x xLn xf + +

Exercices Dérivation
Exercice 0
a/ Etudier la dérivabilité en 0 de
{
b/ En utilisant la limite d’un taux d’accroissement, calculer
⌊ ⌋
c/ Etudier la dérivabilité de
{
d/ Soit
. Montrer que (
(avec a >0)
⌊ ⌋
existe sur
et la calculer
Exercice 3bis- Calculer f ' ( x) dans chacun des cas suivants :
a- f ( x) 
1
3
x2
d- f ( x)  x x

1
b- f ( x) 
x3
e- f ( x)  Ln tan
x
2
x  1 x2
f- f ( x)  Ln( x  1  x 2 )
c- f ( x) 
xa
(pour a>0)
ax
g- f ( x)  (cos x) sin x
h- f ( x)  Ln(tan(1  sin( x 2 ) ))
1
Exercices Dérivation
(indication : Appliquer le TAF entre
et
(pour
⟦
⟧)
2
Exercices Dérivation
(Definition (exercice 32): on dit qu’une application f de I (intervalle de R) dans R, est contractante sur I ssi il existe un réel k
|
|
|
|)
de [o,1[ tel que
3
Exercices Dérivation
Exercice 33-
a/ Déterminer toutes les fonctions de R dans R, dérivables sur R telles que :
(indication : supposer f solution et déterminer une eq diff dont f est solution. Puis
penser également à l’étude d’une réciproque..)
b/ Déterminer toutes les fonctions de R dans R, dérivables sur R telles que :
Exercice 34- Soit f une fonction paire de R dans R, dérivable n fois sur R. Etudier la parité de
⟦
⟧
Exercice 35- Soit f une fonction de classe
.
pour
sur [a,b], à valeurs dans R, telle que f(a)=f(b)=0. Soit
En travaillant avec
et en appliquant plusieurs fois le théorème de
Rolle , montrer
Exercice 36 : Soit f une fonction de classe
sur [a,b], à valeurs dans R, telle que
.
En travaillant avec
, montrer :
Exercice 38- Calculer la dérivée nième des fonctions suivantes :
a- f ( x) 
1
1 x
e- f ( x)  e x sin x
b- f ( x) 
1
1 x
c- f ( x) 
1
1 x2
d- f ( x)  cos 3 x
f- f ( x)  x 2 (1  x) n
Exercice 39a- Montrer que, pour tout entier naturel non nul k, on a :
b- En déduire un encadrement de la suite S n  (
n
1
k 1 1
 Ln(
)
k 1
k
k
1
 k )  Ln(n)
k 1
c- Démontrer que la suite ( S n ) converge
4
Exercices Dérivation
Exercice 40- Soit f une fonction dérivable de R dans C
a- Montrer que f : x  f ( x) est dérivable et calculer sa dérivée
b- Montrer que la fonction f : x  f ( x) est dérivable en tout point où elle ne s’annule pas et
calculer sa dérivée.
Exercice 41- a et b étant deux nombres complexes et n un entier , calculer la dérivée de l’application
R  C
f :
n
t  (at  b)
i
Exercice 42- Soit f la fonction de R dans C définie par f (t )  t 2 e t si t  0 et f (0)  0 . Montrer que
f est dérivable sur R mais que f ' n’est pas continue en 0 .
5