C - Introduction

1
Préface
Introduction
La géométrie se rapproche souvent de l’art et était considérée par Platon comme un
préalable destiné à développer les capacités d’abstraction de ses élèves pour leur permettre
de s’élever vers une vérité transcendantale. Selon la tradition, la phrase « que nul n’entre ici
s’il n’est géomètre », était gravée à l’entrée de son école à Athènes.
Ce livre vous présente, sous forme de très belles illustrations, les objets géométriques les
plus étonnants, fascinants ou paradoxaux. Il ne peut pas être exhaustif, les publications de
géométrie nécessiteraient des kilomètres de rayonnage. Cette présentation commence avec
les figures les plus simples, le parcours se poursuivant avec une complexité croissante, pour
terminer avec de récentes découvertes. Le choix entre les merveilles existantes est
forcément personnel, mais triangles, pentagones, coniques, pavages, polyèdres, fractals,
ensembles paradoxaux, dimension quatre, toutes ses notions me semblent inévitables. Les
dessins présentés, plus de 200, sont tous originaux et conçus par l’auteur vous faciliteront
grandement la compréhension de notions parfois difficiles à appréhender. Quelques
récentes théories permettent de réinterpréter des miracles de la bible.
Puisse cette présentation vous ouvrir la voie vers l’extraordinaire !
2
Triangles
« Si les triangles faisaient un Dieu, ils lui donneraient trois côtés »
Michel Serres
Théorème de Pythagore
Bien que le triangle soit la plus simple des figures géométriques, il y a des milliers de
théorèmes ou propriétés qui lui sont attachés. Le plus célèbre de tous les théorèmes, celui
de Pythagore, caractérise le triangle rectangle. On en possède des centaines de
démonstrations. En voici une des plus simples.
L’aire du carré jaune est c². Elle s’obtient aussi en enlevant au grand carré d’aire (a+b)² les
quatre triangles rectangles de couleur cyan dont l’aire totale est 2ab. On a donc :
c²=(a+b)²-2ab=a²+b²+2ab-2ab=a²+b². Ce qui s’exprime en français par : dans un triangle
rectangle le carré de l’hypoténuse est égale à la somme des carrés des deux côtés de l’angle
droit. Les élèves apprennent cette règle en classe de quatrième.
Ce théorème a de nombreuses généralisations, et se retrouve dans les espaces très généraux
comme les espaces de Hilbert et en analyse de Fourier.
De grands penseurs ont laissé leur nom au triangle : Pascal, Leibnitz, Maxwell, Sierpinsky.
Triangle de Pascal
Le triangle de Pascal est très connu.
Ligne n\col. p
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3
Chaque nombre s’obtient en ajoutant à celui qui est dans sa colonne à la case au dessus au
nombre situé juste avant ce dernier. Ce qui s’écrit C(n,p)=C(n-1,p)+C(n-1,p-1) (C veut dire
coefficient). Ces coefficients permettent de trouver le développement du binôme de
Newton (a+b)n.
Par exemple la ligne 3 nous donne le développement de (a+b)3=a3+3a²b+3ab²+b3. On écrit
les monômes apbq en commençant par p=3 et q=0 soit a3b0=a3 et on diminue p de 1 et on
augmente q de 1. On obtient a²b, et on poursuit jusqu’a obtenir b3. Devant chaque monôme
obtenu on écrit le coefficient correspondant trouvé à la ligne 3.
Triangle de Sierpinsky obtenu à partir du triangle de Pascal. Quand nous constituons le
triangle de Pascal, n’écrivons que les coefficients impairs. Nous obtenons une version du
triangle de Sierpinsky.
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5005
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6435
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1001
3003
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455
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1
C’est une figure fractale dont nous voyons ici la deuxième itération.
4
Triangle de Maxwell,
Maxwell est un physicien et mathématicien écossais. Il est surtout connu pour ses équations
qui unifient l’électricité et le magnétisme. On lui doit le triangle de Maxwell qui montre
que les couleurs peuvent être définies par leur pourcentage de rouge, vert, bleu. En
informatique on indique la couleur d’un point par ses 3 composantes : par exemple color
rvb <0.2,0.3,0.7> aura 20% de rouge, 30% de vert et 70% de bleu. En géométrie on sait
repérer un point dans un triangle ABC par ses coordonnées barycentriques. Les coordonnées
barycentrique s d’un point M est la donnée d’un triplet de nombres (a,b,c) qui nous fournit
la position de M par rapport aux trois points A,B,C. Par exemple a=1, b=0, c=0 met M en A,
a=b=c=1/3 place M au centre de gravité du triangle.
Si nous affectons à chaque point du triangle ABC de coordonnées barycentriques (a,b,c) l a
couleur rvb(a,b,c) nous obtenons le triangle de Maxwell.
Comme nous pouvons ajouter aux 3 couleurs fondamentales un nombre pour la
transparence(ou la luminosité), on peut faire un dessin avec les quatre composantes dans un
carré.
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Triangles d’or
Il y a deux triangles d’or.
L’un est isocèle avec à la base deux angles de 72° et au sommet un angle de 36°. L’autre est
aussi isocèle, mais ses angles à la base font 36°, son angle au sommet est donc de 180°2*36° soit 108°. Le rapport des côtés inégaux d’un triangle d’or est le nombre d’or :
1 5
2
soit 1,618 environ.
Si on partage un des angles de 72° du triangle d’or de la première sorte par sa bissectrice,
on obtient les triangles d’or des deux types. Ce découpage peut se poursuivre à l’envie. On
peut ainsi tracer une spirale.
Rectangles
« Le carré est un triangle qui a réussi, ou une circonférence qui a mal tourné.» Pierre Dac
Le format d’un rectangle est caractérisé par le rapport entre sa longueur L et sa largeur l. Le
format commercial est racine de 2 soit environ 1,414. Il est tel que si on coupe un tel
rectangle en deux parties égales dans le sens de la longueur, les deux rectangles obtenus
ont encore ce format : L/l=1,414. Ainsi en partant d’une feuille A3 on a deux feuilles de
format A4. Pour ces deux feuilles L/l=1,414. Le rectangle ci-dessous, ABCD, a le format
commercial. Coupé en deux, on a deux rectangles au format commercial. Il a la propriété : !a
grande diagonale AC est perpendiculaire à la petite DE.
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Deux feuilles de format A3 mises côte à côte font une feuille de format A2 …
1 5
soit environ 1,618. Si on découpe un
2
carré à l’intérieur, à partir de sa largeur, le rectangle restant a encore le format égal au
nombre d’or. C’est cette proportion, considérée comme particulièrement harmonieuse, qui
est très utilisée en peinture.
Un rectangle d’or a pour format le nombre d’or
Le rectangle ABCD est d’or. On découpe le carré ABFE. Le rectangle restant CDEF est encore
d’or, donc on peut réitérer le processus précédent. On obtient une suite de carrés emboités
qui permet de tracer une spirale. On l’appelle spirale d’or.
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La quadrature du cercle
« Prenez un cercle, caressez-le, il deviendra vicieux ! «
Eugène Ionesco.
La quadrature du cercle était un des trois grands problèmes de l’antiquité. Les deus autres
étaient : la duplication du cube et la trisection de l’angle. Il s’agissait de tracer, à la règle et
au compas, un carré de même aire qu’un cercle donné. Pour un cercle de rayon un, sa
surface est pi. Il faut donc tracer un carré de coté racine de pi, ce qui est impossible à la règle
et au compas car c’est un nombre transcendant. Ce problème impossible à résoudre a donné
naissance à l’expression : « chercher la quadrature du cercle », ce qui signifie tenter
l’impossible.
Lemniscate et carré d’aire 1
La quadrature du cercle
Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on vient de démontrer qu’il est théoriquement possible de
découper un disque en un très grand nombre de morceaux, et de les réarranger pour obtenir
un carré. Cette opération est impossible à réaliser physiquement.
Ce qui est impossible à faire pour le disque est évident pour une lemniscate car sa surface
est un.
Spirales
« L’homme regarde la fleur, la fleur sourit »
Victor Hugo
La spirale d’Archimède est décrite par un point M, qui en tournant autour du centre O, s’en
éloigne à vitesse constante. L’équation polaire de cette courbe est
, rho =OM étant
le rayon vecteur, et thêta est l’angle polaire c'est-à-dire l’angle entre OM et l’horizontale.
Les spirales, que l’on trouve dans les fleurs, sont approximées par des spirales
logarithmiques. Elles se rapprochent de la spirale d’or. Leurs équations polaires sont :
.
8



Spirale logarithmique
Le nautile est un coquillage dont l’intérieur présente une spirale formée d'une douzaine de
petites loges séparées les une des autres par des cloisons de nacre. Cette spirale est dite
équiangulaire . Plus l'animal grandit, plus la taille des loges s'accroît, mais la forme du
coquillage conserve la structure d'une spirale logarithmique.
Spirale d’Archimède
Des équations simples permettent de créer des coquillages crédibles.
X= exp(u/k)*cos(u)*(1+b*cos(v)) ;
Y=exp(u/k)*sin(u)*(1+b*cos(v)) ;
Z= exp(u/k)*(1+b*sin(v)); k=10, b=0.49
X= exp(u/k)*cos(u)*(1+b*cos(v)) ;
Y=exp(u/k)*sin(u)*(1+b*cos(v)) ;
Z= exp(u/k)*(k+b*sin(v)) ; avec k=25 et b=5
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Spirale d’Ulam
Un entier est premier s’il n’est divisible que par 1 et lui-même. Le mathématicien Stanislas
Ulam, contraint d’écouter un exposé long et ennuyeux, eut l’idée de représenter les
nombres entiers sous forme d’une spirale. En écrivant que les nombres premiers, on a une
idée de leur répartition.
Hélices
On peut tracer une hélice sur un cône, sa projection sur un plan perpendiculaire à son axe
est une spirale.
Si on la trace sur un cylindre, sa projection est bien sûr un cercle.
On peut tracer une sorte d’hélice sur une sphère (une loxodromie), sa projection
stéréographique est une spirale logarithmique.
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On peut tracer des hélices dextrogyres ou sénestrogyres. En tournant l’une de 180° dans la
quatrième dimension, on obtient l’autre.
Frises
Une frise est formée d’un motif se répétant dans une direction donnée. Il y a sept façons de
construire une frise à partir d’un motif donné. Le mathématicien énonce : il ya sept groupes
de frises.
La frise ci-dessous est générée par la translation t.
Pour dessiner la frise suivante, on fait d’abord une rotation de 180 degrés puis une
translation.
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Pavages
Paver le plan, c’est le recouvrir à la façon d’un carreleur en disposant des pavés de manière
jointive. L’Alhambra de Grenade montre des mosaïques dont les pavés sont des polygones
réguliers. Ci-dessous un pavage fait avec une flèche et un cerf-volant. Ces deux figures sont
obtenues avec des triangles d’or.
On peut réaliser des pavages avec des motifs figuratifs. Ci-dessous, le dauphin a été réalisé
en traçant des arcs de courbe à l’intérieur d’un rectangle. On a ensuite tracé leurs
symétriques par rapport aux côtés du rectangle.
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Il ya cinq façons de paver le plan si on ne retourne pas le motif du pavage.
Pentagones
Les triangles d’or sont des constituants du pentagone régulier convexe et du pentagone
régulier croisé.
Des hypocycloïdes ressemblent à des pentagones.
On les obtient en faisant rouler un cercle sur un autre cercle.
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On ne peut pas paver le plan avec des pentagones réguliers, mais le mathématicien Roger
Penrose a découvert en 1970 un pavage semi-régulier du plan.
On trouve dans certaines cathédrales de très belles rosaces à cinq pétales. C’est le cas pour
Notre Dame de Paris.
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Cycloïdes
Lorsqu’un vélo se déplace en ligne droite, la valve de sa roue avant (par exemple) décrit une
cycloïde.
Toboggan en forme de cycloïde
Le point rouge décrit une cycloïde
La cycloïde possède la propriété de permettre le glissement le plus rapide d’un point O à un
point A. On dit qu’elle est brachistochrone. Par exemple comparons les deux toboggans qui
partent de O(0,0) pour arriver en A(1,1). Un objet qui part de O, sans vitesse initiale, et qui
glisse sans frottements sur la droite OA, arrive en A au bout de 0,63 secondes. S’il fait le
trajet sur le toboggan bleu, en forme de cycloïde, il ne met que 0,57 secondes pour atteindre
A. Toute autre courbe donne un temps supérieur. La cycloïde possède une deuxième
propriété remarquable : elle est tautochrone. Si A est le minimum de la cycloïde, quelque
soit le point de départ de l’objet sur la courbe, le temps de descente jusqu’en A est le même.
Si vous prenez deux skieurs sur une piste en forme de cycloïde, l’un qui est en haut à un
kilomètre du minimum, l’autre à un mètre du minimum, s’ils partent en même temps et
qu’ils se laissent glisser, ils arriveront ensembles au bas de la piste ! C’est une nouvelle
version du lièvre et de la tortue.
Hexagones
Seigneur ! Préservez-moi, préservez ceux que j'aime,
Frères, parents, amis, et mes ennemis même
Dans le mal triomphants,
De jamais voir, Seigneur, l'été sans fleurs vermeilles,
La cage sans oiseaux, la ruche sans abeilles,
La maison sans enfants.
Victor Hugo
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L’hexagone pave le plan. Il est naturellement réalisé par l’abeille et d’autres insectes. Qui
n’est pas émerveillé devant les réalisations de notre amie, l'abeille. Pour obtenir un pot de
1kg de miel, 17000 abeilles doivent visiter un millions de fleurs et parcourir 40000 km. Pour
produire un kilo de cire les abeilles consomment 8kg de miel. Elles construisent des alvéoles
en cire très fine, environ 0,1 mm, pour loger leurs larves et stocker leurs provisions. Vu le
labeur de romain nécessaire à leur construction, on comprend leur prodigieuse structure.
Non seulement l'hexagone est la meilleure façon de paver le plan en minimisant le périmètre
du motif du pavage, mais le fond à une forme de dodécaèdre rhombique. Ce fond est formé
de trois losanges, appelés rhombes, qui sont adossés à trois autres cellules. Cette forme
particulière nécessite un minimum de matière tout en lovant les larves dans une structure
proche de la sphère, chaque larve voisinant avec neuf autres larves. La construction des
rayons de cire est une entreprise collective, réalisée par les jeunes abeilles. Les abeilles se
suspendent les unes aux autres, formant une chaine accrochée au haut d'un cadre. Avec ses
pattes, l'abeille récupère la cire, puis la porte à sa bouche. Elle malaxe la cire avec ses
mandibules, puis la passe à sa voisine, et ainsi de suite jusqu'à la bâtisseuse qui fixe l'écaille
de cire au rayon en construction. La cire est très précieuse pour les abeilles et elles utilisent
le minimum de cire pour faire un rayon : 40 grammes de cire suffisent pour fabriquer un
rayon de 20cm sur 40 cm. Ce rayon pourra contenir 2 kg de miel. Quand les abeilles
fabriquent de la cire, on sent alors une odeur suave aux alentours de la ruche
Rayon de cire
3 alvéoles dessinées
Un dodécaèdre rhombique
avec en rouge le fond d'une
alvéole
Cette structure en nid d'abeille est si robuste qu'elle est utilisée dans l'industrie pour faire de
nombreux panneaux.
Les abeilles possèdent une autre capacité remarquable. Lorsqu'une abeille a trouvé une
source de nourriture, de retour à la ruche, elle régurgite une partie de son butin. Elle
exécute ensuite sur le rayon de cire une danse en forme de huit, destinée à indiquer à ses
sœurs la localisation de la nourriture qu'elle a trouvée. Elle décrit, d'abord, un trajet
rectiligne en agitant son abdomen, puis un cercle en tournant vers la droite. Arrivé à son
point de départ, elle refait le trajet rectiligne en agitant son derrière, puis fait un cercle en
tournant cette fois ci vers la gauche. Elle fait ce circuit de nombreuses fois, des abeilles
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alertées se mettent à la suivre tout en la palpant avec leurs antennes afin de capter ses
phéromones et le parfum des fleurs. Cette danse constitue un véritable langage.
La direction de la nourriture est donnée par le trajet en dents de scie. L'angle entre ce trajet
et la verticale sur le rayon de cire donne le cap à suivre à la sortie de la ruche pour aller au
butin. La direction du soleil et la route à suivre pour aller à la nourriture est l’angle alpha
mimé par l’abeille dans sa danse.
La distance à parcourir est indiquée parla vitesse avec laquelle l'abeille exécute sa danse.
Plus la nourriture est proche, plus l'abeille est excitée, plus elle va vite et frétille rapidement.
L'abeille est une merveille, espérons qu'elle surmontera les embuches que lui inflige notre
époque !
Coniques
C’est le mathématicien grec Apollonius de Pègre (-262 ;-190) qui a fait l’étude des sections
du cône de révolution. Suivant la position du plan de section on obtient une ellipse, une
parabole ou une hyperbole. Comme il s’agit de section d’un cône, il les a nommées coniques.
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Cône coupé selon une ellipse
Cône coupé selon une parabole
Il a fallu attendre le dix neuvième siècle pour que le mathématicien Germinal Pierre
Dandelin établisse le théorème illustré ci-dessous : soit un plan (ici en rose) coupant le cône
selon une ellipse .Les sphères tangentes au cône et au plan sécant rose, le touchent aux
foyers de l’ellipse. C’est simple, il fallait y penser et le démontrer !
Cône coupé selon une hyperbole
Théorème de Dandelin
Les coniques sont les trajectoires décrites par les objets célestes dans l’univers, les satellites,
et aussi les projectiles dans notre espace terrestre. Elles font l’objet de nombreux problèmes
mathématiques car leurs propriétés sont très nombreuses. L’ellipse possède la propriété
suivante :’un rayon lumineux, ou une onde sonore, qui part d’un foyer et qui se réfléchit,
passe par le deuxième foyer. Dans certaines abbayes, comme à La Chaise Dieu, une pièce
avec une voute elliptique servait de confessionnal. Une personne, placée au premier foyer,
pouvait être écoutée par son confesseur situé au deuxième foyer, sans que les autres
personnes présentes n’entendent leur conversation.
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Ellipse avec ses deux foyers
Ellipsoïde
La parabole possède une propriété semblable, utilisée pour les phares, les télescopes et la
capture des émissions des satellites. Un rayon qui arrive parallèlement à son axe, se
réfléchit, et passe par le foyer de la parabole. Le trajet inverse est utilisé dans les phares : en
mettant la lampe au foyer de la parabole on est assuré, qu’après réflexions sur la parabole,
les rayons sortent parallèlement à son axe.
Parabole aves son foyer
Paraboloïde
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Polyèdres
"Les pyramides d'Egypte sont les plus anciennes bibliothèques."
Antoine de Rivarol
Les polyèdres réguliers convexes sont connus depuis l’antiquité. Il y en a cinq : le tétraèdre,
l’octaèdre, le cube, le dodécaèdre et l’icosaèdre.
Le dodécaèdre
Le dodécaèdre possède 12 faces pentagonales égales.
Si on joint les milieux des faces du dodécaèdre on obtient 3 rectangles d'or perpendiculaires
entre eux.
A partir du point d’intersection de la normale au centre d’une face avec la sphère traçons
les triangles s’appuyant sur les côtés de cette face on obtient une sorte de calotte. Réitérons
ce procédé pour chaque face. On obtient un solide formé de triangles isocèles égaux, très
proche de la sphère.
Géode
Représentation de l'univers
Le dodécaèdre était considéré comme le symbole de l'univers. Dans les théories
astrophysiques récentes, l'univers aurait la forme d'un dodécaèdre.
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Représentation de l'univers par Jeff Weeks : weeks@geometrygames,org
Selon les astrophysiciens français et le mathématicien américain qui ont publié leur modèle
dans la revue Nature, la forme de l'Univers ressemble à un dodécaèdre Un corps sortant par
une des 12 faces entre par la face opposée en tournant d'un angle de 36°. Dans un tel univers
les faces sont comme des miroirs. Un observateur extraterrestre voit ainsi plusieurs images de
la terre.
Le dodécaèdre rhombique
Le dodécaèdre rhombique est un solide quasi régulier. Ses 24 arêtes sont égales, ses 12
faces sont des losanges égaux. Il peut être dessiné à partir d'une croix formée de 7 cubes :
on colle six cubes égaux sur les faces d’un septième. Ensuite, pour chaque cube, placé autour
du cube central, on joint son centre aux 4 sommets du cube central auquel il est collé. Il est
un des 9 polyèdres uniformes.
Le solide en forme de croix est le développement d'un hyper cube auquel on a enlevé un
cube.
Le dodécaèdre rhombique était déjà connu par Archimède, car on le rencontre dans des
cristaux naturels de grenat. Il a la propriété de paver l'espace.
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Le grenat est souvent considéré comme une pierre sacrée ayant des pouvoirs de guérison
L’icosaèdre
Il est formé de vingt triangles équilatéraux. Si on joint les sommets adéquats on obtient trois
rectangles d'or perpendiculaires. Si on joint les centres des faces d'un dodécaèdre régulier on
obtient un icosaèdre régulier. On dit que le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux
A l'intérieur de l'icosaèdre on observe deux pentagones parallèles mais tournés. On dit que
l'on a un anti-prisme (ou prisme que l'on a torsadé).
On peut tracer les anneaux de Borromée autour des rectangles d'or inscrits dans l'icosaèdre.
Ces anneaux sont entrelacés. On ne peut pas les séparer sauf en en sciant un. Ils sont alors
séparables
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Si on colore les douze pentagones déterminés par l'icosaèdre on obtient le grand dodécaèdre.
Ce solide magnifique fut découvert par Poinsot en 1809. C'est un polyèdre régulier qui n'est
pas convexe. Il complète la série des solides platoniciens : tétraèdre, octaèdre, cube, décaèdre,
icosaèdre réguliers convexes. Leur description mathématique est due à Euclide (environ en
300 avant J.-C.). On peut interpréter la découverte de Poinsot comme l'existence d'un monde
mathématique dans lequel en se promenant on trouve de tels objets. Cela correspond au
monde des idées défendu par Platon. Mais le grand dodécaèdre était bien caché puisqu'il a
fallu 18 siècles pour le découvrir.
La grande pyramide
C'est la plus connue des sept merveilles du monde.
Pour la pyramide de Khéops le rapport entre l’apothème SH= x et le demi-côté HA=a est égal
au nombre d'or phi soit 1,618... (x/a=phi).
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Selon Hérodote la pyramide de Khéops de base carrée, dont les surfaces latérales sont des
triangles isocèles, possède la propriété suivante : «Les surfaces latérales triangulaires ont une
aire égale à celle du carré construit sur la hauteur de la pyramide»
Ces deux données sont équivalentes.
On a aussi : le rapport de la hauteur h au demi côté a est la racine carrée de phi ( h/a =
rac(phi)).
Il est extraordinaire qu'alors la hauteur h de la pyramide soit pratiquement le rayon du cercle
de longueur égale au périmètre de la base. C'est sans doute cette propriété géométrique qui a
déterminé la construction géométrique de la hauteur : on peut la construire sans connaître très
précisément pi à partir du roulement d'un cercle de diamètre donné (par exemple la coudée) le
long du carré de base.
Autrement dit 4/pi=racine (phi) au deux millième près est contenu dans la grande pyramide.
Les égyptiens ne connaissaient pas phi ni pi très précisément mais ils en avaient sans doute
des valeurs approchées assez précises ce qui est déjà fabuleux !
En effet SO=h=147m ; AH=a=230m/2=115m. Ce sont les dimensions mesurées de la grande
pyramide.
Avec le théorème de Pythagore nous obtenons SH²=x²=h²+a² D'où apothème =x=SH=187m
donc x/a=1.6=phi (environ).
La surface d'une face triangulaire SAB est : ax
La surface du carré construit sur SH est : h²=x²-a²
Or la propriété fondamentale de phi est d'être solution de X²-X-1=0
Donc (x/a)²-x/a-1=0 . Par conséquent x/a=(x/a)²-1 . En multipliant les deux membres par a²
nous obtenons :
ax=x²-a² c'est à dire ax= h² ou encore la surface d'une face SAB est égale à la surface du carré
construit sur la hauteur SO
Ce qui est bien la propriété de Hérodote.
Regardons le lien entre pi=3,14 et la pyramide.
Calculons le rayon du cercle de périmètre égal au carré de base de la pyramide soit 8a
/2pi=4a/pi=1,27a=220coudées*1,27=279,4 coudées
soit environ la hauteur de la pyramide.
L'angle SHO d'une face de la pyramide avec l'horizontal est alors défini par :
tangente(SHO)=h/a=racine (phi)=1,27... soit SHO=52° environ.
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Les cercles de Villarceau
Le tore est le nom mathématique d’une bouée. Il est connu depuis l’antiquité. Il est obtenu en
faisant tourner un cercle de rayon r autour d’un grand cercle de rayon R. Il possède comme la
sphère des méridiens et des parallèles. Il possède aussi deux autres étonnantes familles de
cercles. Leur existence a été démontrée en 1848 par le mathématicien et astronome français
Yvon Villarceau. Ces cercles d’équation X=4*cos(v), Y=3+5*sin(v), Z=3*cos(v), sont
dessinés sur le tore : X=(5+3*cos(v))*cos(u) ; Y=(5+3*cos(v))*sin(u) ; Z=3*sin(v).
Méridiens et parallèles sur le tore
Cercles de Villarceau
Cercles de Villarceau
Epluchures de Villarceau
La cyclide de Dupin
Pierre Charles François Dupin a étudié cette surface en 1822. Vous savez que l’inverse de 2
est 1/2, l’inverse de 3 est 1/3. On définit aussi l’inversion en géométrie. L’inverse d’un tore
est la cyclide de Dupin. L’inverse d’un cercle est un cercle, lorsque le pôle d’inversion n’ets
pas sur le cercle. On va donc, par inversion des cercles de Villarceau, obtenir des cercles sur
la cyclide.
25
La boule chevelue
On cherche à coiffer une sphère recouverte de cheveux souples. Le théorème de la boule
chevelue dit qu’il y aura forcément au moins un épi. Ce théorème a été démontré en 1912
par le mathématicien Jan Brouwer.
Une sphère chevelue avec un épi
Tore chevelu sans épi
Cercle peigné sans épi
Hypersphère peignée sans épi
Sur une tête, il ya toujours un épi.
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En dimension 2, le cercle chevelu, et en dimension 4, l’hypersphère chevelue, peuvent être
parfaitement peignés. En dimension trois, le tore peut être parfaitement peigné, c'est-à-dire
sans épi. C’est la raison pour laquelle dans le confinement des plasmas, on utilise un tore et
pas une sphère. Dans la sphère, il y a forcément un point à sa surface ou le champ de
confinement s’annule. Le plasma s’échapperait en ce point.
Une autre conséquence de ce théorème est l’existence sur la terre, d’un point autour duquel
le vent tourbillonne. En ce point, appelé œil, la composante horizontale du vent est nulle.
Les surfaces minimales
« L’ambition est une bulle de savon qui voudrait être un peu plus grosse jusqu'au moment où
elle crèvera. »
Jean Rostand
Dans votre enfance vous vous êtes sans doute amusé à souffler dans un anneau trempé dans
une solution savonneuse et observé avec émerveillement les bulles de savon s'envolant dans
les airs. Les bulles sont sphériques, elles ont une surface minimale pour un volume donné.
Prenez un fil de fer et tordez-le pour en faire un contour fermé. Plongez-le dans une solution
savonneuse et vous obtenez un film de savon qui s'appuie sur le fil. L'élasticité du film de
savon l'oblige à prendre une forme dont l'aire soit la plus petite possible. C'est une surface
minimale. La bulle essaie de réduire au minimum la tension superficielle de la pellicule de
savon.
Caténoïde
En utilisant un fil de fer formé de deux cercles coaxiaux, et en le plongeant dans une solution
savonneuse, vous obtiendrez une caténoïde.
caténoïde
X=a*cosh(u)*cos(v) ; Y=a*cosh(u)*sin(v) ; Z=u*a;
chaînette
X=2*u ; Y=-a*cosh(u/a);
Cette surface s'obtient aussi en faisant tourner une courbe bien connue : la chainette. C'est la
courbe que fait une corde pendue entre deux piquets. C'est le mathématicien Leonard Euler
qui la découverte en 1744.
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Hélicoïde
Cette surface est obtenue en plongeant une double hélice dans de l'eau savonneuse, Elle fut
découverte en 1776 par Jean Baptiste Marie Meusnier de La Place.
X=u*cos(v) ; Y=u*sin(v) ; Z=v ;
La caténoïde peut se couper et s’étirer en l’hélicoïde.
Surfaces d'Enneper
Ces surfaces furent étudiées en 1863 par le mathématicien allemand Alfred Enneper. Plongez
la couture d'une balle de tennis dans l'eau savonneuse pour obtenir la première surface.
X=v*cos(u)-pow(u,9)*cos(9*u)/9;
Y=r*sin(u)+pow(v,9)*sin(9*i)/9;
Z=2*pow(v,5)*cos(5*u)/5;
Avec des formules très voisines on obtient les figures suivantes.
Surface de Scherk et gyroïde
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La surface de Scherk est attribuée à Heinrich Scherk (1835).
Le gyroïde an été étudié en 1970 par A.H. Schoen.
Scherk : X=V , Y= log(cos(a*U)/cos(a*V))/a , Z=-U
Gyroïde : cos(x)*sin(y)+cos(y)*sin(z)+cos(z)*sin(x)=0
Astroïde et deltoïde
X=3*cos(u)*cosh(v)+cos(3*u)*cosh(3*v);
Y=2*sin(u)*cosh(v)-sin(3*u)*cosh(3*v);
Z=3*sin(2*u)*sinh(2*v);
X=2*cos(u)*cosh(v)+cos(2*u)*cosh(2*v);
Y=2*sin(u)*cosh(v)-sin(2*u)*cosh(2*v);
Z=2/3*sin(1.5*u)*sinh(1.5*v);
Le plan complexe
« Il n'y a pas de plaisir plus complexe que celui de la pensée. »
Paul Louis Borges
Le carré d’un nombre réel est positif ((-1)²=1). Il n’y a pas de nombre réel dont le carré est -1.
Pour résoudre les équations, les mathématiciens ont inventé le nombre i dont le carré est -1.
Ils l’ont appelé nombre imaginaire. L’ensemble des nombres de la forme x+iy, avec x et y
nombres réels quelconques, est l’ensemble des nombres complexes. Il est représenté par le
plan habituel, repéré par deux axes orthogonaux et les points M de coordonnées (x,y).
L’ensemble des nombres complexes est muni de manière naturelle de l’addition et de la
multiplication qui possèdent leurs règles bien connues : associativité, commutativité,
distributivité. Ceci est extraordinaire, car il n’y a pas d’autres extensions de l’ensemble des
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nombres réels qui réalise cet exploit ! Ces nombres, en fait, n’ont rien d’irréel car ils sont
couramment utilisés en mathématiques et en physique. Ils sont indispensables en
mécanique quantique, en électricité, en communication …
Le plan complexe
Les entiers complexes premiers
Si on ne considère que les complexes formés à partir d’entiers, donc de la forme n+ip avec n
et p entiers, on peut comme dans les entiers chercher ceux qui sont premiers : ce sont ceux qui
n’ont pas de diviseurs propres. Ils sont représentés dans le dessin ci-dessus. Par exemple 2 ,
qui est premier dans les entiers, ne l’est plus dans les complexes car : 2=(1+i) (1-i). Les
complexes (1+i), (1+2i), (2+i), ne peuvent pas s’écrire comme un produit de deux entiers
complexes non triviaux, sont donc premiers.
Les ensembles de Julia
Gaston Julia (1893-1978) est un mathématicien français spécialiste des fonctions complexes.
Les ensembles qui portent son nom sont construits par itérations. Ils ont une structure
fractale : en zoomant on a toujours une structure qui se reproduit. Partons d’un nombre
complexe C fixé. Soit f l’application qui fait correspondre à tout complexe z le nombre
complexe f(z)=z²+C. On construit ensuite les itérés : z0=z, z1=f(z0), z2=f(z1), z3=f(z2) …,
zn+1=f(zn). On a alors deux possibilités.
1. La suite des points zn est bornée.
2. La suite des points zn part à l’infini. C’est le cas dés qu’elle sort du cercle de rayon 2
centré en O.
L’ensemble des points z pour lesquels la suite est bornée constitue l’ensemble de Julia J C.
Pour avoir un joli dessin on colore Les points situés à l’extérieur de JC en fonction du nombre
d’itérés nécessaires pour sortir du cercle de centre O et de rayon 2. Une faible variation du
point de départ z, change radicalement le comportement de la suite z n . Voici deux exemples
d’ensembles de Julia.
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Z0=-0,285+0.01i
Z0=-0,414-0,612i
L’ensemble de Mandelbrot
Benoit Mandelbrot (1924-2010) fut un élève de Gaston Julia. On lui doit la découverte de
l’ensemble qui porte son nom. Soit f l’application qui fait correspondre à tout complexe z le
nombre complexe f(z)=z²+C, C étant un complexe donné. On construit ensuite les itérés :
z0=0, z1=f(z0)=C, z2=f(z1)=z1²+C, z3=f(z2) =z2²+C…, zn+1=f(zn)=zn²+C. L’ensemble de Mandelbrot
est l’ensemble des complexes C pour lesquels cette suite est bornée. Cet ensemble est
obtenu par itérations successives. Des millions de personnes peuvent s’y promener, chacun
aura une vision différente. Voici l’ensemble de Mandelbrot avec un zoom sur le point noir.
On voit en zoomant un monde nouveau qui s’offre à nos yeux. Un nouveau zoom nous ferait
plonger à l’intérieur de l’ensemble et découvrir un autre paysage.
Fonctions complexes
La représentation des fonctions réelles est apprise dés la classe de seconde, mais la
représentation des fonctions complexes n'est guère utilisée. Une fonction complexe fait
correspondre un nombre complexe à un autre nombre complexe. Sa représentation graphique
est donc un ensemble de points M à deux coordonnées qui sont des nombres complexes. Cette
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courbe est en fait une surface dans l’espace à quatre dimensions. Voici cinq exemples de
courbes 2D et de leur analogue en 4D.
Si vous lancez un ballon, il décrit une parabole. C'est la plus simple des courbes planes à part
la droite. Son équation est Y=X². En quatre dimensions la courbe correspondante a pour
équation W=Z², W et Z étant des nombres complexes.
Y=X²
W=Z²
Dans le dessin en deux dimension le repère O,I,J définit un carré, en quatre dimension le
repère est formé de quatre axes orthogonaux qui définissent un hypercube dessiné en couleur
cyan.
Le courant habituel est alternatif, ce qui signifie que sa courbe représentative est une
sinusoïde. La variation du courant en fonction du temps est da la forme Y= sin(X). On peut
aussi tracer la surface correspondant en dimension 4 : W=sin(Z).
Y=sin(X)
W=sin(Z)
On désigne par cuspide la pointe acérée d'une dent ou d'un organe végétal. On peut la
représenter par la courbe d'équation Y²=X3.
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Y²=X3
W²=Z3
La fonction exponentielle représente un type de croissance extrêmement rapide. Elle peut se
calculer avec des nombres réels et aussi aves des nombres complexes.
W=exp(Z)
Y=exp(X)
La courbe de Gauss représente la répartition d’un caractère d’un individu, qui est
normalement réparti dans une population, par exemple sa taille.
Y=exp(-x²)
W=exp(-Z²)
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L'étonnant nœud de trèfle
« Pour un trèfle à quatre feuilles, la chance c'est quand personne ne le trouve. «
Sylvain Tesson
Prenez une ficelle, faites un nœud plat tout simple, collez les deux extrémités de la ficelle et
vous obtenez un nœud de trèfle, le plus simple de tous les nœuds. Tracé dans le plan, il a trois
auto- intersections.
Tracé en 3D, les intersections disparaissent, mais il ne peut pas être dénoué sans le couper.
Tracé dans l'espace à quatre dimensions, le nœud de trèfle est le bord de la surface d'équation
Z3=W2, Z et W étant des variables complexes.
Il peut alors être dénoué sans le couper, en faisant glisser une partie dans la quatrième
dimension.
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Le nœud de trèfle peut être enroulé de manière naturelle sur le tore de Clifford. Lorsqu'on le
fait tourner dans l'espace à quatre dimensions, son intérieur passe à l'extérieur. Si on considère
que la quatrième dimension est le temps, le passé devient le futur.
Le nœud de trèfle est le bord unique d'une bande de Möbius à trois torsades.
Le disque de Poincaré
La géométrie hyperbolique permet de représenter l’univers entier, infini, à l’intérieur d’un
cercle. C’est le disque de Poincaré. Le cercle constitue l’horizon des habitants de dimension
deux qui y vivent. Les droites, dans cette nouvelle géométrie, sont des diamètres lorsqu’elles
passent par le centre O du disque, sinon ce sont des arcs de cercle faisant un angle droit avec
le cercle horizon. Dans le dessin ci-dessous, la figure centrale est un carré, délimité par
quatre arcs de cercle. Le triangle OAB est limité par OA et OB portés par deux diamètres et
l’arc de cercle qui va de A à B.
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Cette représentation est conforme, ce qui signifie que les angles sont représentés en vraie
grandeur. Par contre la distance entre le centre O et un point M du disque est calculé par la
formule : distance OM égale argument de la tangente hyperbolique de OM soit :
d(OM)=0.5*logarithme ((1+OM)/(1-OM)). Lorsque M se rapproche du bord du disque
(l’horizon), OM tend vers 1, et la distance d(OM) tend vers l’infini. Un habitant partant de O,
représenté par le cercle à droite ne pourra pas atteindre le bord. En se déplaçant le long du
diamètre bleu, il a une distance infinie à parcourir. Un observateur extérieur le voit devenir
de plus en plus petit lorsqu’il se rapproche de l’horizon.
Dans le dessin représentant le disque de Poincaré, au centre est représenté un carré qui est
quatre fois le triangle OAB. Ensuite, on a tracé en rouge ses symétriques par rapport au
milieu de chacun de ses côtés, puis, en vert, leurs symétriques par rapport aux milieux de
leurs propres côtés. On fabrique de cette façon un pavage du plan hyperbolique. Tous ces
carrés sont égaux. Appelons a l’un quelconque de leurs angles. Il faut réunir par leur sommet
cinq angles a, pour obtenir un tour complet, soit 360°. L’angle a de ce carré hyperbolique fait
donc 360°/5=72°. Le triangle OAB possède un angle droit en O. Ses deux angles aigus
mesurent chacun 72°/2=36°. Pour ce triangle la somme des angles fait 90°+2*36°=162°. En
géométrie euclidienne, la somme des angles d’un triangle est de 180°. En géométrie
hyperbolique elle fait toujours moins. On sait que dans la géométrie euclidienne, on ne peut
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tracer par un point extérieur à une droite qu’une parallèle à cette droite. C’est le célèbre
postulat d’Euclide. Les mathématiciens ont vainement essayé pendant vingt siècles de le
démontrer jusqu'à ce que vers 1830, Nicolaï Lobatchevski et János Bolyai une géométrie qui
viole ce postulat. Le mathématicien Henri Poincaré (1854-1912) a donné son nom à ce
modèle qui permet de visualiser les propriétés de cette géométrie. En particulier, par un
point extérieur à une droite, on peut tracer une infinité de parallèles. Dans le dessin du
disque, on a tracé, en noir, par O, trois parallèles à la droite hyperbolique AB.
Le problème historique de la quadrature du cercle trouve une réponse positive dans ce
modèle. Alors qu’en géométrie euclidienne il est impossible de tracer à la règle et au
compas un carré de même aire qu’un cercle donné, c’est possible sur le disque de Poincaré.
Les possibilités pour réaliser des pavages avec des polygones réguliers sont beaucoup plus
nombreuses en géométrie hyperboliques. Le graphiste hollandais M.C. Escher en a réalisé
de magnifiques.
La boule de Poincaré
On peut concentrer l’univers entier dans la boule euclidienne centrée en O et de rayon1.
Dans cette boule, les plans sont des disques centrés en O ou des morceaux de sphères
orthogonales à la sphère unité. La distance entre O et un point M est calculée comme pour
le disque de Poincaré par la formule : d(OM)=0.5*ln((1+OM)/((1-OM)) qui est l’argument de
la tangente hyperbolique de OM. Il en résulte que lorsque M se rapproche du bord de la
boule, OM tend vers 1 et la distance hyperbolique d(OM) devient infinie. La sphère unité est
donc est donc l’horizon des habitants de la boule de Poincaré, ils ne peuvent pas l’atteindre.
Les polyèdres hyperboliques sont des solides limités par des portions de sphères
orthogonales à cette sphère horizon. Ci-dessous, on a représenté un cube et un dodécaèdre
hyperbolique.
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Dodécaèdre hyperbolique
Cube hyperbolique.
On peut, comme dans le disque de Poincaré, paver la boule de Poincaré en construisant les
symétriques de ces polyèdres par rapport aux centres des faces. On poursuit ensuite ce
procédé.
Symétriques des cubes
Symétriques des cubes
Symétriques du cube central
précédents
précédents
par rapport aux centres des
faces
Les possibilités de pavage avec des polyèdres réguliers sont plus nombreuses que dans la
géométrie euclidienne : les cinq polyèdres réguliers, le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le
dodécaèdre, l’icosaèdre, peuvent paver la boule de Poincaré.
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Les fractals
« Le rêve est le semblable qui renvoie éternellement au semblable. »
Maurice Blanch
La découverte de la théorie des fractals est due au mathématicien Benoit Mandelbrot. De
nombreuses plantes ont une structure auto similaire : un même motif à des échelles différentes
les forme. Par exemple dans la fougère ci-dessous, chaque feuille se retrouve avec une taille
de plus en plus petite en remontant le long de la tige principale. De plus chaque feuille est
formée de folioles qui suivent la même loi. Chaque foliole est aussi constituée de pinnules qui
décroissent en taille en allant vers leur extrémité
On a aussi cette autosimilarité si on regarde le littoral à différentes échelle on a le même
dessin. On retrouve, cette propriété dans les arbres, le choux fleur, les poumons ….Une figure
fractale désigne un objet dont la structure est invariante par changement d’échelle.
Pour réaliser une figure fractale nous allons fabriquer une suite de figures qui va se
rapprocher d'une limite que l'on appelle son attracteur. Pour cela on utilise le théorème du
point fixe : toute application contractante f admet un point fixe p, que ce point fixe est
unique, et que pour tout point de départ x la suite des itérés de x, à savoir x1=f(x), x2=f(x1),
x3=f(x2), ..., xn+1=f(xn) , ... , converge vers ce point fixe p.
Pour illustrer cette propriété vous voyez ici cette suite d'itérés de points du plan qui se
rapprochent d'un certain point encore non dessiné.
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Pour fabriquer une belle figure fractale il faut utiliser plusieurs contractions.
On considère une famille des contractions f1 , f2 , f3 , ..., fn , ce sont souvent des similitudes
(de rapport inférieur à 1 bien sûr, pour contracter les distances).
.On part d'une figure K0 . On définit ensuite la suite de figures de la façon suivante :
K1=f1(K0) U f2(K0) U f3(K0) ... U fn(K0) puis K2=f1(K1) U f2(K1) U f3(K1) ... U fn(K1)
...etc Kn=f1(Kn-1) U f2(Kn-1) U f3(Kn-1) ... U fn(Kn-1)
Dans cette expression U désigne l'union d'ensembles. On a de cette façon une contraction F
sur l'ensemble des figures du plan ou de l'espace. Elle admet un unique point fixe K qui est
donc une figure du plan ou de l’espace. K est appelé attracteur car la suite K 0, K1,..., Kn se
rapproche de K. Elle semble attirée par K. Remarquons que cela doit être fait par ordinateur
car le nombre de compacts créés croit exponentiellement : d'abord 1, puis n, puis n², puis n3
.... etc .
Triangle de Sierpinsky
Pour le triangle de Sierpinsky partons d'un triangle équilatéral de sommets p1, p2 , p3. Nous
lui faisons subir les trois similitudes de rapport 0,5 suivantes
1: homothétie de centre O de rapport 0.5 suivie de la translation vers p1.
2: homothétie de centre O de rapport 0.5 suivie de la translation vers p2.
3: homothétie de centre O de rapport 0.5 suivie de la translation vers p3.
On réitère ces opérations sur les trois triangles obtenus et ainsi de suite.
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A la limite la figure obtenue a une dimension fractale de 1,58. Une ligne est de dimension 1,
une surface a pour dimension 2 (longueur, largeur ). Ici on a une dimension intermédiaire,
indiquant l'épaisseur en quelque sorte de l'objet.
Flocon de Koch
Elle a été inventée en 1906 par le mathématicien Helge von Koch. La figure de départ est
aussi un triangle équilatéral. Chaque côté est transformé de la façon suivante: On le divise en
trois. Le premier tiers reste fixe, le deuxième tiers est tourné de 60° vers l'extérieur pour faire
le premier côté d'un triangle équilatéral trois fois plus petit que le précédent, le premier tiers
est tourné de -120° puis translaté au bout du segment précédent pour compléter le triangle
équilatéral. Le troisième tiers est laissé dans sa position. On recommence ce processus sur
chaque segment obtenu,
41
Voici l'attracteur obtenu en fait avec 6 itérations,
La dimension du flocon de Koch est 1,26. Il se rapproche plus de la ligne que de la surface.
La fougère de Barnsley et arbre en 2 dimensions
42
Le mathématicien Michael Barnsley s'est intéressé aux fractales naturelles et a présenté en
1988 un système de trois isométries pour former une fougère qui porte son nom.
Il montre ainsi qu'avec un procédé très simple mais réitéré on peut réaliser des figures
naturelles. Il suffit de deux similitudes pour réaliser un arbre simplifié,
Arbre en dimensions 3 et 4
Quatre similitudes permettent de réaliser un arbre plus réaliste
Arbre 3d
Arbre 4d
On comprend que la nature avec un programme simple réalise des objets compliqués.
Tétraèdre de Sierpinsky
On réalise par le même procédé des fractales dans notre espace à trois dimensions. Partons
d'un tétraèdre. On le réduit d'un facteur trois, puis on le déplace vers chaque sommet. C'est la
première itération. On reproduit ce processus sur chaque nouveau tétraèdre obtenu.
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La dimension du tétraèdre de Sierpinsky est de 2, c'est à dire celle d'une surface
Tétraèdre de Koch
On s'inspire du flocon de Koch pour réaliser une figure analogue en trois dimensions,
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Sa dimension fractale est 2,58, signifiant qu'il remplit plus l'espace que le tétraèdre de
Sierpinsky.
Les alvéoles pulmonaires et les électrodes des batteries au lithium ont une structure très dense,
leur dimension fractale est proche de 3.
Hypertétraèdre de Sierpinsky
Avec quatre homothéties on fait aussi l'hypertétraèdre de Sierpinski en dimension 4 .
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La ceinture de Dirac : un tour diffère de deux tours
«Il n'y a pas de sagesse en dessous de la ceinture «
Mattew Hale
Il est à priori étonnant qu'un tour diffère de 2 tours. Si je fais tourner un livre d'un tour sur
ma table il revient dans l'état qu'il était au départ. Même chose si je le fait tourner de deux
tours. Il faut utiliser un objet qui garde la mémoire des rotations faites pour qu'on fasse
apparaître les rotations intermédiaires et voir une différence. C'est le cas par exemple avec
une ceinture. Si on lui fait subir une rotation d'un tour, on obtient une boucle qu'un
mathématicien appelle un lacet. Un lacet est donc un chemin fermé : le point de départ est le
point d'arrivée. Dans notre espace tout lacet peut être déformé continument pour obtenir un
point. Il n'en est pas de même dans l'espace des rotations. Notre ceinture illustre ce fait car
elle garde le souvenir de toutes les rotations effectuées dans la manipulation. On a beau
s’évertuer à faire passer le lacet autour de la boucle du ceinturon, si on garde les deux bouts
de la ceinture fixes dans un plan, la ceinture reste torsadée. Le lacet ne veut pas être réduit à
un point.
Par contre si on fait deux tours à la ceinture on obtient deux boucles ou si vous voulez deux
lacets. Il est alors aisé de les faire disparaitre tout en gardant les deux bouts de la ceinture
fixes.
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Autrement dit dans l'espace des rotations, le lacet formé des rotations d'axe vertical dont
l'angle varie de 0 à un tour ne peut pas se réduire à un point. Il n'est pas équivalent à la
rotation nulle. Par contre un lacet formé de rotations dont l’angle varie de 0 à 4pi, c'est-à-dire
2 tours, peut être déformé continûment en la rotation nulle.
Nous allons illustrer cette propriété topologique de l'espace des rotations.
On note SO(3) le groupe des rotations de notre espace, repéré par trois axes Ox, Oy, Oz
orthogonaux. Pour fixer les idées Oz est la verticale en O, Ox et Oy sont deux axes
horizontaux, faisant un angle droit entre eux.
Une rotation est définie par son axe (soit un vecteur unitaire u ) et son angle alpha en radians,
donnant l'amplitude de la rotation (180 degrés=pi radians soit environ 3,14 radians).
Autrement dit une rotation est caractérisée par deux objets : une direction et une longueur. A
toute rotation on fait correspondre un point P de notre espace, situé dans la boule de centre O
et de rayon 3,14. La direction (OP) est l'axe de la rotation, la longueur OP représente
l'amplitude de la rotation.
Par exemple la rotation d'axe vertical de 3,14 radians (180 degrés ou 1/2 tour) est représenté
par le pôle nord N de la sphère S de centre O et de rayon 3,14. La rotation d'axe vertical de
de sens opposé à la précédente est sur notre sphère le pôle sud S. La rotation d'axe ox,
horizontal de pi/2 radian ( ou 90 degrés soit1/4 de tour) est cette fois situé à l'intérieur notre
sphère S. C'est le point A situé sur Ox à une distance de 1,57 de O.
L'ensemble des rotations de l'espace, noté SO(3), est donc représentable par la boule de
centre O et de rayon pi=3,14.
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Comme les deux rotations autour d'un axe donné d'angles pi radians (ou 180 degrés c'est à
dire 1/2 tour) , l'une dans le sens direct, l'autre dans le sens contraire, sont en fait la même
rotation, il faut identifier les points correspondant. Par exemple il faut considérer que le pôle
nord N est égal au pôle sud. Donc SO(3) est la boule de rayon pi dans laquelle on identifie les
points antipodaux : deux points diamétralement opposés sont égaux, ils ne forment qu'un seul
point !
Il en résulte une structure particulière de SO(3). Si on trace dans SO3 un lacet formé des
rotations d’axe k et dont l’angle varie de 0 à un tour , on ne peut pas le déformer de manière
continue pour le réduire à la rotation nulle. En effet on n’a pas le droit en terme de continuité
de réduire progressivement l’angle final de 0 à un tour. Une telle procédure revient à couper le
lacet, ce qui n’est pas continu au sens topologique.
Sur le dessin ci-dessous le lacet formé des rotations d’axe k et dont l’angle varie de 0 à un
tour est représenté par le segment NS : le départ est le point O qui représente la rotation nulle.
On se déplace de O vers N , ce qui correspond aux rotation d'axe vertical dont l'angle
augmente progressivement jusqu'à pi=1/2tour. Comme 1 tour égal un demi tour le chemin
repart au point S diamétralement opposé. L'angle de la rotation augmentant jusqu'à 2*pi=1
tour , le chemin se poursuit de S et retourne en O, On a bien un lacet, mais les points N et S
sont considérés comme fixes. On peut déformer ce lacet continument en le demi-cercle tracé
en rouge, mais on ne peut pas le réduire à un point. En un certain sens on a un demi-tour dans
SO (3), alors qu'on a un tour complet dans R3.
La situation est complètement différente pour un lacet d'amplitude 4*pi=2 tours. Les dessins
suivants montrent une suite de lacets de SO(3), doucement réduits, qui rétrécissent le lacet
vertical d'amplitude 4*pi en le lacet réduit au point O.
Dans le premier dessin on a un lacet d'amplitude 4*pi dont le point de départ est O, la rotation
nulle. On part ensuite en montant en direction de A' ce qui correspond aux rotations d'axe
vertical dont l'angle varie de 0 à pi=1/2 tour. Comme A'=A, on repart en A, on poursuit
jusqu'en O, qui correspond à un angle de 2*pi=1 tour. L'angle de la rotation continuant de
croitre on arrive en B' qui correspond à 3*pi=3 demi-tours. On passe au point antipodal B et le
chemin se poursuit en montant jusqu'à atteindre le point O, soit un angle de 4*pi=2 tours.
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Dessin 2 : La partie du lacet BA' est gentiment poussée vers le bord.
Dessin 3 : Tout en se dirigeant vers le bord, la partie gauche du lacet se rétrécit, la partie
droite s'arrondit.
Dessin 4 : La partie gauche devient de plus en plus petite, la partie droite se rapproche d'un
lacet fermé situé à l'intérieur de la boule.
Dessin 5: La partie gauche va s'évanouir en un point,
Dessin 6 : On a un lacet situé à l'intérieur de la boule, donc pas de point antipodaux. La
situation est identique à un cercle de R3,que l'on peut rétrécir continument en un point.
En bref dans l'ensemble des rotations il existe des lacets qui ne peuvent pas se rétrécir en un
point. C'est le cas d'une suite de rotations de 0 à un tour de la ceinture de Dirac.
Le physicien et mathématicien Paul Dirac (1902-1984) a donné son nom à cette situation. La
théorie du spin des particules élémentaires montre que si on fait tourner un électron de un tour
on obtient son opposé. Notre environnement nous offre des surprises !
Le ruban de Möbius
Le ruban de Möbius est une surface non orientable. Elle n’a qu’une face et qu’un bord. Elle
peut être obtenue physiquement en faisant subir une torsion d’un demi-tour à une bande de
papier, puis en collant les deux extrémités. Tracée en dimension 4, elle est le début d’une
bouteille de Klein.
Ruban de Möbius
Ruban de Möbius 3 tours
Equations : X= (3+u*cos(v/2))*cos(v) ; Y= (3+u*cos(v/2))*sin(v) ; Z=u*sin(v/2) .
La largeur u varie de -0.5 à 0.5, v de 0 à 2*pi.
La bouteille de Klein
J'ai simplement pensé à l'idée d'une projection, d'une quatrième dimension invisible,
autrement dit que tout objet de trois dimensions, que nous voyons froidement, est une
projection d'une chose à quatre dimensions, que nous ne connaissons pas.
Marcel Duchamp
Commençons par le ruban de Möbius, car la bouteille de Klein s'en inspire. C'est un ruban
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torsadé une fois, il n'a qu'une face et qu'un bord comme on le voit dans les dessins ci-dessous.
Equations de la bouteille de Klein en dimensions 4 :
X=sin(u)*(1+e*cos(u/2)*sin(v)); Y=cos(u)*(1+e*cos(u/2)*sin(v));
Z=e*cos(v) ; T=e*sin(u/2)*sin(v); e=1 par exemple est son diamètre, 0<u<2*pi , 0<v<2*pi
La bouteille de Klein a été décrite en 1882 par le mathématicien allemand Félix Klein. Elle
n'a qu'une face, pas d'intérieur ni d'extérieur : elle n'est pas orientable. On la connait surtout
par sa projection habituelle dans notre espace. Elle est formée de deux rubans de Möbius
joints par leur bord. Son goulot traverse sa paroi pour se joindre à son fond.
Si on déplace le goulot de la bouteille de Klein le long de la quatrième dimension, on obtient
une surface non orientable qui ne se coupe pas elle même.
50
En fait le goulot passe dans la quatrième dimension, se tord et rejoint le reste de la bouteille
sans couper la surface. On comprend mieux cette situation avec l'analogie suivante : si on
dessine un nœud de trèfle dans un plan, un observateur situé dans ce plan voit une courbe qui
se recoupe. Il faut se déplacer dans la troisième dimension, orthogonale aux deux autres, pour
voir une ficelle qui passe dessus puis dessous elle même.
Une autre version de cette bouteille a été proposée par Blaine Lawson en 1969. Elle a la
particularité d'avoir un bord parfaitement circulaire. Elle est aussi tracée en dimension 4.
Ses équations sont : X=sin(u)*cos(v); Y=sin(u)*sin(v); Z=cos(u)*cos(v/2);
T1=-cos(u)*sin(v/2); avec 0<u<pi, 0<v<2*pi.
La surface de Boy
Cette surface n’a qu’une face. Elle fut découverte en 1902 et représente une modélisation
sans singularité du plan projectif. Elle est une étape importante dans le retournement de la
sphère. Le plan projectif est l’ensemble des droites de notre espace passant par l’origine O.
Toute droite passant par l’origine, coupe la sphère S de centre O et de rayon un en deux
points antipodaux M et M’. Représenter l’espace projectif consiste à ne garder qu’un seul de
ces points.
51
Ensembles des droites passant par O
Intersection avec la 1/2 sphère
On ne garde que la demi-sphère supérieure, mais on doit encore s’occuper de l’équateur. Il
contient en effet pour chaque droite horizontale deux points antipodaux. Il ne faut garder
que la moitié de l’équateur, tout en gardant une continuité dans le découpage.
Pour cela, découpons sur la sphère S une bande équatoriale de largeur e très petite. A un
point P, situé sur le bord supérieur de la bande, correspond son point antipodal P’ situé sur
le bord inférieur. En ne gardant qu’un des deux points, quand on prend la moitié de la bande,
il faut lui faire subir une torsion pour faire correspondre les deux extrémités de la moitié de
ruban. On a ainsi un ruban de Moebius, que l’on doit recoller à la demi-sphère. C’est cette
prouesse que réalise la surface de Boy. C’est le mathématicien Wermer Boy qui l’a imaginée
en 1902.
Début de surface de Boy
La surface de Boy
La surface de Boy est une représentation de cet ensemble : plan + droite à l’infini.
Ses équations sont compliquées.
Le tore de Clifford
"On ne devrait s'étonner que de pouvoir encore s'étonner."
François de la Rochefoucauld
Il doit son nom au mathématicien anglais William Clifford (1845-1879). C'est une surface
tracée dans l'hypersphère et qui se projette sur les deux plans de base (O,x,y) (O,z,t) selon
52
deux cercles. Ses équations sont simples : X=cos(u) ; Y=sin(u) ; Z=cos(v) ; T=sin(v) ; u et v
varient entre o et 2*pi.
A première vue on dirait un tore habituel, c'est à dire une sorte de bouée.
Mais si on le tourne d'un demi tour autour des plans (O,x,y) et (O,z,t) la partie jaune centrale
devient externe. Ceci nous fait voir que c'est bien un objet situé dans R4.
De même, si on fait subir au tore la rotation auteur des plans (O,x,t) et (O,y,z), on s'aperçoit
que le tore a deux trous centraux, comme s'il était formé de deux cylindres orthogonaux.
53
Ensembles paradoxaux ou la multiplication des pains
Matthieu, 13, 14,
Le soir étant venu, les disciples s'approchèrent de Jésus et lui dirent : Ce lieu est désert, et
l'heure est déjà avancée ; renvoie la foule, afin qu'elle aille dans les villages, pour s'acheter
des vivres. Jésus leur répondit : ils n'ont pas besoin de s'en aller ; Donnez leur vous-même à
manger. Mais ils lui dirent : Nous n'avons ici que cinq pains et deux poissons. Et il dit :
Apportez-les moi. Il fit asseoir la foule sur l'herbe, prit les cinq pains et les deux poissons, et,
levant les yeux vers le ciel, il rendit grâces. Puis il rompit les pains et les donna aux disciples,
qui les distribuèrent à la foule. Tous mangèrent et furent rassasiés, et l'on emporta douze
paniers pleins des morceaux qui restaient, Ceux qui avaient mangé étaient environ cinq mille
hommes, sans les femmes et les enfants.
Aussi incroyable que le récit de la multiplication des pains, nous allons voir que les
mathématiciens découpent la boule unité en morceaux et en les réarrangeant font deux boules
unités. Présentons d'abord les ensembles paradoxaux qui entrainent le paradoxe de BanachTarski qui est la version mathématique de la multiplication des pains.
Parties puzzle équivalentes
L'enfant est la partie la plus importante de l'adulte.
(Maria Montessori)
Vous avez sans doute fait des puzzles dans votre jeunesse. On dira que deux parties A et B de
R2 ou R3 sont puzzle-équivalentes s'il existe un entier n et des découpages (Ai) et (Bi) de A et
B tels que pour tout i dans [1; n], on ait Ai est superposable à Bi. On notera alors A ~ B . ~ est
une relation d'équivalence. Par exemple le triangle équilatéral, ci-dessous et le carré sont
puzzle-équivalents.
On a découpé le triangle équilatéral en quatre morceaux, En déplaçant ces morceaux
(mathématiquement en appliquant des isométries), on obtient le carré. Il est difficile
d'imaginer une figure qui soit puzzle-équivalente à une partie d'elle même. Comme un
déplacement conserve les surfaces et les volumes, la partie qui est enlevée doit être de mesure
nulle ou alors pas mesurable du tout. Un ensemble S est paradoxal si on peut le décomposer
54
en deux morceaux tels que chaque morceau soit puzzle-équivalent à l'ensemble S tout entier.
Hôtel de Hilbert sur le cercle unité
Pouvez vous imaginer un hôtel avec sa réception A et ses chambres numérotées 1,2,3 , … , n
tel que lorsqu'il est complet on peut toujours trouver une chambre de libre pour un nouvel
arrivant ! C'est possible avec l'hôtel de Hilbert. Voici de quoi il s'agit.
En mathématique un ensemble est dénombrable lorsqu'on peut numéroter ses éléments 0,1,2
,3 etc..On dit qu'il est en bijection avec l'ensemble N des entiers naturels : N={0,1,2,3,...}.
Notons S le cercle de centre O et de rayon 1. Sur le cercle plaçons le point A de coordonnées
(1,0). Il représente la réception de notre hôtel de Hilbert. Le point M1, représentant la chambre
1, est obtenu en faisant tourner A de 1 radian (57,3 degrés environ) dans le sens contraire aux
aiguilles d'une horloge. M1 a pour coordonnées (cos(1), sin(1) ). De même la chambre 2,
représentée par le point M2 sera obtenue par rotation de A de 2 radians. Autrement dit M2 a
pour coordonnées (cos(2), sin(2) ). En poursuivant ce procédé on peut mettre une infinité
dénombrable de chambres sur le cercle S. On note H l'ensemble ainsi obtenu : H={A, M1, M2,
M3, …} est l'ensemble des points de coordonnées (cos(n) , sin(n) ) avec entier naturel
quelconque. H est l'hôtel de Hilbert sur le cercle unité.
Si toutes les chambres sont occupées et qu'il arrive un nouveau client à la réception il est
possible de lui trouver une chambre de libre ! Il suffit de demander à tous les occupants de
l'hôtel de se déplacer dans la chambre suivante. L'occupant de la chambre 1 allant à la 2, celui
de la 2 allant à la 3 et ainsi de suite, La chambre 1 est libre pour le nouvel arrivant.
Mathématiquement cela s'exprime de la façon suivante. Soit r la rotation de 1 radian dans le
sens positif (=inverse du sens horaire), Alors r(H)=H-{A}. Par la rotation r de l'ensemble H on
a enlevé le point A à H. H est superposable à lui même privé du point A.
Nous allons voir que S est puzzle-équivalent à S lui même privé de A.
En effet S est l'union de (S-H) et H. Par la rotation r, S-H reste S-H et H devient H-{A}.
Donc S est puzzle-équivalent à S-{A}. L'ensemble S est ainsi puzzle-équivalent à lui même
privé d'un point . On peut de la même façon enlever à S plusieurs points ou même une infinité
dénombrable de points.
D'une manière générale un ensemble S est puzzle-équivalent à lui même privé d'une infinité
dénombrable de points.
55
L'ensemble de Sierpinski-Mazurkiewicz
L'ensemble N des entiers naturels peut être décomposé en 2 parties, la première A formée
des entiers pairs. A={0;2;4;6;8;..;2*n;..}. L'autre B formée des naturels impairs :
B=A+1={1;3;5;7;..;2*n+1;.. }. A et B sont dénombrables et en ce sens ont autant d'éléments
que N lui même. Pourtant chacun est la moitié de N. Mais dans cet exemple on n'a pas un
déplacement qui fait passer de A à N, c'est une division de chaque nombre par 2 ou si on veut
une homothétie de rapport 1/2. Notre challenge est de trouver une partie S du plan R²
paradoxale, c'est à dire formée de deux ensembles A et B qui donnent chacune S après les
avoir déplacées par une rotation ou une translation. C'est cette propriété que possède
l'ensemble de Sierpinski-Mazurkiewicz. Cet ensemble est dénombrable mais non borné.
Nous allons utiliser l'hôtel de Hilbert sur le cercle unité. La chambre 1 de coordonnées
(cos(1) , sin(1) ) est notée x. Alors x² est la chambre 2, xn de coordonnées ( cos(n) , sin(n)) est
la chambre n.
2x est représenté par le point de cordonnées (2*cos(1) ,2*sin(1)). Il est obtenu en éloignant la
chambre 1 de 2 unités sur la droite 0x. Pour représenter 2x+1 il suffit de déplacer le point
précédent, à savoir 2x, d’une unité vers la droite. Le point 3x²+2 par exemple s'obtient à partir
de la chambre 2 représentant x² en la déplaçant de 3 unités à partir de O sur la droite Ox², puis
en translatant le point obtenu de 2 unités vers la droite horizontalement.
Soit S l'ensemble des points de la forme an*xn+ an-1* xn-1+...+a1*x+a0 avec les
56
coefficients ai entiers naturels. On peut dire que S est l'ensemble des polynômes en x à
coefficients entiers positifs ou nuls. Par exemple M=3x²+5x+2 est dans S. Deux polynômes
distincts donnent deux points distincts. Soit A l'ensemble des points correspondant aux
polynômes sans termes constants et B l'ensemble des points correspondant aux polynômes
dont le terme constant est non nul.
Alors S est l'union disjointe de A et B. Soit r la rotation de 1 radian dans le sens négatif. Cette
rotation revient à diminuer de 1 la puissance de x dans un polynôme de S. Alors si on applique
r à un polynôme sans terme constant on obtient un polynôme quelconque. En effet
r(an*xn+an-1*x(n-1)+...+a1xi)=anx(n-1)+an-1x(n-2)+...+a1. Autrement dit r(A)=S. Si on
retranche 1 à un polynôme dont le terme constant est non nul on obtient un polynôme
quelconque. En effet les polynômes à constante nulle sont obtenus à partir de ceux de B dont
la constante est 1.Notons t la translation correspondant à la soustraction de 1. Alors t(B)=S.
On a donc S~A et S~B. Autrement dit S est puzzle équivalent à chacune de ses deux parties A
et B. L'ensemble de Sierpinski-Mazurkiewietz est paradoxal.
Voici une représentation de S. On a dessiné tous les polynômes de degré inférieur à 6 et de
coefficients inférieurs à 3. Il y en a 36 =729.
Représentons les 2 sous ensembles de S. En bleu il s'agit de A, les polynômes sans le terme
constant. En rouge c'est B, les polynômes dont la constante est non nulle. Sur le dessin ils
semblent plus nombreux, mais en réalité les deux ensembles sont infinis et dénombrables. Si
on translate B d'une unité vers la gauche parallèlement à l'axe de x, on obtient S tout entier,
car cela revient à rajouter les polynômes à constante nulle. Tourner B de 1 radian vers la
droite revient à soustraire 1 à toutes les puissances de x des polynômes de B. On diminue le
degré des polynômes de B, mais on obtient tous les polynômes de S. S est donc puzzle
équivalent à deux parties de lui même, A et B. S est paradoxal. On est en marche vers la
multiplication des pains, mais on n'a pas encore ce que l'on désire exactement.
57
Sphère de Hausdorff
Il s'agit de montrer que la sphère S de centre O et de rayon 1 de notre espace habituel (à 3
dimensions) est paradoxale. La méthode s'apparente à celle employée aux 2 ensembles
précédents. On considère le groupe engendré par les deux rotations a et b suivantes. Notre
espace R3 est repéré
par les trois axes (Ox), (Oy), (Oz), formant un repère orthogonal. a est la rotation d'angle
arccosinus(3/5) autour de (Oz), soit environ 53,13 degrés . On est ainsi assuré en calculant les
itérées a²=a*a ( 2 fois de suite la rotation a), a3=a²*a ( 3ois de suite la rotation a), a4=a²*a² etc,
de ne jamais obtenir l'identité. b est la rotation de même angle mais cette fois ci autour de
l'axe (Ox). . Le groupe G engendré est formé de toutes les rotations qui s'écrivent en
multipliant entre elles ces rotations et leurs inverses. Un élément g de G s'écrit de manière
unique de la façon suivante : g=a*a*b*a-1*b*-1*...*b*b*b*a. Un élément g est une écriture
formée d'un produit quelconque de a, a-1, b, b-1, dans lequel a et a-1 ou b et b-1 ne peuvent
pas être contigus car leur produit fait l'identité id (=la rotation d'angle nul). Dans une telle
écriture la lettre la plus à gauche est la dernière rotation effectuée, le signe * est la
composition des rotations, ce qui signifie qu'on les effectue dans l'ordre de la droite vers la
gauche. On peut décomposer G privé de l'identité en 4 ensembles A1, A2, B1, B2. A1 est formé
des rotations dont l'écriture commence à gauche par a (=la dernière rotation faite dans
l'écriture). A2 est formé des rotations dont l'écriture commence à gauche par a-1. B1 est formé
des rotations dont l'écriture commence à gauche par b, B2 celles dont l'écriture commence à
gauche par b-1. Plus précisément (en négligeant l'identité) : G=A1+A2+B1+B2. Si on applique
la rotation a-1 à une rotation quelconque de A1, on obtient une rotation qui ne peut pas
commencer par a-1. En effet a et a-1 ne peuvent pas être contigus dans une écriture réduite
d'un élément de G. Or dans l'écriture d'une rotation g de A1, à droite du a de gauche, on peut
avoir a, b ou b-1 mais pas a-1. Cela signifie que a-1(A1) donne le complémentaire de A2 dans
G. Bien sûr a-1(A2)=A2 , car en écrivant à gauche a-1 d'un élément de A2 , a-1 reste toujours
la première lettre dans son écriture (ou la dernière à gauche) . Donc en tournant A1 et A2 par
la rotation a-1 on obtient G. .Autrement dit G est puzzle-équivalent à A1+A2.
On a pareillement les propriétés correspondantes avec B1 et B2. . En faisant tourner B1 et B2
par la rotation b-1 on obtient G tout entier. On a plus précisément :
b-1(B1) donne les rotations qui ne commencent pas à gauche par b-1 . C'est le
complémentaire de B1. b-1(B2) donne les rotations qui commencent à gauche par b-1 . C'est
B2 . G est donc puzzle-équivalent à B1+B2. On a donc 2 parties de G, A1+A2 et B1+B2, toutes
deux puzzle-équivalentes à G tout entier. Donc G est paradoxal. On va utiliser cette
décomposition de G et la calquer sur la sphère S.
Nous allons faire opérer G sur S. Prenons un point M de S. Quand on le fait tourner par la
rotation a on obtient un nouveau point. Si on le fait tourner par toutes les rotations de G, on
obtient un ensemble dense de points de S : dans chaque millimètre carré de S on a une infinité
de points ainsi obtenus. Les mathématiciens appellent cet ensemble l'orbite de M selon G.
Notons le : G (M). On a représenté ci-dessous quelques orbites: en bleu l'orbite de (1;0,0), en
rouge celle de (0;1;0), en vert celle de (1;1;0).
58
On sait que l'ensemble de ces orbites (il y en a une infinité) forme une partition de S, c'est à
dire : elles sont disjointes et recouvrent S. Chaque orbite est un copié-collé de G, en
mathématique on dit est en bijection avec G. Choisissons un représentant dans chaque orbite,
notons R l'ensemble des représentants (analogue aux représentants des régions pour un pays)
obtenus. C'est comme si on avait un pays découpé en régions et que chaque région (ici
chaque orbite) élise un représentant. La difficulté ici est que ces régions sont en nombre infini.
Les mathématiciens utilisent pour cela l'axiome du choix. Ainsi on peut obtenir tout point de S
à partir d'un représentant et d'une rotation de G : S=G(R) en abrégé.
On découpe S en quatre morceaux définis ainsi :
Section 1 : c'est l'ensemble des points que l'on peut atteindre en faisant tourner chaque
représentant par toutes les rotations de A1. Rappelons que leur écriture commence à gauche
par a.
S1=A1(R).
Section 2 : c'est l'ensemble des points que l'on peut atteindre en faisant tourner chaque
représentant par toutes les rotations de A2. Rappelons que leur écriture commence à gauche
par a-1.
S2=A2(R).
Section 3 : c'est l'ensemble des points que l'on peut atteindre en faisant tourner chaque
représentant par toutes les rotations de B1. Rappelons que leur écriture commence à gauche
par b.
S3=A2(R).
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Section 4 : c'est l'ensemble des points que l'on peut atteindre en faisant tourner chaque
représentant par toutes les rotations de B2. Rappelons que leur écriture commence à gauche
par b-1.
S4=B2(R).
Autrement dit on décalque sur chaque orbite la décomposition de G en 4 parties A1, A2, B1,
B2 et on obtient le découpage de la sphère S=S1+S2+S3+S4.
Maintenant que se passe-t-il en faisant tourner S1 et S2 par a-1.
a-1(S1)=a-1(A1(R))=a-1*A1(R)=complémentaire de A2(R)=complémentaire de S2 . C'est
l'ensemble des points de S qui peuvent être obtenus par les rotations qui ne commencent pas à
gauche par a-1.
Autrement dit en faisant tourner S1 par a-1 on obtient le complémentaire de S2 .
En faisant tourner S2 par a-1 on obtient S2. .Ceci peut se voir en écrivant
a-1(S2)=a-1(A2(R))=a-1*A2(R)=A2(R)=S2 .
Donc S1 avec S2 forment un puzzle de S2. Si on fait tourner S1 et S2 par a-1 et on obtient S.
C'est là toute la ruse de Banach. On a dessiné S1 en rouge et S2 en jaune. On voit qu'ils ne
recouvrent pas S en totalité. Il faut tourner S1 et S2 pour obtenir S.
Il ne nous reste plus qu'à faire de même avec S3 et S4 pour obtenir ce que l'on cherche :
montrer que S est paradoxale. On utilise alors la rotation b-1 .
b-1(S3)=b-1(B1(R))=b-1*B1(R)=complémentaire de B2(R)=complémentaire de S4. C'est
l'ensemble des points de S qui peuvent être obtenus par les rotations qui ne commencent pas à
gauche par b-1.
Autrement dit en faisant tourner S3 par b-1 on obtient le complémentaire de S4..
En faisant tourner S4 par b-1 on obtient S4 .Ceci peut se voir en écrivant
60
b-1(S4)=b-1(B2(R))=b-1*B2(R)=B2(R)=S4 .
Donc S3 avec S4 forment un puzzle de S. Si on fait tourner S3 et S4 par b-1 et on obtient S.
Dans le dessin suivant on a représenté les deux parties S1+S2 en rouge et S3+S4 en bleu .Elles
forment 2 ensembles complémentaires, chacun puzzle-équivalent à la sphère S tout entière.
Les ensembles S1+S2 et S3+S4 sont si compliqués qu'ils n'ont pas de mesure (= pas de
surface). S1+S2 est la moitié de S mais aussi égal à S dans le sens que si on le tourne on
obtient S. On a donc 1/2/=1 ou si vous préférez 1=2. C'est ce qui est paradoxal !
La multiplication des pains
On connait dans la bible le récit de la multiplication des pains. On est ici dans la même
situation. Si on prend la première moitié S1+S2 de la sphère S, elle est superposable à la
sphère elle même. De même la seconde moitié S3+S4 de la sphère est superposable à la
sphère toute entière. Donc avec une sphère on en fait 2 égales à la première. On peut ainsi en
faire 4, 8 etc.
Le mathématicien Starsky a fait la même chose avec la boule qui est la sphère avec son
intérieur.
61
Pour découper la boule en deux morceaux puzzles-équivalents à la boule toute entière on
joint les points des deux parties précédentes de la sphère de Hausdorff au centre O. On définit
ainsi deux parties de la boule unités qui sont puzzle-équivalentes à la boule toute entière. On
a réalisé la multiplication des pains ! Mais bien sûr, cela n'est pas réalisable physiquement.
Pour obtenir les deux morceaux de la boule on doit choisir des représentants dans une infinité
d'ensembles. Cela ce fait mathématiquement en utilisant l'axiome du choix. Cela signifie
qu'on admet que c'est possible, mais on ne dit pas comment le faire. Les deux morceaux n'ont
pas de volume et donc pas de masse sinon on démontrerait que 2 kilos sont égaux à un kilo.
La quatrième dimension
« Le jour de la Pentecôte, les disciples étaient tous ensemble dans le même lieu, Tout à coup il
vint du ciel un bruit comme celui d'un vent impétueux, et il remplit toute la maison où ils
étaient assis. Des langues, semblables à des langues de feu, leur apparurent, séparées les
unes des autres, et se posèrent sur chacun d'eux. Et ils furent tous remplis du Saint Esprit.
Actes des Apôtres, 2.
Huit jours après la mort de Jésus, ses disciples étaient de nouveau dans la maison, et Thomas
se trouvait avec eux. Jésus vint, les portes étant fermées, se présenta au milieu d'eux ... »
Saint Jean, 21.
Il semble extraordinaire de pénétrer dans une pièce qui a ses portes et ses fenêtres fermées.
C'est pourtant tout à fait possible en considérant la quatrième dimension. Nous vivons dans un
monde à quatre dimensions : la longueur x, la profondeur y, la hauteur z, et le temps t. Quand
on regarde un film, la quatrième dimension se déroule devant nos yeux. Si on représente la
trajectoire d'un point en trois dimensions, on n'a pas le déroulement du déplacement. Il faut
une vidéo pour visualiser ce mouvement. Imaginons un point qui se déplace sur l'hélice cidessous dans le sens des z décroissants et qui fait demi-tour en arrivant en bas.
Trajectoire en 3 dimensions
Mouvement en 4 dimensions
Il faut faire un dessin en quatre dimensions pour remplacer son film ou son animation. Sur le
dessin en quatre dimensions correspondant, l'axe (OL) représente le temps, il est orthogonal
aux trois autres (OI), (OJ), (OK), qui sont la longueur, la profondeur et la hauteur. On voit
bien la marche arrière qui est le point anguleux de la courbe.
Sur une telle représentation le temps est traité comme les trois dimensions spatiales. C'est
aussi le cas de la relativité d'Einstein. On peut très bien imaginer que notre espace possède des
dimensions supplémentaires qui pour l'instant sont cachées. Dans les théories physiques
actuelles, comme les cordes ou les branes, on utilise 9 dimensions ou même plus.
Regardons comment on peut représenter l'espace quadridimensionnel (4d),
62
La théorie de la représentation en perspective de notre espace à trois dimensions a été
développée par Leon Battista Alberti (1425), Piero della Francesca (1470), Albrecht Dürer
(1525) et bien d'autres.
Dans le dessin de Durer on voit que pour représenter en deux dimensions une mandoline
réelle, on trace les droites joignant les points de l'objet à représenter à l'œil du dessinateur.
Leur intersection avec le plan de projection nous donne les points correspondants du dessin.
On dit que l'on réalise une projection conique. C'est l’habitude qui nous permet de
comprendre un tel dessin.
Si on représente une droite orthogonale à un carré en son centre, comme on fait le dessin en
deux dimensions d'une réalité qui en a trois, la droite semble couper le carré. Mais il n'en est
rien.
Nous pouvons utiliser la, même méthode pour représenter un espace à quatre dimensions.
63
Dans un tel monde, par exemple notre espace à trois dimensions avec le temps en plus, notre
espace physique est comme un plan. On l'appelle hyperplan, il a l'épaisseur d'une feuille de
papier. Plaçons un observateur en un point A de l'espace 4d regardant un objet de centre O
formé de points M. La droite AM coupe l'hyperplan orthogonal en A à la droite en M'. Quand
M parcourt l'objet de l'espace 4d, M' décrit une figure de l'espace 3d qui est sa projection.
Dans le dessin de Dürer il s'agit d'une projection de trois dimensions (3d) vers deux (2d). Ici
on projette de quatre dimensions (4d) vers trois (3d). Pour dessiner, on doit ensuite projeter
sur un plan (2d).
Finalement on passe de quatre dimensions à deux dimensions. On tasse deux fois les objets
dans un tel procédé. On a donc du mal à décrypter le dessin obtenu.
Représentons de cette façon une droite 4d orthogonale à un cube 4d . Une droite est
représentée par une droite et un cube par un objet que nous voyons comme un cube car nous y
sommes habitués
Pour voir qu'il ne s'agit pas d'une droite de notre espace qui traverse le cube, mais bien d'une
droite de la quatrième dimension qui coupe notre espace dans lequel on a dessiné un cube, il
suffit de prendre une autre vue de notre scène.
Notre droite, en rouge, ne coupe plus la face bleue mais la face verte. En fait, elle ne coupe
aucune face du cube, mais elle arrive au centre du cube sans jamais avoir coupé ni ses faces,
ni son intérieur. Notre cube est comme le carré vis à vis de la droite orthogonale en son centre
(dessin au-dessus). C'est ce qui se passe le jour de la pentecôte : des langues de feu
64
apparaissent venant de nulle part. De même après la résurrection Jésus entre dans les pièces
comme surgissant de la quatrième dimension. Dans l'espace à quatre dimensions notre espace
à trois dimensions est un hyperplan. Il est analogue à un plan dans notre espace habituel.
Ainsi pour séparer deux anneaux entrelacés, il suffit d'en déplacer un en suivant la quatrième
dimension orthogonale aux trois autres.
Dans ce dessin les deux anneaux sont entrelacés dans l'hyperplan d'équation t=0, le cylindre a
pour axe la direction orthogonale à cet hyperplan. En déplaçant l'anneau bleu sur le cylindre
on sépare les deux anneaux.
Rotation de R3 vers R4
« Le monde ne mourra jamais par manque de merveilles mais uniquement par manque
d'émerveillement »
Gilbert Keith Chesterton
Dans la suite d'images suivantes on fait tourner un cube de notre espace autour d'une de sa
face rouge. Il passe donc dans la quatrième dimension. En effet dans notre espace, lorsqu'on
ouvre une porte, elle tourne autour de l'axe formé par ses gonds. Une droite et un plan
orthogonal à cette droite se coupent en un point. En quatre dimensions deux plans
orthogonaux se coupent en un point. Par suite les rotations se font donc autour d'un plan.
Expliquons la rotation r de x degrés autour du plan rouge
En tout point A du plan rouge il existe un plan orthogonal H. Dans ce plan H, r est la rotation
de x degrés habituelle autour de A. Le cube est déformé par le procédé de projection. En fait
toutes les faces sont carrées.
65
Faisons ainsi tourner une maison autour d'un plan pour l'amener dans la quatrième
dimension.
66
Si on a impression que le plancher passe à travers le toit, cela est du à la représentation en
perspective, En fait une rotation conserve l'objet.
Si on fait tourner une hélice droite d’un demi-tour dans la quatrième dimension, on obtient
une hélice gauche. De même si on fait tourner un nœud droit, on obtient un nœud gauche.
La projection stéréographique
"Toute notre vie n'est que projection de nos rêves."
Osho Rajneesh
En géométrie et en cartographie, on utilise la projection stéréographique pour représenter une
sphère sur un plan. On projette à partir du pôle nord sur le plan tangent au pôle sud.
. Dans cette projection, un cercle ne passant pas par le pôle nord est transformé en un cercle
dans le plan. L'inverse de la projection stéréographique applique un plan sur la sphère.
67
Projection stéréographique
Carte de la terre
Inverse de la projection stéréographique
La loxodromie et la spirale logarithmique se
correspondent
De façon analogue, on peut projet l’hypersphère de l’espace à quatre dimensions sur notre
espace à trois dimensions. Notre espace est un hyperplan que l’on peut placer
tangentiellement au pôle sud de l’hypersphère. Dans le dessin ci-dessous le pôle nord de
l’hypersphère est dessiné en jaune haut de l’hélice rouge, tracée sur l’hypersphère. L’hélice
rouge se projette dans notre espace suivant l’hélice bleue.
De façon inverse, on applique notre espace sur l'hypersphère. Ce procédé permet d'insérer des
objets de notre espace à 3 dimensions sur l'hypersphère de l'espace à 4 dimensions. Cette
application conserve les angles et les cercles mais elle déforme les objets, comme nos cartes
déforment les régions polaires. Dans le dessin ci-dessous on a appliqué un jouet en forme de
canard sur l'hypersphère,
68
Hélice en rouge sur l’hypersphère projetée en
bleu dans notre espace
Canard tracé sur l’hypersphère par l’inverse
de la projection stéréographique
L'hypercube
"Un cube a six côtés mais, de quelque façon que vous le tourniez vous n'en verrez que trois."
David
Baird
L'objet le plus connu en dimension quatre est l'hypercube. Pour avoir obtenir un cube à partir
d'un carré, il suffit de le déplacer dans la direction orthogonale d'une distance égale à son arête
et de relier les sommets correspondants. Ses faces sont des carrés.
Le développement du cube est une croix en deux dimensions. En faisant tourner les carrés de
son développement autour des arêtes, on obtient des faces qui pivotent dans la troisième
dimension. Elles se rejoignent et forment le cube.
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De la même façon, en déplaçant un cube selon la quatrième dimension orthogonalement aux
trois autres d'une distance égale à son arête, on obtient un hypercube. Dans cette vue en
perspective, le cube qui semble plus petit est de même dimension que le grand qui est vu
comme à l'extérieur. Il faut interpréter que quand on se déplace suivant la quatrième
dimension dans ce dessin, on s'éloigne et la perspective diminue les longueurs. Les solides qui
joignent les faces du cube extérieur au cube intérieur sont en fait des cubes égaux au grand
cube. C'est la perspective qui les déforme.
Le développement d'un hypercube dans notre espace à trois dimensions est une croix formée
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de huit cubes. Pour obtenir l'hypercube, on fait tourner chaque cube de son développement
autour de la face à laquelle il est collé. Chaque cube part de notre espace est tourne alors dans
la quatrième dimension. Cette rotation particulière est représentée dans les dessins suivants.
Nous avons huit cubes. C'est la représentation en perspective de l'espace à quatre dimensions
sur le dessin, qui lui est en deux dimensions, qui les déforme.
La projection de l'hypercube sur une feuille de papier le tasse. Il est difficile de voir son
intérieur. Déjà le dessin d'un cube colle ses faces les unes contre les autres. C'est notre
cerveau qui interprète et voit la profondeur dans une représentation à deux dimensions.
Lorsque nous remplissons un cube, le liquide forme un pavé de base carré avec une hauteur
qui varie de zéro jusqu'à atteindre le côté du cube. Imaginons de remplir notre hypercube par
un liquide jaune, comme du vin blanc par exemple, mais en quatre dimensions. On obtient un
hyperpavé dont la hauteur croît de zéro jusqu'au côté de l'hypercube.
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L'hypersphère
« La sagesse commence dans l'émerveillement »
Bossuet
L'hypersphère est source d'émerveillements. On l'appelle S3. La sphère de centre O et de
rayon 1 est l'ensemble des points M situés à une unité de O. Son équation est très simple :
X²+Y²+Z²=1. Elle s'obtient par la juxtaposition de disques dont les rayons croissent de 0 à 1,
puis décroissent jusqu'à 0. Ce sont les sections de la sphère par les plans horizontaux de cote
variant de -1 à1. L'hypersphère S3 est aussi l'ensemble des points de l'espace à quatre
dimensions situés à une unité de O. Elle est la réunion de sphères dont le rayon croit de 0 à 1,
puis qui décroit jusqu'à 0. D’où son équation : X²+Y²+Z²+T²=1.
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La sphère est une union de disques
L’hypersphère est une union de sphères
Une hypersphère traversant notre espace apparaît comme un ballon réduit à un point, qui
gonfle progressivement jusqu'à atteindre un maximum. Ensuite il se dégonfle et disparaît. On
peut imaginer que certains O.V.N.I. sont des hypersphères traversant notre espace, ou tout au
moins en ont l'apparence !
On peut dessiner une spirale sur une sphère et sur une hypersphère.
Spirale sur une sphère
Spirale sur une hypersphère
Une autre façon de représenter l'hypersphère est de dessiner l'hypericosaèdre inscrit. Ses 120
sommets forment 720 arêtes, 1200 triangles équilatéraux, 600 tétraèdres réguliers. Il appoche
vraiment l'hypersphère. Les sections successives de l'hypericosaèdre, inscrit dans
l'hypersphère de centre O et de rayon 2, par des hyperplans parallèles donnent les solides
suivants:
Pôle nord de coordonnées (2,0,0,0) en jaune.
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Dans l'hyperplan d'équation X=1,618 =le nombre d'or on obtient l' icosaèdre nord : 30 arêtes
de longueur a=2/1,618=2/le nombre d'or formant 20 triangles isocèles en rouge.
Dans l'hyperplan d'équation X=1 on a le dodécaèdre nord : 30 arêtes de longueur a formant 12
pentagones en bleu.
Dans l'hyperplan d'équation X=1/1,618=1/le nombre d'or on trouve l'icosaèdre tropical nord
d'arête a*1,618 donc plus grand que l'icosaèdre nord. Ce sont les sphères en violet.
Si on coupe l'hypericosaèdre par son plan équatorial d'équation X=0, on obtient un solide
semi régulier. C'est l'icosidodécaèdre ou dodécaèdre tronqué : 60 arêtes de longueur a formant
des pentagones réguliers ou des triangles équilatéraux en vert.
Par symétrie autour de l'hyperplan équatorial on aura l'icosaèdre tropical sud, suivi du
dodécaèdre sud suivi de l'icosaèdre sud (non représentés sur le dessin), et finalement le pôle
sud (-2,0,0,0),( la boule noire sur le dessin)
On a ainsi une bonne idée de l’hypersphère qui n’est pas une surface mais une hypersurface.
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Fibrations
« Les mathématiques donnent à ceux qui les aiment la certitude immédiate, expérimentale,
vécue de la présence d’une corne d’abondance, d’où l’on tire toujours tout de rien. Certes,
tout s’y trouve, mais nous n’avons pas d’yeux pour le voir. »
Michel Serres
L’hypersphère, notée S3, a une structure compliquée. On peut décomposer S3 en fibres bien
arrangées comme les fils dans un pneu à carcasse radiale. Lorsque ces fibres sont des nœuds
de trèfles par exemple on dira qu’il s’agit d’une fibration de Siefert, lorsqu’elles sont des
cercles, il s’agit d’une fibration de Hopf. Une fibre est associée à un point M de S3. Lorsque M
se déplace sur un cercle, a fibre associée décrit un tore, ce qui donne lieu à de jolies
représentations.
Dans les dessins suivants on a représenté des tores associé à des cercles de S3.
Dans le deuxième dessin, on a dessiné une fibre plus épaisse sur le tore jaune. La projection
utilisée est la projection conique habituelle qui donne l’idée de la profondeur sans trop
déformer l’objet. N’oublions pas que nous projetons quatre dimensions sur un plan, ce qui
tasse quatre dimensions en deux ! Souvent, pour représenter des objets de S3 on utilise la
projection stéréographique qui donne des dessins plus aérés. On projette l’hypersphère à partir
de son pôle nord sur l’hyperplan tangent au pôle sud, qui est notre espace à trois dimensions.
Cette projection a la particularité suivante : un cercle ne passant pas par le pôle nord est
transformé en un cercle.
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On a tracé en rouge épais une fibre. On voit bien que c'est un nœud de trèfle.
Les dessins suivants montrent que dans la fibration de Hopf, les fibres sont des cercles.
Fibration de Hopf, projection conique
Fibration de Hopf, projection stéréographique
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On n'a dessiné que 4 tores, mais il y en a une infinité.
Déplaçons-nous le long d'une hélice tracée sur S3, et à chaque point rencontré traçons sa fibre
correspondante. Cette fibre est un cercle tracé sur S3, et ainsi nous allons avoir une autre idée
de S3.
Spirale tracée sur l’hypersphère
Fibration de Hopf, projection conique
Au début, près du pôle Nord, les fibres sont jaunes, puis en se déplaçant un peu vers le sud,
elles sont rouges. En continuant le trajet elles sont bleues, puis vertes, puis jaunes et enfin en
pointillé rouges.
En utilisant la projection stéréographique, pour un même chemin, au lieu d'avoir des cercles
qui grandissent, ils rapetissent. En effet près du pôle, la projection stéréographique grandit les
longueurs.
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En traçant pour chaque sommet de l’hypericosaèdre sa fibre, on obtient le dessin suivant.
Conclusion
Dans le mythe de la caverne, Platon imagine des captifs enchaînés dans une grotte, le visage
tourné vers la paroi opposée à l'entrée. Pour eux la réalité est l'ombre projetée sur le fond de la
grotte des hommes, animaux, objets réels passant devant l'entrée. Un des hommes se libère et
se dirige vers la sortie. Il est d'abord ébloui par la lumière, puis en s'accoutumant, il voit le
monde dans sa réalité.
Nous sommes, comme les hommes de la caverne de Platon, enchaînés à notre monde à trois
dimensions spatiales et à tous ses tracas. Nous appréhendons la réalité avec nos cinq sens. Le
géomètre a accès au monde des idées pures comme le prisonnier dans la caverne, qui quitte
ses semblables pour accéder à la réalité extérieure.
Cet ouvrage vous a fait partager le plaisir que j'ai eu à dessiner ces belles figures
géométriques. Si des notions sont parfois difficiles, leur compréhension nous ouvre un
monde merveilleux et passionnant. Les dessins proposés nous permettent de visualiser ces
notions et les comprendre. Vous ne regarderez plus un arbre de la même façon, vous vous
souviendrez de sa nature fractale et la retrouverez ailleurs. Vous serez sans doute plus attentif
en contemplant les fleurs, les églises, les tableaux dans les musées, en sachant que souvent
leur harmonie est due à la présence du nombre d'or.
Vous trouverez dans la bibliographie des liens vers des vidéos sur la quatrième dimension. La
géométrie en dimension supérieure à trois n'est pas qu'une théorie mathématique. La relativité,
la mécanique quantique, la théorie des cordes … utilisent des espaces à quatre dimensions ou
plus.
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Bibliographie
Le dictionnaire Penguin des curiosités géométriques. David Wells. Eyrolles
Visualiser la quatrième dimension. François Lo Jacomo. Belin.
La quatrième dimension. Thomas Banchoff. Belin.
Le monde est mathématique. Raul Ibanez. Promévente.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Portail:Math%C3%A9matiques
www.mathcurve.com
www.dimensions-math.org
www.la-dimension4.com
http://images.math.cnrs.fr/Une-chambre-hyperbolique.html
Table des matières
Introduction
Triangles
Rectangles
La quadrature du cercle
Spirales
Spirale d’Ulam
Frises
Pavages
Pentagones
Cycloïdes
Hexagones
Coniques
Polyèdres
La grande pyramide
Les cercles de Villarceau
La cyclide de Dupin
La boule chevelue
Surfaces minimales
Le plan complexe
Les ensembles de Julia
L’ensemble de Mandelbrot
Fonctions complexes
L’étonnant nœud de trèfle
Le disque de Poincaré
La boule de Poincaré
Les fractals
La ceinture de Dirac
Le ruban de Möbius
La bouteille de Klein
La surface de Boy
Le tore de Clifford
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Ensembles paradoxaux
L’hôtel de Hilbert
La sphère de Hausdorff
La quatrième dimension
Rotations de R3 vers R4
La projection stéréographique
L’hypercube
L’hypersphère
Fibrations
Conclusion
Bibliographie
Table des matières
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page 55
page 58
page 62
page 65
page 67
page 69
page 72
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