1 Pourcentages

1 Pourcentages
Introduction
Le taux de T.V.A. sur un article est de 20 %. Calculer son prix T.T.C. (Toutes Taxes Comprises)
lorsque son prix H.T. (Hors Taxe) est de 40 A
C.
Solution : Calculer 20 % du prix H.T. c’est multiplier ce montant par 0,2. Calculer le prix T.T.C. revient donc à
ajouter 0,2 fois le prix H.T. pour calculer la T.V.A. et l’ajouter ensuite au prix initial, ce qui revient à multiplier
le prix H.T. par 1 + 0,2, soit 1,2. Le prix T.T.C. est donc : 40 × 1,2, soit 48 A
C. Un article soumis au même taux de T.V.A. est vendu 42 A
C T.T.C. Quel est son prix H.T. ?
Solution : Puisqu’il faut multiplier le prix H.T. par 1,2 pour calculer le prix T.T.C., il suffit de diviser le prix
T.T.C. par 1,2 pour obtenir le prix H.T. Donc le prix H.T. est de
42
,
1,2
soit 35 A
C. Remarque : Il est faux de penser que l’opération réciproque d’une augmentation de 20 % est une
baisse de 20 %. En effet, suivant le principe expliqué ci-dessus, une baisse de 20 % correspond
à une multiplication par 1 − 0,2, soit 0,8. Alors : 42 × 0,8 = 33,6, puis 33,6 × 1,2 = 40,32 ce qui
n’est pas égal à 42. Autrement dit : 0,8 × 1,2 = 0,96 6= 1.
1.1 Proportion et pourcentage
Définition :
La proportion d’une quantité A par rapport à une quantité B est le quotient
A
.
B
A
Remarques : • Lorsque A est inférieur à B, la proportion
est inférieure à 1.
B
• Une proportion n’a pas d’unité. On exprime souvent une proportion sous la forme d’un pourcentage. Cependant le « pourcentage » n’est en aucun cas une unité.
1
1
3
» ; ainsi : 3% = 3 ×
=
= 0,03.
Le symbole « % » remplace la fraction «
100
100
100
Exemple : • Sur les 25 élèves de la classe il yÅ a 15 filles.
ã
15
15
3
60
La proportion de filles est de
, soit 60 %
= =
.
25
25
5
100
• Il a plu durant quatre jours au cours de cette semaine. Å
ã
4
4
≈ 0,5714 .
La proportion de jours de pluie est de , soit environ 57 %
7
7
Définition : Si une grandeur évolue d’une valeur V1 à une valeur V2 , alors le rapport t =
V2 − V1
s’appelle le taux d’évolution de V1 à V2 ou variation relative de V1 à V2 .
V1
Exemple : Au premier janvier le prix du litre était de 1,45 A
C. Si au premier juillet de la même
année il est de :
1,62 − 1,45
≈ 0,1172, soit un taux d’évolution
— 1,62 A
C, alors son taux d’évolution est de
1,45
en pourcentage de 11,7 % représentant une augmentation de 11,7 % ;
1,38 − 1,45
≈ − 0,0483, soit un taux d’évolution
— 1,38 A
C, alors son taux d’évolution est de
1,45
en pourcentage de −4,8 % représentant une diminution de 4,8 %.
1
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1. Pourcentages
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Propriété : Si le taux d’évolution d’une grandeur V1 est de t %, alors cette grandeur est
V2 = V1 × (1 + t)
augmentée de V1 × t ce qui revient à la multiplier par (1 + t) :
Preuve : V2 = V1 + V1 × t = V1 × (1 + t). Remarque : Si le taux d’évolution est négatif (diminution), le calcul reste identique puisqu’alors
1 + t sera inférieur à 1, exprimant la diminution : 1 + (−0,07) = 1 − 0,07 = 0,93.
Exemple : • Le prix d’un ordinateur portable est de 490 A
C. Calculer son prix l’année suivante
si son taux d’évolution est de 5 %, puis si ce taux d’évolution est de −3 % (diminution) :
— si son taux d’évolution est de 5 %, alors son nouveau prix sera : 490 × (1 + 0,05) =
490 × 1,05 = 514,5 A
C;
— si son taux d’évolution est de −3 %, alors son nouveau prix sera : 490 × (1 − 0,03) =
490 × 0,97 = 475,3 A
C.
• Un pull est vendu 60 A
C. Le taux de T.V.A. étant de 19,6 %, d’après la propriété précédente
le prix T.T.C. de 60 A
C a été obtenu en multipliant le prix H.T. par 1 + 0,196 = 1,196, d’où le
60
≈ 50,17 A
C.
prix H.T.
1,196
Proportions et parties d’une population.
effectif de A
Soit pA la proportion d’une partie A dans la population E : pA =
.
effectif de E
Si A et B sont deux parties de E : pA∪B = pA + pB − pA∩B ,
où A∪B est la réunion des parties A et B, c’est-à-dire la partie de E contenant tous les éléments
qui sont dans l’une au moins des parties A ou B,
et A ∩ B est l’intersection des parties A et B, c’est-à-dire la partie de E contenant tous les
éléments qui sont à la fois dans la partie A et dans la partie B.
Exemple : Une classe compte 27 élèves, dont 12 élèves qui étudient l’allemand : partie A. Il y a
14 filles dans la classe : partie F . Sachant que 8 filles étudient l’allemand on peut écrire :
pA∪F = pA + pF − pA∩F =
8
16
12 14
+
−
=
27 27 27
27
Proportions échelonnées.
Exemple : Dans la classe de 27 élèves ci-dessus la proportion d’élèves étudiant l’allemand parmi
8
pA∩F
=
; la proportion de filles dans la classe
le groupe des filles de la classe est de : p =
pF
14
14
est pF =
; alors la proportion de filles étudiant l’allemand dans la classe est :
27
pA = p × pF =
14
8
8
×
=
14 27
27
Représentation d’une situation par un tableau :
B
B
Total
A
A
Total
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (B)
P (A)
P (A)
1
P (A ∩ B)
P (A ∩ B)
P (B)
Ce qui donne avec l’exemple ci-dessus :
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F
F
Total
prog 2012
A
A
Total
8
27
4
27
12
27
6
27
9
27
15
27
14
27
13
27
1
Représentation d’une situation par un arbre :
B : PA∩B
A
PA
B : PA∩B
B : PA∩B
PA
A
B : PA∩B
Ce qui donne avec l’exemple ci-dessus :
12
27
15
27
8
12
F : PA∩F =
8
27
4
12
F : PA∩F =
4
27
6
15
F : PA∩F =
6
27
9
15
F : PA∩F =
9
27
A
A
ou bien commençant par B (ou F dans l’exemple) :
A : PB∩A
PB
PB
B
14
27
A : PB∩A
A : PB∩A
13
27
B
8
14
A : PF ∩A =
8
27
6
14
A : PF ∩A =
6
27
4
13
A : PF ∩A =
4
27
9
13
A : PF ∩A =
9
27
F
F
A : PB∩A
1.2 Évolutions successives - évolution réciproque
Propriétés : Si une quantité subit une évolution de t1 , puis une évolution de t2 , alors cette
quantité est multipliée par (1 + t1 ) × (1 + t2 ).
Exemple : La population d’un pays augmente de 25 % en 10 ans, puis de 20 % au cours de la
décennie suivante. En 20 ans la population initiale a donc été multipliée par (1+0,25)(1+0,2) =
1,25 × 1,2 = 1,5.
Remarque : Le taux d’évolution global de cette population est de 50 %, car elle a été multipliée
par 1,5 = 1 + 0,5 = 1 + 50 %.
Attention : On ne peut pas additionner les taux d’évolution t1 et t2 .
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prog 2012
Évolution réciproque : Si le taux d’évolution d’une grandeur de la valeur V1 à la valeur V2 est t,
V2 − V1
on a vu que : t =
. Il existe un taux t′ qui fait passer de la valeur V2 à la valeur V1 de
V1
la même manière : c’est le taux d’évolution réciproque.
Définition : Le taux d’évolution réciproque du taux t est le taux t′ tel que : (1+t)×(1+t′) = 1
Exemples : • Si une quantité subit un taux d’évolution de 17 % elle est multipliée par 1 + 0,17 =
1,17. Pour calculer son taux d’évolution réciproque, il faut calculer t′ tel que : 1,17× (1+ t′ ) = 1,
1
1
et donc t′ =
− 1 ≈ − 0,1453, soit un pourcentage d’évolution réciproque
soit 1 + t′ =
1,17
1,17
de −14,5 % environ, c’est-à-dire une baisse de 14,5 %.
• Le taux réciproque t′ d’un taux d’évolution de −24 % est tel que (1 − 0,24) × (1 + t′ ) = 1,
1
1
d’où 1 + t′ =
et t′ =
− 1 ≈ 0,316, soit un taux d’évolution de 31,6 %.
0,76
0,76
1.3 Indice base 100
Définition : Si V1 et V2 sont deux valeurs d’une même grandeur, définir l’indice base 100
correspondant à V1 , Åc’est associer l’indice
ã I1 = 100 à la valeur V1 et l’indice I2 à la valeur
V2
V2
I2
=
ou I2 = 100 ×
.
V2 , tel que
I1
V1
V1
Exemple : Évolution des populations de 5 pays européens sur deux siècles (en Millions d’habitants) :
Année
France
Allemagne
Royaume-Uni
Italie
Espagne
1800
29,1
22
10,5
17,3
11
1900
40,7
56
38,7
33,6
19,1
2000
59
82,5
59,1
57,6
39,5
Si pour chaque pays on associe l’indice base 100 à la population en 1800, on obtient le tableau
suivant :
Année
France
Allemagne
Royaume-Uni
Italie
Espagne
1800
100
100
100
100
100
1900
140
255
369
194
174
2000
203
375
563
332
359
Propriété : La quantité V et son indice I ont le même taux d’évolution :
t=
V2 − V1
I2 − I1
=
V1
I1
Exemple : Sur le tableau des indices base 100 on lit facilement le taux d’évolution en pourcentage
de 1800 à 1900 ou 2000 ; ainsi la population française a augmenté de 40 % de 1800 à 1900 et la
population du Royaume-Uni de 463 % de 1800 à 2000.
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2 Polynôme du second degré
2.1 Polynôme du second degré
Définitions : • La fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, où a, b et c sont des réels
et a est non nul, est une fonction polynôme du second degré.
• L’expression algébrique ax2 + bx + c s’appelle un polynôme du second degré, aussi parfois
appelé trinôme.
• Les réels a, b et c sont les coefficients de ce polynôme ; on a l’habitude de les ranger dans
l’ordre des puissances décroissantes de x.
Exemples : • Les coefficients du polynôme 5x2 − 7x + 10 sont 5, −7 et 10 ;
• Les coefficients du polynôme 2 − 9x2 sont −9, 0 et 2 (dans l’ordre des puissances décroissantes
de x).
Définition : Pour un polynôme ax2 + bx + c le réel b2 − 4ac s’appelle le discriminant du
polynôme ; on note ∆ = b2 − 4ac.
Exemples : • Le discriminant du polynôme 5x2 − 7x + 10 vaut ∆ = (−7)2 − 4 × 5 × 10 =
49 − 200 = −151 ;
• Le discriminant du polynôme 2 − 9x2 vaut ∆ = 02 − 4 × (−9) × 2 = 72.
2.2 Résolution de l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0
Théorème : Le nombre de solutions de l’équation du second degré ax2 + bx + c = 0, avec
a 6= 0, dépend de la valeur du discriminant ∆ = b2 − 4ac :
• Si ∆ > 0, alors l’équation du second degré a deux solutions distinctes :
√
√
−b + ∆
−b − ∆
et
x2 =
x1 =
2a
2a
• Si ∆ = 0, alors l’équation du second degré a une seule solution, appelée aussi solution
−b
double : x0 =
2a
• Si ∆ < 0, alors l’équation du second degré n’a pas de solution réelle.
Preuve :
ax2 + bx + c
ï
b
b 2
b
x + c = a x2 + 2 × x ×
+
−
a
2a
2a
2
b
b 2 b2 − 4ac
b2
=a x+
+c = a x+
−
−
2a 4a
ò 4a
ï
2a
2
2
b
∆
∆
b
=a x+
−
− 2
=a x+
2a
4a
2a
4a
= a x2 +
donc :
5
b
2a
2 ò
+c
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2. Polynôme du second degré
• Si ∆ > 0, alors
prog 2012
√
∆ existe et on peut écrire :
ñ
Å √ ã2 ô
b 2
∆
2
ax + bx + c = a x +
−
2a
2a
√ ãÅ
√ ã
√ ãÅ
√ ã
Å
Å
b
−b − ∆
−b + ∆
∆
∆
b
+
−
x+
= a x−
x−
= a x+
2a
2a
2a
2a
2a
2a
√
√
−b − ∆
−b + ∆
donc les réels x1 =
et x2 =
sont bien les deux solutions de l’équation ax2 +bx+c = 0 ;
2a
2a
2
b 2
b
−b
• Si ∆ = 0, alors ax2 + bx + c = a x +
est bien la solution
=a x−
, donc le réel x0 = −
2a
2a
2a
2
(double) de l’équation ax + bx + c = 0 ;
ï
2
ò
∆
• Si ∆ < 0, alors ax + bx + c = a
− 2 ; or un carré étant toujours positif ou nul,
4a
b 2
∆
x+
> 0 et, d’autre part comme ∆ < 0 et a2 > 0, la quantité − 2 est strictement positive,
2a 4a
∆
b 2
− 2 > 0 et donc il n’existe aucun réel x pour lequel ax2 + bx + c = 0 ce qui signifie
par suite x +
2a
4a
que l’équation ax2 + bx + c = 0 n’a pas de solution réelle.
b
x+
2a
2
ce qui prouve le théorème. Remarque : On a montré ci-dessus que :
b
ax + bx + c = a x +
2a
Å
2
ã2
b
b2 − 4ac
=a x+
−
4a
2a
Å
ã2
−
∆
4a
b 2 b2 − 4ac
s’appelle la forme canonique du polynôme du second
−
2a
4a
degré ax2 + bx + c. Elle permet de connaître les variations de la fonction polynôme du second
degré : f (x) = ax2 + bx + c.
ã
ã
Å
Å
b
b 2
.
est toujours positif ou nul lorsque x = −
En effet, pour toute valeur de x : x +
2a
2a
∆
b
Ceci permet d’affirmer que f (x) admet un extremum égal à −
atteint pour x = −
et :
4a
2a
∆
— si a est positif, alors −
est un minimum,
4a
∆
est un maximum.
— si a est positif, alors −
4a
Å
où l’expression a x +
ã
Exemples : • Soit l’équation x2 − 6x − 27 = 0. Le discriminant est ∆ = (−6)2 − 4 × (−27)√= 36 +
−(−6) − 144
108 = 144, donc ∆ > 0, alors l’équation admet deux solutions distinctes x1 =
=
2
√
6 − 12
6 + 144
6 + 12
= −3 et x2 =
=
= 9;
2
2
2
• Soit l’équation 3x2 + 12x + 12 = 0. Le discriminant est ∆ = 122 − 4 × 3 × 12 = 144 − 144 = 0,
12
= −2 ;
donc ∆ = 0, alors l’équation admet une solution unique x0 = −
2×3
• Soit l’équation −5x2 +4x−1 = 0. Le discriminant est ∆ = 42 −4×(−5)×(−1) = 16−20 = −4,
donc ∆ < 0, alors l’équation n’admet pas de solution.
Remarque : Les solutions de l’équation ax2 + bx+ c = 0, lorsqu’elles existent, sont aussi appelées
racines du polynôme ax2 + bx + c.
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2. Polynôme du second degré
prog 2012
2.3 Factorisation du polynôme du second degré ax2 + bx + c
Théorème : Soit le polynôme ax2 + bx + c, avec a 6= 0, de discriminant ∆ :
• Si ∆ > 0, alors ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), où x1 et x2 sont les racines du
polynôme ax2 +bx+c (c’est-à-dire les solutions distinctes de l’équations ax2 +bx+c =
0) ;
• Si ∆ = 0, alors ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 , où x0 est la racine double du polynôme
ax2 + bx + c (c’est-à-dire la solution de l’équations ax2 + bx + c = 0) ;
• Si ∆ < 0, alors ax2 + bx + c ne peut pas être factorisé en produit de facteurs du
premier degré.
b
2a
2
ï
ò
b 2
∆
∆
=a x+
− 2 , donc :
4a
2a
4a
√ ãÅ
√ ã
Å
−b − ∆
−b + ∆
• Si ∆ > 0, alors ax2 + bx + c = a x −
x−
= a(x − x1 )(x − x2 ) ;
2a
2a
Preuve : D’après ce qui précède : ax2 + bx + c = a x +
−
b 2
= a (x − x0 )2 ;
2a
• Si ∆ < 0, raisonnons par l’absurde : supposons que l’on puisse factoriser le polynôme ax2 + bx + c =
(αx+β)(γx+δ), avec α 6= 0 et γ 6= 0, alors l’équation ax2 +bx+c = 0 est équivalente à (αx+β)(γx+δ) = 0
β
δ
et admet donc deux solutions réelles x1 = − et x2 = − , ce qui est contradictoire avec le théorème
α
γ
précédent et prouve que le polynôme ax2 + bx + c n’est pas factorisable.
• Si ∆ = 0, alors ax2 + bx + c = a x +
ce qui prouve le théorème. Exemples : • Le discriminant du polynôme x2 − 6x − 27 est ∆ = 144 et ses racines sont x1 = −3
et x2 = 9, donc x2 − 6x − 27 = (x + 3)(x − 9) ;
• Le discriminant du polynôme 3x2 + 12x + 12 est ∆ = 0 et sa racine est x0 = −2, donc
3x2 + 12x + 12 = 3(x + 2)2 ;
• Le discriminant du polynôme −5x2 + 4x − 1 est ∆ = −4, donc le polynôme n’est pas factorisable.
2.4 Signe du trinôme ax2 + bx + c = 0
Étudier le signe d’un polynôme du second degré ax2 + bx + c revient à étudier le signe de la
fonction f (x) = ax2 + bx + c. Pour cela il faut factoriser le polynôme, si possible, et étudier le
signe du produit.
Théorème : Soit le polynôme ax2 + bx + c, avec a 6= 0, de discriminant ∆ :
• Si ∆ > 0, alors ax2 + bx + c est :
— du signe opposé à celui de a si x est compris entre les racines x1 et x2 du polynôme ;
— du signe de a si x est à l’extérieur de l’intervalle formé par les racines x1 et x2 ;
— et nul pour x = x1 ou x = x2 .
• Si ∆ = 0, alors ax2 + bx + c est :
— du signe de a si x est différent de la racine double x0 ;
— et nul pour x = x0 .
• Si ∆ < 0, alors ax2 + bx + c est toujours du signe de a et non nul.
Preuve : D’après ce qui précède : ax2 + bx + c = a
math4bac
ï
x+
b
2a
–7–
2
−
ò
∆
, donc :
4a2
v1.618
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2. Polynôme du second degré
prog 2012
ï
ò
b 2
b 2
∆
∆
• Si ∆ < 0, alors x +
− 2 étant toujours strictement positif le produit a x +
− 2 ,
2a
4a
2a
4a
c’est-à-dire ax2 + bx + c est du signe de a et non nul ;
b 2
• Si ∆ = 0, alors ax2 + bx + c = a x +
= a (x − x0 )2 et (x − x0 )2 étant positif ou nul, le produit
2a
a(x − x0 )2 est du signe de a ou nul pour x = x0 ;
√ ã
√ ãÅ
Å
−b + ∆
−b − ∆
x−
= a(x − x1 )(x − x2 ),
• Si ∆ > 0, alors ax2 + bx + c = a x −
2a
2a
or le signe de (x − x1 )(x − x2 ) est donné par le tableau de signe suivant (on suppose x1 < x2 ) :
x
(x − x1 )
(x − x2 )
(x − x1 )(x − x2 )
−∞
−
−
+
x1
0
0
x2
+
−
−
0
0
+∞
+
+
+
ce qui permet de montrer que le signe du produit a(x − x1 )(x − x2 ), donc de ax2 + bx + c, est du signe
de a lorsque x n’appartient pas à l’intervalle formé par les racines x1 et x2 , nul pour x = x1 ou x = x2
et du signe opposé à celui de a lorsque x se trouve entre les racines x1 et x2 .
ce qui prouve le théorème. Exemples : • Le polynôme x2 − 6x − 27 est négatif pour toute valeur de x comprise dans
l’intervalle formé par ses racines : x ∈ [−3 ; 9], nul aux bornes c’est-à-dire pour x = −3 ou
x = 9, et positif à l’extérieur de cet intervalle comme le montre le tableau de signe suivant :
x
−∞ −3
9 +∞
x2 − 6x − 27 +
0 − 0 +
(x + 3)
−
0 +
+
(x − 9)
−
− 0 +
• Le polynôme 3x2 + 12x + 12 est strictement positif si x 6= − 2 et nul pour x = −2.
• Le polynôme −5x2 + 4x − 1 est toujours strictement négatif.
Application du signe du trinôme à la résolution d’inéquations
La connaissance du signe du trinôme ax2 + bx + c permet de résoudre des inéquations telles que
ax2 + bx + c > 0 ou ax2 + bx + c < 0.
Exemples : • On veut résoudre l’inéquation x2 − 6x − 27 6 0 ; l’étude du signe du trinôme
montre que l’inéquation est vérifiée lorsque x appartient à l’intervalle formé par les racines du
trinôme, donc pour x ∈ [−3 ; 9].
• Pour l’inéquation x2 − 27 > 6x, après avoir écrit l’inégalité pour obtenir une inégalité dont
un membre est égal à 0, on obtient x2 − 6x − 27 > 0, dont les solutions sont les réels x ∈
] − ∞ ; −3[∪]9 ; +∞[.
• Les solutions de l’inéquation 3x2 + 12x + 12 > 0 sont les réels x ∈] − ∞; −2[∪] − 2; +∞[ (que
l’on peut encore écrire R − {−2}).
• L’inéquation 5x2 − 4x + 1 6 0 n’a pas de solution, puisque l’étude du signe du trinôme montre
que pour tout réel x, 5x2 − 4x + 1 > 0.
2.5 Représentation graphique de la fonction f (x) = ax2 + bx + c
Si f est la fonction définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c, alors f (x) peut s’écrire sous la forme
∆
b
et β = − , où ∆ = b2 − 4ac.
canonique f (x) = a(x − α)2 + β, avec α = −
2a
4a
On vérifie que β = f (α), ce qui signifie que le point de coordonnées (α; β) appartient
à la courbe
Å
ã
b
∆
représentative Cf . C’est le sommet de la parabole et ses coordonnées sont donc − ; −
.
2a
4a
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v1.618
Maths 1stmg
2. Polynôme du second degré
prog 2012
Ce point correspond à l’extrémum de la fonction (minimum lorsque a > 0 ou maximum lorsque
a < 0).
De plus la courbe Cf possède un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées d’équation
b
x=α=− .
2a
En fonction de ∆ et du signe de a, on obtient une courbe semblable à l’une des paraboles suivantes :
∆>0
∆=0
y
∆<0
y
x1
y
β
x2
x
x0
x
x
β
x=α
a>0
y
x=α
y
x=α
x=α
y
x=α
x=α
β
x0
x1
x2
x
x
x
β
a<0
f (x) =
a(x − x1 )(x − x2 )
a(x − x0 )2
(pas de forme factorisée)
Note : La dernière ligne du tableau donne la forme factorisée du polynôme de degré 2 lorsqu’elle
existe.
Exemples : Parabole orientée vers le haut : a > 0 :
• x2 − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5) : ∆ = 16, α = 3, x1 = 1 et x2 = 5 ;
• x2 − 6x + 9 = (x − 3)2 : ∆ = 0, α = 3, x0 = 3 ;
• x2 − 6x + 13 = (x − 3)2 + 4 : ∆ = −16, α = 3.
Parabole orientée vers le bas : a < 0 :
• −x2 + 6x − 5 = (1 − x)(x − 5) : ∆ = 16, α = 3, x1 = 1 et x2 = 5 ;
• −x2 + 6x − 9 = −(x − 3)2 : ∆ = 0, α = 3, x0 = 3 ;
• −x2 + 6x − 13 = −(x − 3)2 − 4 = − (x − 3)2 + 4 : ∆ = −16, α = 3.
Remarque : Ne pas oublier que dans certains cas une factorisation peut être faite sans calculer
le discriminant et les racines. De même équation peut être résolue directement sans calculer le
discriminant :
• (x − 4)2 − 9 = (x − 4)2 − 32 = (x − 4 − 3)(x − 4 + 3) = (x − 7)(x −
√ 1) ;
√
…
7
7
7
7
2
2
=
et x2 = −
;
• 4x = 7 est équivalente à x = , d’où les solutions : x1 =
4
4
2
2
• (2x − 3)2 = 25 est équivalente à : 2x − 3 = 5 ou 2x − 3 = −5, d’où les solutions :
5+3
x1 =
= 4 et x2 = −1.
2
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3 Fonction dérivée
3.1 Fonction dérivée de la fonction polynôme du second degré
Définition : On appelle fonction dérivée de la fonction polynôme du second degré définie sur
R par : f (x) = ax2 + bx + c, la fonction notée f ′ (x) et définie sur R par : f ′ (x) = 2ax + b.
Remarque : La fonction dérivée d’une fonction polynôme du second degré est une fonction affine.
Exemples : • Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = 3x2 − 30x − 5, alors la fonction dérivée
de f est la fonction f ′ définie par : f ′ (x) = 2 × 3x − 30 = 6x − 30.
• Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = 3(x − 5)2 − 75 ; pour calculer g′ la fonction dérivée
de g il faut développer l’expression g(x) :
g(x) = 3(x − 5)2 − 75 = 3(x2 − 10x + 25) − 75 = 3x2 − 30x + 75 − 75 = 3x2 − 30x
par suite sa fonction dérivée g′ a pour expression : g′ (x) = 6x − 30.
Remarque : Deux fonctions polynômes du second degré admettent des fonctions dérivées identiques lorsque leurs coefficients respectifs de degré un et deux sont identiques : f (x) = ax2 +bx+c
et g(x) = ax2 + bx + d, possèdent la même fonction dérivée : f ′ (x) = 2ax + b = g′ (x).
3.2 Tangente à la courbe en un point
Définition : Soit f la fonction de courbe représentative Cf et de fonction dérivée f ′ . On appelle
tangente en A(a ; f (a)) à la courbe Cf , la droite
qui passe par A et qui a pour coefficient directeur
le nombre dérivé f ′ (a).
y
Cf
f (a)
Théorème : Si f a pour fonction dérivée f ′ , alors
une équation de la tangente à Cf en A(a ; f (a))
est :
y = f ′ (a) × (x − a) + f (a)
A
a
x
Preuve : Le nombre dérivé en A, f ′ (a), est la pente de la tangente au point d’abscisse a, alors si un point
y − f (a)
M (x ; y) appartient à cette tangente on peut écrire :
= f ′ (a), d’où : y − f (a) = f ′ (a) × (x − a), puis
x−a
y = f ′ (a) × (x − a) + f (a), ce qui représente bien l’équation de la droite issue de A de coefficient directeur f ′ (a),
c’est-à-dire la tangente à Cf en A. Exemples : • Pour la fonction f (x) = 3x2 − 30x − 5 :
— au point d’abscisse a = 6 on a f (6) = −77 et f ′ (x) = 6x − 30, donc f ′ (6) = 6 et par suite
l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse a = 6 est : y = 6(x − 6) − 77 =
6x − 113 ;
10
Maths 1stmg
3. Fonction dérivée
prog 2012
— au point d’abscisse a = 5, f (5) = −80 et f ′ (5) = 0, d’où l’équation de la tangente à la
courbe au point d’abscisse a = 5 : y = −80 ;
— au point d’abscisse a = 4, f (4) = −77 et f ′ (4) = −6, d’où l’équation de la tangente pour
a = 4 : y = −6(x − 4) − 77 = −6x − 53.
Remarque : Si le coefficient directeur f ′ (a) de la tangente en A est positif, alors la tangente
« monte » ; on en déduit que la fonction est croissante au point d’abscisse a.
Au contraire, si le coefficient directeur f ′ (a) de la tangente en A est négatif, alors la tangente
« descend » ; on en déduit que la fonction est décroissante au point d’abscisse a.
D’après l’exemple précédent la fonction f est croissante au point d’abscisse a = 6 et décroissante
au point d’abscisse a = 4, mais elle n’est ni croissante, ni décroissante au point d’abscisse a = 5.
3.3 Signe de la dérivée et variations de la fonction
Théorème (admis) : Si une fonction f a pour dérivée la fonction f ′ sur l’intervalle I, alors
f est croissante (respectivement décroissante) sur I, si, et seulement si, pour tout x ∈ I,
f ′ (x) > 0 (respectivement f ′ (x) 6 0).
Remarque : Ce théorème indique que le signe de la dérivée donne les variations de la fonction.
Attention, ne pas confondre signe de la dérivée et signe de la fonction.
Exemple : f (x) = 3x2 − 30x − 5, f ′ (x) = 6x − 30 :
(f ′ (x) > 0) ⇐⇒ (6x − 30 > 0) ⇐⇒ (x > 5), d’où le tableau de signe de la dérivée de f ′ , puis
les variations de f :
x
−∞
5
+∞
f ′ (x)
−
0
+
f (x)
−80
b
Remarque : On retrouve le résultat du cours sur les polynômes du second degré puisque −
=
2a
−30
= 5, alors comme 3 > 0 la fonction admet un minimum en x = 5 : elle est donc bien
−
6
décroissante sur l’intervalle ] − ∞ ; 5], puis croissante sur l’intervalle [5 ; +∞[.
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v1.618
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3. Fonction dérivée
prog 2012
3.4 Fonction dérivée de la fonction polynôme de degré trois
Définition : On appelle fonction dérivée de la fonction polynôme de degré trois définie
sur R par : f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, la fonction notée f ′ (x) et définie sur R par :
f ′ (x) = 3ax2 + 2bx + c.
Remarque : La fonction dérivée d’une fonction polynôme de degré trois est une fonction polynôme du second degré.
Exemple : La fonction dérivée de la fonction polynôme de degré trois : f (x) = 4x3 −12x2 −36x+7
est la fonction polynôme du second degré :
f ′ (x) = 3 × 4x2 − 2 × 12x − 36 = 12x2 − 24x − 36
Variations de la fonction polynôme de degré trois
Théorème (rappel) : Si une fonction f a pour dérivée la fonction f ′ sur l’intervalle I, alors
f est croissante (respectivement décroissante) sur I, si, et seulement si, pour tout x ∈ I,
f ′ (x) > 0 (respectivement f ′ (x) 6 0).
Exemple : f (x) = 4x3 − 12x2 − 36x + 7, f ′ (x) = 12x2 − 24x − 36.
Étudier les variations de la fonction polynôme de degré trois revient à étudier le signe de sa
dérivée qui est une fonction polynôme du second degré.
D’après le cours sur les polynômes du second degré son discriminant est :
∆ = b2 − 4ac = (−24)2 − 4 × 12 × (−36) = 2304 = 482 ,
et les racines sont :
24 + 48
24 − 48
= −1 et x2 =
= 3,
2 × 12
2 × 12
ce qui permet d’établir le tableau de signe de la fonction dérivée sur R, puis les variations de la
fonction polynôme de degré trois :
x1 =
x
f ′ (x)
f (x)
−∞
+
−1
0
27
−
3
0
+∞
+
−101
f (−1) = 4×(−1)3 −12×(−1)2 −36×(−1)+7 = 27 et f (3) = 4×33 −12×32 −36×3+7 = −101.
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v1.618
4 Suites numériques
4.1 Généralités
Définition : Une suite u de nombres réels est une fonction dont la variable est un entier
naturel. L’image par la suite u d’un entier naturel n est notée un (lire « u indice n ») ; un
est le terme général de la suite.
Exemples : • La suite u définie par un = n2 (fonction carré) ;
• La suite définie par u0 = 0 et un+1 = un + 2n + 1 pour n > 0 ;
• La suite u définie par l’algorithme suivant :
1. Choisir un nombre u0 de quatre chiffres, non tous égaux,
2. écrire le nombre formé des mêmes chiffres ordonnés dans l’ordre décroissant et lui soustraire le nombre formé des mêmes chiffres ordonnés dans l’ordre croissant ;
3. Recommencer l’étape précédente avec la différence obtenue.
• La suite u formée par les décimales du nombre π (u0 = 3 ; u1 = 1 ; u2 = 4 ; . . . ).
Exercice : Calculer les 15 premières termes de chacune des quatre suites définies ci-dessus (faire
une recherche sur internet pour la dernière) :
• u0 = 0, u1 = 1, u2 = 4, u3 = 9, u4 = 16, . . . , u13 = 169, u14 = 196, . . .
• u0 = 0, u1 = u0 +2×0+1 = 0+0+1 = 1, u2 = 1+2+1 = 4, u3 = 4+4+1, u4 = 9+6+1 = 16,
u5 = 16 + 8 + 1 = 25, u6 = 25 + 10 + 1 = 36, u7 = . . . = 49, u8 = 64, u9 = 81, u10 = 100,
u11 = 121, u12 = 144, u13 = 169, u14 = 196, u15 = 225, . . .
• u0 = 2016, u1 = 6210 − 126 = 6084, u2 = 8640 − 468 = 8172, u3 = 8721 − 1278 = 7443,
u4 = 7443−3447 = 3996, u5 = 9963−3699 = 6264, u6 = 6642−2466 = 4176, u7 = 7641−1467 =
6174, u8 = 7641 − 1467 = 6174, . . . , u14 = 6174, . . .
• u0 = 3, u1 = 1, u2 = 4, u3 = 1, u4 = 5, u5 = 9, u6 = 2, u7 = 6, u8 = 5, u9 = 3, u10 = 5,
u11 = 8, u12 = 9, u13 = 7, u14 = 9, . . . (π ≈ 3,141592653589793238 . . .).
4.2 Sens de variation d’une suite numérique
Définition : La suite u est :
• croissante (resp. strictement croissante) si pour tout n, un+1 > un (resp. un+1 > un ) ;
• décroissante (resp. strictement décroissante) si pour tout n, un+1 6 un (resp. un+1 <
un ) ;
• constante ou stationnaire si pour tout n, un+1 = un ;
• (strictement) monotone si elle est soit (strictement) croissante, soit (strictement)
décroissante.
Exemples : Pour les quatre suites définies ci-dessus, les deux premières sont strictement croissantes. Les deux dernières ne sont ni croissante, ni décroissante, puisque, par exemple, pour ces
deux suites u2 > u1 et u3 < u2 . Il est cependant intéressant de noter que la troisième suite est
stionnaire à partir du rang n = 7, puisque pour tout n > 7, un = 6174.
13
Maths 1stmg
4. Suites numériques
prog 2012
Représentation graphique d’une suite : une suite numérique est représentée par des points isolés
(et non une courbe, c’est-à-dire une suite continue de points) ; les abscisses de ces points sont
des entiers naturels.
Exemple : u est la suite définie par u0 = u1 = 1 et un+2 =
un+1 + un pour n > 0.
Les premiers termes sont :
u2 = 1 + 1 = 2, u3 = 1 + 2 = 3, u4 = 2 + 3 = 5, u5 =
3 + 5 = 8, u6 = 5 + 8 = 13, u7 = 8 + 13 = 21, u8 =
13 + 21 = 34, u9 = 21 + 34 = 55, u10 = 34 + 55 = 89,
...
y
Remarque : Cette suite s’appelle la suite de Fibonacci. Leonardo Pisano,
dit Fibonacci, était un mathématicien italien du XIIIe . Cette suite inter-
0
1
2
3
4
x
5
vient dans de nombreux domaines des sciences, notamment dans √
les sciences du vivant. Elle est liée à un nombre
1+ 5
réel appelé « nombre d’or » ou « divine proportion » : Φ =
≈ 1,618.
2
4.3 Suites arithmétiques
Définition : Une suite u est dite arithmétique lorsqu’elle est définie par son premier terme
u0 et que chaque terme est calculé en ajoutant au précédent une constante r, appelée raison
de la suite arithmétique :
®
u0 = a
un+1 = un + r, pour n > 0
Exemple : • u définie par u0 = −2 et un+1 = un + 5 est la suite arithmétique de premier terme
−2 et de raison 5 ; ses premiers termes sont : −2 ; 3 ; 8 ; 13 ;
• La suite arithmétique de premier terme 20 et de raison −3 a pour premiers termes : 20 ; 17 ;
14 ; 11 ; 8 ; 5 ; 2 ; −1 ; −4 ; . . .
• La suite des multiples de 3 est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 3.
Propriété : Pour une suite arithmétique u la variation absolue (un+1 − un ) est constante.
On dit que son évolution est linéaire.
Preuve : Par définition d’une suite arithmétique un+1 = un + r, d’où un+1 − un = r. Propriété : Pour une suite arithmétique u de raison r (et premier terme u0 quelconque) :
• si r > 0, alors la suite u est strictement croissante ;
• si r < 0, alors la suite u est strictement décroissante ;
• si r = 0, alors la suite u est constante.
Preuve : Si la suite u est arithmétique de premier terme u0 et de raison r, alors pour tout entier n ∈ N
un+1 = un + r, donc un+1 − un = r et par suite :
• si r > 0, un+1 − un > 0 donc pour tout entier n ∈ N, un+1 > un ce qui prouve que la suite u est
strictement croissante ;
• si r < 0, un+1 − un < 0 donc pour tout entier n ∈ N, un+1 < un ce qui prouve que la suite u est
strictement décroissante ;
• si r = 0, un+1 − un = 0 donc pour tout entier n ∈ N, un+1 = un ce qui prouve que la suite u est
constante. math4bac
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v1.618
Maths 1stmg
4. Suites numériques
prog 2012
4.4 Suites géométriques
Définition : Une suite u est dite géométrique lorsqu’elle est définie par son premier terme
u0 et que chaque terme est calculé en multipliant le précédent par une constante q appelée
raison de la suite :
®
u0 = a
un+1 = un × q, pour n > 0
Exemple : • La suite u définie par u0 = 1 et un+1 = 2un est la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison 2 ; ses premiers termes sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . .
2
20 40
• La suite géométrique de premier terme 10 et de raison a pour premiers termes : 10,
,
,
3
3 9
80 160
,
, ...
27 81
• La suite des puissances croissantes de 10 est une suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 10 : un = 10n (u0 = 1).
Propriété : Si u est une suite géométrique ne s’annulant pas, alors la variation relative entre
un+1 − un
= constante.
deux termes consécutifs est constante :
un
On dit que son évolution est exponentielle.
un (q − 1)
un+1 − un
q × un − un
=
=
= q − 1,
un
un
un
cette variation relative est bien constante car elle ne dépend pas de n, mais uniquement de la raison q. Preuve : On sait que un+1 = q × un , alors
Propriété : Si u est une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q strictement
positifs :
• si q > 1, la suite u est strictement croissante ;
• si q < 1, la suite u est strictement décroissante ;
• si q = 1, la suite u est constante.
un+1 − un
= q − 1, donc, un
Preuve : On a montré que la variation relative entre deux termes consécutifs est :
un
un+1 − un
étant toujours positif, le quotient
est du signe de (un+1 − un ), et :
un
un+1 − un
• si q > 1,
> 0, alors un+1 > un ce qui prouve que u est strictement croissante ;
un
un+1 − un
• si q < 1,
< 0, alors un+1 < un ce qui prouve que u est strictement décroissante ;
un
un+1 − un
• si q = 1,
= 0, alors un+1 = un ce qui prouve que u est constante. un
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– 15 –
v1.618
5 Statistiques
5.1 Médiane et quartiles
Définition : Pour une série statistique on définit les caractéristiques de dispersion suivantes :
• La médiane M de la série statistique est une valeur pour laquelle l’effectif des valeurs
inférieures est égal à l’effectif des valeurs supérieures ;
• Le premier quartile Q1 est la plus petite valeur de la série pour laquelle 25 % des
effectifs sont inférieurs à cette valeur ;
• Le troisième quartile Q3 est la plus petite valeur de la série pour laquelle 75 % des
effectifs sont inférieurs à cette valeur ;
• L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1 ; Q3 ] ;
• L’écart interquartile est la différence Q3 − Q1 .
Propriété : L’intervalle interquartile contient environ 50 % des effectifs de la série.
Diagrammes en boîte :
À partir des valeurs extrêmes, minimum est maximum, du premier quartile Q1 , de la médiane
M et du troisième quartile Q3 de la série on obtient une répartition des valeurs de la série en
quatre parties contenant chacune environ un quart des effectifs de la série.
Définition : Le diagramme en boîte est un diagramme construit avec la valeur minimale, le
premier quartile Q1 , la médiane M , le troisième quartile Q3 et la valeur maximale de la
série.
La boîte est un rectangle délimité par les quartiles et partagé par la médiane.
Les moustaches sont les segments reliant les quartiles aux valeurs extrêmes.
min
Q1
M
Q3
max
Le couple de valeurs médiane et écart interquartile est utile pour comparer un même caractère
dans des séries d’effectifs différents.
La médiane et les quartiles sont déterminés uniquement par le nombre de valeurs et non par
leur grandeur : ils ne sont donc pas sensibles aux valeurs extrêmes.
5.2 Moyenne et écart-type
Définition (rappel) : La moyenne d’une série de valeurs est le quotient de la somme de ces
valeurs par l’effectif total des valeurs de la série.
On note x la moyenne de la série des p valeurs xi , chaque valeurs ayant un effectif ni , alors :
x=
n1 x1 + n2 x2 + . . . + np xp
n1 x1 + n2 x2 + . . . + np xp
=
, où N = n1 + n2 + . . . + np
n1 + n2 + . . . + np
N
16
Maths 1stmg
5. Statistiques
prog 2012
Remarque : La moyenne permet de résumer une série statistique à l’aide d’un seul nombre. Elle
ne donne cependant aucune information sur la dispersion des valeurs, c’est-à-dire la façon dont
ces valeurs sont réparties autour de la moyenne. De plus la moyenne est sensible aux valeurs
extrêmes.
Définition : • La variance de la série statistique, notée V , est définie par :
V =
i=p
ä
1 Ä
1 X
ni (xi − x)2
n1 (x1 − x)2 + n2 (x2 − x)2 + . . . + np (xp − x)2 =
N
N i=1
• L’écart-type de la série statistique, notée σ, est défini par : σ =
√
V.
Remarque : La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L’écart-type est
« l’écart moyen ». Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées et moins la moyenne est
représentative de la série.
Exemples : Utiliser la calculatrice (ou un tableur) pour calculer la moyenne et l’écart-type de
la série suivante :
Note
Effectif
1
2
2
1
3
1
4
4
5
7
6
5
7
8
8
12
9
15
10
18
11
25
12
27
13
24
14
22
15
12
16
17
17
5
18
4
19
2
20
1
2 441
On obtient : x =
≈ 11,51 et σ ≈ 3,568.
212
Cela signifie que la note moyenne est de 11,5 et que la dispersion, c’est-à-dire l’écart moyen par
rapport à cette moyenne, est de 3,6.
À titre de comparaison, pour cette série on obtient le diagramme en boîte suivant :
1
9
12
14
20
La moyenne et l’écart-type prennent en compte toutes les valeurs de la série et sont, de ce fait,
influencés par les valeurs extrêmes.
Le couple moyenne et écart-type est utile pour comparer un même caractère dans des séries
d’effectifs différents.
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– 17 –
v1.618
6 Probabilités : loi binomiale
6.1 Loi de probabilité
Définition (rappel) : Une expérience est dite aléatoire si on connait toutes les issues possibles
A1 , A2 , . . . , An , et que l’on ne sait pas quelle issue va se produire.
Exemples : • Lorsqu’on lance un dé cubique à six faces il y a six issues possibles : 1, 2, 3, 4, 5
et 6.
• Pour une pièce de monnaie il y en a deux : Pile et Face.
Définition (rappel) : Une expérience aléatoire est munie d’une loi de probabilité, lorsqu’à
chaque issue Ak est associée un nombre noté p(Ak ), appelé probabilité de Ak , tel que :
pour tout k, 0 6 k 6 n, 0 6 p(Ak ) 6 1 et p(A1 ) + p(A2 ) + . . . + p(An ) = 1
Exemples : • Pour le dé les événements sont équiprobables, donc : p(1) = p(2) = p(3) = p(4) =
1
P (5) = P (6) = .
6
1
• De même pour la pièce de monnaie : p(P ) = p(F ) = .
2
• Pour une punaise, si P est l’événement « la punaise retombe la pointe vers le haut », on peut
écrire : p(P ) + p(P ) = 1, mais p(P ) et p(P ) ne sont a priori pas égaux (ces probabilités doivent
être déterminées statistiquement pour chaque type de punaise).
6.2 Expérience de Bernoulli
On rencontre souvent des expériences aléatoires à deux issues, dites binaires (comme la pièce
de monnaie ou la punaise, ou encore « obtenir un multiple de 3 » en lançant un dé cubique
à six faces). On parle de succès si l’événement attendu est réalisé ou d’échec dans le cas contraire.
Définition : Une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une S appelée succès
de probabilité p, l’autre S appelée échec de probabilité (1 − p), s’appelle une expérience de
Bernoulli de paramètre p.
Définition : Deux expériences aléatoires sont dites indépendantes si le résultat de l’une
n’influe pas le résultat de l’autre.
Exemples : • Si on appelle succès l’événement « Pile » lorsqu’on lance une pièce de monnaie, il
s’agit d’une expérience de Bernoulli de paramètre 12 . En répétant cette expérience on obtient
une suite d’expériences aléatoire indépendantes, car le résultat d’un lancer n’a aucune incidence
sur les autres lancers.
• Si on considère une urne contenant une proportion p de boules blanches, le reste étant constitué
de boules noires, et que l’on appelle succès le fait de tirer une boule blanche, il s’agit d’une
18
Maths 1stmg
6. Probabilités : loi binomiale
prog 2012
expérience de Bernoulli de paramètre p.
Lorsque l’on répète l’expérience après avoir remis la boule tirée, on réalise une série d’expériences
indépendantes.
Si au contraire on ne remet pas la boule tirée, il y a une incidence du premier tirage sur les
suivants : dans ce cas les expériences successives ne sont pas indépendantes.
Dans le cas où l’urne comporte 3 boules blanches et 2 noires on peut représenter les deux tirages
successifs avec ou sans remise par les deux arbres suivants :
avec remise
sans remise
3/5
2/4
B
B
3/5
3/5
N
2/5
3/5
2/5
B
2/4
et
B
2/5
N
N
3/4
B
1/4
N
N
N
2/5
B
6.3 Loi binomiale
Définition : • L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante
une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n
et p.
• La variable entière X égale au nombre de succès obtenus au cours de ces n épreuves
s’appelle la variable aléatoire associée au schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
• La loi de probabilité associée à la variable aléatoire X s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).
Exemples : • Dans l’urne précédente contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère
le tirage d’une boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience
en réintroduisant dans l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire X qui compte
le nombre de succès, c’est-à-dire
de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de
Å le nombre
ã
3
3
paramètres n = 6 et p = : B 6 ; .
5
5
• La variable aléatoire X qui compte le nombre de « pile » Å
obtenusã lors de 20 lancers successifs
1
d’une pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale B 20 ; .
2
Cas simples : n = 2 ou n = 3
Pour n = 2 ou n = 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de
paramètres n et p :
p
p
S
P (X = 2) = P ({SS}) = p2
S
P (X = 1) = P ({SS,SS}) = 2pq
S
P (X = 0) = P ({S S}) = q 2
S
q
p
q
S
q
S
On constate que : P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p2 + 2pq + q 2 = (p + q)2 = 1
math4bac
– 19 –
v1.618
Maths 1stmg
6. Probabilités : loi binomiale
p
p
S
S
q
p
q
S
S
S
q
S
prog 2012
p
S
q
p
S
S
P (X = 3) = P ({SSS}) = p3
q
p
S
S
P (X = 2) = P ({SSS,SSS,SSS}) = 3p2 q
q
p
S
S
q
S
P (X = 1) = P ({SS S,SSS,S SS}) = 3pq 2
P (X = 0) = P ({S S S}) = q 3
On peut vérifier que :
P (X = 3) + P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p3 + 3p2 q + 3pq 2 + q 3 = (p + q)3 = 1.
Lorsque n est supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir
k succès sur n expériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues
composées de k succès et n − k échecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces
issues a la même probabilité pk q n−k . Pour cela on utilise la calculatrice.
Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire
X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale :
P (X = 0) ≈ 0,0041,
P (X = 1) ≈ 0,0369,
P (X = 2) ≈ 0,1382,
P (X = 3) ≈ 0,2765,
P (X = 4) ≈ 0,3110,
P (X = 5) ≈ 0,1866,
P (X = 6) ≈ 0,0467,
P (X 6 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) ≈ 0,4557,
P (X > 4) = 1 − P (X < 4) = 1 − P (X 6 3) ≈ 0,5443.
Théorème (admis) : Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p,
B(n ; p), alors son espérance mathématique est E(X) = np.
Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance mathématique est
3
6 × = 3,6.
5
• Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance mathématique du nombre de « pile » (ou
1
« face ») est de E(X) = 20 × = 10.
2
math4bac
– 20 –
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7 Échantillonnage
7.1 Fluctuation d’une fréquence
Propriété (rappel) :
Si p est la proportion d’un caractère dans une population, alors pour un ñ
échantillon de tailleô
1
1
n, la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à l’intervalle p − √ ; p + √
n
n
avec une probabilité d’au moins 95 %.
Remarque : Cette propriété est valable si la proportion p est comprise entre 0,2 et 0,8, et que
n > 25.
Si on assimile la construction de l’échantillon de taille n à un tirage avec remise, alors la variable aléatoire X égale au nombre de caractère trouvés parmi les n, suit une loi binomiale de
paramètres n et p : B(n ; p).
On veut déterminer un intervalle [a ; b] tel que la probabilité que X soit compris entre a et b
soit au moins égale à 95 %.
Pour cela on détermine a tel que P (X 6 a) 6 0,025 et b tel que P (X > b) 6 0,025, c’est-à-dire
P (X 6 b) > 0,975.
Propriété : L’intervalle de fluctuation au coefficient de 95 % de la fréquence correspondant
à la réalisation,
ò échantillon de taille n, d’une variable aléatoire X suivant une loi
ï sur un
a b
; , où a est le plus petit entier tel que P (X 6 a) > 0,025 et b est le plus
binomiale, est
n n
petit entier tel que P (X 6 b) > 0,975.
En pratique il faut construire une table de P (X 6 k) pour 0 6 k 6 n pour déterminer a et b :
— a étant le plus petit entier tel que P (X 6 a) > 0,025,
— b étant le plus petit entier tel que P (X 6 b) > 0,975.
Exemple : Pour des lancers d’une pièce de monnaie équilibrée p = 0,5. La variable aléatoire
X comptant le nombre de « pile » obtenus lors de n lancers successifs suit une loi binomiale
B(n; 0,5).
• Si n = 100, P (X 6 40) = 0,028 et P (X 6 39) = 0,017, donc le plus entier a tel que
P (X 6 a) > 0,025 est a = 40 ;
de plus P (X 6 60) = 0,9823 et P (X 6 59) = 0,9715, donc le plus entier b tel que
P (X 6 b) > 0,975 est b = 60 ;
ïpar suite òl’intervalle de fluctuation de la fréquence, avec une fiabilité de 95 %, est
40 60
;
, soit [0,40 ; 0,60].
100 100
• Si n = 1 000, P (X 6 469) = 0,0268 et P (X 6 468) = 0,0231, donc le plus entier a tel
que P (X 6 a) > 0,025 est a = 469 ;
de plus P (X 6 531) = 0,9769 et P (X 6 530) = 0,9732, donc le plus entier b tel que
P (X 6 b) > 0,975 est b = 531 ;
par suite l’intervalle de fluctuation de la fréquence, avec une fiabilité de 95 %, est
21
Maths 1stmg
ï
7. Échantillonnage
prog 2012
469
531
;
, soit [0,469 ; 0,531].
1 000 1 000
ò
L’intervalle de fluctuation à 95 % contient au moins 95 % des fréquences observées dans les
échantillons de taille n. Il y a donc un risque qu’environ 5 % des fréquences observées ne se
trouvent pas dans cet intervalle.
Pour déterminer un intervalle de fluctuation plus fiable, par exemple 99 %, soit un risque de
1 %, on peut choisir a et b où :
— a étant le plus petit entier tel que P (X 6 a) > 0,005,
— b étant le plus petit entier tel que P (X 6 b) > 0,995.
7.2 Prise de décision sur un échantillon
La détermination d’un intervalle de fluctuation permet de prendre une décision lorsque l’on fait
une hypothèse sur une proportion dans une population.
Critère de décision : Si la fréquence observée appartient à l’intervalle de fluctuation on accepte
l’hypothèse au seuil de 95 %. Dans le cas contraire on la rejette.
Exemples : 1. Dans un texte en français le pourcentage d’apparition de la lettre « e » est 14,7 %.
Je reçois un courriel composé de 324 lettres contenant 12,5 % de « e ». Peut-on affirmer, avec
un risque d’erreur de 5 % que ce courriel est écrit en français ?
Pour cet échantillon n = 324 et P (X 6 35) = 0,0251 et P (X 6 34) = 0,0166, donc le plus
entier a tel que P (X 6 a) > 0,025 est a = 35 ;
de plus P (X 6 60) = 0,9756 et P (X 6 59) = 0,9658, donc le plus entier b tel que P (X 6 b) >
0,975 est b = 60 ;
ò
ï
35 60
;
,
par suite l’intervalle de fluctuation de la fréquence, avec un risque d’erreur de 5 %, est
324 324
soit [0,108 ; 0,185] ; la fréquence de la lettre « e » étant à l’intérieur de l’intervalle de fluctuation,
on peut considérer, avec une fiabilité de 95 %, que ce courriel est écrit en français.
2. Une coopérative agricole vend les œufs produits par ses adhérents et affirme que seulement
0,9 % des œufs ont un défaut (cassés ou autre).
Un client achète 500 œufs et constate qu’il y a 9 œufs inutilisables, soit 1,8 % des œufs. Au seuil
de 2 %, peut-on dire que la coopérative a menti au client ?
On fait l’hypothèse qu’un échantillon de 500 œufs peut être considéré comme le résultat d’un
tirage avec remise de 500 œufs. La variable aléatoire égale au nombre d’œufs défectueux suit
une loi binomiale B(n = 500 ; p = 0,009). Alors le plus petit entier a tel que P (X 6 a) > 0,01
est a = 0, car P (X 6 0) = 0,0109, et le plus petit entier b tel que P (X 6 b) > 0,99 est b = 10,
car P (X 6 10) = 0,9936 et P (X 6 9) = 0,9834. Par suite le nombre d’œufs défectueux peut
fluctuer entre 0 et 10 avec une fiabilité de 98 %, ce qui s’exprime aussi en disant que la fréquence
d’œufs
défectueux sur un échantillon de 500 œufs appartient à l’intervalle de fluctuation
ò
ï
10
0
;
, soit [0 ; 0,002], ce qui montre que la coopérative n’a pas menti puisque la fréquence
500 500
d’œufs défectueux trouvés par le client appartient à cet intervalle de fluctuation déterminé avec
une fiabilité de 98 %.
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