COURS- LES VECTEURS

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Secteur Mathématiques – Première BAC PRO 3 Ans
Géométrie
Leçon 01 :
Les Vecteurs du plan
Au BEP, un terrain privilégié de l’utilisation des vecteurs est la mécanique où on représente une force par un vecteur. Mais on
utilise aussi les vecteurs dans bien d’autres domaines, par exemple en électricité dans l’étude des courants alternatifs ou bien
pour l’étude des champs magnétiques. L’étude des vecteurs sera donc amorcée en BEP pour se terminer en BAC PRO avec
l’étude du produit scalaire.
Les objectifs de cette petite leçon sont simples :
Définir et représenter un vecteur,
Donner les 4 caractéristiques d’un vecteur,
Définir des vecteur : opposés, égaux, colinéaire ou nuls,
Savoir additionner ou multiplier deux vecteurs,
Savoir définir et utiliser les coordonnées d’un vecteur,
Savoir calculer la norme d’un vecteur, ainsi que les coordonnées du milieu d’un vecteur.
1- Généralités sur les vecteurs.
 Document N°1 : Activité
Comme nous l’avons vu en mécanique, les vecteurs sont associés aux
forces et interactions. On considère ici un ballon de 205 g. posé sur la
pelouse.
1) Donner les 4 caractéristiques d’un vecteur.
2) Etablissez un tableau permettant de donner les
caractéristiques des forces qui agissent sur le système
suivant :
Réponses :
Les 4 caractéristiques d’un vecteur sont direction, sens, norme et point
d’application.
Les forces agissant sur ce système sont le poids du ballon et la réaction de la pelouse.
Définition :
A deux points du plan, on peut associer un vecteur, dont les caractéristiques sont :
. La direction (ou droite d’action),
. Le sens,
. La norme (ou la longueur),
. Le point d’application.
Définition :
On peut alors définir :
. Le vecteur nul, vecteur qui n’a pas de longueur,
. Les vecteurs égaux, dont les caractéristiques sont identiques,
. Les vecteurs colinéaires, dont seules les droites d’action sont semblables,
. Les vecteurs opposés, dont seul le sens diffère.
 Document N°2 : Activité
Dans chacun des cas suivants, déterminer :
1) Des vecteurs colinéaires ?
2) Des vecteurs égaux ?
3) Des vecteurs opposés ?
Propriété :
Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme, alors les vecteurs AB et DC sont égaux.
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 Document N°3 : Activité
Pour chacune des figures ci-dessus, déterminer
1) Dans quel cas les vecteurs AB et MN sont égaux.
2) Dans quel cas, ABMN est un parallélogramme.
Réponses :
Seul dans le cas N°2, les vecteurs AB et MN sont égaux.
Seul le cas N°1 propose le parallélogramme ABMN.
Propriété :
Si I est le milieu du segment AB alors on a : AI = IB et AI + IB = 0 et AI = ½ AB
2- Opération sur les vecteurs.
Méthode :
Soit deux vecteurs AB et BC, la somme de ces deux vecteurs est le vecteur AC tel que AC = AB + BC.
 Document N°4 : Fiche méthode
Mise en pratique de la construction de la somme de deux vecteurs :
Méthode a : Technique des deux vecteurs consécutifs :
Méthode b : Technique du parallélogramme :
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 Document N°5 : Application directe
 Document N°6 : Activité
Propriété : Relation de Chasles
Quelque soient les points A, B et C, on a : AB + BC = AC
 Document N°7 : Activité sur la relation de Chasles
Simplifier, à l’aide de la relation de Chasles, les expressions vectorielles suivantes :
a) AB + BC + CD
b) OA + OB + BA + AO
c) MN – PN + NO + AC +OA
Propriété : Multiplication d’un vecteur par un nombre réel
Pour multiplier un vecteur u par un nombre réel k, on construit un vecteur : de même direction, de même sens
(si k < 0) et de sens inverse si (k > 0) et dont la longueur est k × u
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