Dérivée et différentielle

Master Dynamique terrestre et risques naturels
Mathématiques pour géologues
Dérivée et différentielle
1
1.1
1.1.1
Rappel de cours
Dérivée
Définition
On appelle dérivée de f en x0 la fonction f ′ (x0 ) définit par
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
1.1.2
f (x) − f (x0 )
x − x0
Dérivation d’une fonction continue
On définit
f (x + h) − f (x)
h→0
h
dérivée à droite = lim
f (x) − f (x − h)
h→0
h
Une fonction continue n’est dérivable en un pointque si sa dérivée à droite est égale à sa dérivée à
gauche.
dérivée à gauche = lim
1.1.3
Signification géométrique
f ′ (x0 ) mesure la pente de la tangente à la courbe y = f (x) au point x = x0 (Fig 1).
y
f(x)
xo
x
Fig. 1 – Signification géométrique de la dérivée en x0 de la fonction f .
1.1.4
Dérivée d’une fonction réciproque
Soit f une fonction continue et stritement monotone, admettant une fonction réciproque notée
f −1 . La dérivée de la fonction f −1 peut s’écrire sous la forme
′
f −1 (x) =
1
f ′ (f −1 (x))
⇔ f −1
′
=
f′
1
◦ f −1
1.1.5
Dérivée d’une fonction composée
Soit f et g deux fonctions dérivables alors (g ◦ f ) est dérivable et
(g ◦ f )′ = f ′ .g ′ ◦ f
1.1.6
Fonction dérivées successives. Formules de Leibniz
Si f et g sont deux fonctions n fois dérivables, la régle de dérivations successives du produit conduit
à
[f g]′ = f ′ g + f g ′
[f g]′′ = f ′′ g + 2f ′ g ′ + f g ′′
[f g]′′′ = f ′′′ g + 3f ′′ g ′ + 3f ′ g ′′ + f g ′′′
La loi de formation des coefficients rappelle la formule du binôme. L’égalité pour la dérivée niéme
de (f g) est appelée formule de Leibniz. On dit qu’une fonction n fois dérivable est de classe C n .
1.2
Différentielle
La différentielle de f en x est égale à la dérivée de f en x.
df
= f ′ (x).
dx
1.3
Calcul d’une dérivée
Par la suite f, u, v sont des fonctions de x continûment dérivables et a, b sont des constantes.
1.3.1
Régles générales de dérivation
d
(a)
dx
d
(ax)
dx
d
(au)
dx
d b
(u )
dx
=
0
=
a
=
au′
=
bu′ ub−1
d
(u + v) =
dx
1.3.2
d
(uv) =
dx
d u
( ) =
dx v
d
(f (u)) =
dx
d
(f (u)) =
dx
du
=
dx
u′ + v ′
Dérivées des fonctions logarithmes et exponentielles
d
ln u
dx
d u
e
dx
d u
a
dx
=
u′
u
= u ′ eu
= u′ au ln a
u′ v + uv ′
u′ v − uv ′
v2
u′ f ′ (u)
du df
dx du
1
dx/du
1.3.3
Dérivées des fonctions trigonométriques
d
sin u
dx
d
cos u
dx
d
tan u
dx
d
cot u
dx
d 1
dx cos u
1.3.4
u′ cos u
=
−u′ sin u
=
u′
=
=
d 1
dx sin u
d
arcsin u
dx
d
arccos u
dx
d
arctan u
dx
d
arccot u
dx
1
cos2 u
−u′
sin2 u
u′ tan u
cos u
=
=
=
=
=
−u′ cot u
sin u
u′
√
1 − u2
−u′
√
1 − u2
u′
1 + u2
−u′
1 + u2
Dérivées des fonctions hyperboliques
d
sinh u
dx
d
cosh u
dx
d
tanh u
dx
d
coth u
dx
1
d
dx cosh u
1
d
dx sinh u
2
=
′
=
u cosh u
=
u′ sinh u
=
=
=
=
u′
cosh2 u
−u′
sinh2 u
−u′ tanh u
cosh u
−u′ coth u
sinh u
d
arg sinh u
dx
d
arg cosh u
dx
d
arg tanh u
dx
d
arg coth u
dx
1
d
arg sinh
dx
u
d
1
arg cosh
dx
u
=
=
=
=
=
=
u′
u2 + 1
±u′
√
u2 − 1
u′
1 − u2
−u′
1 − u2
±u′
√
u 1 − u2
−u′
√
|u| 1 + u2
√
Exercices
1. Calculer la dérivée de y = sinn x. cosp x, sachant que n et p sont des entiers.
q
√
√x .
2. Calculer la dérivée de y = 1+sin
1−sin x
3. Montrer que la dérivée d’ordre n de sin x est sin(x + nπ/2).
4. a, b, c, d étant quatres réels et f une fonction de ℜ dans ℜ, de classe C 3 sur D, on pose
g=
f ′′′
af + b
et Φ(f ) = 2 ′ − 3
cf + d
f
f ′′
f′
2
.
Vérifier que Φ(g) = Φ(f ).
5. Calculer les dérivées en x des expressions suivantes sachant que α, β, γ sont des réels.
βxα cos3 x − ln2 (γx + δ)
(arctan x)3
β
α + x2
sin αx + β cos γx
6. On pose f (x) = xe−x et g(x) = x + x2 . Calculer (g ◦ f )′ en fonction de f et f ′ . Puis expliciter
(g ◦ f )′ en fonction de x. Retrouver le résultat en utilisant la formule de la dérivée d’une
fonction composée.
7. Soit la fonction f (x) = eix (1 − e−2ix ). Calculer la dérivée de f (x). Exprimer f (x) sous forme
de fonctions trigonométriques. Vérifier alors le résultat obtenu pour f ′ (x).
8. On pose f (x) = ln(x +
√
x2 + 1). Calculer la dérivée de f (x) par deux méthodes distinctes.
9. Calculer les dérivées des fonctions suivantes
ln
x
ln tan
2
2
xx!
√
1 + x2 − 1
√
1 + x2 + 1
10. Sachant que y x = xy , calculer y ′ en fonction de x et de y.
11. Calculer la dérivée de y = ecos
√
x
.