Plan affine et plan projectif: limites

Plan affine et plan projectif: limites
J. Parizet
5 juin 2012
−
→
Le plan projectif déduit de l’espace vectoriel réel de dimension trois E3 , noté
−
→
−
→
P(E3 ), est l’ensemble des droites vectorielles de E3 .
C’est une variété C∞ dont on utilise des cartes de domaines sont des plans affines
et les changements de cartes des homographies. Trois cartes au moins sont nécessaires pour représenter la variété (une ne suffit pas car elle est compacte).
En se plaçant dans une carte, on est ramené à une étude dans le plan affine.
Inversement bien des études dans le plan affine font intervenir l’espace projectif
dont il est un domaine de carte. Vérifions le dans des cas usuels et dans les questions de limites.
Partons du plan affine réel P complété en P par sa droite de l’infini D∞ . Ce plan
est plongé dans son espace universel Eu , obtenu soit en le construisant à partir
des translations et de homothéties de P selon Glaeser et c’est l’espace vectoriel de
dimension trois Eu , soit en considérant P comme sous espace affine d’un espace
affine de dimension 3, E, qui, l’un de ses points O étant fixé en dehors de P, est
alors identifié à l’espace vectoriel Eu : EO ∼ Eu
Il existe une forme linéaire unique φ sur Eu valant 1 sur P et de noyau l’espace
→
−
directeur E 2 de P.
Le cas échéant on munit P d’une structure euclidienne et on l’oriente.
1. Rôle de l’espace universel
Les Grecs définissaient les coniques comme intersection d’un plan et d’un cône
de révolution (Ménechme, Apollonius...). Vingt-deux siècles plus tard, Dandelin
précisait ce point de vue en utilisant implicitement l’espace universel du plan (en
munisant Eu d’une structure euclidienne) pour obtenir les définitions bifocales ou
par foyer-directrice des coniques à partir de la (ou des) sphère(s) inscrite(s) dans le
cône et tangente(s) au plan.
1
Dans P l’effet de la translation de vecteur ⃗v sur le point A, A+⃗v, est une somme
vectorielle dans Eu tout comme le calcul barycentrique dans le plan.Par exemple
]
A+B+C
1[ (A+B)
=
2
+C
3
3
2
situe le centre de gravité du triangle ABC sur la médiane issue de C.
• Les points du plan sont précisés usuellement dans un repère soit cartésien, à l’aide
→
−
de vecteurs de E 2 , Rc (A,⃗i, ⃗j) soit barycentrique Rb (A,B,C) : pour le point M du
plan –notons que φ|P = 1
M=A+x⃗i + y⃗j ou M=α A + β B + γ C avec φ (M) = α + β + γ = 1
Les repères précédents sont des bases de Eu où s’exprime le vecteur M de Eu .
Changer de repère dans P, c’est changer de base dans Eu .
Ces bases interviennent dans les déterminations analytiques des intersections de
droites du plan et dans la recherche de la droite joignant deux points.
a) Dans Rc par exemple, une droite D est définie par une équation ax + by + c = 0.
M1 (x1 , y1 ) et M2 (x2 , y2 ) distincts
( définissent
) D de coefficients proportionnels (∼=)
x1 x2
y1 y2
1 1
aux mineurs (algébriques) de
coefficients d’un produit en croix
  
   
x2
x1
a
y1 − y2
D = b ∼
= M1 × M2 .
=  x2 − x1  notée y1  × y2  : D∼
1
1
x1 y2 − y1 x2
c
Avec les conventions du calcul matriciel, l’équation de la droite s’écrit t D · M = 0.
remarquons que t (M1 × M2 ) · M =t M · (M1 × M2 ) est la valeur pour le déterminant
dans la base où l’on exprime M,M1 ,M2 , valeur que l’on note {M,M1 ,M2 }.
Si la droite D, issue du point M1 , est dirigée par le vecteur⃗v de composantes (α , β )
x − x1 y − y1
dans la base du repère, les coefficients de son équation
=
sont donnés
α
β
par
     
a
x1
α
D = b = y1  × β  ou M1 × V
c
1
0
L’équation de D est connue à un coefficient de proportionnalité près : si (a′ , b′ , c′ )
sont ceux d’une autre équation de la droite, on écrit (a′ , b′ , c′ ) ∼
= (a, b, c) en notant
∼
(=) l’équivalence de proportionnalité.
b) Question duale : deux droites non parallèles D1 , D2 définies dans Rc par leurs
équations se coupent en M(x, y) (dans le repère), coordonnées qui sont solution du
système
a1 x + b1 y + c1 = 0 , a2 x + b2 y + c2 = 0
(x, y, 1) est proportionnel aux coefficients du produit en croix des composantes des
équations des droites. On notera en abrégé, M désignant les coordonnées du point
2
aux quelleson
ajoute
 1,
    
x
b1 c2 − c1 b2
a1
a2
y ∼
=  c1 a2 − a1 c2  = b1  × b2  ou M∼
= D1 × D2
1
a1 b2 − b1 a2
c1
c2
Droite joignant deux points et point intersection de deux droites s’obtiennent par
les mêmes relations dans un repère barycentrique Rb , Cherchons par exemple les
coordonnées barycentriques de l’orthocentre d’un triangle (non rectangle) par rapport à ses sommets définissant Rb .
Dans le triangle (ABC), de longueurs de côtés a, b, c, les pieds B′ et C′ des hauteurs
issues de B et C sur les cotés opposés vérifient
−→
−→
−→
−−→
b CB
b AB , −
CB1 = a cos C
AC1 = b cos A
c
b
b sin B,
b sin C)
b ,A
b +B
b +C
b = π , les coordonnées barycend’où avec (a, b, c) ∼
= (sin A,
triques de C′ et B′ dans Rb (A,B,C) à partir de
b cos A)B
b + (sin A
b cos B)A
b
b cos C)A
b + (sin C
b cos A)C
b
(sin B
(sin A
C′ =
, B′ =
b
b
sin A
sin B
B1
C
@
@
@
@
@
@
@
B′ P
H
@
PP
@
PP @
PP@ @ @
P
A@ C′
B
@
@
@
@
@ @
A1
C1
Les coefficients d’une équation dans R de la hauteur hB issue de B sont donnés par

 
  
b
b cos C
b
tg C
sin A
0
∼
0
hB =B×B′ ∼
= 0 
= 1 × 
b
b cos A
b
0
− tg A
sin C
et ceux de hC par

 
  
b
b cos B
b
− tg B
sin A
0
b 
b cos A
b ∼
hC =C×C′ ∼
=  tg A
= 0 × sin B
1
0
0
3
 
  b
b
b
tg A
tg C
− tg B
 b
b tg B,
b tg C)
b est proportionnel
b ∼
Ainsi H∼
=  0  ×  tg A
= tg B
 : (tg A,
b
b
− tg A
0
tg C
au triplet des coordonnées de H dans Rb .

Les parallèles en A,B,C à leurs côtés opposés se coupent en A1 ,B1 ,C1 ; le centre du
cercle circonscrit est H, orthocentre du premier triangle. En passant de Rb (A, B, C)
à R′b (A1 , B1 , C1 ) on déduit des coordonnées barycentriques de l’orthocentre celles
du centre du cercle circonscrit dans les repères donnés par leurs triangles.
A partir de A=(B1 +C1 )/2,B=(C1 +A1 )/2,C=(A1 +B1 )/2, on déduit des coordonnées
barycentriques (α , β , γ , ) d’un point dans le premier triangle celles (α ′ , β ′ , γ ′ ) dans
le second : (α ′ , β ′ , γ ′ ) ∼
= (β + γ , γ + α , α + β ). Ainsi les coordonnées du centre Ω
b sin 2B,
b sin 2C)
b mod(∼
du cercle circonscrit dans son triangle sont (sin 2A,
=).
Le double produit en croix permet d’obtenir les coordonnées barycentrique d’un
point dans Rb (A,B,C). On vérifie tout d’abord comme pour un double produit vectoriel
A×(B×C)= (t A C)B-(t A C)B
Par exemple la droite D issue de M0 et passant par l’intersection des droites D1 et
D2 est définie par
D=M0 × (D1 × D2 ) = (t M0 · D2 )D1 − (t M0 · D1 )D2
exprimant que D appartient au faisceau défini par D1 et D2 .
Du double produit en croix on déduit, avec trois produits en croix, { } désignant le
déterminant dans la base utilisée et avec l’antisymétrie du produit en croix
(A×B)×(C×M)={A,B,M}C-{A,B,C}M={C,M,A}B-{C,M,B}A
ou {A,B,C}M={M,B,C}A+{A,M,C}B+{A,B,M}C : ({M,B,C},{A,M,C},{A,B,M})
sont les coordonnées barycentriques homogènes de M dans Rb (A,B,C).
Intervention de la droite de l’infini de P.
Revenons à l’intersection de deux droites D1 , D2 .
Si les droites se coupent en M, les coordonnées de M sont proportionnelles aux
composantes de D1 × D2 : c’est un système de coordonnées homogènes de M,
d’autant plus naturel que les composantes des droites sont définies modulo ∼
=. Ces
coordonnées homogènes sont les composantes dans la base de Eu (identifiée au
repère) d’un vecteur de Eu . Soit (X.Y.Z) ce système de coordonnées : si le repère
est cartésien, φ (D1 × D2 ) = Z ̸= 0 exprime que M existe dans P, et si le repère est
barycentrique, la condition s’écrit φ (D1 × D2 ) = X + Y + Z ̸= 0.
Si les droites sont parallèles et distinctes, d1 étant une équation de D1 dans Rc , une
équation de D2 est d2 = d1 + k (k ̸= 0) et
4

     
  
kb1
0
a1
a1
a1
D1 × D2 = b1  ×  b1  = b1  × 0 = −ka1 
c1
k
0
c1 + k
c1
donne un vecteur directeur des droites : les droites parallèles et distinctes se coupent
en le point à l’infini dans la direction de leurs vecteurs directeurs.
Et l’ensemble des points à l’infini forment une droite, définie par deux directions
distinctes : dans Rc     

0
a
a′
 droite d’équation Z= 0
0
V ×V ′ = b × b′  : 
′
′
0
ab − ba
0
′
′
car ab − ba ̸= 0, les vecteurs n’étant pas colinéaires.
P augmenté de la droite de l’infini D∞ est le plan complété P.
P est en bijection avec les éléments de P(Eu ) –ou les droites affines de EO issues
de O– qui ne sont pas dans la direction de P. Celles qui le sont rencontrent P en
sa droite de l’infini et c’est une droite car, comme toute droite du plan, elle est la
trace sur P d’un plan issu de O : celui d’équation φ = 0.
Ainsi l’espace projectif P(Eu ) est en bijection avec le plan affine complété P, représentant de de P(Eu ).
2.Limites dans le plan
Considérons des points et des droites dépendant d’un paramètre réel sur un intervalle I et envisageons si ceux ci ont des limites en une valeur t0 , finie ou non,
adhérente à I.
Supposons P rapporté à un repère affine Ra (A,⃗i, ⃗j).
a. Limite d’un point
Mt (xt , yt ) a une limite N(α , β ) si xt −−→ α et yt −−→ β , selon la définition usuelle.
t→t0
t→t0
∼ à (xt , yt , 1).
(Xt , Yt , Zt ) les coordonnées homogènes de Mt sont équivalentes (mod =)
Inversement soit (Xt , Yt , Zt ) un système de coordonnées homogènes de M dans Ra
tel que lorsque t tend vers t0 (Xt , Yt , Zt ) tend vers les réels (λ , µ , ν ) ̸= (0, 0, 0).
Si ν ̸= 0, Mt a une limite de coordonnées (α = λ /ν , β = µ /ν ).
Si ν est nul, Mt a une limite dans P sur la droite de l’infini dans la direction du
vecteur ⃗u(λ , µ ).
Ces deux cas n’en font qu’un dans P(Eu ), représenté par P mais que l’on peut aussi
représenter par le complété d’un autre plan affine P′ de EO : P(E) est une variété
C∞ , le passage de P à P′ conduit à un changement de cartes donné par les repères
de ces plans.
5
Partons de P1 . R(A,⃗i, ⃗j) repère de P précise le plan dans l’espace universel. Considérons un autre plan affine, contenant A, d’intersection avec P1 dans la direction
de ⃗j.
A partir de ⃗k tel que A=O+⃗i +⃗k, soit P2 de repére R′ (A,⃗k, ⃗j). Les points M1 et M2
−−→ −−→
de P1 et P2 définissent le même élément de P(EO ) lorsque OM1 et OM2 sont pro−−→
−−→
portionnels. Or OM1 =⃗i +⃗k + x⃗i + y⃗j et OM2 =⃗i +⃗k + x′⃗k + y′⃗j d’où la condition
′
1
y′
x
y
−−→ ∼ −−→ x + 1
OM2 = OM1 :
=
= soit x′ = −
, y′ =
1
x+1
y
x+1
x+1
qui est le changement de cartes de domaines P1 et P2 . Avec les coordonnées homogènes dans les repères  
 ′

X
X = −X
M1 ∼
= Y  7→ M2 ∼
=  Y′ = Y 
Z
Z′ = X + Z
On peut représenter le passage de M1 à M2 par une épure de géométrie descriptive
en prenant pour simplifier le point O sur la ligne de terre, la droite (OA) verticale
et les plans P1 , P2 de bout.
@
@ P′
@2
@
@
a′ @
@
m′1
P′1
#
#
#
@
#
m
@
#
" 1
"
#
"
@
"
6
@ m′2## "
⃗j
@# ""
# @"
Deux constructions
#"" @
de m2 à partir de m1
#" m2 @
"
#
"
@
#
"
⃗i @
a #
"′
o o
@
−⃗k
@
@
Revenons au
comportement
t0 .

 de Mt lorsque
 ′ttend vers
 
Xt
λ
Xt
λ
Alors Mt ∼
= Yt  → µ  et Mt′ ∼
= Yt′  → µ  : le point Mt′ tend vers le
Zt
0
Zt′
λ
6
point de coordonnées (−1, λ /µ ) dans R′ (A,⃗k,⃗i). Exprimons cette limite en termes
de voisinages usuels :
Quel que soit ε > 0, il existe η > 0 tel que ∀t ∈ Vη (t0 ), |xt′ +1| < ε et |yt′ − λ /µ | < ε .
On en déduit pour Mt : |xt + 1| > 1/ε et |yt − λ (xt + 1)/µ | < ε |xt + 1|, ce qui
signifie que lorsque t tend vers t0 , xt → ∞ et yt /xt → λ /µ comme il se doit et
donne le voisinage d’ordre ε du point à l’infini : intérieur d’un angle de sommet
(−1, 0) à l’extérieur d’une bande dont l’axe contient le sommet de l’angle.
b. Point de vue dual : limite d’une droite
Une droite de P est la trace d’un plan affine de EO issu de O, non parallèle à P,
sinon ce serait D∞ .
Un tel plan est noyau d’une forme linéaire ψ définie à un coefficient multiplicatif
près, non proportionnelle à φ .
Munissons le plan d’un repére, qui est une base de Eu , par exemple le repère Rc
(A,⃗i, ⃗j) : l’équation ax + by + c = 0 de la droite met en évidence la forme ψ :
ψ = a⃗i∗ + b⃗j∗ + cA∗ , où apparaissent (A∗ ,⃗i∗ , ⃗j∗ ) éléments de la base duale de celle
donnée par le repère, Notons que A∗ = φ car A∗ (⃗i) =A∗ (⃗j) =A∗ (⃗k) = 0, A∗ (A) = 1
comme φ .
Les coefficients (a, b, c) définissent la droite et à une droite correspond un tel triplet defini modulo ∼
= : l’ensemble des droites de P en y ajoutant la droite de l’infini
est en bijection avec l’espace projectif P(E∗u ) construit sur le dual de Eu , comme
l’ensemble des points de P l’est avec P(Eu ).
Aussi les limites de droites donnent lieu à des discussions semblables à celles
concernant les limites de points, avec l’intervention éventuelle de D∞ .
3. Tangentes et enveloppes
Reprenons les questions classiques.
a. Tangente en un point d’une courbe
C’est la position limite d’une corde (Mt Mu ) lorsque Mu tend vers Mt si t → u
(continuité en t). En explicitant dans le repère R les coefficients de la corde sont
donnés par
Mt − Mu
Ctu = Mt × Mu = Mt × (Mt − Mu ) ∼
= Mt ×
t −u
Mt − Mu
xt − xu
yt − yu
Les coefficients de
sont, dans ce repère,
et
: dire que la
t −u
t −u
t −u
tangente en Mt existe revient à dire que les coordonnées (xt , yt ) sont dérivables en
ce point t.
7
Cas d’une conique. Soit la conique (Γ) d’équation barycentrique α 2 − 2pβ γ = 0
dans le repére barycentrique Rb (A,B,C). En posant α = 2pt on obtient une paramétrisation régulière

de la conique dans Rb 
   

2pt
2pt
1
−2t
Mt ∼
= 2pt 2  d’où Tt = Mt × Mt′ ∼
= 2pt 2  × 2t  =  1 
1
1
0
2pt 2
 
 
0
0
∼



0
1 : la conique est tangente en
En particulier B=M∞ , T∞ ∼
,
C=M
,
T
=
0
0=
1
0
B à la droite AB (γ = 0) et en C à la droite AC (β = 0).
Le ou les points à l’infini de (Γ) correspond(ent) aux racines de αt + βt + γt = 0
soit 2pt 2 + 2pt + 1 = 0. Le signe de ∆′ = p(p − 2) précise le genre de la conique.
Lorsque p est nul, (Γ) est décomposée en la droite (BC) comptée deux fois. Pour
p = 2 la conique est une parabole, de point à l’infini donné par αt + βt + γt = 0 soit
4t 2 + 4t + 1 = 0 : t = −1/2.Latangente en ce point est donnée par
1

T−1/2= 1 : c’est la droite de l’infini.
1
L’intersection des tangentes en Mt et Mu (t ̸= u) est le point
( −2t ) ( −2u ) ( p(t+u) )
Mt,u ∼
= 1 × 1 = 2ptu
2pt 2
2pu2
1
Supposons que la conique ne soit pas une parabole. Ses points à l’infini ont pour
paramètres les zéros (α , β ), réels ou complexes conjugués, de 2pt + 2pt 2 + 1 = 0,
qui vérifient α + β = −1, 2pαβ = 1 : Mα ,β est le centre Ω de la conique

  
p(α + β )
−p
Ω = Mα ,β ∼
=  2pαβ  =  1 
1
1
La recherche usuelle de l’asymptote d’une branche infinie revient à trouver la tangente en ce point à l’infini de la courbe.
Mt décrit (C ) ; il tend vers le point à l’infini dans la direction de ⃗u(1, p) lorsque
t → t0 si alors t → ∞ et yt /xt → p. La corde issue de ce point ajouté à (C ) et passant patle
pointMtest donnée
par

 
1
xt
p
p
 p × yt  =  −1  qui tend vers −1 si yt − pxt −−→ l
t→t0
0
1
yt − pxt
l
La droite d’équation dans R y = px + l est l’asymptote de la courbe et c’est la tangente en le point à l’infini dans la direction de celle-ci. Si cette limite l est infinie,
la droite de l’infini est la tangente à la courbe en son point à l’infini, tel le cas d’une
parabole : la courbe présente une branche parabolique.
8
b. Point caractéristique de l’enveloppe d’une droite
Considérons une famille de droites paramétrées ∆t , le paramètre réel t décrivant
un intervalle I, données par leurs coefficients dans un repère de P. l’intersection
∆t − ∆u
de ∆t et ∆u (si elles sont distictes) est le point Mt,u ∼
. En
= ∆t × ∆u ∼
= ∆t ×
t −u
supposant pour simplifier ∆t de classe C1 , lorsque u → t, Mt,u tend vers ∆t ×∆t′ =Ct ,
le point caractéristique de ∆t .
Supposons ∆t de classe C2 ; le point Ct d’écrit une courbe (C) qui, en général, est
tangente à ∆t en Mt : (C) est l’enveloppe de la famille de droites ∆t . La tangente au
lieu de Ct est donnée par
Tt =
Ct × Ct′
(
) (
)′
= (∆t × ∆t′ ) × (∆t × ∆t′ )
= ∆t × ∆t′ × ∆t × ∆t′′
=
{∆t , ∆t′ , ∆t′′ }∆t
∆t est tangente en Ct à son lieu si le déterminant {∆t , ∆t′ , ∆t′′ } n’est pas nul ; si ce
déterminant est nul, ∆t est dite stationnaire.
Et de manière duale, une courbe de classe C2 est l’enveloppe de ses tangentes. car
le ”point courant” est point caractéristique de la tangente en ce point, s’il n’est pas
stationnaire :
(
) (
)
′ ′
′
′′
Tt : Mt × Mt′ , de point caractéristique Mt × M(t′ × Mt × M
t = {Mt , Mt , Mt }Mt :
)
′
′′
c’est le point Mt s’il n’est pas stationnaire ( Mt , Mt , Mt ̸= 0 ; on vérifie que le
point
est stationnaire
si les vecteurs Mt′ et Mt′′ sont liès, le déterminant (dans Rc )
(
)
′
′′
Mt , Mt , Mt valant (xt′ yt′′ − xt′′ yt′ ).
4. Exemples
Vérifions, dans ces exemples classiques, l’intérêt analytique du produit en croix.
Enveloppe d’un côté d’un angle droit . . .
. . . tel que l’autre côté passe par un point fixe et que le sommet de l’angle décrit un
cercle.
Rapportons le plan, euclidien orienté, à un repère orthonormé direct R(A,⃗i, ⃗j),
d’origine le centre du cercle de rayon a, le point par lequel passe l’un des côtés
−→
de l’angle est F tel que AF = c⃗i.
Le sommet M de l’angle décrit le cercle :
−→
M(a cos θ , a sin θ ), FM(a cos θ − c, a sin θ )
d’où l’équation du second côté et son point carctéristique :
9

 
 

a cos θ
a sin θ
a cos θ − c

∆θ =  a sin θ  × c − a cos θ  =  a sin θ
1
0
a(c cos θ − a)
 

 

− sin θ
a(a cos θ − c)
a cos θ − c
 ×  cos θ  = (a2 − c2 ) sin θ 
Cθ ∼
=  a sin θ
a(c cos θ − a)
−c sin θ
a − c cos θ
• Si a2 − c2 = 0 ou a = ε c, pour θ ̸= Arc cos ε , ce côté passe par F′ symétrique de
F par raport à A.
• Si a2 − c2 = ε b2 ̸= 0, et pour c cos ̸= a les coordonnées de Cθ sont
x2 ε y2
a(a cos θ − c)
ε b2 sin θ
xθ =
, yθ =
, d’où θ2 + 2θ = 1
a − c cos θ
a − c cos θ
a
b
L’enveloppe est la conique de foyers F et F′ . Pθ = 2Cθ −F étant le symétrique de F
par rapport à ∆θ , on vérifie la nullité du déterminant {F′ ,Cθ ,Pθ } : on en déduit la
définition bifocale de la conique et le théorème de Poncelet relatif à la tangente et
des "rayons vecteurs".
Nephroïde comme caustique
L’enveloppe des rayons lumineux après réflexion sur un demi cercle provenant de
la direction de l’axe de symétrie du demi cercle est une "demi-néphroïde".
Le cercle, de rayon r, est centré à l’origine du repère orthonormé direct R(A,⃗i, ⃗j).
-
s
Mθ
Demi-néphroïde
Mθ est le point du cercle où arrive le rayon incident (−π /2 ⩽ θ ⩽ π /2). Le rayon
−−→
réfléchi est dirigé par ⃗v et avec AM = r⃗u, du fait de la réflexion : (⃗v,⃗u) = (⃗u,⃗i),
soit en termes d’affixes de ces vecteurs : v = e2iθ . Le rayon réfléchi est porté par la
droite
10

 
 

r cos θ
cos 2θ
− sin 2θ
∆θ =  r sin θ  ×  sin 2θ  =  cos 2θ 
1
0
r sin θ
de point caractéristique


 
 
− sin 2θ
−2 cos 2θ
r(cos θ cos 2θ + 2 sin θ sin 2θ )
Cθ ∼
=  cos 2θ  ×  −2 sin 2θ  = r(cos θ sin 2θ − 2 sin θ cos 2θ )
r sin θ
r cos θ
2
i
3i
θ
θ
L’affixe de Cθ : z = r(3e − e )/4 montre qu’il s’agit d’une (demi-)néphroïde.
Développée d’une courbe plane
La développée d’une courbe plane est l’enveloppe de la famille des droites normales à la courbe ; c’est aussi le lieu de ses centres de courbure.
La courbe, supposée paramétrée de classe C2 , est décrite par le point Mt de coordonnées (xt , yt ) dans le repère orthonormé direct R(A,⃗i, ⃗j).
Plaçons nous en un point Mt1 de la courbe ; la tangente en Mt peut s’écrire localement (sur un voisinage V de t1 ) : x cos θ + y sin θ − p = 0 mettant en évidence un
vecteur unitaire normal à la tangente.
θ est sur V fonction de t, de classe C2 . Mt est point caractéristique de cette tangente : en le notant 
Mθ
 
  ′

cos θ
− sin θ
−p sin θ + p cos θ
Mθ ∼
=  sin θ  ×  cos θ  =  p′ cos θ + p sin θ 
−p
−p′
1
⃗t(− sin θ , cos θ ) et ⃗n(− cos θ , − sin θ ) sont des vecteurs unitaires de la tangente et
de la normale : Mθ = A + p′⃗t − p⃗n ou Hθ + p′⃗t en mettant en évidence le pied de
la perpendiculaire issue de A à la tangente. Cherchons le point caractéristique Cθ
de la normale ∆θ enMθ .
 
 

−p′ sin θ + p cos θ
cos θ
− sin θ
∆θ =  p′ cos θ + p sin θ  ×  sin θ  =  cos θ 
1
0
−p′

 
  ′′

− sin θ
cos θ
−p cos θ − p′ sin θ
Cθ ∼
= ∆θ × ∆θ′ =  cos θ  ×  sin θ  −p′′ sin θ + p′ cos θ 
−p′
p′′
1
11
HH ⃗t
Y
H
HH
Mθ
HH
r
HH
HH
HHHθ
⃗n
H
HH
Cθr H
A r
−−−→
Ainsi Cθ = A + p′⃗t + p′′⃗n d’où Mθ Cθ = (p′′ + p)⃗n . R=p′′ + p est le rayon de
courbure de la courbe en Mθ car si R est constant p, solution d’une équation différentielle à coefficients constants, est de la forme p = λ cos θ + µ sin θ + R d’où
les coordonnées de Mθ : (x = λ + R cos θ , y = µ + R sin θ ), qui décrit le cercle de
centre Ω(λ , µ ) et de rayon R. Cθ est le centre de courbure de la courbe en Mθ et R
dM
son rayon de courbure en ce point. Un calcul simple montre que
= (p + p′′ )⃗t ;
dθ
puisque⃗t est unitaire tangent, selon la définition de l’abscisse curviligne s orientée
ds
dM
=⃗t et ainsi p + p′′ =
par ⃗t :
=R.
ds
dθ
Développée d’une conique
Rapportons la conique au repère dont le premier axe est axe de symétrie de la
courbe et le second sa tangente au sommet pris pour origine du repère : elle a une
équation de la forme qui résume les noms des coniques dûes à Apollonius1
y2 = 2px + qx2 (p n’est pas nul car la conique n’est pas décomposée) :
pour q négatif, nul ou positif c’est une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
Paramétrons la conique en posant y = tx : on en déduit des coordonnées homogènes
2
2 ) et la tangente en ce point
du point correspondant de la courbe
 Mt (2p,
 2pt,t
 − q 

2p
0
t2 + q
Tt = Mt × Mt′ ∼
=  2pt  ×  p ∼
=  −2t ,
2
t −q
t
2p


 2
 
2p
t +q
2t(t 2 − q)
, et le
t 4 − q2
la normale en ce point ∆t =  2pt  ×  −2t  = 
2
2
t −q
0
−2pt(t + q + 2)
centre de courbure 
 

2t(t 2 − q)
3t 2 − q
×

t 4 − q2
2t 3
Ct ∼
=
2
2
−2pt(t + q + 2)
−p(3t + q + 2)
1 cf
Guy Laville Géométrie pour le CAPES et l’Agrégation Ellipses 1998, p 260
12


p[t 6 + 3(q + 2)t 4 + 3q2t 2 + q2 (q + 2)]

−8p(q + 1)t 3
Ct ∼
=
2
3
(t − q)
( )
p
Pour t infini, C∞ ∼
= 0 : p est le rayon de courbure de la conique en son sommet
1
à l’origine du repère.
Précisons le lieu de Ct (la développée) selon la nature de la conique.
Dans le cas
parabole
 (q = 0)
 d’une
p(t 6 + 6t 4 )
Ct ∼
=  −8pt 3  de coordonnées (p + 6pu2 , −8pu3 ) en posant 1/t = u
t6
b
q q q q
p :sous-normale constante
@b
@
@
@
@
Pour une conique à centre, ce dernier est Ω(−p/q, 0) Par translation,transportons
R en R′ d’origine Ω. Les coordonnées (x, y) deviennent dans R′ les coordonnées
(x′ = x+ p/q, y′ = y) et on peut prendre por coordonnées homogènes correspondant
à ce changement de repère : (X ′ = qX + pZ,Y ′ = qY, Z ′ = qZ). En notant C′ la
colonnedes coordonnées du centre de courbure dans ce 
dernier

 repère
Ct′
p(q + 1)(t 2 + q)3
qp[t 6 + 3(q + 2)t 4 + 3q2t 2 + q2 (q + 2)] + p(t 2 − q)3
3
∼
 =  −8pq(q + 1)t 3 
−8qp(q + 1)t
=
2
3
q(t 2 − q)3
q(t − q)
• Si q = −1 : la conique est un cercle de centre Ω et Ct = Ω . . .
• Si q ̸= 1, les coordonnées de Ct′ dans R′ sont
(
(
)3
)3
2 +q
t
p(q
+
1)
t
x′ (t) =
, y′ (t) = −8p(q + 1) 2
q
t2 − q
t −q
Ces coordonnées s’expriment, comme celles d’un point de la conique, en termes
de trigonométrie circulaire ou hyperbolique.
. Pour q = −h2 (h > 0, h ̸= 1), posons t = h/ tg (θ /2), il vient
2
p(h2 − 1)
3 θ , y(φ ) = p(h − 1) sin3 θ
x(φ ) =
cos
h2
h3
2
. Pour q = h (h > 0), posons t = h/ th (ψ /2) puis t = −h th (ψ /2), correspondants
13
aux deux branches de l’hyperbole
p(h2 + 1) 3
p(h2 + 1) 3
x(ψ ) = ε
ch
φ
,
y(
φ
)
=
sh φ .
h2
h3
′
Remarque. Des équations réduites des coniques dans R
2
2
2
x2
+ by2 − 1 = 0 et a2 − by2 − 1 = 0
a2
on déduit p = b2 /a, h = b/a, et leurs développées :
c2
c2
x(φ ) = cos3 θ , y(φ ) = sin3 θ ,
a
b
c2
c2 3
x(ψ ) = ε ch φ , y(φ ) = sh 3 φ .
a
b
Epure dans un cas plus général que celui donné page 5
@
@
@
@
s
@
@
@
@
@ r
@
@
@
@
@r
@
@s
@
@
@
@s
@
@
s
s
r
r
14
s
@
@
@
@
@
@
@
@
s
@
@
@
@
@
@
@