Synthèse et détection de fréquence I

Electronique analogique
1
Synthèse et détection de fréquence
I - Astables et horloges
1) Astables à A. Op.
a) montage de base
R
Vsat
R1
V
R1+R2 sat
Vcc
Ve
C
-Vcc
R1
Vs
Ve
Vs
t
R2
Trigger inverseur
Circuit de relaxation
Vs
Vsat
R1
V
R1+R2 sat
0
Ve
 R + 2R 1 
t 1 = t 2 = RC ⋅ ln  2

 R2

t1
δ=
= 0.5 (rapport cyclique fixe)
t1 + t 2
Note : pour déterminer le temps de charge (ou décharge) d’un
condensateur C à travers une résistance R à partir d’une tension
initiale VC(init) on peut utiliser la formule :
VC (tx) = [VC(init)- VC(fin)]exp(-tx/RC) + VC(fin)
b) Réglage du rapport cyclique
Il suffit de remplacer R par un aiguilleur à diode du type suivant :
r
r
P
Les résistances r empêchent l’annulation des constantes de temps de charge ou décharge lorsque le
potentiomètre P est en butée.
c) Astable à intégrateur
V1
R1
+
-
C
R2
R
V1
Trigger non inverseur
Vsat
R1
V
R2 sat
+
V2
V2
Intégrateur
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
t
Electronique analogique
Vsat
2
R1 < R 2
V1
R1
V
R2 sat
0
t
v 2 (t) = -
V2
1
v1 ( t ) ⋅ dt + v 2 (0)
RC ∫0
Détermination de la durée t1 de l’état haut de
v1(t) :
R
t
R
− 1 Vsat = - 1 Vsat + 1 Vsat
R2
RC
R2
d ' où t 1 = 2 ⋅
R1
⋅ RC
R2
2) Astables à portes logiques
A
100 k
C
3V DD /2
R
P1
V A (t)
V 2(t)
P2
V1
V DD
V2
(0; VDD )
V DD /2
Avec des valeurs extrêmes (-VDD/2 et
0
t
3VDD/2), la tension théorique VA(t)
t1
dépasse de part et d’autre la gamme de - V DD /2
tension d’alimentation (0 ; VDD). Ceci a
pour effet de mettre en conduction les
diodes de protection de l’entrée de la Expression théorique de la période T du signal de sortie :
porte P1. La résistance de 100 k joue
T ≈ 2.RC.ln(3)
alors le rôle de limitateur de courant.
3) Horloge à quartz
a) Propriétés du quartz
b) Modèles électriques du quartz
Xtal
R
L
Co
C
Symbole
Modèle usuel
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
L
Co
C
Modèle simplifié
Electronique analogique
3
c) Impédance du quartz (en négligeant R)
1 
1 
1
 Lp +

1+
Cp 
C p
1
LCp 2
Z(p) = o 
=
⋅
1
1
Co p
1 1
1 
+ Lp +

1 + 2  +
Cop
Cp
Lp  C C o 
1
Posons ωs2 =
(pulsation de résonance série)
LC
11
1  1 C + Co
 = ⋅
et
(pulsation de résonance parallèle)
ω 2p =  +
L  C C o  L C.C o
2 

ω
 1 -  s  
1  ω 
Z(jω) = jX avec X = ⋅
C o ω   ωp  2 
1 -   
  ω 
   
Ordre de grandeur :
Inductance
X
Capacité
0
f
fp
fs
Co = 25 pF ; C = 0,05 pF ; L = 0,2 H
A.N. fs = 1,5915 MHz et fp = 1,5931 MHz
Le rapport :
2
 fs 
Co
  =
est donc très proche de 1
f 
Co + C
 p
d) Exemple d’horloge
R2
V1
R1
Ce
Ce
V2
L’élément L’ prend une des valeurs
correspondant à la portion de courbe comprise
entre fs et fp.
ct
La f de transfert de la boucle de retour s’écrit :
V1
1
( p) =
V2
1 + 2R 1C e p + L’C e p 2 + R 1 L’C e2 p 3
V1
1
( jω) =
2
V2
1 − L’C e ω + j 2R 1C e ω − R 1L’C e2 ω3
Dans la zone inductive, le circuit de réaction est
2
équivalent à :
Pour ωo2 =
avec ωs < ω o < ω p
L’C e
V1
R1
L’
( jω o ) = - 1
V2
V2
V1
La porte inerseuse joue alors le rôle
Ce Ce
d’amplificateur inverseur qui entretient les
oscillations.
[
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
]
Electronique analogique
4
II - Générateurs sinusoïdaux
1) Caractéristiques d'un générateur sinus
Son rôle est de fournir un signal sinusoïdal de fréquence et d'amplitude stables avec un minimum de
distorsion harmonique.
Spectre
Spectre
Fondamentale
Harmoniques
0
f
fo
0
Sinusoïde pure
fo
k.fo
f
Sinusoïde déformée – Distorsion harmonique
Le taux de distorsion harmonique totale est définie par
∑ a 2k + b 2k
DHT(%) = 100
k ≠1
a 12 + b12
où ak et bk sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier du signal x(t).
ak =
bk =
1
To
1
To
∫
x ( t ). cos(2πk
t
)dt
To
∫
x ( t ). sin(2πk
t
)dt
To
( To )
( To )
et
On distinguera :
- Les oscillateurs dont le principe repose sur la réaction positive d'un amplificateur par un circuit de
filtrage.
- Les générateurs sinus à conformateur qui procèdent par déformation d'un signal généralement
triangulaire.
- Les synthétiseurs qui font usage de techniques numériques (à registre à décalage, à EPROM +
CNA, oscillateur numérique à DSP)
2) Principe général d'un oscillateur sinus
a) Schéma bloc
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Electronique analogique
5
Sortie
Entrée +
A(p)
-
Sortie
Entrée +
A(p)
+
B(p)
B(p)
N°1
N° 2
b) Conditions théoriques d'oscillation (ou de Barkhausen)
* Schéma bloc N° 1 : T(jω) = A.B(jω) = -1
* Schéma bloc N° 2 : T(jω) = A.B(jω) = 1 Í
Re{T(jωo)} = 1
et IM{T(jωo)} = 0
(1)
(2)
(1) est une condition à respecter sur le gain. La condition (2) permet de déterminer la pulsation
d’oscillation ωo.
3) Oscillateurs classiques BF
a) Pont de Wien
Ampli non inverseur
+
-
Ve
C
R
Vr
Vr
= B(jω) =
Vs
R2
1
1 

3 + j RCω 
RCω 

Conditions d’oscillation : A.B(jωo ) = 1
R
Vs
R1
Vs
R
= A(jω) = 1 + 2
R1
Ve
Pont de Wien
C
⇒
o
=
1
RC
et 1 +
R2
= 3
R1
b) A circuit oscillant et résistance négative
R2
En adoptant le même
précédemment :
Vs
R
= A(jω) = 1 + 2
Ve
R1
R1
Ve
K
+
Vr
x
= B(jω) =
=
Vs
x + Z( jω)
x
Vs
Vr R C
L
raisonnement
avec
1
1+
x
Z(jω)
1
1
1
=
+ j(Cω −
)
Z(jω)
R
Lω
Conditions d’oscillation : A.B(jωo ) = 1
⇒
o
=
1
LC
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et x =
R.R 2
R1
que
Electronique analogique
6
c) A réseau de déphasage
Vs
R
= A(jω) = - 2
Ve
R
Ampli inverseur
R
Ve
R2
+
Vs
R
Vr
C
C
C
Vr
- jR 3 C 3 ω 3
= B(jω) =
Vs
1 − 6R 2 C 2 ω 2 + j(5RCω − R 3 C 3 ω
Conditions d' oscillation : A.B(jω o ) = 1
La partie réelle du dénominateur de B(jω) s' annule
1
pour o =
6 .RC
R
Réseau déphaseur
ce qui conduit à B(jω o ) =
L'impédance d'entrée de l'ampli inverseur étant
R, la boucle de réaction possède le schéma
R2
équivalent :
⇒
= 29
R
C
C C
- R 2 C 2 ω2
5−R C ω
2
2
2
= -
1
29
Vs
Vr
R
R
R
4) Oscillateurs classiques HF
a) Quadripôles - Matrice admittance
Considérons le qudripole suivant :
I1
Cette matrice caractérise complètement le
quadripôle qui prend alors le schéma équivalent :
I2
V1
V2
Q
I2
I1
y 12.V 2
V1
y 11
La matrice admittance [Y] est définie par
I1 = y11V1 + y12V2
I2 = y21V1 + y22V2
On détermine les paramètres yij par
I
I
; etc...
; y12 = 1
y11 = 1
V2 V = 0
V1 V = 0
2
V2
y 22
y 21.V 1
1
Exemple d’un transistor en émetteur commun Le modèle électrique ″petits signaux″ est :
(Les polarisations ne sont pas représentées)
I2
I1
V1
h11
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β I1
ρ
V2
Electronique analogique
7
On montre aisément que :
1
y 11 =
; y 12 = 0
h 11
I2
I1
V2
V1
y 21 =
β
1
; y 22 = ≈ 0
h 11
ρ
b) Conditions d’oscillation d’un quadripôle à entrée et sortie ouvertes
Dans ce cas I1 = I2 = 0
On obtient alors le système d’équation homogène :
y11V1 + y12V2 = 0
y21V1 + y22V2 = 0
Qui possède des solutions V1 et V2 différentes de 0 lorsque : Det[Y] = y11.y22 - y21.y12 = 0
(E)
Le respect de (E) détermine les conditions d’entrée en oscillation du quadripôle.
c) Utilisation pour la synthèse d’oscillateur HF
Considérons l’association en parallèle d’un quadripôle passif en π (Qπ) et d’un quadripôle actif (QA)
à transistor en émetteur commun.
Y1
Y2
Y3
V2
V1
Le quadripôle Qπ possède des éléments purement réactif (self ou capacité) , les éléments de sa
matrice admittance sont par conséquent purement imaginaires.
L’ensemble forme un quadripôle unique à entrée et sortie ouvertes.
− Y2 
Y1 + Y2
La matrice admittance de Qπ est : [Yπ ] = 
Y2 + Y3 
 − Y2
g 11
Celle de s’écrit : [YA ] = 
g 21
0
0
g 11 + Y1 + Y2
La matrice admittance du quadripôle résultant est donc : [Y] = 
 g 21 − Y2
Conditions d’oscillation
Det[Y] = g 11 (Y2 + Y3 ) + Y1Y2 + Y1Y3 + Y2 Y3 + g 21Y2 = 0
Ce qui donne en séparant partie réelle et imaginaire :
Y1 (Y2 + Y3 ) + Y2 Y3 = 0
(1)
g11 (Y2 + Y3 ) + g 21Y2 = 0
(2)
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− Y2 
Y2 + Y3 
Electronique analogique
8
Comme dans le cas d’un transistor en émetteur commun g11 et g21 sont positifs , les conditions
précédentes imposent que :
* Y2+Y3 soit de signe différent de Y2
* Y1 et Y3 soient de même signe

Y 
* g 21 =  1 + 3  g11
 Y2 
d) Exemple : l’oscillateur Colpitts
On choisit Y1 et Y3 des capacités et Y2 une self. Par exemple : Y1 = C1p ; Y3 = C 3 p et Y2 =
L2
Les conditions d’oscillation sont, avec p = jωο :
RFC
 C p
 1
(1) ⇒ C1p
+ C 3 p  + 3 = 0
 L 2p
 L2p
C
C
Rc
Rb
Vs
C1
1
L2p
C
E
C3
Les parties grisées concernent les éléments de
polarisation du transistor.

 1
1
(2) ⇒ g11 
= 0
+ C 3 p  + g 21
L2p

 L2p
(1) ⇒ ωo2 =
(2) ⇒
C1 + C 3
C1C 3 L 2
C
g 21
g
g
= 11 ⇒ 21 = β = 3
C3
C1
g11
C1
5) Générateurs sinus à conformateur
Ce type de générateur délivre un signal
approximativement sinusoïdal à partir d’un
signal généralement triangulaire déformé par un
conformateur à diodes, (figure ci-contre).
La forme sinusoïdale est alors approchée par
plusieurs segments de droite contigus de pente
différente.
Exemple de conformateur sinus passif
R3
D3
Supposons que R3 < R2 < R1 et que Ve(t) soit
dans l’alternance positive.
R2
D2
R1
D1
Ve
R4
Vs
* De t = 0 à t = t1, aucune diode n’est passante et
on a en sortie :
Ainsi, durant la partie croissante de l’alternance
R1 + R 2 + R 3
positive de Ve(t) , la tension de sortie Vs(t)
Vs ( t ) =
Ve ( t )
R1 + R 2 + R 3 + R 4
prend successivement 4 segments de pente :
* A t = t1, la diode D1 conduit donc :
R1
0.6 V =
Ve ( t 1 )
R1 + R 2 + R 3 + R 4
* De t = t1 à t = t2, seule D1 est passante d’où
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
Electronique analogique
Vs ( t ) = 0,6 +
9
R1 + R 2 + R 3
R2 + R3
;
;
R1 + R 2 + R 3 + R 4 R 2 + R 3 + R 4
R2 + R3
[Ve ( t ) − 0,6]
R2 + R3 + R4
* A t = t2, la diode D2 se met à conduire d’où :
R2
0,6 V =
[Ve (t 2 ) − 0.6]
R2 + R3 + R 4
R3
et 0
R3 + R4
* De t = t2 à t = t3, D1 et D2 sont passantes :
R3
Vs ( t ) = 1,2 +
[Ve (t ) − 1,2]
R3 + R4
Exemple d’approximation d’une sinusoïde par
des segments de droites.
Vs(t)
1,8
* A t = t3, D3 se met à conduire d’où :
R3
0,6 V =
[Ve (t 3 ) − 1,2]
R3 + R 4
* A partir de t3, Vs(t) = 1.8 V
t
t1 t2
Calcul des valeurs des résistances fait en TD
6) Synthétiseurs de sinus
a) Avec registre à décalage et réseau résistif
Etat après le coup d'horloge n° k-1
R3
R4
R5
R6
R7
R8
Q1 Q2
Q3
Q4
Q5
Q6
Q7
Q8
CLOCK 2
DATA
IN
OUT
4015
CLOCK 1
GND
Etat après le coup d'horloge n° k
RESET 2
R2
RESET 1
R1
V
DATA 1
DATA 2
+Vcc
Vcc
C
R
b) A mémoire + CNA
* Schéma de principe
Adresses
Horloge
Compteur
binaire
Data
CNA
EPROM
M
N
* Exemple
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PB
Electronique analogique
10
Q0
A0
Clk
4024
D0
D0
A6
Q6
Vcc
4x
5,6 k
SW
ON
27C64
AD557
Sortie
A7
A8
A9
A10
A11
A12
D7
D7
Vpp et PGM à Vcc
OE et CE à GND
c) Oscillateur numérique à DSP
La synthèse est réalisé par un algorithme récurrent qui permet le calcul des amplitudes successives
d'un signal sinus échantillonné.
Considérons le signal sinusoïdal analogique : x(t) = sin(ωot) avec ωo = 2π/To
T
Sa version échantillonnée avec la période Te s'écrit : xk = x(t = k.Te) = sin(k ⋅ 2π e ) = sin(ka)
To
T
en posant a = 2π e
To
sin[(k+1)a] = xk.cos(a) + cos(k.a).sin(a)
(1)
(2)
cos[(k+1)a] = cos(k.a).cos(a) - xk.sin(a)
1
(1) Í cos(ka ) =
[x k +1 - x k ⋅ cos(a )] ⇒ cos[(k + 1)a ] = 1 [x k + 2 - x k +1 ⋅ cos(a )]
sin(a)
sin(a)
cos(a)
(2) Í cos[(k + 1)a ] =
[x k +1 - x k ⋅ cos(a )] - x k ⋅ sin(a )
sin(a)
En comparant les deux expressions de cos[(k+1)a] , il vient immédiatement :
x k +1 ⋅ cos(a ) - cos 2 (a ) ⋅ x k - sin 2 (a ) ⋅ x k = x k + 2 - x k +1 ⋅ cos(a )
⇒ x k + 2 - 2 ⋅ x k +1 ⋅ cos(a) + x k = 0
(E)
Avec les deux conditions initiales :
xo = sin(0) = 0 et x1 = sin(a)
La récurrence (E) permet de déterminer successivement tous les échantillons de la sinusoïde
Par exemple : (E) Í x2 = 2.cos(a).x1 – xo = 2cos(a).sin(a) = sin(2a) etc…
Cet algorithme ne demande qu’une multiplication et une addition.
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
Electronique analogique
11
III – Oscillateurs commandés en tension (ou convertisseur tensionÅ fréquence)
1) Définition
fréquence f du signal y(t)
ou
VCO
x(t)
fmax
y(t)
fo
Le VCO génère un signal périodique y(t) (carré
ou sinus) dont la fréquence est une fonction
linéaire de l’amplitude instantanée de x(t).
Le VCO est l’élément incontournable des
modulateurs de fréquence.
fmin
Xmin
Xmax
x(t)
2) Astable à courant commandé
a) Schéma de principe
+E
Si I1 = I2 = I = constante.
la variation de tension VC(t) est linéaire.
∆VC
I
=
C
∆t
I1
K
Ve
Le contrôle de l’intensité du courant I par la
tension d’entrée Ve permet d’obtenir une
variation de fréquence du signal VC
proportionnelle à la variation de Ve.
Le signal Vs est un signal carré modulé en
fréquence par Ve.
Vs
I2 C
Vc
-E
b) Exemple
-E
+E
R
R2
R
T2
R’
T1
R’
x(t)
+
R1
D1
D2
R1
C
R2
&
&
VC(t)
Etude réalisée en TD
3) VCO à diode varicap
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
y(t)
z(t)
Electronique analogique
12
a) Propriété des diodes varicap
Ce type de diode polarisée en inverse présente une capacité qui décroît avec la tension selon une loi
Co
; Co et Vo sont des constantes.
(approchée) du type : C(V) =
V
(1 + V )0,5
o
Note : l’exposant n = 0.5 est valable pour les varicap de type planar-épitaxial.
C(V)
Co
V
V
Ordre de grandeur des valeurs courantes rencontrées : Vo = 0,7 volt ; Vmin < V < Vmax
Vmin = 2 volt ; Vmax = 20 V et Co = 30 pf
b) Oscillateur à diode varicap
La diode varicap polarisée en inverse est utilisée en lieu et place d’un condensateurs du circuit
résonant constituant le cœur d’un oscillateur.
L’application d’une tension de polarisation variable permet d’obtenir la modulation de la fréquence
de l’oscillateur.
Exemple : Considérons le circuit résonant suivant :
(la polarisation de la diode varicap n’est pas représentée).
L
C
C.(1+x)-0.5
x représente les variations relatives du signal de polarisation. x est en général très inférieur à 1.
CC’ 2
En notant C’ = C(1+x)-0.5 , la pulsation d’oscillation est donnée par l’expression : L
ωo = 1
C + C’
En remplaçant C’ par son expression en fonction de C , on obtient après développements limités :
LC 2  x 
2  x
ω o 1 −  = 1 d' où ωo ≈
⋅ 1 + 
2
LC  8 
 4
Les variations de la fréquence de sortie de l’oscillateur sont linéaires avec x pour x << 1
IV – Convertisseurs fréquence Å tension
1) Par modulation du rapport cyclique d’un signal carré
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Electronique analogique
13
Signal E à
fréquence
variable
Signal S à
fréquence et
rapport cyclique Filtre passe
bas
variable
Générateur
d’impulsions
déclenché sur
fronts positifs
Le monostable, déclenché par le signal E, délivre des impulsions de largeur constante τ.
Soit f =1/T la fréquence du signal E
La condition T > τ doit être vérifiée pour éviter le chevauchement temporel des impulsions du
monostable.
Lorsque cette condition est respectée le rapport cyclique δ du signal S peut s’écrire :
τ
δ =
= τ ⋅ f . On constate que δ est une fonction linéaire de la fréquence f.
T
La valeur de δ est obtenue après filtrage PB du signal S.
2) Convertisseur de type pompe à diode
R6
2k
R1
1k
C1
D1
A
Ve
10n
Vss
Vs
Vc2
TL081
R2
rect
R3
1M
50
C2
VCC
200n
R4
470
vcom
Q2N2222
Etude faite en TD
V – Comparateurs de phase
1) Définition
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
Electronique analogique
14
y
x 1(t)
y
COMP
φ
x 2(t)
−π
ou
x 1(t) et x 2(t) sont
π
∆φ
Les applications des comparateurs de phase sont multiples. Elles concernent entre autres :
- Les boucles à verrouillage de phase.
- Les systèmes à modulation angulaire.
- Certaines méthodes de mesure de position …
2) Comparateurs de phase analogiques
a) A multiplieur analogique
Principe
En supposant que :
x 1 ( t ) = sin(ωt + φ1 ) et x 2 ( t ) = sin(ωt + φ 2 )
∆ϕ
X1
X2
Y
X
1
[cos(∆φ) - cos(2ωt + φ1 + φ 2 )]
2
∆φ = φ1 − φ 2
y( t ) =
Y
cos( ∆φ )
−π
π
2
Le filtrage PB élimine la composante de
pulsation 2ω. Le signal résiduel est alors
proportionnel à la fonction cos(∆φ) qui présente
une linéarité acceptable pour des déphasages
proches de ± π/2.
∆φ
π
b) A multiplieur à découpage
Principe
R
R
+Vcc
R
TL 081
+
- Vcc
∆ϕ
Y
Y
Dans ce montage, l’A. Op. réalise un
amplificateur de gain alternativement égal à 1 et
–1 suivant le rythme de commande de
l’interrupteur.
* Le gain = -1 lorsque l’interrupteur est fermé.
* Le gain = 1 lorsque l’interrupteur est ouvert.
Le signal de sortie y(t) représente ainsi le produit
entre le signal d’entrée et le signal de
commande.
Lorsque ces deux signaux sont synchrones, la
valeur moyenne de y(t), obtenue après le filtre
PB, est proportionnelle au déphasage entre les
signaux.
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Electronique analogique
15
3) Comparateurs de phase numériques
a) Comparateur de phase à circuit combinatoire (ou exclusif)
Le ″ou exclusif″ délivre un signal dont le rapport
cyclique δ est proportionnel à ∆φ.
δ = 0 lorsque les signaux sont en phase et δ = 1
lorsqu’ils sont en opposition de phase.
Après filtrage PB on obtient un signal continu
dont l’amplitude est une fonction linéaire de ∆φ.
X1
Y
=1
X2
Y
x1(t) et x2(t) sont ici deux signaux carrés
supposés synchrones, de période To. Soit ∆t leur
∆t
décalage temporel. On note : ∆φ = 2π
To
Y
0
b) Comparateur de phase séquentiel
+5V
S
D
C
R
Q
X1
Clk Q
R
&
74LS00
S
D
Q
X2
R
R
+ 10 V
-
LF 356
Y
+
- 10 V
R
Clk Q
R
C
74LS74
Etude faite en TD
Etienne TISSERAND – LIEN – Février 2000
π
∆φ