Diagonalisation

Chapitre 4
Diagonalisation
Cette présentation résume le contenu des section 4.1, 4.2 et 4.4 des notes de cours.
On se concentre sur la notion de la diagonalisation.
1
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition
Définition 1.1. Soit une application linéaire T ,
T : V −→ V
~v 7→ T (~v ).
S’il existe un vecteur ~u ∈ V non-nul et un nombre λ tel que
T (~u) = λ~u,
alors on appellera ~u un vecteur propre et λ sera la valeur propre associée à ~u.
Interprétation
Supposons que T est une application linéaire avec un vecteur propre ~u et λ, sa
valeur propre.
Alors T envoie le sous-espace vectoriel [~u] sur le sous-espace vectoriel [~u].
L’effet de T sur le sous-espace [~u] sera donc tout simplement une homothétie.
Que se passe t-il quand T possède beaucoup de vecteurs propres ?
1
2
CHAPITRE 4. DIAGONALISATION
La raison d’être
Soit un espace vectoriel V de dimension n et une application linéaire T
T : V −→ V.
Supposons que T possède une base formée de n vecteurs propres
~u1 , ~u2 , . . . , ~un ,
avec valeurs propres associées λ1 , λ2 , . . . , λn , alors
T (~u1 ) = λ1 ~u1
T (~u2 ) = λ2 ~u2
.. ..
.=.
T (~un ) = λn ~un .
La raison d’être (suite)
Dans la base ordonnée B = (~u1 , ~u2 , . . . , ~un ) on a




0
λ1
 λ2 
 0 




[T (~u1 )]B =  .  , [T (~u2 )]B =  .  ,
 .. 
 .. 
0



[T (~un )]B = 

0
0
..
.



.

λn
0
et la matrice de représentation de [T ]B est donc

λ1
0
h
i 

[T ]B = [T (~u1 )]B [T (~u2 )]B · · · [T (~un )]B = 


0
..
.
λ2
..
.
0
···
La raison d’être (suite)
Géométriquement, la représentation de T

λ1 0

 0 λ2
[T ]B = 
 . .
..
 ..
0 ···
···
..
.
..
.
0
···
..
.
..
.
0

0
.. 
. 
.

0 
λn

0
.. 
. 
,

0 
λn
nous dit que T effectue des homothéties par des facteurs λi dans chaque direction
~ui .
La diagonalisation c’est le processus que l’on effectue pour trouver une telle
représentation diagonale, si elle existe.
1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
3
Exemple
Exemple 1.1. Soit l’application linéaire
T x~i + y~j + z~k = (x − z)~i − (x + z)~j + (z − x)~k.
Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont des vecteurs propres. Si c’est le cas, donnez
aussi sa valeur propre.
a) ~0,
b) ~i − ~k,
c) ~j.
Existence de valeurs propres
Théorème 1.2. Soit une application linéaire T : V −→ V . Le nombre λ est une valeur
propre si et seulement si
1 ≤ dim Ker(T − λI).
Preuve Si ~u est le vecteur propre associée à λ, alors
T (~u) = λ~u ⇐⇒ (T − λI)(~u) = ~0 ⇐⇒ Ker(T − λI) 6= {~0}.
Existence de valeurs propres
Théorème 1.3. Soient une application linéaire T : V −→ V et une base ordonnée B
de V . Le nombre λ est une valeur propre si et seulement si
0 = det [T ]B − λI .
Preuve Si ~u est le vecteur propre associé à λ, alors
[T ]B [~u]B = λ[~u]B ⇐⇒ [T ]B − λI [~u]B = ~0 ⇐⇒ [T ]B − λI est singulière.
Les étapes de la diagonalisation
Soient une application linéaire T , une base B de l’espace vectoriel V . Supposons
que l’on connaisse
[T ]B .
Les étapes de la diagonalisation sont :
1. On trouve toutes les racines λ du polynôme caractéristique
0 = det [T ]B − λI .
2. Pour chaque solution λ, parmi les valeurs λ1 , . . . , λk obtenues en 1., on trouve
tous les vecteurs ~u tels que
[T ]B [~u]B = λ[~u]B .
3. As t-on une base de V formée de vecteurs propres ?
4
CHAPITRE 4. DIAGONALISATION
Exemple
Exemple 1.2. Soit une application linéaire T décrite dans une base B par la matrice
3 1
[T ]B =
.
4 6
Trouvez toutes les valeurs propres de T .
Exemple
Exemple 1.3. Soit une application linéaire T décrite dans une base B par la matrice


2
1 −3
3 −5  .
[T ]B =  2
−1 −1
2
Trouvez toutes les valeurs propres de T .
Exemple
Exemple 1.4. Soit une application linéaire T décrite dans une base B par la matrice


3 −2 0
3 0 .
[T ]B =  −2
0
0 5
Trouvez toutes les valeurs propres de T et tous les vecteurs propres qui y sont associés.
Est-ce que V possède une base formée de vecteurs propres de T ?
Définition
Théorème 1.4. Soit une application linéaire T : V −→ V . Le nombre λ est une valeur
propre si et seulement si
1 ≤ dim Ker(T − λI).
Définition 1.5. On définit
Eλ = Ker(T − λI),
le sous-espace propre de T associé à λ. On appellera la dimension de Eλ , la multiplicité géométrique de λ. La multiplicité algébrique de λ est sa multiplicité dans le
polynôme caractéristique.
Définition
Définition 1.6. On dit qu’une application linéaire T : V −→ V est diagonalisable
s’il existe une base B de V formée de vecteurs propres de T .
1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
5
Si T est diagonalisable et que ces valeurs propres sont λ1 , . . . , λn , alors


λ1 0 · · · 0

.. 
 0 λ2 . . .
. 

.
[T ]B =  .

 .. . . . . . . 0 
0 · · · 0 λn
Existence de vecteurs propres
Théorème 1.7. Soit une application linéaire T : V −→ V et une valeur propre λ de
T , alors
1 ≤ multiplicité géométrique de λ ≤ multiplicité algébrique de λ .
Théorème 1.8. Si ~u1 , ~u2 , . . . , ~uk sont des vecteurs propres de T correspondant à des
valeurs propres distinctes
λ1 , λ2 , . . . , λk
alors l’ensemble {~u1 , ~u2 , . . . , ~uk } est linéairement indépendant.
Existence de vecteurs propres
Corollaire 1.9. Si λ1 6= λ2 sont des valeurs propres distinctes de T , alors
Eλ1 ∩ Eλ2 = {~0}.
Corollaire 1.10. Si V est un espace vectoriel de dimension n et T possède n valeurs
propres réelles et distinctes, alors il existe une base B formée de vecteurs propres.
Le résultat principal
Théorème 1.11. Soient V un espace vectoriel et une application linéaire T : V −→
V , alors T est diagonalisable si et seulement si toutes ces racines sont réelles et pour
chacune de ces valeurs propres,
multiplicité géométrique de λ = multiplicité algébrique de λ .
Preuve Si les valeurs propres de T sont tous réelles, alors le polynôme caractéristique
s’écrit
(x − λ1 )r1 (x − λ2 )r2 · · · (x − λk )rk
et donc
dim V = n = r1 + r2 + · · · + rk
6
CHAPITRE 4. DIAGONALISATION
Le résultat principal (suite)
Si pour chaque valeur propre λi
multiplicité géométrique de λi = multiplicité algébrique de λi ,
alors
dim V =n = somme des multiplicités géométriques
X
dim Eλi .
=
λi
Donc, les sous-espaces propres étant distincts, les vecteurs propres, qui forment des
bases de chaque sous-espace propre, forment ensemble une base de V .
Exemple
Exemple 1.5. Est-ce que l’application linéaire T , décrite dans une base B par la matrice


2 0
0
[T ]B =  0 0 −1  ,
0 1
0
est diagonalisable ?
Exemple
Exemple 1.6. Est-ce que l’application linéaire T , décrite dans une base B par la matrice


0 −1 0
0 1 ,
[T ]B =  0
−1 −3 3
est diagonalisable ?
Changement de bases
Observation Soient V un espace vectoriel et une application linéaire T : V −→ V
diagonalisable. Si B est une base de V formée de vecteurs propres, alors [T ]B est
diagonale.
Si C est n’importe quelle autre base de V , alors
[T ]B =B PC [T ]C C PB
−1
= C PB
[T ]C C PB .
Définition 1.12. On dit qu’une matrice carrée A est diagonalisable s’il existe une
matrice inversible P telle que
P −1 AP
soit diagonale.
2. DIAGONALISATION DE MATRICES SYMÉTRIQUES
7
Exemple
Exemple 1.7. Si possible, trouvez une matrice inversible P qui diagonalise


2 0 −2
0 .
A= 0 3
0 0
3
2
Diagonalisation de matrices symétriques
Résultat principal
Théorème 2.1. Toute matrice carrée A qui est symétrique est diagonalisable. En
d’autres mots, il existe une matrice inversible P telle que
P −1 AP
soit diagonale.
Corollaires
Il est clair que le résultat précédant est possible seulement si les résultats suivants
existent.
Corollaire 2.2. Les valeurs propres d’une matrices symétriques sont tous réelles.
Corollaire 2.3. Si λ est une valeur propre d’une matrice symétrique, alors sa multiplicité géométrique est égale à sa multiplicité algébrique.
Surprise
Théorème 2.4. Soit une matrice symétrique et ~u1 , ~u2 des vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes, alors
~u1 · ~u2 = 0,
c-à-d les vecteurs sont orthogonaux.
Résultat principal (version amélioré)
Théorème 2.5. Toute matrice symétrique A est diagonalisable dans une base orthonormale. En d’autres mots, il existe une matrice orthogonale P telle que
P T AP
soit diagonale.
Preuve Les sous-espaces propres sont orthogonaux donc, à l’aide du procédé de
Gram-Schmidt, on peut extraire une base orthonormale de vecteurs propres.
8
CHAPITRE 4. DIAGONALISATION
Exemple
Exemple 2.1. Diagonalisez la matrice
A=
2
1
1
2
.
Trouvez la matrice P qui diagonalise A.
Exemple
Exemple 2.2. Diagonalisez la matrice

2
A= 0
−1
Trouvez la matrice P qui diagonalise A.
0
1
0

−1
0 .
2