Synthèse de cours (Terminale S) → La fonction logarithme népérien

Synthèse de cours (Terminale S)
Æ La fonction logarithme népérien
Définition et premières propriétés
Définition
Pour tout réel x strictement positif, il existe un unique réel y tel que e y = x (voir la figure
ci-dessous). Ce réel est appelé logarithme népérien de x et on le note : ln x ou ln ( x ) . On a
donc, pour tout réel x strictement positif :
eln x = x
On dit que la fonction logarithme népérien est la « fonction réciproque » de la fonction
exponentielle.
Définition de la fonction logarithme népérien comme
fonction réciproque de la fonction exponentielle.
PanaMaths
[1-5]
Février 2009
Premières propriétés (directement liées à la définition)
•
•
•
ln1 = 0 ;
∀x ∈ \, ln e x = x ;
La fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[ . Il en découle :
o
∀x ∈ ]0,1[ , ln x < 0 ;
o
∀x ∈ ]1, +∞[ , ln x > 0 ;
o
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln x = ln y ⇔ x = y ;
o
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln x > ln y ⇔ x > y ;
o
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln x < ln y ⇔ x < y
2
2
2
Propriété fondamentale : logarithme népérien d’un produit
Logarithme népérien d’un produit
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln ( xy ) = ln x + ln y
2
Conséquences de la propriété fondamentale
•
•
•
⎛1⎞
∀y ∈ ]0, +∞[ , ln ⎜ ⎟ = − ln y ;
⎝ y⎠
2
⎛ x⎞
∀ ( x, y ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln ⎜ ⎟ = ln x − ln y ;
⎝ y⎠
Généralisations de la propriété fondamentale :
o
∀n ∈ `* , ∀ ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ ( ]0, +∞[ ) , ln ( x1 x2 ...xn ) = ln x1 + ln x2 + ... + ln xn
o
∀p ∈ ], ∀x ∈ ]0, +∞[ , ln x p = p ln x
o
•
n
( )
∀q ∈ _, ∀x ∈ ]0, +∞[ , ln ( x ) = q ln x
∀x ∈ ]0, +∞[ , ln x =
q
1
ln x .
2
Etude de la fonction logarithme népérien
Ensemble de définition
Dln = ]0, +∞[
Continuité
La fonction logarithme népérien est continue sur son ensemble de définition.
PanaMaths
[2-5]
Février 2009
Limites aux bornes de l’ensemble de définition
lim ln x = −∞
x →0
lim ln x = +∞
x →+∞
Dérivabilité et dérivée
La fonction logarithme népérien est dérivable sur son ensemble de définition et sa fonction
dérivée est la fonction inverse :
∀x ∈ \, ( ln ) ' ( x ) =
1
x
Tableau de variation
x
0
1
+∞
1
ln' ( x ) =
x
+∞
ln
0
−∞
Courbe représentative
Courbe représentative de la fonction logarithme népérien.
PanaMaths
[3-5]
Février 2009
Interprétation graphique de la réciprocité des fonctions logarithme népérien et
exponentielle
Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et
exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x (1ère bissectrice).
Tangente et approximation affine
L’équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction logarithme népérien
x
en un point M ( a, ln a ) (avec a > 0 ) est : y = + ln a − 1 .
a
h
On en déduit l’approximation affine : ln ( a + h ) + ln a .
a
Pour a = 1 , les formules précédentes s’écrivent :
Equation réduite de la tangente : y = x − 1
Approximation affine : ln (1 + h ) h
PanaMaths
[4-5]
Février 2009
Composée du logarithme népérien et d’une fonction strictement
positive
Dérivée de ln ( f ) = lnof
On considère un intervalle I et une fonction f dérivable sur I et telle que : ∀x ∈ I , f ( x ) > 0 .
On a alors : ( ln of ) ( x ) =
'
f '( x)
f ( x)
:
( ln of )
Primitive de
'
=
f'
f
f'
f
On considère un intervalle I et une fonction f dérivable sur I et ne s’annulant pas sur I.
On a alors :
ln f est une primitive de
f'
sur I
f
Logarithme décimal
Définition
ln x
définie sur ]0; +∞[ est appelée « fonction logarithme décimal ».
ln10
ln x
Pour tout réel x, le nombre
= log x est appelé « logarithme décimal de x ».
ln10
En particulier : ∀n ∈ ], log10n = n .
La fonction log : x 6
Propriétés
La fonction logarithme décimal étant le produit de la fonction logarithme népérien par une
1
constante strictement positive (
), on retrouve les principales propriétés du logarithme
ln10
népérien (croissance stricte et conséquences, propriétés algébriques, …).
PanaMaths
[5-5]
Février 2009