CHAPITRE 6 – Les vecteurs

Cours de Mathématiques – Classe de Seconde – Chapitre 6 – Les Vecteurs
CHAPITRE 6 – Les vecteurs
A/ Vecteurs
1) Définition et exemples
a) Définition
Soient deux points A et B. On appelle vecteur 
AB "la flèche" allant de A à B.
Plus précisément, ce qui caractérisera ce vecteur, c'est sa longueur (la longueur AB), sa direction (la
droite (AB)), et son sens (de A vers B).
On peut donc dire qu'un vecteur est défini par un réel (sa longueur), une droite (sa direction) et un
sens.
Il en résulte immédiatement que deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens
et même longueur.
u peut donc être représenté à partir de n'importe quel point A du plan, le point B étant
Un vecteur 
u , à une distance égale à la longueur de
alors le point situé sur la parallèle en B à la direction de 
u et du côté indiqué par le sens de u .
b) Exemples
Soit A, B, C et D des points du plan :
Tracer les vecteurs 
AB , 
BC , 
DC , et donner leurs caractéristiques.
 , qui a pour longueur DE, pour direction (DE) et pour sens "de D à E".
Modèle : DE
c) Vecteurs particuliers
- Le vecteur nul 
0 , qui est le seul vecteur ayant une longueur égale à zéro.
En effet, ayant une longueur nulle, il ne peut avoir ni sens ni direction.
- Le vecteur opposé à 
AB a même direction, même longueur et sens contraire que 
AB .

C'est donc le vecteur BA.
On note 
BA=−
AB .
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d) Parallélogrammes
Soient A et D deux points distincts (c'est-à-dire que AD ≠ 0),
et soient B et C tels que 
AB=
DC ≠
0.
Alors, ABCD est un parallélogramme.
(démontrez-le !)
La réciproque est vraie aussi :
Si ABCD est un parallélogramme, alors 
AB =
DC .
(démontrez-le !)
En résumé :
ABCD parallélogramme <=> 
AB=
DC <=> 
AC =
DB
(<=> veut dire "équivaut à")
2) Coordonnées d'un vecteur
a) Définition
Plaçons nous dans un repère (O, I, J) quelconque.
u et traçons un vecteur égal à 
u à partir de l'origine O.
Soit un vecteur 
u seront par définition celles de ce
Si l'on appelle M l'extrémité de ce vecteur, les coordonnées de 
point M.
Exemple :
b) Calcul des coordonnées d'un vecteur
Soit le vecteur 
AB , avec A(x1 ; y1) et B(x2 ; y2).
Les coordonnées de 
AB seront x2 - x1 et y2 - y1, soit 
AB (x2 - x1 ; y2 – y1).
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En effet :
Soit M le point tel que 
OM =
AB : le quadrilatère OMBA est un parallélogramme (voir le 1d). Le
milieu de [AM] est donc égal au milieu de [OB], ce qui s'écrit, en appelant x et y les coordonnées
de M :
x 1x 0 x 2
=
donc xx 1=x 2 d ' où x= x 2 – x 1 , et
2
2
y1 y 0 y 2
=
donc y y 1= y 2 d ' où y= y 2 – y 1 , CQFD.
2
2
c) Longueur d'un vecteur
Dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule de la longueur du segment [AB] pour
calculer la longueur du vecteur 
AB (notée || 
AB ||), soit, avec les mêmes notations que ci-dessus
:
|| 
AB || = AB =
 x
2
– x 12  y 2 – y 1 2= x 2 y 2 .
3) Addition et soustraction
a) Définition 1
La somme de deux vecteurs u et v , notée u v , se définit ainsi :
u v .
Soit A un point, on trace 
AB=
u puis 
BC =v et 
AC sera égal à 
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L'égalité 
AB
BC =
AC est appelée la relation de Chasles.
Remarque :
Soient u et v deux vecteurs différents non nuls et de direction différente.
Soit A un point, soit B tel que 
AB=
u , D tel que 
AD=
v et C tel que 
AC =
u v .


ABCD est un parallélogramme, car puisque AB=
u et AC =
u v , on aura 
BC =v =
AD !
b) Définition 2
u – v de deux vecteurs est la somme de 
u et de l'opposé de v .
La différence 
u – v =
u −v  .

En particulier, 
u–
u =
0 car 
AB
BA=
AA (relation de Chasles) et 
AA=0 car AA est de longueur
nulle.
c) Propriétés
soit u (a ; b) et v (c ; d), on aura u + v = w
 (a + c ; b + d).
Pour additionner deux vecteurs on additionne leurs coordonnées.
De même, u - v = d (a - c ; b – d).
Pour soustraire deux vecteurs on soustrait leurs coordonnées.
d) Règles de calcul
. u −v =u – v
u v  w
u v  w
. 
 =

u –  v  w
u – v – w
. 
 =

u –  v – w
u–
v w
. 
 =

B/ Produit d'un vecteur par un réel
1) Définition
Soit u un vecteur et k un réel.
u de 
u par k est un vecteur de même direction que 
u , de longueur |k| fois la longueur
Le produit k 
u , et de sens identique à 
u si k > 0, contraire si k < 0.
de 
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u = 
u.
En particulier, k 
0 = 
0 et 0 
0 quelque soit k et 
i
u

j
v
i =−2 j
u =3 v

2) Propriété
u (a ; b), on aura : k 
u (ka ; kb).
Si on a 
3) Règles de calcul
Soit k un réel et u un vecteur.
a) k 
u =0 si et seulement si k=0 ou 
u= 
0
u v =k u k 
v
b) k 
u =k 
u l 
u
c)  kl 
u = kl 
u
d) k  l 
u =
u
e) 1 × 
4) Exemples

AB
1
5
= 2 – 
AB= 
AB .
3
3
3
3
AB3
BC =3
AB
BC =3
AC.

AM 
=0 équivaut à 
AM =
0 équivaut à A=M
5

AB
5×2
=2 
AB
5

AB – 4 
AB=5 – 4
AB=1 
AB=
AB



 x2 i =x i 2 i
3 2
CD2
DA=6 
CA
5
AB4 
BC =
AB4
AC
a) 2 
AB –
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
C) Colinéarité de deux vecteurs
1) Définition
Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Si 
u =
AB et v =
CD , cela veut dire que (AB) // (CD).
Théorème :
u et v colinéaires équivaut à "il existe un réel k non nul tel que 
u =k v "

On peut aussi écrire, en abrégé :
*
u et v colinéaires <=> ∃ k ∈ℝ | 

u =k v
(∃ signifie "il existe", ∈ veut dire "appartient à", R* signifie l'ensemble des réels sauf 0, et | veut
dire "tel que")
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Démonstration :
u =k v , par définition du produit par un réel, 
u et v auront la
- Sens réciproque <= : si 
même direction, donc seront colinéaires.
u et v sont colinéaires, soit A un point :
- Sens direct => : Si 

On trace le vecteur AB=
u et le vecteur 
AC = 
v .
u et v sont colinéaires, donc (AB) // (AC) or ces droites ont A en commun donc (AB) = (AC)

et A, B et C sont colinéaires sur la droite (AB).
Premier cas :
B
A
AB
A est entre B et C. Soit k =
AC


On aura AB=−k  AC , en effet :
AB
AB=
×AC
AC

AB et 
AC sont de sens opposés


AB
et AC ont même direction (AB).
- (-k) est donc la solution.
C
Deuxième cas :
A
B
C
On aura 
AB=k 
AC , car
AB
AB=
×AC
AC

AB et 
AC ont même sens et même direction : k est donc la solution.
-
2) Parallélisme et colinéarité
Théorèmes :
a) (AB) // (CD) <=> Il existe k réel non nul tel que 
AB=k 
CD

b) A, B et C alignés <=> Il existe k réel non nul tel que AB=k 
AC
Démonstration
a) (AB) // (CD) <=> 
AB et 
CD colinéaires <=> 
AB=k 
CD



b) A, B et C alignés <=> AB et AC colinéaires <=> AB=k 
AC
3) Colinéarité et coordonnées
a) Théorème :
u (x ; y) et v (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si :
Deux vecteurs non nuls 
xy' – x'y = 0
Démonstration :
u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k # 0 tel que 
u =k v , ce qui équivaut

à "x = k x' et y = k y'".
- Sens direct :
Si x' = 0, on aura x = 0, d'où xy' – x'y = 0.
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Sinon, on aura k =
x
x
y= ' y ' donc yx' = xy' et xy' – x'y = 0.
' d'où
x
x
- Sens réciproque :
Si x' = 0, on aura xy' = 0. Or v étant non nul, y' ne peut être égal à zéro aussi. Donc on aura x = 0.
Les deux vecteurs sont alors parallèles à l'axe des ordonnées, donc colinéaires.
x
x
Sinon, on aura x ' y= xy ' d'où y= ' y ' et comme on a bien évidemment x= ' x ' , on a bien
x
x
x
u =k v en posant k = ' , d'où la colinéarité !

x
b) Exemple :
Parmi les vecteurs suivants, trouver ceux qui sont colinéaires :
u1 3 ; 5 u2 6 ; 9 u3 1 ; 3 u4 1,5 ; 2,5 u5 −5 ;−15
u6 −6 ;−10
D) Exercice : vecteurs orthogonaux
Soit deux vecteurs 
AB et 
AC de directions perpendiculaires (on dit alors que ces vecteurs sont
orthogonaux), de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y').
1) Exprimer le vecteur 
BC en fonction de 
AB et de 
AC .
2) Calculer les coordonnées de 
BC .
3) Calculer les carrés des longueurs AB, AC et BC.
4) Écrire la relation de Pythagore dans le triangle ABC.
5) En déduire la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux.
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