Correction des exercices : Equations différentielles du 1erordre
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Correction des exercices : Equations différentielles du 1erordre
Math pas à pas Correction des exercices : Equations différentielles du 1erordre Exercice 1 : (E1) : (1+t2)y’ + y = 0 (E1) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène. Une primitive de t est t fonctions y(t) = C avec C -arctan(t). Les solutions de (E1) sont les . Exercice 2 : ] (E2) : 3cos(t)y’ + sin(t)y = 0 [ Déterminer les solutions de (E2) qui vérifient la condition initiale y( ) = 1 (E2) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène. Une primitive sur ] [ de t - est t Les solutions de (E2) sont les fonctions y définies par : y(t) = C = C√ avec C ] [ . On détermine C de sorte que y( ) = 1 C√ = 1 C= √ La solution de (E2) sur ] définie par : ] [ qui vérifie la condition initiale est la fonction y [ y(t) = √ Math pas à pas Exercice 3 : ] (E3) ty’ + 2y = ln(t) [ (E3) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1. sur ] Une primitive de t [ est la fonction t Les solutions de l’équation différentielle homogène associée sont les fonctions y définies par : ] [ y(t) = = avec C On cherche une solution particulière yp de (E) sous la forme yp(t) = dérivable. On remplace dans (E3) et on obtient : t = ln(t) C(t) = ∫ Par intégration par partie, on obtient : C(t) = C(t) = ∫ convient. yp(t) = Les solutions de (E3) sont les fonctions y définies par : ] [ y(t) = avec C Exercice 4 : (E4) : y’ + ty = tsh(t) + ch(t) yp(t) = sh(t) définit une solution de (E4) Donc les solutions de (E4) sont les fonctions y définies par : avec C