Fonction logarithme népérien, cours de Terminale S - MathsFG

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale S
F.Gaudon
27 juin 2013
Table des matières
1 Dénition et propriétés algébriques
2
2 Étude de la fonction logarithme népérien
3
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Étude de la fonction . . . . . . . . . . . .
Tableau de variation . . . . . . . . . . . .
Tableau de signe . . . . . . . . . . . . . .
Représentation graphique . . . . . . . . .
Dérivation de fonctions composées avec ln
1
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3
4
4
4
4
Fonction logarithme népérien - Terminale S
1 Dénition et propriétés algébriques
Dénition :
On appelle fonction logarithme népérien et on note ln la fonction qui à
tout réel x strictement positif associe l'unique réel y tel que ey = x
On a donc pour tout x > 0 et tout y réel, ln(x) = y si et seulement si
e y = x.
Propriétés :
• Pour tout réel x > 0, eln(x) = x ;
• pour tout réel x, ln(ex ) = x ;
• ln(1) = 0 et ln(e) = 1
Preuve :
Conséquences directes de la dénition.
Propriété (équation fonctionnelle) :
Pour tous les réels a et b strictement positifs, ln(ab) = ln(a) + ln(b).
Preuve :
Pour tous les réels a et b strictement positifs, il existe u et v réels tels que a = eu et b = ev .
D'où ln(ab) = ln(eu ev ) = ln(eu+v ) = u + v et ln(a) + ln(b) = ln(eu ) + ln(ev ) = u + v d'où l'égalité.
Propriétés :
Pour tous les réels a et b strictement positifs,
• ln( a1 ) = − ln(a) ;
• ln( ab ) = ln(a) − ln(b) ;
n
• pour
√ tout 1entier relatif n, ln(a ) = n ln a ;
• ln( a) = 2 ln(a) ;
Preuve :
• D'une part, ln(a × a1 ) = ln(1) = 0.
D'autre part, ln(a × a1 ) = ln(a) + ln( a1 )
Donc ln(a) + ln( a1 ) = 0.
• ln( ab ) = ln(a × 1b ) = ln(a) + ln( 1b ) = ln(a) − ln(b) d'après ce qui précède.
• Découle directement du fait que ln(an ) = ln(a) + ln(a) + . . . + ln(a) si n est un entier positif. On
|
{z
}
n
fois
1
n
utilise en plus,
√ le√fait que ln(a
√ ) = ln(
√a−n ) si n est
√ un entier négatif.
• ln(a) = ln( a × a) = ln( a) + ln( a) = 2 ln( a). D'où le résultat.
Exemples :
• ln(32) = ln(25 ) = 5 ln(2) ;
• ln(1/108 ) = −8 ln(10).
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2
Fonction logarithme népérien - Terminale S
2 Étude de la fonction logarithme népérien
2.1
Étude de la fonction
Propriété :
La fonction ln est dérivable sur ]0; + inf[ et
ln0 (x) =
1
x
Preuve :
Admise
Propriété :
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
Preuve :
On utiliser le fait que la dérivée soit x 7→ x1 qui est positif ou on peut aussi le démontrer comme suit :
soient a et b deux réels strictement positifs tels que a < b. Soient u et v les réels tels que eu = a et
ev = b.
Alors eu < ev équivaut à u < v c'est à dire, du fait que u = ln(a) et v = ln(b), ln(a) < ln(b). Cela montre
que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
Conséquences :
Pour tous les réels a et b strictement positifs,
• ln(a) < ln(b) si et seulement si a < b ;
• ln(a) = ln(b) si et seulement si a = b.
Propriété :
On a limx7→+∞ ln(x) = +∞ et limx7→0+ ln(x) = −∞.
La droite d'équation x = 0 est donc une asymptote verticale à la courbe
en 0.
Preuve :
Soit M un réel. Pour tous les réels x tels que x > eM (il en existe car limx→+∞ ex = +∞),la fonction ln
est strictement croissante sur ]0; +∞[ donc ln(x) > ln(eM ) d'où ln(x) > M . La fonction ln a donc bien
pour limite +∞ en +∞.
Pour x > 0, on pose X = x1 . Alors ln(x) = ln( X1 ) = − ln(X). Or limx→0,x>0 X = +∞. Or limX→+∞ (− ln(X)) =
−∞ donc limx→0 ln(x) = −∞.
Propriétés :
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3
Fonction logarithme népérien - Terminale S
ln(x)
=0
x→+∞
x
lim
et
lim
x→1
ln(x)
=1
x−1
Preuve :
Pour x > 0, on pose X = ln(x) d'où ln(x)
= eXX . Or limx→+∞ X = +∞ et limX→+∞ eXX = 0. D'où le
x
résultat.
. ln est dérivable en 1 donc ce taux d'accroissement a une limite qui
On considère pour x 6= 1, ln(x)−ln(1)
x−1
est le nombre dérivé de ln en 1, c'est à dire 1.
2.2
Tableau de variation
x
ln0 (x)
ln(x)
2.3
+∞
k
k
k
k −∞
+
+∞
%
Tableau de signe
x
ln(x)
2.4
0
0
k
1
+∞
- 0 +
Représentation graphique
On parle de croissance
logarithmique
pour décrire une telle évolution.
3
2
1
−1
0
0
1
2
−1
−2
−3
−4
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4
3
4
5
Fonction logarithme népérien - Terminale S
2.5
Dérivation de fonctions composées avec ln
Propriété :
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle
I , alors la fonction composée ln(u) est dénie et dérivable sur I et on a :
(ln(u))0 =
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5
u0
u