trigonometrie - exercices corriges

Transcription

Cours et exercices de mathématiques
M. CUAZ, http://mathscyr.free.fr
TRIGONOMETRIE - EXERCICES CORRIGES
Trigonométrie rectangle
Exercice n°1. Compléter les égalités en respectant bien les notations de l’énoncé
cos α =
sin α =
tan α =
cos β =
sin β =
tan β =
cos ABC =
sin ABC =
tan ABC =
cos ACB =
sin ACB =
tan ACB =
cos a =
sin a =
tan a =
cos b =
sin b =
tan b =
Exercice n°2.
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=3 et ABC = 30° . Calculer BC et AB
Exercice n°3.
Les dimensions du triangle OBM sont données sur la figure :
Entourer parmi les données suivantes, celles qui sont correctes
OB =
2
3
sin BOM =
1
3
2
cos BOM =
3
sin BMO =
1
3
OB =
(
sin BOM
2 2
3
) (
2
+ cos BOM
)
2
=1
Exercice n°4. Le trapèze rectangle ABCD ci-contre est tel que AB = 5 cm ,
A
B
AD = 4 cm et DCB = 60°
Déterminer les valeurs exactes du périmètre et de l’aire de ce trapèze.
C
D
Exercice n°5.
Une tour est protégée par un large fossé. En se situant en A, l’angle MAN
vaut 42°. En reculant de 10 mètres ( AB = 10) et en se positionnant en B,
l’angle MBN vaut 27°. Les triangles AMN et BMN sont rectangles en M.
1) En exprimant MN en fonction de AM de deux façons différentes (utiliser le
fait que BM=BA+AM), calculer la longueur AM
2) En déduire la hauteur de la tour (on donnera une valeur exacte, puis valeur
approchée à un centimètre près.)
Le radian
Exercice n°6.
Convertir en degrés :
1)
π
3
Convertir en radians : 6) 45°
rad
2)
π
rad
2
7) 120 °
5π
rad
6
8) 30°
3)
Exercice n°7.
Exprimer, en fonction de R, le périmètre de la figure :
Page 1/20
5π
rad
9
9) 40°
4)
5π
rad
36
10) 125°
5)
Exercice n°8.
Soit C et C’ deux cercles de centre O, de rayons respectifs R et R’ (R’<R) et A et B deux points distincts de C.
Pour aller de A à B, deux trajets sont possibles :
Trajet 1 : de A à B sur le cercle C
Trajet 2 : de A à A’, puis de A’ à B’ sur le cercle C’, et enfin de B’ à B.
(la figure est indicative, et ne correspond pas aux mesures suivantes)
1) On suppose que R=150, R’=50 et α = 1 rad .
Lequel de ces deux trajets est le plus court ?
2) On suppose que R=300, R’=250 et α = 3 rad .
Lequel de ces deux trajets est le plus court ?
3) Trouver une condition sur α pour que :
a) les deux trajets aient même longueur.
b) Le trajet 2 soit plus grand que le trajet 1.
Arcs et angles orientés
Exercice n°9.
Donner une mesure en radians de l'angle formé par la petite aiguille et la grande
aiguille d'une montre (plusieurs réponses sont possibles)
1) à 3 h
2) à 1 h
3) à 4 h
4) à 6 h
5) à 8 h
Exercice n°10.
1) Placer, sur le cercle trigonométriques ci-dessous les points M tels que
27π
OI , OM =
+ 2kπ , k ∈
6
(
)
(
)
2) Placer, sur le cercle trigonométriques ci-dessous les points N tels que OI , ON = −
(
38π
+ 2kπ , k ∈
3
)
3) Placer, sur le cercle trigonométriques ci-dessous les points P OI , OP = x avec 3x = −
Exercice n°11.
Soir (C) un cercle de centre A et B un point de (C)
1) Construire les points C,D,E et F du cercle (C) tels que :
( AB, AC ) = π3
( AB, AD ) = 34π
( AB, AE ) = 76π
π
2
+ 2 kπ , k ∈
( AB, AF ) = − 34π
2) Déterminer une mesure puis la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
( AC, AE )
( AD, AF )
( AF , AC )
Exercice n°12.
( AF , AE )
(
)
ACE est un triangle isocèle direct de sommet principal A et tel que AC=5 et AC , AE =
2π
( 2π )
5
1) Tracez le triangle équilatéral direct AEF et le triangle ABC isocèle rectangle direct en A.
2) Déterminer la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
( AF , AB )
( EF , BC )
( AF , CB )
( AF , EC )
Angles associés
Exercice n°13.
π
 2 ≤ x ≤ π
, et sans utiliser de calculatrice, donner une valeur exacte de cos x et de tan x
1) Sachant que 
1
sin x =

3
π 1
π
2) Tout le monde sait bien que cos =
2 + 2 (on ne cherchera pas à démontrer ce résultat !). Calculer sin
8 2
8
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Exercice n°14.
π

 3π

Pour tout réel x , simplifier l’expression A( x) = cos ( 3π − x ) + cos  + x  + sin  −
− x
2

 2

Exercice n°15.
π
 2 ≤ x ≤ π
1) Déterminer la mesure de l’angle x vérifiant : 
sin x = 1

2
π 1
11π
=
10 + 2 5 (on ne cherchera pas à démontrer ce résultat !), déterminer cos
2) Sachant que cos
10 4
10
3
1
et cos x = −
2
2
-2
4) Déterminer une valeur approchée à 10 près en radians de a sachant que cos a = −0, 25 et a ∈ [ −π ;0]
3) Déterminer une valeur exacte de x sachant que sin x =
Calcul algébriques à l’aide d’expressions trigonométriques
Exercice n°16.
1) Simplifier au maximum, pour tout réel t, l’expression (1 − cos t )(1 + cos t )
2) Démontrez que pour tout nombre réel x , : cos 4 x − sin 4 x = cos 2 x − sin 2 x puis que cos 4 x − sin 4 x = 2cos 2 x − 1
Exercice n°17.
1) Démontrer que pour tout réel x, cos(2 x) = 2cos 2 ( x) − 1
π 
π 
π 
π 
2) Puisque vous connaissez cos   et cos   , déterminez une valeur exacte de cos   puis de cos  
4
3
 12 
 24 
Equations et inéquations trigonométriques
Exercice n°18.
Résoudre dans
π
π


cos  3 x +  = cos  x + 
4
3


2
2
2
cos ( x ) ≥
2
cos ( x ) =
les équations et inéquations suivantes :
cos ( 2 x ) = sin ( 3 x )
1
2
1
sin ( 3x ) >
2
sin ( 3x ) =
Exercice n°19.
1) Exprimer cos a cos b en fonction de cos(a + b) et cos(a − b)
2) En effectuant un changement de variable que l'on précisera, démontrez que pour tous nombres réels p et q, on a :
p+q
p−q
cos
2
2
3) En déduire les solutions de l'équation cos x + cos 2 x + cos 3x = 0
cos p + cos q = 2 cos
Exercice n°20.
Soit f la fonction définie sur
par f ( x ) = −4 x 3 + 3x −
1
2
1) Faire une étude complète de la fonction f (limites, sens de variation, etc…), dressez son tableau de variations, et
tracez sa courbe représentative C dans un repère orthonormal (unité de longueur 4 cm)
2) Trouvez les solutions dans [0;2π ] de l'équation, d'inconnue a sin 3a =
1
. Représentez sur un cercle trigonométrique
2
les points associés à ces solutions
3) Montrez que pour tout nombre réel a, sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a
4) Déduisez de la question 2) les solutions de l'équation f ( x ) = 0 . Donnez-en des valeurs approchées à 0,1 près
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Fonctions trigonométriques
Exercice n°21.
Soit f la fonction définie sur
par f ( x ) = sin 2 x
(
On note (C) la représentation graphique de f dans un repère orthonormal O; i ; j
π
1) Calculer f (0) ; f ( ) ; f (
6
π
π
)
π
) ; f ( ) ; f ( ) ; f (π )
12
2
8
2) Montrer que f est impaire. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative (C) ?
3) Soit x un nombre réel. Comparer f ( x + π ) et f ( x) . Que peut-on en déduire pour f ?
 π π
 π 3π 
;  puis strictement décroissante sur  ; 
 4 4
4 4 
 5π 7π 
5) Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle −
;
 4 4 
4) Démontrez que la fonction f est strictement croissante sur −
Trigonométrie et limites
Exercice n°22.
On considère la fonction numérique f définie par f ( x ) = 2 x − sin x
1) Montrer que pour tout x réel 2 x − 1 ≤ f ( x) ≤ 2 x + 1
2) En déduire les limites de f lorsque x tend vers + ∞ et lorsque x tend vers − ∞
Exercice n°23.
Déterminer, à l'aide des théorèmes de comparaison, les limites en + ∞ et en − ∞ de chacune des fonctions f suivantes (si
1 + cos x
x sin x
elles existent): 1) f ( x) =
2) f ( x) = 2
;
x +1
x
Exercice n°24.
→ →
 π
.
Dans
le
plan
rapporté
à
un
repère
orthonormal
direct
(O;
i , j ),
 2 
Soit x un réel de  0;
on considère les points : A(1;0), M(cos x;sin x), P(cos x;0). On considère de plus le point T
intersection de (OM) et de la perpendiculaire à (OA) en A
1) Montrer que AT = tan x
2) Soit A1 l'aire du triangle OAM, A2 l'aire du secteur de disque OAM et A3 l'aire du triangle OAT.
En comparant ces aires, prouver que : sin x ≤ x ≤ tan x.
3) En déduire que cos x ≤
4) Déterminer lim
x →0
x >0
sin x
≤ 1.
x
sin x
.
x
Exercice n°25.
sin x
= 1 (cf exercice précédent), étudiez les limites en 0 des fonctions :
x →0
x
sin 5x
tan x
x
2) x →
3) x →
4) x →
sin 4 x
sin 3x
x
En utilisant le résultat lim
1) x →
sin5x
2x
Calculs de dérivées
Exercice n°26.
Dans chacun des cas suivants, calculer la fonction dérivée de la fonction f en précisant le domaine de définition et le
domaine de dérivabilité.
4) f ( x) = cos(3 x) − sin(2 x)
1) f ( x) = x cos x − 2sin x
sin x
sin x
2) f ( x) =
3) f ( x) =
x
cos x
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Exercice n°27.
En utilisant la définition du nombre dérivé, déterminer
Exercice n°28. Dérivée nième
Calculer les dérivées d’ordre 1 à n , n ∈
lim
x →0
sin x
x
lim
x→
π
2
cos x
π
x−
2
, de f sur l’intervalle I, avec f ( x) = cos3x et I =
Trigonométrie et intégration
Exercice n°29.
Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition
1) f ( x) = sin x − 2 cos x
2) f ( x) = sin x cos x
cos x
2 + sin x
5) f ( x) =
6) f ( x) =
3) f ( x) =
cos x
 π
sur I=  0; 
sin x
 2
cos x
sin 2 x
∫
π
2)
∫
e
3)
∫
−π
0
1
0
sin x cos xdx =0
(ln x) 2
1
dx = .
x
3
π
sin 4 xdx = ∫ sin 4 xdx .
0
Exercice n°31.
Etablir que
1
1
0
0
2
∫ x sin xdx ≤ ∫ x sin xdx
Exercice n°32.
π
2
∫
1) Calculez l'intégrale I = x sin xdx en utilisant la formule d'intégration par parties:
0
Calculez l'intégrale I en utilisant deux fois le théorème de l'intégration par parties:
π
2
2) I = ∫ x sin xdx
0
2
π
3) I = ∫ e sin xdx
x
0
π

7) f ( x) = tan x sur  ; π 
2 
Exercice n°30. Vrai ou Faux ?
1)
4) f ( x) =
π
4) I = ∫ e 2 x cos xdx
0
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sin x
cos 2 x
TRIGONOMETRIE - CORRECTION
Trigonométrie rectangle
Exercice n°1
Dans un triangle rectangle, sin x =
AB
BC
AC
sin ABC =
BC
AC
tan ABC =
AB
AC
cos ACB =
BC
AB
sin ACB =
BC
AB
tan ACB =
AC
coté opposé
coté adjacent
coté opposé
, cos x =
et tan x =
. Ainsi
hypothénuse
hypothénuse
coté adjacent
b
c
a
sin α =
c
a
tan α =
b
a
cos β =
c
b
sin β =
c
b
tan β =
a
n
p
m
sin a =
p
m
tan a =
n
m
cos b =
p
n
sin b =
p
n
tan b =
m
cos α =
cos ABC =
cos a =
Exercice n°2
AB
, d’où :
BC
AB
3
3
6
AC
1
d’où AC = BC sin 30° = 2 3 × = 3
BC =
=
=
=
= 2 3 . De plus sin ABC =
2
BC
3
3
cos ABC cos30°
2
Dans le triangle ABC, rectangle en A, on peut écrire cos ABC =
Exercice n°3
Les affirmations vraies sont :
OB =
2 2
. En effet, on calcule la longueur OB dans le triangle rectangle grâce
3
2
8
8 2 2
1 8
au théorème de Pythagore : OB = 1 −   = donc OB =
=
=
9
3
9
3 9
BM 1
sin BOM =
=
OM 3
2
(
sin BOM
) (
2
+ cos BOM
)
2
2
= 1 (ceci est toujours vrai quel que sot l’angle)
2
2 2
est faux puisque OB =
(voir ci-dessus)
3
3
2 2
OB
2 2
2
= 3 =
cos BOM = est faux car cos BOM =
OM
1
3
3
2 2
OB
2 2
1
= 3 =
sin BMO = est faux car sin BMO =
OM
1
3
3
Les autres affirmations sont fausses. En effet OB =
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Exercice n°4
Notons E le projeté orthogonal de B sur [CD] Dans le triangle BEC, rectangle en E, on a :
(
)
BE
4
4
4 3
= tan BCE = tan ( 60° ) donc EC =
=
=
EC
tan ( 60° )
3
3
De plus,
(
)
BE
4
4
8 8 3
= sin BCE = sin ( 60° ) donc BC =
=
=
=
BC
sin ( 60° )
3
3/2
3
On en déduit que le périmètre du trapèze est égal à 5+4+5+EC+BC, soit 14 +
Grande base
5+
L’aire du trapèze vaut
4
4
42 + 12 3
+
=
tan ( 60° ) sin ( 60° )
3
Petite
base
4
+ 5
tan ( 60° )
2
× 4 = 20 +
hauteur
8
8
8 3 60 + 8 3
= 20 +
= 20 +
=
tan ( 60° )
3
3
3
Exercice n°5
MN
= tan ( 42° ) ⇔ MN = AM tan ( 42° )
AM
MN
= tan ( 27° ) ⇔ MN = BM tan ( 27° )
Dans le triangle MMN, rectangle en M, on écrit
BM
1) Dans le triangle AMN, rectangle en M, on écrit
En utilisant le fait que BM=BA+AM, on écrit :
MN = BM tan ( 27° ) = (10 + AM ) tan ( 27° ) = 10 tan ( 27° ) + AM tan ( 27° )
Si par ailleurs MN = AM tan ( 42° ) , on aura donc AM tan ( 42° ) = 10 tan ( 27° ) + AM tan ( 27° ) , c’est-à-dire
AM ( tan ( 42° ) − tan ( 27° ) ) = 10 tan ( 27° ) donc AM =
2) On conclut donc que MN = AM tan ( 42° ) =
10 tan ( 27° )
tan ( 42° ) − tan ( 27° )
10 tan ( 27° ) tan ( 42° )
tan ( 42° ) − tan ( 27° )
La calculatrice fournit MN ≈ 11, 74 m
Le radian
Exercice n°6
On applique la formule mesure en degré =
1)
π
3
rad ↔ 60°
2)
π
2
mesure en radian × 180
rad ↔ 90°
On applique la formule mesure en radians =
6) 45° ↔
π
4
rad
7) 120° ↔
2π
rad
3
π
3)
5π
rad ↔ 150°
6
mesure en degrés × π
180
π
8) 30° ↔
6
rad
4)
5π
rad ↔ 100°
9
9) 40° ↔
2π
rad
9
5)
5π
rad ↔ 25°
36
10) 125° ↔
25π
rad
36
Exercice n°7
Un angle au centre de α rad intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de mesure égale à L = R × α
L’arc de cercle intercepté mesure donc 2 R unités de longueur. Le périmètre de la figure vaut donc 2 R + R + R = 4 R
unités de longueur
Exercice n°8
Un angle au centre de α rad intercepte, sur un cercle de rayon R, un arc de mesure égale à L = R × α
1) Dans le premier cas (R=150, R’=50 et α = 1 rad ), le trajet 1 a pour longueur T1 = 150 × 1 = 150 unités de longeur,
tandis que le trajet 2 a pour longueur T2 = AA′ + 50 × 1 + BB′ = 250 unités de longeur donc T1 < T2
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2) Dans le deuxième cas (R=300, R’=250 et α = 3 rad ), le trajet 1 a pour longueur T1 = 300 × 3 = 900 unités de longeur,
tandis que le trajet 2 a pour longueur T2 = AA′ + 250 × 3 + BB′ = 850 unités de longeur donc T2 < T1
3) Les deux trajets seront de la même longueur si et seulement si :
α R = AA′ + α R′ + BB′ ⇔ α R = ( R − R′ ) + α R′ + ( R − R′ )
(On remarque que cela ne dépend ni de R ni de R’)
⇔ α ( R − R′ ) = 2 ( R − R′ ) ⇔ α = 2
Le trajet 2 sera plus grand que le trajet 1 si et seulement si
α R < AA′ + α R′ + BB′ ⇔ α R < ( R − R′ ) + α R′ + ( R − R′ )
⇔ α ( R − R′ ) < 2 ( R − R′ ) ⇔ α < 2
Arcs et angles orientés
Exercice n°9
à 3 h, une mesure de à 1 h, une mesure de à 4 h, une mesure de à 6 h, une mesure de à 8 h, une mesure de
l’angle est π
π
π
2π
2π
l’angle est
l’angle est
l’angle est
l’angle est
2
3
6
3
Exercice n°10
(figure en fin d’exercice)
π
π
27π ( 24 + 3) π 24π 3π
1) Puisque
=
=
+
= 4π + = 2 × 2π + , on peut écrire que
6
6
6
6
2
2
un tour dans
le sens trigo
( OI , OM ) = 2 × 2π + π2 + 2kπ , k ∈
2) Puisque −
=
π
+ 2lπ , l ∈
2
( 36 + 2 ) π = −12π − 2π = 6 × −2π − 2π , on peut écrire OI , ON = 6 × −2π − 2π + 2kπ , k ∈
38π
=−
( )
( )
3
3
3
3
3
(
un tour dans
le sens trigo
inverse
2π
+ 2lπ , l ∈
3
3) Attention à la division par 3 :
=−
Si 3x = −
π
2
+ 2 kπ , k ∈
alors x = −
Pour k = 0, on obtient x0 = −
π
6
6
+
2 kπ
, k∈
3
(point P0 )
2π 3π π
=
= (point P1 )
6 3
6
2
π 2 × 2π 7π
Pour k = 2 on obtient x2 = − +
=
(point P2 )
6
3
6
π 3 × 2π
π
= − + 2π .
Pour k = 3on obtient x3 = − +
6
3
6
On retombe sur le point P0
Pour k = 1 on obtient x1 = −
π
π
+
De même, pour k = -1 on obtient x−1 = −
π
6
−
2π
5π
=−
.
3
6
On retombe sur le point P2
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)
Exercice n°11
1) (Au départ, le point B peut être choisi n’importe où sur le cercle)
2) Par application de la relation de Chasles sur les angles orientés de vecteurs :
( AC , AE ) = ( AC , AB ) + ( AB, AE ) ( 2π )
= − ( AB, AC ) + ( AB, AE ) ( 2π )
=−
=
π
3
+
7π
( 2π )
6
5π
( 2π )
6
( AD, AF ) = ( AD, AB ) + ( AB, AF ) ( 2π )
= − ( AB, AD ) + ( AB, AF ) ( 2π )
=−
3π  3π 
+  −  ( 2π )
4  4 
=−
π
3π
( 2π ) = ( 2π )
2
2
( AF , AC ) = ( AF , AB ) + ( AB, AC ) ( 2π )
= − ( AB, AF ) + ( AB, AC ) ( 2π )
( AF , AE ) = ( AF , AB ) + ( AB, AE ) ( 2π )
= − ( AB, AF ) + ( AB, AE ) ( 2π )
 3π
= −−
 4
 3π
= −−
 4
=
 π
 + ( 2π )
 3
13π
11π
( 2π ) = − ( 2π )
12
12
=
 7π
( 2π )
+
 6
π
23π
( 2π ) = − ( 2π )
12
12
Exercice n°12
1) Si le triangle AEF est triangle équilatéral direct, alors AE=AF et
( AE, AF ) = π3
Si le triangle ABC est isocèle rectangle direct en A, alors AB=AC et
( AB, AC ) = π2
2) Par application de la relation de Chasles sur les angles orientés de
vecteurs, et de la propriété
( −u, v ) = (u, −v ) = (u, v ) − π ( 2π ) ,
détermine :
Page 9/20
on
( EF , BC ) = ( EF , EA) + ( EA, EC ) + ( EC, BC ) ( 2π )
π 3π
= +
+ ( −CE , −CB ) ( 2π )
3 10
( AF , AB ) = ( AF , AE ) + ( AE, AC ) + ( AC, AB ) ( 2π )
=−
π
 2π
+−
3  5
  π
 +  −  ( 2π )
  2
19π
19π 3π π
+ CE , CB ( 2π ) =
+
+ ( 2π )
30
30 10 4
28π π
71π
49π
=
+ ( 2π ) =
( 2π ) = −
( 2π )
30 4
60
60
(
)
37π
23π
=−
( 2π ) =
( 2π )
30
30
=
( AF , CB ) = ( AF , AE ) + ( AE, AC ) + ( AC, CB ) ( 2π )
π  2π 
= − +−
 + ( −CA, CB ) ( 2π )
3  5 
( AF , EC ) = ( AF , AE ) + ( AE, EC ) ( 2π )
= ( AF , AE ) + ( − EA, EC ) ( 2π )
π
= − + ( EA, EC ) − π ( 2π )
3
=−
11π
+ CA, CB − π ( 2π )
15
(
)
=−
11π π
89π
31π
=−
+ − π ( 2π ) = −
( 2π ) =
( 2π )
15 4
60
60
π
3
+
3π
31π
29π
− π ( 2π ) = −
( 2π ) =
( 2π )
10
30
30
Angles associés
Exercice n°13
1) En appliquant la formule
( sin x ) + ( cos x )
2
2
= 1 , on peut écrire
( cos x )
2
2
1 8
1
= 1 −   = 1 − = , donc
9 9
3
π
2 2
8 2 2
8
2 2
ou cos x = −
. Mais puisque
≤ x ≤ π , cos x ≤ 0 donc cos x = −
=
=−
3
2
9
3
9
3
1
sin x
1 
3/ 
1
2
= 3 = ×−
=−
=−
Par suite, tan x =

cos x
4
2 2 3/  2 2 
2 2
−
3
2
2
2+ 2 2− 2
2
2
 π
1

2) En appliquant la formule ( sin x ) + ( cos x ) = 1 , on peut écrire  sin  = 1 − 
2 + 2  = 1−
=
4
4
 8
2

cos x =
On devrait donc écrire sin
MAIS puisque 0 ≤
π
8
π
8
2− 2
π
2− 2
ou sin = −
4
8
4
=
≤ π , sin
π
8
≥ 0 , de sorte que sin
Exercice n°14
Pour tout réel x ,
cos ( 3π − x ) = cos ( 2π + π − x ) = cos (π − x ) = − cos x ,
π
8
=
2− 2
4
π π
π


cos  + x  = sin  −  + x   = sin ( − x ) = − sin x
2


2 2
formule connue
 π  3π
 3π


Enfin, sin  −
− x  = cos  −  −
− x   = cos ( 2π + x ) = cos x
 2


2  2
π

car sin ( u ) = cos  − u 
2 
Ainsi
π

 3π

A( x) = cos ( 3π − x ) + cos  + x  + sin  −
− x
2

 2

= − cos x − sin x + cos x
= − sin x
Page 10/20
π

car cos ( u ) = sin  − u 
2 
Exercice n°15
 a = b + 2kπ , k ∈

1) Puisqu’on a l’équivalence sin a = sin b ⇔ ou
 a = π − b + 2 kπ , k ∈

π  1
 = , on peut donc écrire que :
6 2
et puisque sin 
 π
x = + 2 kπ , k ∈
1
π
5π
 π  
6
sin x = ⇔ sin x = sin   ⇔ 
. Mais l’énoncé impose ≤ x ≤ π , on en déduit donc x =
5π
2
2
6
6 
x=
+ 2lπ , l ∈

6
11π
π
11π
π 
1

π 
= cos  π +  = − cos   = −
2) Puisque
10 + 2 5
= π + , on peut écrire cos
10
10
10
10 
4

 10 
3) Puisque sin x ≥ 0 et cos x ≤ 0 , une mesure de l’angle se trouve dans le « quart Nord-Ouest », c’est-à-dire
 a = b + 2kπ , k ∈

Puisqu’on a l’équivalence sin a = sin b ⇔ ou
 a = π − b + 2 kπ , k ∈

π
2
≤ x ≤π
3
π 
, on peut donc écrire que :
=
3 2
π

x = + 2 kπ , k ∈

3

π 
3
sin x =
⇔ sin x = sin   ⇔ 
2
2
3
 x = π + 2lπ , l ∈

3
et puisque sin 
Mais puisque l’énoncé impose
π
2
≤ x ≤ π , on en déduit donc x =
2π
3
4) La calculatrice a ici nous aider :
MAIS ATTENTION !
Puisque l’énoncé impose a ∈ [ −π ;0] , il faut retenir celui des deux angles que la calculatrice ne nous donne pas, à savoir
a ≈ −1,82 rad à 10-2 près
Calcul algébriques à l’aide d’expressions trigonométriques
Exercice n°16
1) On développe : Pour tout réel t, (1 − cos t )(1 + cos t ) = 12 − ( cos t ) = ( sin t )
2
2
2
2


2) Pour tout nombre réel x , : cos 4 x − sin 4 x = ( cos 2 x ) − ( sin 2 x ) = ( cos 2 x − sin 2 x )  cos 2 x + sin 2 x  = cos 2 x − sin 2 x
1


4
4
2
2
Puisque cos x − sin x = cos x − sin x , on poursuit :
cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x − (1 − cos 2 x ) = cos 2 x − 1 + cos 2 x = 2cos 2 x − 1
Exercice n°17
1) Pour tout réel x, cos(2 x) = cos( x + x) = cos( x) cos( x) − sin( x)sin( x) = cos 2 ( x) − sin 2 ( x)
Dans l’exercice précédent, on a établit que cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x − (1 − cos 2 x ) = cos 2 x − 1 + cos 2 x = 2cos 2 x − 1
D’où l’égalité demandée
2) En remarquant que
π
12
=
π
3
−
π
4
, et en appliquant la formule cos(a − b) = cos(a ) cos(b) + sin(a )sin(b) , il vient :
2
3
2
2+ 6
π 
π π 
π 
π 
π  π  1
cos   = cos  −  = cos   cos   + sin   sin   = ×
+
×
=
12
3
4
3
4
3
4
2
2
2
2
4
 


 
 
   
Page 11/20
Exercice n°18
Les équations trigonométriques, qui possèdent en général une infinité de solutions (sauf si on restreint l’intervalle de
définition), se résolvent presque exclusivement en utilisant les équivalences suivantes :
 a = b + 2kπ , k ∈
 a = b + 2kπ , k ∈


cos a = cos b ⇔ ou
et sin a = sin b ⇔ ou
,
 a = −b + 2kπ , k ∈
 a = π − b + 2 kπ , k ∈


ainsi qu’à partir de certaines formules de trigonométrie
2
2
π 
Puisque cos   =
, on a donc
cos ( x ) =
2
4
2
 
sin ( 3x ) =
π

x = + 2kπ , k ∈

2

π 
4
⇔ cos ( x ) = cos   ⇔ 
cos ( x ) =
2
4
ou x = − π + 2kπ , k ∈

4
1
π  1
π 
Puisque sin   = , on a donc sin(3x) = ⇔ sin ( 3x ) = sin  
2
6 2
6
1
2
π

π 2 kπ

3 x = 6 + 2kπ , k ∈
 x = 18 + 3 , k ∈
⇔
⇔
ou 3 x = π −  π  + 2kπ , k ∈
ou x = 5π + 2kπ , k ∈



18
3

6
Ne surtout pas oublier de diviser également 2kπ , k ∈ par 3 !
π
π


cos  3x +  = cos  x + 
4
3


cos ( 2 x ) = sin ( 3x )
cos ( x ) ≥
2
2
π
π


cos  3 x +  = cos  x + 
4
3


π
π

3 x + 4 = x + 3 + 2kπ , k ∈
⇔
ou 3 x + π = −  x + π  + 2kπ , k ∈
4
3


π

2 x = 12 + 2kπ , k ∈
⇔
ou 4x = − 7π + 2kπ , k ∈

12
π π

2 x = − + 2kπ , k ∈

3 4
⇔
ou 4x = − π − π + 2kπ , k ∈
3 4

π

 x = 24 + kπ , k ∈
⇔
ou x = − 7π + kπ , k ∈

48 2
π

En utilisant la propriété cos  − X  = sin X , l’équation devient équivalente à
2

π
π


2 x = 2 − 3 x + 2kπ , k ∈
5 x = 2 + 2kπ , k ∈
π

cos ( 2 x ) = cos  − 3 x  ⇔ 
⇔
2

 2 x = − π + 3 x + 2 kπ , k ∈
 − x = − π + 2 kπ , k ∈



2
2
π 2 kπ
π 2 kπ


x= +
x= +
,k ∈
,k ∈

 10

5
10
5
⇔
⇔
 x = π − 2kπ , k ∈
 x = π + 2k ′π , k ′ ∈ (avec k ′ = − k )
2
2


π

x = + 2 kπ , k ∈

2

π 
4
,
⇔ cos ( x ) = cos   ayant pour solutions 
L’équation cos ( x ) =
2
4
 
ou x = − π + 2kπ , k ∈

4
2
π
 π

On en déduit que l’inéquation cos ( x ) ≥
a pour solutions : ∪  − + 2kπ ; + 2kπ 
2
4
4

k∈ 
Page 12/20
1
sin ( 3x ) >
2
1
π 
L’équation sin ( 3x ) = = sin   ayant pour solutions :
2
6
π

3x = 6 + 2kπ , k ∈

ou 3x = π −  π  + 2kπ , k ∈
 

6
π 2kπ

 x = 18 + 3 , k ∈
,(Ne surtout pas oublier de diviser également 2kπ , k ∈ par 3 !) ,
⇔
ou x = 5π + 2kπ , k ∈

18
3
1
 π 2kπ 5π 2kπ 
on en déduit que l’inéquation sin ( 3x ) > a pour solutions : ∪  +
;
+
2
3 18
3 
k∈ 18
Exercice n°19
1) Puisque cos( a + b) = cos( a) cos(b) − sin( a)sin(b) et cos(a − b) = cos(a ) cos(b) + sin( a )sin(b) , en additionnant les deux
lignes, on obtient cos(a + b) + cos( a − b) = 2cos(a) cos(b) , c’est-à-dire cos( a) cos(b) =
cos(a + b) + cos(a − b)
2
2) Si on pose p = a + b et q = a − b , on aura, par demi-somme et demi-différence, a =
qu’en
remplaçant
dans
cos(a) cos(b) =
l’écriture
p+q
p−q
et b =
, de sorte
2
2
cos(a + b) + cos(a − b)
,
2
on
obtiendra
p+q
p − q cos p + cos q
p+q
p−q
cos
=
, c’est-à-dire l’égalité souhaitée cos p + cos q = 2 cos
cos
2
2
2
2
2
p+q
p−q
cos
aux deux termes extrêmes du membre de gauche de
3) En appliquant la formule cos p + cos q = 2 cos
2
2
x + 3x
x − 3x
cos
= 2 cos ( 2 x ) cos ( − x ) = 2 cos ( 2 x ) cos ( x )
l’équation, on obtient cos x + cos 3 x = 2 cos
2
2
L’équation cos x + cos 2 x + cos 3x = 0 devient alors équivalente à
cos ( 2 x ) + 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) = 0 ⇔ cos ( 2 x ) 1 + 2 cos ( x )  = 0
cos
⇔ cos ( 2 x ) = 0 ou 1 + 2 cos ( x ) = 0
La première équation cos ( 2 x ) = 0 est équivalente à 2 x =
La deuxième équation cos ( x ) = −
π
2
+ kπ , k ∈
⇔ x=
4
+k
π
2
,k ∈
1
2π
est équivalente à x = ±
+ 2 kπ , k ∈
2
3
Trigonométrie et fonctions
Exercice n°20
f est définie et dérivable
1)
sur
f ′( x) = −12 x 2 + 3 = 3 (1 − 4 x 2 ) = 3 (1 − 2 x )(1 + 2 x )
en
tant
que
fonction
On en déduit le signe de f ′( x) et le tableau de variation de f :
(pour les limites : lim f ( x) = lim − 4 x3 = −∞ et lim f ( x) = lim − 4 x3 = +∞
x →+∞
π
x →+∞
x →−∞
x →−∞
Page 13/20
polynôme
et
pour
tout
x∈
,
π

3a = 6 + 2kπ , k ∈

1
π 
2) L’équation sin 3a = = sin   est équivalente à ou
2
6

5π
3a =
+ 2lπ , l ∈
6

π 2kπ

 a = 18 + 3 , k ∈

⇔ ou

5π 2lπ
a =
+
,l ∈
18
3

Les solutions appartenant à l’intervalle [0;2π ] sont obtenues pour k = 0,1, 2 et l = 0,1, 2 . Leurs valeurs rangées dans
 π 5π 13π 17π 25π 29π 
; ;
;
;
;
;
18 18 18 18 18 18 
3) Pour tout nombre réel a, sin 3a = sin ( a + 2a ) = sin ( a ) cos ( 2a ) + sin ( 2a ) cos ( a )
l’ordre croissant sont 
Puisque par ailleurs cos ( 2a ) = 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2sin 2 a et puisque sin ( 2a ) = 2sin a cos a , on obtient :
sin 3a = sin ( a ) (1 − 2sin 2 a ) + 2sin ( a ) cos ( a ) cos ( a ) =
= sin ( a ) − 2sin 3 a + 2sin ( a )( cos a ) = sin ( a ) − 2sin 3 a + 2sin ( a ) (1 − sin 2 a )
2
= sin ( a ) − 2sin 3 a + 2sin ( a ) − 2sin 3 a = −4sin 3 a + 3sin ( a )
4)
L’équation
f ( x) = 0
s’écrivant
−4 x 3 + 3 x −
1
= 0,
2
on
pose
x = sin(a) ,
et
1
1
, c’est-à-dire, compte tenu de la question 3), sin 3a =
2
2
 π 5π 13π 17π 25π 29π 
Or la question 2) nous fournit les valeurs de a solutions : a ∈  ;
;
;
;
;
;
18 18 18 18 18 18 
l’équation
devient
−4 ( sin a ) + 3sin a =
3
17π
ont même
18
18
17π
π
5π
13π
sinus, puisque
= π − , et puisque pour tout α , sin (α ) = sin (π − α ) . De même, les réels
et
ont
18
18
18
18
25π
29π
et
. Les solutions de l’équation f ( x ) = 0 sont donc
même sinus, ainsi que les réels
18
18
 π 
 5π 
 25π  
x ∈ sin   ;sin 
 ;sin 

 18 
 18  
  18 
La calculatrice fournit x ≈ 0,17 , x ≈ 0, 77 et x ≈ −0,94 à 0,01 près
Puisque x = sin( a ) , il reste à « extraire » les trois valeurs différentes de sinus. En effet, les réels
π
et
Fonctions trigonométriques
Exercice n°21
π
π
3
π
π
π
1
) = sin( ) =
, f ( ) = sin(2 × ) = sin( ) =
6
6
3
2
12
12
6
2
π
π
π
π
π
2
f ( ) = sin(2 × ) = sin(π ) = −1 , f ( ) = sin(2 × ) = sin( ) =
, f (π ) = sin(2 × π ) = sin(2π ) = 0
8
8
4
2
2
2
2)
est symétrique par rapport à 0, et pour tout x ∈ , f (− x) = sin ( 2 ( − x ) ) = sin ( −2 x ) = − sin ( 2 x ) = − f ( x) , ce
1) On calcule f (0) = sin(2 × 0) = sin(0) = 0 , f ( ) = sin(2 ×
π
car la fonction sinus est impaire
(
qui prouve que f est impaire. Sa courbe représentative est donc symétrique par rapport à l’origine O du repère O; i ; j
(
)
)
3) Pour tout x réel, on calcule f ( x + π ) = sin 2 ( x + π ) = sin ( 2 x + 2π ) = sin ( 2 x ) = f ( x) . f est donc périodique de
car la fonction sinus est
périodique de période 2π
 π 3π 
;
 4 4 
période π . Il suffit de l’étudier sur un intervalle d’amplitude π , par exemple  −
π
π
π
π
 π π
;  avec − ≤ a < b ≤ , on a − ≤ 2a < 2b ≤ , et puisque
4
4
2
2
 4 4
4) Pour tout nombres réels a et b de l’intervalle  −
Page 14/20
 π π
 π
π 
la fonction sinus est strictement croissante sur  − ;  , on aboutira à sin  −  ≤ sin ( 2a ) < sin ( 2b ) ≤ sin   ,
 2
2
 2 2
 π π
;
 4 4 
c’est-à-dire à −1 ≤ f ( a ) < f ( b ) ≤ 1 . La fonction f est donc strictement croissante sur −
 π 3π 
π
3π
π
3π
Pour tout nombres réels a et b de l’intervalle  ;  avec
≤a<b≤
, on a
≤ 2a < 2b ≤
, et puisque la
4
4
2
2
4 4 
 π 3π 
π 
 3π 
fonction sinus est strictement décroissante sur  ;
, on aboutira à sin   ≥ sin ( 2a ) > sin ( 2b ) ≥ sin 
 , c’est 2 2 
2
 2 
 π 3π 
à-dire à 1 ≥ f ( a ) > f ( b ) ≥ −1 . La fonction f est donc strictement décroissante sur  ;  .
4 4 
 5π 7π 
;
:
 4 4 
5) Représentation graphique de la fonction f sur l'intervalle  −
Exercice n°22
1) Pour tout x réel −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ x − 1 ≤ x + sin x ≤ x + 1 ⇔ x − 1 ≤ f ( x) ≤ x + 1
2) Puisque lim x − 1 = +∞ , on conclut, en utilisant le théorème de minoration,
x →+∞
que lim f ( x) = +∞ . Puisque lim x + 1 = −∞ , on conclut, en utilisant
x →+∞
x →−∞
le théorème de minoration, que lim f ( x) = −∞ .
x →−∞
Exercice n°23
1) Puisque pour tout réel x, on a −1 ≤ cos x ≤ 1 , alors pour tout x>0, on a 1 − 1 ≤ 1 + cos x ≤ 1 + 1 ⇔ 0 ≤ 1 + cos x ≤ 2 , et par
0 1 + cos x
2
1 + cos x
2
division par x qui est >0, on déduit que
≤
≤
⇔0≤
≤
.
x
x
x
x
x
2
Puisque lim
= 0 , en application du théorème d’encadrement « des gendarmes », on a lim f ( x ) = 0
x →+∞
x →+∞
x
2) Commençons par la limite lorsque x → +∞ . On peut donc supposer que x>0.
−x
x sin x
x
Puisque pour tout réel x, on a −1 ≤ sin x ≤ 1 , alors pour tout x>0, on a 2
≤ 2
≤ 2
x +1 x +1 x +1
−x
−x
−1
x
x
1
Puisque lim 2
= lim 2 = lim = 0 , en application du théorème
= lim 2 = lim
= 0 , et puisque lim 2
x →+∞ x + 1
x →+∞ x
x →+∞ x
x →+∞ x + 1
x →+∞ x
x →+∞ x
d’encadrement dit « des gendarmes », on conclut que lim f ( x) = 0
x →+∞
La limite lorsque x → −∞ se traite à l’identique : on peut donc supposer que x<0.
x
x sin x
−x
Puisque pour tout réel x, on a −1 ≤ sin x ≤ 1 , alors pour tout x<0, on a 2
(l’inégalité est en sens
≤ 2
≤ 2
x +1 x +1 x +1
inverse de la prcédente)
−x
−x
−1
x
x
1
Puisque lim 2
= lim 2 = lim = 0 , en application du théorème
= lim 2 = lim
= 0 , et puisque lim 2
x →+∞ x + 1
x →+∞ x
x →+∞ x
x →+∞ x + 1
x →+∞ x
x →+∞ x
d’encadrement dit « des gendarmes », on conclut que lim f ( x) = 0
x →+∞
Page 15/20
Exercice n°24
1) On a clairement A1 < A2 < A3 . On calcule : A1 =
OA × PM 1 × sin x
=
, puis par proportionnalité de l’aire et de la mesure
2
2
x
(car un angle de 2π rad correspond à une aire de π r 2 = π cm 2 , donc un angle de x rad
2
π
x
OA × AT 1 × tan x tan x
correspond à une aire de x ×
=
=
= ). Enfin A3 =
2π 2
2
2
2
sin x x tan x
Puisque A1 < A2 < A3 alors
< <
.
2
2
2
En multipliant les trois membres de l’inégalité par 2, on obtient le résultat attendu.
sin x
2) En utilisant les deux premiers termes de l’inégalité, on a sin x < x ⇔
< 1 (car x>0)
x
sin x
sin x
En utilisant les deux derniers termes de l’inégalité, on a x < tan x ⇔ x <
⇔ cos x <
(car x>0)
x
cos x
du secteur angulaire, A2 =
3) Puisque pour tout x>0 , cos x <
sin x
< 1, et puisque lim cos x = 1 , on en conclut en application du théorème
x →0
x
d’encadrement dit « des gendarmes », que lim
x →0
x >0
sin x
=1
x
4) si x<0, la configuration des triangles et des secteurs angulaires reste la même, mais les mesures de l’aire (qui doivent
sin x
x
tan x
être positives !) sont alors égales à A1 = −
, A2 = − et A3 = −
2
2
2
sin x
x
tan x
On a donc, pour x<0, −
<− <−
⇔ − sin x < − x < − tan x .
2
2
2
− sin x
sin x
En utilisant les deux premiers termes de l’inégalité, on a − sin x < − x ⇔
<1⇔
< 1 (car -x>0)
−x
x
En utilisant les deux derniers termes de l’inégalité :
− sin x
− sin x
sin x
⇔ cos x <
⇔ cos x <
on a − x < − tan x ⇔ − x <
(car -x>0). La conclusion de l’exercice reste la même
−x
x
cos x
Exercice n°25
sin 5 x sin 5 x 5 x
5 sin 5 x
sin u
=
== ×
. En posant u = 5 x , on a lim u = 0 , et puisque lim
=1,
x
→
0
u
→
0
u
2x
2
5x
5x 2 x
sin 5 x
sin 5 x 5
on en déduit donc que lim
= 1 , donc par produit lim
=
x →0
x →0
5x
2x
2
sin x
x
1 3x
x
2) On écrit, pour tout x>0 ,
=
. Puisque lim
= 1 , on a aussi lim
= 1 , donc en particulier
x
→
0
x →0
x
sin x
sin 3 x 3 sin 3x
3x
x
1
= 1 (quitte à poser u = 3 x ), d’où, par produit, lim
=
lim
x →0 sin 3 x
x →0 sin 3 x
3
sin 5 x sin 5 x
4x
5 x 5 sin 5 x
4x
sin 5 x
=
×
×
= ×
×
. Encore une fois, puisque lim
= 1 et
x →0
sin 4 x
5x
sin 4 x 4 x 4
5x
sin 4 x
5x
4x
sin 5 x 5
lim
= 1 , on conclut, par produit, que lim
=
x → 0 sin 4 x
x → 0 sin 4 x
4
sin x
tan x
sin x
sin x
1
=
=
×
. Puisque lim
= 1 et puisque lim cos x = 1 donc
x →0
x →0
x
x
x cos x
x
cos x
1
tan x
= 1 , on conclut que lim
= 1× 1 = 1
lim
x →0 cos x
x →0
x
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Exercice n°26
en tant que somme et produits de fonctions qui le sont.
1) f ( x) = x cos x − 2sin x . f est définie et dérivable sur
f ′( x) = 1 × cos x + x × ( − sin x ) − 2 × cos x = cos x − x sin x − 2cos x donc f ′( x) = − cos x − x sin x
Pour tout x ∈
dérivée d'un produit
sin x
2) f ( x) =
. f est définie et dérivable sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ en tant que quotient de fonctions qui le sont, et dont le
x
dénominateur ne s’annule pas sur ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ .
Pour tout x ∈ ]−∞;0[ ∪ ]0; +∞[ f ′( x) =
x cos x − sin x
(cos x) × x − (sin x) × 1 x cos x − sin x
=
donc f ′( x) =
2
2
x2
x
x
dérivée d'un quotient
π
π

 π

\  + kπ , k ∈  = ∪  − + kπ ; + kπ  en tant que quotient de
2
2
 k∈  2

π
π

 π

fonctions qui le sont, et dont le dénominateur ne s’annule pas sur \  + kπ , k ∈  = ∪  − + kπ ; + kπ 
2
2
 k∈  2

3) f ( x) =
sin x
. f est définie et dérivable sur
cos x
Pour tout
π
π

 π

\  + kπ , k ∈  = ∪  − + kπ ; + kπ  ,
2
2
 k∈  2

 1
2

(cos x) × (cos x ) − (sin x) × (− sin x) (cos x) 2 + (sin x) 2  ( cos x )
f ′( x) =
=
=
2
2
2
( cos x )
( cos x )
1 + (sin x) = 1 + (tan x) 2
 ( cos x )2
dérivée d'un quotient

en tant que somme et produits de fonctions qui le sont.
4) f ( x) = cos(3 x) − sin(2 x) . f est définie et dérivable sur
Pour tout x ∈
f ′( x) = 3 × ( − sin(3x) ) − 2 × ( cos(2 x) ) = −3sin(3x) − 2cos(2 x) donc f ′( x) = −3sin(3x) − 2cos(2 x)
Exercice n°27
2
3
4
Sur I = , on calcule f ′( x) = −3sin 3x , puis f ( ) ( x) = −32 cos3x , puis f ( ) ( x) = 33 sin 3 x et enfin f ( ) ( x) = 34 cos3 x , ce
qui nous permet de conclure, de manière « cyclique » que :
Si n = 4m , f ( ) ( x) = 3n cos3 x
Si n = 4m + 1 , f ( ) ( x) = −3n sin 3 x
Si n = 4m + 2 , f ( ) ( x) = −3n cos3x
Si n = 4m + 3 , f ( ) ( x) = 3n sin 3x
n
n
n
n
Exercice n°28
est dérivable sur
lim
x →0
f ( x ) − f (0)
sin x
. Or f
se réécrit lim
x
→
0
x−0
x
f ( x ) − f (0)
sin x
= f ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 . Ainsi
, f ′ ( x ) = cos x donc lim
= lim
x →0
x
→
0
x−0
x
, puisque f ( 0 ) = sin 0 = 0 , la limite lim
1) Si on pose f ( x ) = sin x , définie sur
x →0
et pour tout x ∈
sin x
=1
x
2) Si on pose
π 
f ( x) − f  
2.
lim
π
π
x→
x−
2
2
f ( x ) = cos x , définie sur
Or
f
est
dérivable
, puisque
cos x
π 
π 
f   = cos   = 0 , la limite lim
π
π
2
2
x→
 
 
2 x−
2
sur
et
pour
tout
π 
f ( x) − f  
cos x
 2  = f ′  π  = − sin  π  = −1 . Ainsi lim cos x = −1 .
= lim
lim
2
2
π
π
π
π x→
π
π
x→
x→
 
 
x−
2 x−
2
2 x−
2
2
2
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x∈
,
se réécrit
f ′ ( x ) = − sin x
donc
Exercice n°29
1) La fonction f définie par f ( x) = sin x − 2 cos x est continue sur
en tant que somme de fonctions qui le sont, donc il
par F ( x) = − cos x − 2sin x
existe une primitive définie sur
en tant que produit de fonctions qui le sont, et pour tout x ∈
2) f ( x) = sin x cos x . f est définie et continue sur
f ( x) = cos x sin x , donc de la forme f ( x) = u′( x)u ( x) , où u ( x) = sin x ⇒ u′( x) = cos x . Ainsi une primitive sur
de f est définie par
( u ( x) )
F ( x) =
2
( sin x )
=
,
2
2
2
cos x
f est définie et continue sur
3) f ( x) =
sin 2 x
\ {kπ , k ∈
}
en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant à l’un des intervalles  kπ ; ( k + 1) π  , f étant de la forme
f ( x) =
u′ ( x )
(u ( x ))
2
, où u ( x ) = sin x ⇒ u ′ ( x ) = cos x , elle admet une primitive sur chaque intervalle  kπ ; ( k + 1) π 
définie par F ( x) = −
1
1
=−
u ( x)
sin x
 π

\  k , k ∈  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le
 2

π
 π
dénominateur ne s’annulant pas, et pour x appartenant à l’un des intervalles  k ; ( k + 1)  , f étant de la forme
2
 2
−u ′ ( x )
π
 π
f ( x) =
, où u ( x ) = cos x ⇒ u ′ ( x ) = sin x , elle admet une primitive sur chaque intervalle  k ; ( k + 1) 
2
2
 2
(u ( x ))
4) f ( x) =
sin x
cos 2 x
définie par F ( x) =
1
1
=
u ( x ) cos x
cos x
2 + sin x
5) f ( x) =
s’annulant pas, et pour x ∈
primitive sur
en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
, f étant de la forme f ( x) =
u′ ( x )
u ( x)
, où u ( x ) = 2 + sin x ⇒ u ′ ( x ) = cos x , elle admet une
définie par F ( x) = 2 u ( x ) = 2 2 + sin x
 π
 0; 2  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
cos x u′ ( x )
 π
 π
=
, ou
s’annulant pas, donc admet des primitives sur  0;  , et pour tout x ∈  0;  , puisque f ( x) =
sin x u ( x )
 2
 2
6)) f ( x) =
cos x
. f est définie et continue sur
sin x
 π
u ( x ) = sin x ⇒ u ′ ( x ) = cos x , F ( x) = ln u ( x ) = ln ( sin x ) = ln ( sin x ) , puisque x ∈  0;  ⇒ sin x > 0 .
 2
π 
7) f ( x) = tan x . f définie est continue sur  ; π  en tant que quotient de fonctions qui le sont, le dénominateur ne
2 
sin x −u′ ( x )
π 
π 
, ou
s’annulant pas, donc admet des primitives sur  ; π  , et pour tout x ∈  ; π  , puisque f ( x) =
=
cos x
u ( x)
2 
2 
(
)
π 
; π ⇒ cos x < 0 .
 2 
u ( x ) = cos x ⇒ u ′ ( x ) = − sin x , F ( x ) = − ln ( u ( x ) ) = − ln ( cos x ) = − ln ( − cos x ) , puisque x ∈ 
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Exercice n°30
1)
On
∫
calcule
π
0
π
π
0
0
sin x cos xdx = ∫ cos x sin xdx = = ∫ u′ ( x ) u ( x ) dx
π
u ( x ) = sin x .
où
Ainsi
 u2 ( x) 
1
1
2
2
∫0 sin x cos xdx =  2  = 2 ( sin π ) − ( sin 0 ) = 2 ( 0 − 0 ) = 0 . L’affirmation est donc VRAIE

0
2
e (ln x )
e1
e
2) On calcule ∫
dx = ∫ × (ln x) 2 dx = ∫ u′ ( x ) × u 2 ( x ) dx où u ( x ) = ln x . L’affirmation est donc VRAIE
1
1 x
1
x
π
(
)
e
Ainsi
∫
e
1
e
 ( u ( x ) )3   ( ln ( x ) )3  ( ln ( e ) )3 ( ln (1) )3 13 03 1
(ln x)
 =
 =
dx = 
−
= − = .
x
3
3
3
3 3 3
 3  


1 
1
2
3) On peut déjà écrire que
(
(puisque sin ( − x )
∫
−π
0
sin 4 xdx = − ∫ sin 4 xdx . Comme la fonction x → sin 4 x est PAIRE sur [ −π ; π ] ,
0
−π
) = ( − sin ( x ) ) = ( sin ( x ) )
4
4
4
), on a donc
0
∫π
−
π
sin 4 xdx = ∫ sin 4 xdx . L’égalité est donc FAUSSE
0
Exercice n°31
Pour tout x ∈ [ 0,1] , sin x ≥ 0 et x 2 ≤ x , donc x 2 sin x ≤ x sin x
1
∫x
On « passe aux intégrales » dans l’inégalité. Ainsi
1
2
0
π
π
2
2
sin xdx ≤ ∫ x sin xdx
0
Exercice n°32 1) I = x sin xdx = u ( x ) v′ ( x ) dx où u ( x ) = x ⇒ u ′ ( x ) = 1 et v′ ( x ) = sin x ⇒ v ( x ) = − cos x sont
∫
∫
0
0
continûment dérivables. D’après la formule d’intégration par parties (IPP en abrégé)
π
π
π
π
2
π
2
I = u ( x ) v ( x )  02 − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx = [ − x cos x ]02 − ∫ 1× ( − cos x ) dx =0 + 0 + [sin x ]02 = 1
0
2)
0
π
π
2
2
I = ∫ x 2 sin xdx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx
0
où
u ( x ) = x 2 ⇒ u′ ( x ) = 2 x
et
v′ ( x ) = sin x ⇒ v ( x ) = − cos x
sont
0
continûment dérivables. D’après la formule d’IPP,
π
π
π
2
π
π
2
2
0
0
I = u ( x ) v ( x )  02 − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx =  x 2 cos x  2 − ∫ 2 x × ( − cos x ) dx =0 − 0 + ∫ 2 x cos xdx
0
0
On calcule l’intégrale
π
π
π
2
2
2
0
0
0
J = ∫ 2 x cos xdx en effectuant une 2ème IPP : J = ∫ 2 x cos xdx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx où
u ( x ) = 2 x ⇒ u′ ( x ) = 2 et v′ ( x ) = cos x ⇒ v ( x ) = sin x sont continûment dérivables. D’après la formule d’ IPP,
π
π
2
π
π
π
2
J = u ( x ) v ( x )  02 − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx = [ 2 x sin x ]02 − ∫ 2 × cos xdx =π − 0 − 2 [sin x ]02 = π − 2 . Finalement, I = π − 2
0
π
π
0
0
0
3) I = e x sin xdx = u ( x ) v′ ( x ) dx où u ( x ) = e x ⇒ u ′ ( x ) = e x et v′ ( x ) = sin x ⇒ v ( x ) = − cos x sont continûment
∫
∫
π
π
π
π
dérivables. D’après la formule d’ IPP, I = u ( x ) v ( x )  − u ′ ( x ) v ( x ) dx =  −e x cos x  − e x × ( − cos x ) dx
0
0
∫
0
Page 19/20
∫
0
π
π
π
π
0
0
0
= eπ + 1 + ∫ e x cos xdx . On calcule J = ∫ e x cos xdx en effectuant une 2ème IPP : J = ∫ e x cos xdx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx où
0
u ( x ) = e ⇒ u′ ( x ) = e et v′ ( x ) = cos x ⇒ v ( x ) = sin x sont continûment dérivables. D’après la formule d’ IPP,
x
x
π
π
J = [u ( x ) v ( x )]0 − ∫ u ′ ( x ) v ( x ) dx =  e x sin x  − ∫ e x sin xdx = 0 − 0 − I
π
π
0
0
0
On aboutit donc à l’équation I = eπ + 1 − I c’est-à-dire 2 I = eπ + 1 et on conclut ainsi que I =
π
4)
π
I = ∫ e cos xdx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx
2x
0
où
u ( x ) = e 2 x ⇒ u ′ ( x ) = 2e 2 x
et
eπ + 1
2
v′ ( x ) = cos x ⇒ v ( x ) = sin x
sont
0
π
π
π
π
continûment dérivables. D’après la formule d’ IPP, I = u ( x ) v ( x )  − u ′ ( x ) v ( x ) dx =  e 2 x sin x  − 2e 2 x sin xdx
0
0
∫
0
π
∫
0
π
π
π
0
0
0
= 0 − 0 − ∫ 2e 2 x sin xdx . On calcule J = ∫ 2e 2 x sin xdx en effectuant une 2ème IPP : J = ∫ 2e 2 x sin xdx = ∫ u ( x ) v′ ( x ) dx
0
où u ( x ) = 2e
2x
⇒ u ′ ( x ) = 4e
2x
et v′ ( x ) = sin x ⇒ v ( x ) = − cos x sont continûment dérivables.
D’après la formule d’ IPP,
π
π
π
π
π
0
0
J = u ( x ) v ( x )  0 − ∫ u′ ( x ) v ( x ) dx =  −2e2 x cos x  − ∫ 4e2 x ( − cos x ) dx = 2e2π + 2 + 4∫ e2 x cos xdx = 2e2π + 2 + 4 I
0
0
On aboutit donc à l’équation I = −2e 2π − 2 − 4 I c’est-à-dire 5 I = −2e 2π − 2 et on conclut ainsi que I = −
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2 2π
( e + 1)
5

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