TOMOGRAPHIE X Tomographie

PLAN
IMAGERIE TOMOGRAPHIQUE X
Françoise PEYRIN
CREATIS , UMR CNRS 5515, INSA Lyon
ESRF , Grenoble
ESRF
1 - Introduction à la tomographie
• Qu’est ce que la tomographie par rayons X ?
• Que représente l’image ?
2 - Reconstruction d'images (2D, parallèle)
• Méthodes analytiques
• Méthodes algébriques
3 - Évolution des systèmes
4 - Microtomographie
• principe
• microtomographie par rayonnement synchrotron
• application à l'étude de la structure osseuse
ESRF
RADIOGRAPHIE / TOMOGRAPHIE
IMAGERIE MEDICALE : TOMOGRAPHIE X
•
Méthode non-destructive....
•
Tomographie "classique"
Radiography
Slice plane
1er appareil : 1921
•
Tomographie assistée par
ordinateur X :
1972 : Hounsfield, prix Nobel
1973 : 1er scanner (brain) Massachussets General Hospital
1974 : 1er scanner X (body) Georgetown Univ Med Center
X-ray
Source
Radiographie :
image de type "projection"
Tomographie :
image de type "coupe"
1
PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE CLASSIQUE
PRINCIPE DE LA TOMOGRAPHIE ASSISTÉE PAR
ORDINATEUR
Image analogique
Image numérique
Trajectoire linéaire, circulaire, elliptique
ou cycloïdale
Moniteur
Tube à rayons X
Collimateur
Détecteur
Collimateur
Système d' acquisition
Plus la trajectoire est compexe,
plus le flou dû aux autres plans est
uniforme
SYSTÈME TRANSLATION-ROTATION
Calculateur
Acquisition
d’informations sur une
section
Traitement
numérique
Visualisation
EVOLUTION DES SYSTÈMES D'ACQUISITION
Système 1ère génération
rotation
translation
source
sens de
rotation
S
y
S
sens de
rotation
Pour chaque angle :
une projection
section à
θ
reconstruire
p (u
θ2
x
pθ(u)
p (u)
θ1
u
détecteur
projectio
anneau de
détecteurs
détecteurs
circulaires
3ème génération
4ème génération
Systèmes Fan-Beam (faisceau en éventail)
2
PERFORMANCES
•
Durée d'acquisition :
•
Temps de reconstruction:
•
Résolution spatiale :
•
Données :
•
Images reconstruites :
•
Gamme d ’énergie :
EXEMPLE
4 mn à < 5 sec.
5 mn à ~ 1 sec.
3 mm à ~ 300 mm
> 1000 angles x 1000 pts/angle
256 x 256 Æ 1024 x 1024
30 à 60 keV
Scanner X, CGR CE12000, Hopital Cardiologique, Lyon
RECONSTRUCTION D'IMAGES
⇔ Résolution d'un problème inverse
•
•
Modélisation du problème direct
– Nature de l ’image : Interaction X / matière
– Phénomène physique : Atténuation
Inversion : Reconstruction d'images à partir de projections
– Transformation de Radon (1917)
– Méthodes analytiques (Fourier)
– Algèbre linéaire
PHYSIQUE DE LA TOMOGRAPHIE X
Que représente l ’image tomographique ?
3
LES RAYONS X
INTERACTION X / MATIÈRE
• Interaction X-matière
Spectre électromagnétique
*
400-700 nm
Longueur
d’onde λ
– Effet photoélectrique : un photon X cède toutes son énergie à un atome
qui éjecte un e- à une vitesse proportionnelle à λX émission de fluorescence
– Effet Compton : un photon X cède une partie de son énergie à un e-, il
est dévié et continue sa trajectoire avec une énergie inférieure - diffusion
incohérente
– Diffusion Rayleigh : la radiation X (onde électromagnétique) fait entrer en
vibrations les e-, de la matière qui émettent une onde sphérique de longueur
d ’onde λX - diffusion cohérente
Energie
E(KeV)=12,4/λ(Α)
– Création de paires électron-positron : matérialisation d’un photon
passant au voisinage du noyau d ’un atome en paire (e-,e+), se produit si E >
1022 Mev.
10-100 Kev
TOMOGRAPHIE X : ASPECT PHYSIQUE
•
Macroscopiquement, une radiation X monochromatique, de
longueur d'onde λ et d'intensité I0, passant à travers un
matériau homogène est atténuée
I0
L
µ
I = I0 exp (- µ L)
µ : coefficient d'atténuation du
I
matériau pour la longueur
d'onde λ
INTERACTION X / MATIÈRE
•
Coefficient d’atténuation linéaire à 60 Kev
Air
Graisse
Eau
Liquide Céphalo-rachidien
Matière blanche
Matière grise
Pancréas
µ en cm-1
~0
0,186 cm-1
0,203 cm-1
0,203 cm-1
0,210 cm-1
0,212 cm-1
0,216 cm-1
Contraste ~1%
4
MODÉLISATION DU PROBLÈME DIRECT
Objet multi-couche
I
0
PRINCIPE DE LA RECONSTRUCTION D’IMAGES
µ
µ
Pourquoi ?
1
y1
2
y2
Comment ?
µ n
I
MODÉLISATION DU PROBLÈME DIRECT
I2 = I1 exp (- µ2 y2)
In = In-1 exp (- µn yn)
⇒ In = I0 exp (- ∑ µi yi)
MODÉLISATION DU PROBLÈME DIRECT
Objet continu
•
y
.
.
.
n
n
Objet continu
I (x)
o
y
I1 = I0 exp (- µ1 y1)
Plus généralement : pour toute position du couple source/détecteur
In = I0 exp (- ∑ µi yi)
Source
(D)
µ(x,y)
I0
ln (I0 /I ) = ∫(D) f(x,y) ds
O
x
I
I (x)
I(x) = I0 (x) exp (- ∫ µ (x,y) dy)
Detector
Intégrale de la fonction f sur la droite (D)
information de type "projection"
f(x,y) est connue (de façon indirecte) à partir d’un
ensemble de telles mesures sous différentes incidences
5
METHODES DE RECONSTRUCTION
2 classes de méthodes
Méthodes analytiques
METHODES DE RECONSTRUCTION ANALYTIQUES
Méthodes algébriques
« Transforms methods »
« Series expansion methods »
Formulation continue
Formulation discrète
Théorie ?
Pratique ?
La nature « bien posée » du problème dépend de l’ensemble des
données : si les données sont incomplètes ou bruitées, le problème
est mal posé; problème encore ouvert
DEFINITIONS ET NOTATIONS
TRANSFORMATION DE RADON
Géométrie parallèle
y
u
0
θ
Équation de la droite (u, θ) :
x
u
x = u cosθ - v sinθ
y = u sin θ + v cosθ
•
•
Transformation de Radon R : ℜn → ℜn
Associe à une fonction ℜn l ’ensemble de ses intégrales sur des
hyperplans de l ’espace
•
•
n=2, hyperplan = droite
Rf ( u, θ) = pθ(u)
(D)
y
p θ (u ) = ∫ f (u cos θ − v sin θ , u sin θ + v cos θ ) dv
Espace
image
x
θ
ℜ
Espace
Radon
u
p θ (u ) = ∫∫ f (x , y ) δ(u − x cos θ − y sin θ) dxdy
6
TRANSFORMATION DE RADON : EXEMPLES
Espace image
Même projection ∀ θ
Espace image
amplitude
y
TRANSFORMATION DE RADON : EXEMPLES
Niveau de gris
y
y
y
x
x
x
0°
Espace Radon
0°
Espace Radon
θ
θ
180°
180°
u
u
u
PROBLÈME INVERSE EN TOMOGRAPHIE
Transformation de Radon
(Données)
x
Image
u
PRINCIPE FONDAMENTAL
Théorème "coupe-projection"
La transformée de Fourier d'une projection d'angle θ est égale à la coupe de la
transformée de Fourier de l'image suivant la direction θ
F2f (R cos θ,R sin θ) = F1pθ (R )
0°
θ
y
Y
v
?
180°
{ R f (t, θ), θ ∈ [0, π[ }
θ
f (x , y )
Inversion de la TR
Reconstruction tomographique
u
F f (X,Y)
2
TF 2D
X
x
F p (U)
1 θ
p (u)
θ
Projection
u
TF 1D
U
7
PRINCIPE FONDAMENTAL
ALGORITHME PAR INVERSION DIRECTE
Démonstration : Théorème "coupe-projection"
p θ (u ) = ∫ f (u cos θ − v sin θ , u sin θ + v cos θ ) dv
•
F1 p θ (R ) = ∫ p θ ( u ) exp( − 2 i π Ru ) du
Projections sur [0, π[ ⇒ Transformée de Fourier 2D de l'image
V
F1p θ (R ) = ∫ ∫ f (u cos θ − v sin θ, u sin θ + v cos θ ) exp( − 2iπ Ru ) du dv
Changement de variable :
x = u cosθ - v sinθ
y = u sin θ + v cosθ
U
dx dy = du dv
F1p θ (R ) = ∫ ∫ f (x, y ) exp( − 2iπ R ( x cos θ + y sin θ )) dx dy
F1p θ (R ) = F2 f (R cos θ, R sin θ )
F2f (R cos θ,R sin θ) = F1pθ (R )
DISCRÉTISATION
•
En pratique : nombre fini de rotations d’angle θk, et de détecteurs un
DISCRÉTISATION
•
Hypothèses :
– f (x,y) a un support borné
– F2f (U,V) a support borné
a un support borné
– pθ(u)
– F1pθ (R) est à bande limité
•
Le problème est de trouver une approximation de f dans un espace de
dimension fini :
trouver { f(xi, yj) / i=1,N j=1,N} à partir de { pθk(un) / k=1,M n=1,NP}
•
La discrétisation des différentes formules d ’inversion analytiques
équivalentes conduit à des algorithmes de reconstruction différents
(vrai)
(faux)
(vrai)
(par W)
– Échantillonnage de la projection à la fréquence de Shannon
possible sans perte d ’information au pas ∆u=1/2W
•
L’image reconstruite est nécessairement une approximation de la
fonction à spectre limité par 1/2∆u
8
DISCRÉTISATION
ALGORITHME PAR INVERSION DIRECTE
•
f(x,y) a un support borné
F2f (U,V) a un support borné
Vrai
pθ(u) a un support borné
Faux
F1 pθ(R) a un support borné (par W)
Transformée de Fourier 1D de chaque projection :
F1 pθk (Rm) = F2 f (Rm cosθk , Rmsinθk )
Domaine fréquentiel
X
X
U
X
X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X X X X
X
X
X
X
X X
X
X
X
X
X
X
Échantillonnage de la projection
à la fréquence de Shannon
possible sans perte d ’information
au pas ∆u=1/2W
X
L’image reconstruite est
nécessairement une
approximation de la fonction
à spectre limité par 1/2∆u
X
X
X
X
XX X X X
X
X
X
V
Grille polaire
Domaine spatial
V
y
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X X X
X
X
X X
X X
X X
X X
X
X
X X X
X X X
X
X
X X
X X
X X
X X
X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
X X X
X
X X
X X
X
---->
Grille cartésienne
Interpolation
RÉTRO-PROJECTION D’UNE PROJECTION
U
---->
x
image
TFD 2D inverse
RETRO-PROJECTION DE TOUTES LES PROJECTIONS
Opérateur : Adjoint de la transformation de Radon
•
Associe une image à une projection :
hθ ( x, y ) = pθ (x cos θ + y sin θ)
Associe à l'ensemble des projections une image Bp(x,y)
π
Bp( x, y ) = ∫ pθ (x cos θ + y sin θ) dθ
0
y
p (u)
θ
1
y
f(x,y)
p (u)
θ
1
x
f(x,y)
x
y
x
u
p (u)
θ
2
p (u)
θ
3
p (u)
θ
2
p (u)
θ
3
9
RETROPROJECTION : CAS D’UN CERCLE
THEOREME DE LA RETRO-PROJECTION
Image 128 x 128
La rétro-projection de toutes les projections est égale à la
l'image originale convoluée avec une fonction en 1/r
Bp( x, y ) = ( f * h)( x, y )
M=2
M=1
h( x, y ) =
M=4
1
x2 + y2
=
1
r
l'image originale peut être obtenue par déconvolution 2D
M=8
M=16
M=32
THEOREME DE LA RETRO-PROJECTION
THEOREME DE LA RETRO-PROJECTION
Démonstration
pθ (u) = ∫∫ f (x' , y') δ(u − x' cos θ − y' sin θ) dx' dy'
•
Système projection / rétroprojection : linéaire
π
Bp ( x, y ) = ∫ p θ ( x cos θ + y sin θ ) d θ
δ (x,y)
0
π
Bp ( x, y ) = ∫ ∫∫ f (x ' , y ' ) δ( x cos θ + y sin θ − x ' cos θ − y ' sin θ ) dx ' dy ' d θ
0
Dirac
Projection
B
Rétroprojection
1/r
Réponse
impulsionnelle
π

Bp ( x, y ) = ∫∫ f (x ' , y ' )  ∫ δ(( x − x ' ) cos θ + ( y − y ' ) sin θ ) d θ  dx ' dy '
 0

π
1
δ(θ − θi ) dθ si g(θi ) = 0
∫ δ(g(θ)) dθ = ∑ ∫
i g' (θi )
0
π
1
0
(x − x' )2 + (y − y' )2
∫ δ((x − x' ) cosθ + (y − y' ) sinθ) dθ =
Bp ( x, y) = ∫∫ f (x', y')
R
1
( x − x' )2 + ( y − y' )2
dx' dy'
δ (x,y)
Rδ (u)
BRδ(x,y)
10
RÉTRO-PROJECTION DISCRETE
Bp ( xi, y j ) =
π M
∑ pθ xi cos θk + y j sin θk
M k =1 k
(
)
y
X X X
X X X
X
X
THEOREME DE LA RETRO-PROJECTION
•
ALGORITHME PAR DECONVOLUTION 2D
– Calcul de la rétroprojection discrète de toutes les projections
– Déconvolution 2D
X X
X X
X X
X X
Bp( x, y ) = ( f * 1/ r )( x, y )
x
F2Bp = F2 f (1/ R )
f = F2−1(F2Bp .R )
pθk
Rho-filtered Layergram
⇒ Nécessité d ’interpoler
RÉTROPROJECTION FILTRÉE (FBP)
RÉTROPROJECTION FILTRÉE (FBP)
Démonstration
•
On peut montrer que :
~( x, y )
f ( x, y ) = Bp
avec
c.a.d
f ( x, y ) = ∫∫ F2 f ( X, Y ) exp( − 2iπ R ( xX + yY )) dxdy
Changement de variable :
X = R cosθ
Y = R sin θ
pθ (u) = (pθ * k )(u)
π
~ (x cos θ + y sin θ) dθ
f ( x, y ) = ∫ p
θ
0
Algorithme en 2 étapes :
dX dY = |R| dR d θ
f ( x, y ) = ∫∫ F2 f (R cos θ, R sin θ ) exp( − 2iπ R ( x cos θ + y sin θ )) R dRd θ
f ( x, y ) = ∫∫ F1p θ (R ) exp( − 2iπ R ( x cos θ + y sin θ )) R dRd θ
~ ( x cos θ + y sin θ ) d θ
f ( x, y ) = ∫ p
θ
•
Filtrage des projections
~ (R ) = F p (R ) exp( − 2iπ Rw ) R dR
p
∫ 1 θ
θ
•
Rétro-projection des projections filtrées
~ = p ∗k
p
θ
θ
avec
F1k (R ) = R
11
FILTRES DE RECONSTRUCTION
•
F1k(R) connu sur la bande de fréquence [-W, W] des projections
F1k(R) = K(R) =R si R∈ [-W, W] ⇒ plusieurs choix possibles
•
FILTRES DE RECONSTRUCTION
•
Plus généralement, k peut être défini par :
F1k(R) = R H(R) où H est une fenêtre définie sur [-W, W]
Filtre de Ramachandran et Lakshminarayanan (Ram-Lak)
•
K(R) =  R  rect2W (R)
Domaine fréquentiel
Domaine spatial
Filtre de Shepp-Logan :
0,5
H(R) = rect2W (R) sinc(R/2W)
0,4
Ram-Lak
Shepp-Logan
Cosinus
Hamming
Hanning
0,3
K(R)
•
0.5
Filtre Cosinus
0,2
H(R) = rect2W (R) cos(πR/2WC)
0,1
0
-W
0
R
K(R) =
0
•
W R
si R ∈ [-W, W]
sinon
k (m/2W) =
Domaine spatial
•
200
300
400
Domaine fréquentiel
•
Calcul soit dans le domaine spatial, soit dans le domaine fréquentiel
Ram-Lak
•
En spatial : convolution discrète
•
En fréquentiel :
Shepp-Logan
Effet sur l’image
FH = B( p * kH) = f * h2 où F2h2(U,V) = H( √ U2+V2 )
500
FILTRAGE DES PROJECTIONS
SheppLogan
Ram-Lak
100
H(R) = α+(1-α) rect2W (R) cos(πR/W)
W2
si m=0
0
si m≠0 et m pair
-4W2/π2m2 si m impair
FILTRES DE RECONSTRUCTION
•
0
Filtre Hamming
Filtre
projection
filtrée
projection
pθ
FFT
X
FFT-1
~
pθ
filtrage
⇒ L’utilisation d ’une fenêtre atténue le bruit MAIS lisse l’image
12
FILTRAGE
Projection cercle
200
RECONSTRUCTION D ’UN CERCLE
Image 128 x 128
Projection filtrée - Ram-Lak
0,5
projection
Pas de filtrage
Ramp
Filtrage - Ram-Lak
150
0
0
100
50
100
150
200
250
Retroprojection
1 vue
-0,5
50
0
0
50
100
150
200
-1
250
Retroprojection
1282 vues
introduction
de valeurs
négatives
Rétro-projection
image floue !
Rétro-projection
GEOMETRIE FAN-BEAM
METHODES ANALYTIQUES DE RECONSTRUCTION
Géométrie Fan Beam
y
•
Source
D1
β
Si divergence < 10-15°
Géométrie différente
D
⇒ expression de la projection différente
0
•
projection divergente
γ
x
•
s
0
pfβ (s)
Approximation parallèle
 D1t

,β + γ 
Réorganisation des données pfβ ( t ) = Rf 

2
2
 D +t

rebinning
Formule d ’inversion à partie des projections divergentes
– Théorème de la projection : non vérifié
– Théorème de la rétroprojection : oui
– Algorithme par rétroprojection filtrée : oui
• introduction de facteurs correctifs (pondération des projections/
rétroprojection)
• modification éventuelle du filtre
13
CONDITIONS D'ACQUISITION
•
QUALITE DE l’IMAGE
•
•
CONDITIONS D'ACQUISITION
Image originale
Pas d'échantillonage sur les projections
–
fixe la résolution de l'image
–
lié à la résolution du détecteur
"aliasing"
Nombre de projections
–
M ~ NP π /2
"artefacts en raies"
Bruit
– lié au nombre de photons détectés
"bruit sur l'image"
EXEMPLE : FANTÔME DE SHEPP & LOGAN
Données OK
θ
r
Trop peu d'angles
Reconstruction 128 vues
Pas d'échantillonnage trop grand
14
RECONSTRUCTION:DIFFÉRENTS NOMBRES DE VUES
RECONSTRUCTION : AVEC BRUIT
SNR = 40 dB
θ
M=16
M=32
SNR = 20 dB
r
M=64
ARTEFACTS EN « ANNEAUX »
ARTEFACTS
Mauvais centre de rotation
•
Du à des inhomogénéités entre les détecteurs
Original
Shift +
Shift -
15
FAISCEAU POLYCHROMATIQUE
SATURATION OU DURCISSEMENT DE FAISCEAU
Saturation
Original
•
Faisceau polychromatique
–
décalage vers les hautes
–
énergies ("beam hardening")
•
Le problème est non linéaire
–
TR saturée
Reconstruction
S(E)
E
N = ∫ S 0 (E) exp [ - ∫ µ(x, y, E) ds ] dE
D
Durcissement de
faisceau :
données réelles
"artefacts de durcissement de faisceau"
METHODES ALGEBRIQUES
METHODES DE RECONSTRUCTION ALGEBRIQUES
•
Expression de l’image f dans un espace de dimension finie:
n
f(x) = ∑ f j h j (x)
x=(x,y) vecteur de ℜ2
j=1
•
Exemple :
– hj (x) : indicatrice du jème pixel
1
2
3
fj
j
n-1
n
– Autres choix possibles : gaussiennes, splines….
16
METHODES ALGEBRIQUES
•
METHODES ALGEBRIQUES
Expression d’une projection :
•
n
n
p i = ∫ f(x) s i (x) dx = ∑ f j ∫ h j (x) s i (x) dx
j=1
1
2
1
p i = ∑ R ij f j
2
3
j=1
3
n
•
p i = ∑ R ij f j
Sous forme matricielle :
j
j
j=1
•
Expression d’une projection :
Exemple :
– Si hj (x) : indicatrice du jème pixel
– Rij longueur de l’intersection du rayon i et du pixel j
n-1
P
n
=
mx1
pi
R
f
mxn
nx1
n-1
n
pi
⇔ Résolution d'un système linéaire
METHODES ALGEBRIQUES : exemple
2
3
4
p9
5
6
7
8
p10
9
10 11 12
p11
13
14 15 16
p12
1
p1
1
2
3
4
X
5
6
7
8
X
X
9
10
11
X
12 13 14 15 16
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
p1
p2
p3
p4
f1
f2
f3
f4
X
X
X
•
R : Matrice de projection
– contient toute l ’information sur l ’acquisition
• rayons parallèles/divergents, 2D/3D ….
– matrice de très grande taille
• si n=512x512 et m=1024x1024 ⇒ 1010 éléments
•
Existence et unicité de la solution
– ∞ solutions (si trop peu de projections)
– 0 solutions (si bruit)
=
X
X
X
X
X
Résolution d'un système linéaire
p=R f
X
X
X
•
p2 p3 p4
X
X
METHODES ALGEBRIQUES
X
X
X
f16
p12
17
ART:ALGEBRAIC RECONSTRUCTION TECHNIQUE
METHODES ALGEBRIQUES
•
Résolution d'un système linéaire : méthodes directes ou itératives
•
Principe des méthodes itératives :
construction d’une suite f(0), f (1), f (k) … qui converge vers la ou une
solution
– initialisation
– correction successives : f(k)
f(k+1)
Algorithmes usuels en tomographie :
– ART, SIRT, ILST
– variantes : MART, SART, ARTIST …..
•
•
•
Exemple :
Initialisation : 0
12
14
p3=26
8
10
p4=18
p1=20 p2=24
10
12
10+2 12+2
2
12
14
pc3=26
10
12
10-2 12-2
-2
8
10
pc4=18
10
12
pc1=20 pc2=24
p 3 − pc 3 26 − 22
=
=2
2
2
p1 − pc1 20 − 0
=
= 10
2
2
STOP
1 cycle
ART:ALGEBRAIC RECONSTRUCTION TECHNIQUE
•
•
1 itération = 1 rayon de projection
Correction additive : écart entre la projection mesurée et calculée
•
f j(k 1) = f j(k) +
La ième équation est satisfaite :
•
R if
Méthode de Kaczmarz
+
(k +1)
(pi − R i f (k) )
Ri
2
i = k (mod m)
R ij
= pi
MISE EN OEUVRE DE ART
•
Pas de stockage de R :
– coefficients calculés géométriquement à chaque itération
•
1 itération = 1 équation, 1 cycle = m équations
•
Calculs répétitifs : projection
•
Utilisation de « tricks » :
correction
– lissages, contraintes de bornes, réarrangement des équations,
normalisation…
(D1)
•
Convergence : 5 à 10 cycles
(D1)
18
ART:ALGEBRAIC RECONSTRUCTION TECHNIQUE
•
Convergence :
ALGORITHMES DE TYPE SIRT
•
si f(0)= 0 et si le système admet au moins une solution ⇒ ART converge
vers la solution de norme minimum
•
–
Variantes :
(p − R i f (k) ) t
(k 1)
(k)
f + =f
Ri
+ λk i
2
Ri
0 < λk < 2
•
•
•
paramètre de relaxation
MART : correction multiplicative
ART2 : contrainte de positivité
ART3 : résolution de p-µ < R f < p +µ où
µ : bruit
Système linéaire :
•
Solution des moindres carrés : minimisation de l’erreur quadratique
moyenne
J(f) = p − R f 2
•
t
t
Equations normales: R R f̂ = R p
p=Rf
– si RRt est inversible ⇒ f = (RRt)-1Rt p
•
(k +1)
fj
•
(k)
= fj

n
 n m
+ λ  ∑ (p i − (R i f (k) )R ij ) /  ∑ ∑ R iq R ij 
i =1
 i =1q =1

Forme plus générale :
(k +1)
=f
(k)
+ λ B (m −R f
(k)
) avec B = ∆ R t
– Convergence plus lente que ART
METHODES ALGEBRIQUES
Deux types de problèmes
•
⇒ f = R+ p où
1 itération : correction d ’un pixel simultanément par tous les
rayons de projection le traversant
f
PROBLEME INVERSE : MOINDRES CARRES
– Sinon
SIRT : Simultaneaous Iterative Reconstruction Technique
R+ : inverse généralisé
Problèmes Sur déterminés
Beaucoup de données, bruit
⇒ solution instable
Problèmes Sous déterminés
Peu de données ⇒ ∝ de solutions
laquelle choisir ?
Solution : contrainte de
“douceur” sur la solution
Solution : apport d’a priori sur la
solution
Problème : solution instable en présence de bruit
Régularisation
19
PROBLEME INVERSE
•
•
Méthodes algébriques
– Représentation déterministe
– Inversion de systèmes linéaires sur ou sous déterminés
– Algorithmes : descente de gradients, POCS…
Méthodes statistiques
– Représentation statistique des images et du bruit
– Techniques de maximum de vraisemblance ou de maximum a
posteriori
– Algorithmes : ICM, recuit simulé
REGULARISATION
•
•
Approche Tikhonov : contrainte de « douceur » sur la solution
Minimisation d’une nouvelle fonctionelle :
J(f) =
p−Rf 2
+ λ
attache
aux données
Γ(f)
a priori
poids
Exemple : si C opérateur de dérivation
•
Γ (f) =
Cf 2
⇒
(R t R + λ C t C) f̂ = R t p
EVOLUTION VERS L'IMAGERIE 3D
•
EVOLUTION DES SYSTEMES VERS LE 3D
•
Pourquoi ?
– Le monde est 3D
– Aide à la compréhension des structures
Comment ?
– "Faux 3D" : empilement de coupes
- Durée d'acquisition
- Résolution spatiale non isotrope
- Mouvement
20
SCANNERS HELICOIDAUX
Source de rayons X
TOMOGRAPHIE REELLEMENT 3D: acquisition
Source de rayons X
Géométrie parallèle
acquisition standard
acquisition spiralée
•
•
séquence de reconstruction
par rétroprojection Filtrée
• méthode exacte
•
adaptation reconstruction
par rétroprojection Filtrée
méthode approchée
Source de
rayons X
rotation
rotation
Détecteur
surfacique
ALGORITHME DE FELDKAMP
TOMOGRAPHIE REELLEMENT 3D : reconstruction
Faisceau conique
Faisceau de
rayons X
Détecteur
surfacique
pitch = vitesse de la table/
largeur du faisceau
Faisceau parallèle
Géométrie conique
•
Généralisation de FBP à la géométrie conique 3D, trajectoire circulaire
•
Principe :
– Pour chaque ligne de la projection 2D
• pondération et filtrage
• rétroprojection conique
•
Avantages /inconvénients
– implémentation simple / méthode rapide
– la reconstruction de la coupe centrale est exacte
– la reconstruction des autres coupes est approchée
• plus l ’angle de divergence ↑, plus l ’approximation ↑
Grand nombre de projections
21
PROTOTYPES DE SCANNERS 3D
IMAGES 3D "MORPHOMÈTRE"
Source X
n° 1
Chaînes
d'imager
Amplificateur
de Brillance
n° 2
Source X
n° 2
Tubes à
Rayons X
Amplificateur
de Brillance
n° 1
DSR , 1980
Mayo Clinic, USA
14 sources de rayons X
14 amplificateurs de brillance
Morphomètre, 1990
GE, France
2 sources de rayons X
2 ampli. de brillance
Surface du crâne
DE LA TOMOGRAPHIE A LA MICROTOMOGRAPHIE
Scanner X
clinique (CT)
> 350µm
DE LA TOMOGRAPHIE A LA MICROTOMOGRAPHIE
Microtomographie
Tomographie haute résolution
Arbre vasculaire
•
Conséquences
– Le rapport signal sur bruit dépend du nombre de photons acquis
350 µm
Systèmes de laboratoire (tubes X)
• Géométrie
Fan Beam ou Cone-Beam (3D)
• Résolution spatiale :
HR : 300 µm à 100 µm
Micro : 100 µm à ~10 µm
150 µm
µCT
10 µm
<1µm
µCT
Synchrotron
– Pour conserver le même rapport signal sur bruit quand la résolution
spatiale augmente, il faut augmenter le nombre de photons acquis
•
si ∆x : taille de pixel
en 2D : si ∆x ↓ alors Nphot ↑ en (∆x)2
⇒ soit augmenter le temps d’acquisition soit augmenter le flux de photons
⇒ utilisation du rayonnement synchrotron
Scanner X, INSA
22
GEOMETRIES d’ACQUISITION
SYSTEMES
Micro-CT / Micro-CT Synchrotron
Parallel beam
Divergent beam
3
D
commercial µCT
SR µCT
ESRF, ID19
0Skyscan
0ImTek
0EVS (now GE)
0Scanco
COMMERCIAL X-RAY MICRO-CT
•
SkyScan, Belgium, www.skyscan.be
– SkyScan-1072 : in vitro, pixel size ↓ 2 µm
– SkyScan-1076 : in vivo, pixel size : 9, 18, 35 µm
MICRO-TOMOGRAPHIE 3D
PAR RAYONNEMENT SYNCHROTRON
Plateforme
Animage, Lyon
23
ADVANTAGES OF SYNCHROTRON RADIATION FOR
IMAGING
SYNCHROTRON RADIATION
• Principle :
•
Focusing magnets
Synchrotron radiation (SR) is
produced when high energy
electrons are deflected by strong
magnetic fields
Bending magnets
Storage
Ring
Energy :
Monochromatic, tunable
♦
X-Ray tube - 110KV - 2.5mm Al
@meter/source
ESRF ID 17 @ 200mA - Wiggler: 1.4T - 1.6m - 150mm
Photons/s/0.1%/mrad
Ondulators
Very high photon flux
1E+15
1E+14
1E+13
1E+12
1E+11
1E+10
1E+09
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Photon Energy (KeV)
3D SR MICRO-CT SET UP AT ESRF
– Energy : 8 to 80 KeV
– Voxel size : 10 µm to 0.3 µm
– Images : (1024)3 to (2048)3
Beamline
ID19
Radiograph = projected images
3D volume
0° 2° 4° ….
180°
Reconstruction : 3D volume of
linear attenuation coefficient
CCD
Frelon
camera
3D Parallel µCT setup
Synchrotro
n
source
3D SR MICROTOMOGRAPHY SET UP AT ESRF
Sampl
e
Monochromatic
X-Ray
[Salomé et al., Med phys, 1999]
Scintillat
or
Mirror
Sample stage
24
SR µCT vs µCT
Synchrotron Radiation µCT
Laboratory X- ray source µCT
•
High Photon Flux NPhot ↑ with
(1/∆x)4 ⇒ high SNR even if ∆x↓
•
Limited Photon Flux
⇒ if ∆x↓
large acquisition time or SNR ↓
•
Monochromatique beam ⇒ linear
problem ⇒ quantitative image
•
Polychromatic beam ⇒ non linear
problem ⇒ beam hardening
•
Parallel 3D beam
⇒ no magnification
⇒ exact reconstruction
MICRO-CT vs SR MICRO-CT
•
Cone beam
⇒ magnification
⇒ approximate reconstruction
↑ with magnification
ESRF
SR µCT
sample #42
3D
image
s
72 years
Slice
s
Micro-CT
IBT,
Zürich
25