JJJG
ED + AH + CF − FH
JJJG
JJJG
JJJG JJG
Déterminer le point O sur la figure tel que : AO = CF + 21 FG − IA .
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
Déterminer le point P sur la figure tel que : EP = AD + 21 GC + AB
Exercice 10
Démontrer les propriétés vectorielles suivantes à l’aide d’une figure.
G
G
G
G G
G
(1) − ( −a ) = a
(5) 2 ⋅ (a − b ) = 2a − 2b
G G
G G
G G G
G G
(2) v − u = −( u − v )
(6) u + v + u = 2u + v
G
G
G
G G G
G
G
(3) u − ( v + w ) = u − v − w
(7) −3 ⋅ ( 2u ) = −6u
G
G G
G G G
G
G
(4) a − (e − r ) = a − e + r
(8) 2 ⋅ ( − 53 z ) = − 130 z
Exercice résolu 11
Sur la figure ci-dessus, construire le point
JJJG
JJG
(1) I tel que EI = 2AB
(5)
JJJG
JJG
(2) J tel que GJ = −AB
(6)
JJJG
JJJG
(3) K tel que CK = − 25 AB
(7)
JJJG
JJG
J
(4) L tel que LC = 21 CD
(8)
JJJG
JJJG
M tel que MA = 23 EF
JJJG
JJJG
N tel que NH = − 23 DC
JJJG
JJJG JJJG
P tel que EP = 2EF + CD
JJJG JJJG
JJJG
Q tel que HQ = 2 ( AB − CD )
Exercice 12
Soit ABCD un parallélogramme. Construire les points M, N, P, Q définis par :
JJJJG
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
AM = 21 AB + 23 AD ; BN = 23 BD − 13 AC ;
JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
CP = 43 AD − 21 AB + BC ; 2AB + QD = 3CD − 21 BC .
Exercice 13
A et B étant deux points distincts donnés, construire si possible les points
inconnus Q, R, S, T, U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations
vectorielles correspondantes :
JJJG
JJJG JJJG
(1) AQ = AB + QB
JJJG
JJJG
(2) AR = RB
JJJG
JJJG
(3) AS = 5BS
(4)
(5)
(6)
JJJG
JJJG
JJJG
BT − 3AT = 2AB
JJJG JJJG
G
AU + BU = 0
JJJG JJJG
G
AV + VB = 0
(7)
(8)
JJJJG
JJJG
2AW = −WB
JJJG JJJG
JJJG
XA + XB = 2AB
JJJG
JJJG
JJJG
2AY − 3BY = 21 AB
JJJG JJJG
JJJG
(10) −2AZ + BZ = 2BA
(9)
Exercice 14
A et B étant deux points distincts donnés, construire les points M et P tels
JJJJG
JJJG
JJJG
G
G
JJJG
que : 2AM − 3AB = 0 et PA − 5BP = 0
Exercice 15
A, B et C étant trois points non alignés donnés, construire si possible les
points inconnus U, V, W, X, Y et Z en résolvant les équations vectorielles
correspondantes :
JJG JJJG JJJG
JJJG
(1) UA + UB + UC = BC
JJJG JJJG JJJG
G
(2) AV − VB − VC = 0
JJJJG JJJJG JJJJG
JJJG
(3) 2AW − BW − CW = AB
(4)
(5)
(6)
JJJG JJJG JJJG
G
−3XA + XB + XC = 0
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
AY − 2BY + 3CY = 2AB
JJJG
JJJG
JJJG JJJG JJJG
AZ − 3ZB = 2 (CZ + AZ − BC )
Exercice résolu 16
En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes :
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJJG
JJJG
JJJG
JJJJG
(10) MK = ... KG et GK = ... MK
(1) AE = ... AB et AB = ... AE
JJJG
JJG
JJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(2) GD = ...JP et JP = ...GD
(11) DN = ... HR et HR = ... ND
JJG
JJJG
JJG
JJJG
JJJG
JJG
JJJG
JJJG
(3) CL = ...QN et NQ = ...CL
(12) LA = ... RB et RB = ... AL
JJJG
JJJG
JJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(4) DH = ... AF et FA = ... HD
(13) FL = ... NE et NE = ... LF
JJJG
JJG
JJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(5) GR = ... IQ et IQ = ...GR
(14) KJ = ... BP et PB = ...JK
JJJG
JJJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJG
(6) OH = ...OE et OE = ...OH
(15) AA = ... AM et BB = ... IJ
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJG
JJG
(7) BP = ... LG et PB = ... LG
(16) IO = ... AR et RA = ...OI
JJG
JJG
JJG
JJG
JJJG
JJG
JJJG
JJJG
(8) QI = ... IE et IQ = ... EI
(17) BK = ...CL et BK = ... LC
JJJG
JJJG
JJG
JJG
JJG
JJG
JJJG
JJJG
(9) JE = ...JQ et JQ = ...JE
(18) GG = ... AD et AD = ...GG
Exercice 17
JJJG
Dans chacun des cas suivants, déterminer une relation de colinéarité entre AB et
JJJG
AC , puis faire une figure :
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
(1) AB = 2BC
(4) 2BA = 3CB − AC
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(2) CB = AB
(5) AC = − 43 BC
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
(3) AC = −BC
(6) 13 AB = 65 CB + AC
Exercice résolu 18
Soit A et B deux points distants de 1,5 cm.
JJJG
JJJG
(1) Construire le point C tel que BC = 25 AB .
JJJG
JJJG
(2) Construire le point D tel que AD = − 43 AB .
(3)
(4)
JJJG
JJJG
Compléter et démontrer la relation de colinéarité : CD = ... AB .
JJJG
En déduire la longueur du vecteur CD en cm.
Exercice 19
Soit ABC un triangle quelconque et D le point défini par :
JJJG
JJJG
JJJG
AD = AB − 3AC .
(1)
(2)
(3)
(4)
Construire le point D.
JJJG
Exprimer AB en fonction de
JJJG
Exprimer AC en fonction de
JJJG
Exprimer AD en fonction de
JJJG
JJJG
AD et AC .
JJJG
JJJG
AB et AD .
JJJG
JJJG
AC et BC .
Exercice 20
Soit ABCD quadrilatère quelconque, M le milieu de [AB], N le milieu de [BC],
P le milieu de [CD] et Q le milieu de [AD].
JJJG
JJJG
JJJJG
JJJG
(1) Montrer que MN = 21 AC et QP = 21 AC .
(2)
En déduire la nature du quadrilatère MNPQ.
Exercice 21
Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC et A ' = mil [ BC ] ,
JJJJG JJJJG JJJJG
G
B ' = mil [CA ] , C ' = mil [ AB ] . Montrer que AA ' + BB ' + CC ' = 0 .
Exercice 22
Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC. Montrer
JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJG JJJG
JJJG
AG = 13 ( AB + AC ) , BG = 13 ( BA + BC ) et CG = 13 (CA + CB ) .
11
que
Exercice 23
Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC et
A ' = mil [ BC ] ,
B ' = mil [CA ] , C ' = mil [ AB ] .
(1)
Compléter les relations de colinéarité suivantes :
JJJG
JJJG JJJG
JJJJG JJJG
JJJJG
GA = ...GA ' ; GB = ...GB ' ; GC = ...GC ' .
(2)
En déduire que G est le centre de gravité du triangle A ' B 'C ' .
Exercice 24
Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC et
A ' = mil [ BC ] ,
B ' = mil [CA ] , C ' = mil [ AB ] .
(2)
Construire les points P,Q et R tels que :
JJJG JJJG
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
a) GP = GB + GC , b) GQ = GC + GA et c) GR = GA + GB .
JJJG JJJG
JJG
J
JJJG
JJJG
JJJG
Montrer que : GP = −GA , GQ = −GB et GR = −GC .
(3)
Quelle est l’isométrie qui transforme le triangle ABC en le triangle
(1)
PQR ?
Exercice 25
Soit G et G ' les centres de gravité de deux triangles ABC et DEF
respectivement.
(1)
JJJG JJJG JJJG
JJJG
J
Montrer que : AD + BE + CF = 3GG ' .
(2)
En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles
aient le même centre de gravité.
Exercice 26
Soit G le centre de gravité d’un triangle ABC.
(1)
JJJG JJJG JJJG
JJJG
Montrer qu’il existe un point unique D tel que DA + DB + DC = 3AB .
(2)
Quelle est la nature du quadrilatère ABGD ?
Exercice 27
Soit ABC un triangle.
(1)
(2)
Construire les points I, J et K tels que :
JJG
JJJG JJJG
• AI = AB + AC
JJJG JJJG
JJJG
• BJ = 2BA + AC
JJG JJJG
JJJG
• CK = CA + CB
Démontrer que les droites AI, BJ et CK sont concourantes en G, centre
de gravité du triangle ABC.
12
Exercice 28
Soit G le centre de gravité d’un quadrilatère quelconque ABCD, c.-à-d. G
est l’unique point vérifiant l’égalité :
JJJG JJJG JJJG JJJG
G
GA + GB + GC + GD = 0 .
(1)
Construire le point G après avoir démontré que :
JJJG
JJJG JJJG JJJG
AG = 14 ( AB + AC + AD ) .
(2)
Soit M le milieu de [AB] et P le milieu de [CD]. Donner une construction
G
JJJG JJJG
plus simple du point G après avoir démontré que GM + GP = 0 .
(3)
Soit N le milieu de [BC] et Q le milieu de [AD]. Donner une construction
G
JJJG JJJG
encore plus simple du point G après avoir démontré que GN + GQ = 0 .
(4)
Quelle est la nature du quadrilatère MNPQ ?
Exercice 29
Soit ABC un triangle quelconque, O le centre du cercle circonscrit C à ABC
et A ' le milieu de [ BC ] . On définit le point H par la relation vectorielle :
JJJG JJJG JJJG
JJJG
OH = OA + OB + OC .
JJJG
JJJG
(1) a) Démontrer que : AH = 2OA ' .
b) En déduire que H appartient à la hauteur issue de A dans le triangle
ABC.
(2)
a) Démontrer de même que H appartient aux deux hauteurs issues de B
et de C respectivement dans le triangle ABC.
b) Quel théorème vient-on de démontrer de cette façon ? Rappeler
comment on appelle le point H dans le triangle ABC.
(3)
Soit G le centre de gravité du triangle ABC. En utilisant une
JJJG
JJJG
caractérisation vectorielle de G, démontrer que : OH = 3OG . Que peuton en déduire pour les points O, G
et H ? Enoncer le théorème
démontré ainsi.
Remarque : La droite passant par les points O, G et H est appelé droite
d’Euler.
(4)
Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux milieux des
côtés du triangle sont situés sur le cercle circonscrit C au triangle.
13
(5)
Montrer que les symétriques de l'orthocentre par rapport aux côtés du
triangle sont situés sur le cercle circonscrit C
au
triangle.
Exercice 30
La figure ci-contre représente le pentagone régulier
ABCDE de centre O, c.-à-d. O est le centre du cercle
circonscrit à ce pentagone.
JJJG JJJG JJJG
(1) Montrer que OA + OB //OD . Indication : OD est un axe de symétrie
du pentagone ABCDE.
(2)
(3)
(4)
(5)
JJJG JJJG JJJG
Montrer de même que OE + OC //OD .
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
En déduire que OA + OB + OC + OD + OE //OD
Montrer qu’on a également :
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
OA + OB + OC + OD + OE //OE .
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
G
En déduire que OA + OB + OC + OD + OE = 0 .
(O est donc le centre de gravité du pentagone ABCDE.)
(6)
Utiliser le résultat précédent pour prouver que :
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
G
a) AC + BD + CE + DA + EB = 0 et
JJJG JJJG JJG JJJG JJJG
G
b) AD + BE + CA + DB + EC = 0
Exercice 31
Soit ABC un triangle. On définit les points D, F et G par
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
AD = 23 AB , AF = 14 BA et GC = 5GA .
(1)
Par D on trace la parallèle à BC qui coupe AC en E. Donner les relations
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
de colinéarité entre a) les vecteurs CE et AC b) DE et CB . Justifier.
(2)
Démontrer que GF et DE sont parallèles. Justifier !
Exercice 32
Soit un parallélogramme ABCD de centre O.
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(1) Construire les points E et F tels que : AE = 14 AC et AF = 3FC .
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(2) Montrer que AE = EO = OF = FC .
(3)
Montrer que BEFD est un parallélogramme.
(4)
Soit
I = mil [ AD ]
et
J = mil [ BC ] . Montrer que IEJF est un
parallélogramme.
(5)
La droite BE coupe respectivement AD en G et CD en H. Montrer que :
JJJG
JJG
• AG = 23 AI
14
•
•
JJJG
JJJG
BE = 14 BH
JJJG
JJJG
HD = 2DC
Exercice 33
Soit ABCD un rectangle, I = mil [ AB ] et J = mil [ DC ] . Les droites DI et BC
sont sécantes en K et les droites KJ et DB sont sécantes en G.
JJJG
JJG
(1) Démontrer que KG = 2GJ . Que représente G pour le triangle DCK ?
(2)
Démontrer que GC // AJ .
(3)
AJ coupeDB en H. Démontrer que IGJH est un parallélogramme.
15
Solution de l’exercice 7
(1)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G
u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB '
(2)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G
u + v = DB + DC = DB + BC ' = DC '
(3)
JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJJG
G G
u + v = RS + RT = RS + ST ' = RT '
16
(4)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G
u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB '
(5)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G
u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB '
(6)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G
u + v = AB + AC = AB + BC ' = AC '
17
(7)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G
u + v = AB + CB = AB + BB ' = AB '
(8)
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
JJJJJG
G G
u + v = AB + CD = AB + BB ' = AB ' = A ' A ''
(9)
18
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJJG JJJJJJG
JJJJG
G
G G
u + v + w = AB + CD + EF = AB + BB ' + B ' B '' = AB ''
(10)
JJG JJJG
JJJJG
JJG JJJG
JJG
G
G
G
G G
G
u + v + w = ( u + w ) + v = ( IJ + JK ) + MN = IK + KL = IL
(On a utilisé la commutativité et l’associativité de l’addition des vecteurs.)
(11)
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJJG JJJJJG
JJJJG
G G G
a + b + c = OA + OB + OC = OA + AA ' + A ' A '' = OA ''
(12)
19
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJJG JJJJJG
JJJJG
G G G
a + b + c = OA + OB + OC = OA + AA ' + A ' A '' = OA ''
(13)
JJJG JJJG
JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJJG
JJJJG
G G G
G
a + b + c = (OA + AC ) + OC = OC + OC = OC + CC ' = OC ' ( = 2c )
JJJG JJJG JJJG
G
JJJG
G G G
(14) a + b + c = OA + AC + CO = OO = 0 (vecteur nul)
(15)
20
G G G G G G
a +b +c +d +u + v
G
G G G
G G
= (a + b + u ) + (c + d ) + v
JJG
G
JJJG JJJG
G G
= 0 + w + v = CD + DA = CA
Solution de l’exercice 9
(1)
JJJG
AE
(2)
JJJG
EC
(3)
G
0
(4)
(7)
JJG
FJ
(8)
JJJG
DF
(9)
JJJG
AH
JJJG
(10) AD
(13)
( FD + CG ) + IA − FH
JJJG
JJJG
JJG
JJJG
JJJG
HE
JJG
JJJG JJG JJJG
= FH + IA − FH = IA
JJJG
JJJG
JJJG JJG
AO = CF + 21 FG − IA ⇔ O = mil [ EF ]
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
EP = AD + 21 GC + AB ⇔ P = mil [GC ]
21
(5)
JJG
CJ
G
(11) 0
JJJG
(14) AF
(6)
JJG
JB
JJJG
(12) BD
Solution de l’exercice 11
Solution de l’exercice 16
En observant la figure ci-dessus, compléter les relations de colinéarité suivantes :
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG JJJG
JJJG
JJJG
(11) DN = HR et HR =− ND
(1) AE = 4AB et AB = 14 AE
JJG
JJJG
JJJG
JJG
JJJG
JJG
JJJG
JJJG
11 RB et
(2) GD = − 21 JP et JP = −2GD
(12) LA = 16
RB = − 16
11 AL
JJG
JJJG
JJJG
JJG
JJG
JJJG
JJJG
JJJG
(3) CL = −3QN et NQ = 13 CL
(13) FL = − 23 NE et NE = 23 LF
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(4) DH = 45 AF et FA = 54 HD
(14) KJ = − 141 BP et PB = −14JK
JJJG
JJG
JJG
JJJG
JJJG
JJJJG
JJJG
JJG
8
(5) GR = 11
8 IQ et IQ = 11 GR
(15) AA = 0 AM et BB = 0 IJ
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJG
JJG
7
(6) OH = 10
OE et OE = 10
7 OH
(16) IO = 176 AR et RA = 176 OI
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG JJG
JJJG
JJJG
14 LG
(7) BP = − 14
LG
et
PB
=
5
5
(17) BK =CL et BK = − LC
JJG
JJG
JJG
JJG
JJJG
JJJG
JJJG
JJJG
(8) QI = 2 IE et IQ = 2 EI
(18) GG = 0 AD et AD = ...GG
JJG
JJG
JJG
JJG
(9) JE = − 75 JQ et JQ = − 75 JE
impossible !
JJJJG
JJJG
JJJG
JJJJG
(10) MK = 21 KG et GK = −2 MK
22
Solution de l’exercice 18
(1) et (2) :
(3)
(4)
JJJG
JJJG JJJG JJJG
CD = CB + BA + AD
JJJG JJJG
JJJG
= − 25 AB − AB − 43 AB
JJJG
= ( − 25 − 1 − 43 ) AB
JJJG
= − 29
6 AB
23
CD =
29
6
⋅ 1, 5
=
29
6
⋅ 23
=
29
4
= 7,25 cm