Formule de Viète

Formule de Viète
2
ax +bx +c
(
2
= a x +
(
)
b
x +c
a
( ) ( ))
b
b
= a x + x+
a
2a
2
2
2
b
−
2a
+c
...
= a
Si ∆>0:
2
b
x+
2a
On effectue la complétion du carré
(voir la fiche précédente ...)
b 2 −4 a c
−
4a
( )
(( )
b
= a x+
2a
2
− Δ2
4a
)
On pose ∆ = b2 - 4ac qui est appelé le
discriminant de l'expression ax2+bx+c
[( ) ]
[( ) ( ) ]
[( ) ( )] [( ) ( )]
2
2
ax +bx +c = a
2
b
x+
− √Δ 2
2a
(2 a)
2
= a
= a
b
x+
− √Δ
2a
2a
x+
[
= a x+
2
b
b
− √ Δ ⋅ x+
+ √Δ
2a
2a
2a
2a
][
]
)] [ ( )]
b √Δ
b √Δ
−
⋅ x+
+
2a 2 a
2a 2a
[ (
= a x−
−b √ Δ
−b √ Δ
+
⋅ x−
−
2a 2a
2a 2a
Cette écriture permet d'une part de résoudre une équation de degré 2 :
l'équation ax2 +bx+c=0 a deux solutions x 1 =
−b− √ Δ
−b+ √ Δ
et x 2 =
2a
2a
d'autre part de factoriser une expression de degré 2 :
2
2
l'expression ax +bx +c est factorisable: ax +bx +c=a( x− x 1 )(x− x 2 )
http://math.bibop.ch
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Si ∆<0:
2
On a:
ax +bx +c
=
a
[(
2
)
b
x+
2a
+ −Δ2
4a
]
Cette écriture permet d'une part de résoudre une équation de degré 2 :
2
l'équation ax +bx+c=0 n'a pas de solution
d'autre part de dire qu'une expression de degré 2 n'est pas factorisable :
2
l'expression ax +bx +c n'est pas factorisable
Si ∆=0:
ax 2 +bx +c =
On a:
a
[( ) ]
x+
b
2a
2
Cette écriture permet d'une part de résoudre une équation de degré 2 :
b
l'équation ax2 +bx+c=0 a une unique solution x 0 =−
2a
d'autre part de factoriser une expression de degré 2 :
2
2
2
l'expression ax +bx +c est factorisable: ax +bx +c=a( x− x 0 )
la formule x 1 , 2 =
−b±√ Δ
où, Δ=b2 −4 a c s'appelle la formule de Viète
2a
François Viète, mathématicien français, 1540-1603
François Viète étudia le droit à l'université de Poitiers. C'est ainsi
qu'il fut avocat puis fut conseiller au parlement (cour de justice)
sous Henri III et Henri IV. Mais Viète s'intéresse à l'astronomie et
découvre les mathématiques.
On lui doit de nombreuses publications de géométrie (coniques,
problèmes de construction, trisection de l'angle, quadrature du
cercle). Selon certains historiens, il aurait perçu avant Kepler la
nature elliptique des orbites planétaires dans son Harmonicon
Coeleste, vers 1597, mais ce traité est hélas perdu.
Viète résolut complètement l'équation du second degré
ax2 + bx + c = 0, qu'il écrivait lui ax2 + bx = c (…)
Source: http://serge.mehl.free.fr/chrono/Viete.html
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