Colinéarité de vecteurs Équations de droites

Colinéarité de vecteurs
Équations de droites
I) Colinéarité de deux vecteurs :
rappels et notion de colinéarité
Revenons à la notion du vecteur abordée en Seconde. Le vecteur permet de définir le
déplacement d'un point en translation. Ce déplacement est caractérisé par une direction, un
sens, une longueur.
La translation qui transforme A en B est la translation de
→
vecteur AB .
E
→
→
J
Dans l'exemple ci-contre, AB = u puisque ces deux vecH
teurs caractérisent
la même translation.
→
→
On a aussi EF = CD
B
I
G
A
→
C
F
u
L' adjectif colinéaire est composé de co (du latin cum : avec)
et linéaire (du latin linearis : de ligne).
Deux vecteurs colinéaires caractérisent deux déplacements
pouvant être effectués avec la même ligne droite.
D
→
→
Dans l'exemple ci-dessus, EF et IJ sont deux vecteurs colinéaires (des déplacements identiques caractérisés par ces deux vecteurs peuvent être effectués sur une même ligne droite).
→
→
→
→
u et GH sont également colinéaires. Par contre, EF et AB ne sont pas colinéaires.
définition :
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires quand ils ont la même direction.
→
→
Ex : Les vecteurs u et v sont colinéaires
B
→
C
u
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles !
A
→
v
D
→
→
propriété admise : Deux vecteurs→
non nuls
u et v sont colinéaires si et seulement
→
s'il existe un nombre réel k tel que u = k v .
F
Ex :
→
G
→
EF et GH sont colinéaires
→
→
on dit aussi que GH est colinéaire au vecteur EF
E
→
→
→
Ici, GH = – 3 EF ou EF = –
H
→
1 →
GH
3
→
le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur u !
→
→
0 =0 u
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propriété : "condition de colinéarité"
→
→
Dans un repère, deux vecteurs u (x;y) et v (x';y') sont colinéaires si et seulement si
xy'–x'y = 0
► démonstration →
 →
► Supposons que u (x;y) et v (x';y') sont colinéaires. Démontrons
que xy'–x'y = 0.
→
→
D'après la propriété précédente, il existe un nombre réel k tel que v = k u .
 x' = kx
En coordonnées, cela signifie  y'=ky .

On a alors xy' – x'y =→
xky –→
kxy = 0
On a prouvé que si u et v sont colinéaires alors xy'–x'y = 0
→
 →
► Supposons
que xy' – x'y = 0. Démontrons que u (x;y) et v (x';y') sont colinéaires.
→
→
→
→
- si u = 0 alors u est colinéaire à v
→
→
- si u
0 , une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que ce soit x.
x'
Posons k = , on a donc x'=kx.
x
xy' – x'y = 0 s'écrit xy' – kxy = 0 or x 0 donc y' – ky = 0 donc y' = ky
→
→
On a prouvé qu'il existait un nombre k tel que v = k u
→
→
Si xy' – x'y = 0 alors u et v sont colinéaires
→
Ex : Les vecteurs u
→
( ––148 )
et v
( 47 ) sont colinéaires car :
–14 x 4 – 7 x (–8) = – 56 + 56 = 0
Il est utile d'écrire verticalement les coordonnées.
Elles sont proportionnelles. Pensez à la règle du
xk
produit en croix !!
( ––148 ) ( 74 )
II) Décomposition d'un vecteur :
a) généralités :
→
→
propriété : Soient u et v deux
vecteurs non colinéaires.
→
Pour tout vecteur w , il →
existe un
couple
unique (a;b) de nombres réels tels
→
→
que :
w =a u +b v
► démonstration
R(a;b)
► montrons d'abord l'existence de la décomposition
B(0;b)
Soit un point O du plan.
→
→
→
N
→
Appelons
M →
et N les points définis par OM = u et ON
w
→
→
→
= v . ( u et v ne sont pas colinéaires donc (O; M; N) constitue un repère du plan)
v
→
→
Soit un point R tel que OR = w . R a pour coordonnées
(a;b).
→
→
→
→
→
O
M
A(a;0)
Soient A(a;0)
et B(0;b). On a OA = aOM et OB = bON.
u
→
→
→
De plus, OR = OA + OB (coordonnées de la somme de
deux vecteurs)
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
donc OR = aOM + bON. Or, OR= w , u = OM et v = OM donc w = a u + b v
On a prouvé l' existence de la décomposition.
► montrons l'unicité de la décomposition
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→
Supposons qu'il existe →
deux expressions
de→
w de →
ce type.
→
→
→
On aurait
donc
w
=
a
u
+
b
v
et
w
=
a'
u
+
b'
v →
→
→
→
→
→
alors→
a u →
– a' u = b' v – b v ce qui revient à (a – a') u =(b' – b) v
Or, u et v ne sont pas colinéaires donc a – a' = 0 et b - b' = 0
Par suite, a = a' et b = b'
On a prouvé l' unicité de la décomposition.
Ex :
→
→
Soit un triangle ABC et I le milieu de [BC].
AB et AC ne sont
pascolinéaires.
 →
→
→
Déterminons la décomposition de AI en fonction de AB et AC
A
On sait que cette décomposition existe et est unique.
→
→
→
→
→
→
→
→
→
AI + →
IC = 2 AI + IB + IC
On a AB + AC = AI + IB + →
or I est le milieu de [BC] donc IB = – IC
Par
suite,
→
→
→
AB + AC = 2 AI
→
1 → 1 →
donc AI = AB + AC
2
2
C
B
I
b) application au repère du plan :
définition :
→
→
► Un point O et→
deux→
vecteurs non colinéaires u et v constitue un repère du plan.
On le note (O ; u ; v )
► Soit un point M du plan.
→
→
→
→
→
→
Par décomposition de OM à l'aide de u et v , on obtient OM = a u + b v
→
→
a et b sont les coordonnées de M dans le repère (O ; u ; v ) constitué par le point O
→
→
et les deux vecteurs non colinéaires u et v .
Ex : Soit un parallélogramme ABCD. Soit I le milieu de [AC]
D
C
C a pour coordonnées (1;1) dans le
→ →
repère (A; AB;AD)
I
D a pour coordonnées (0;1) dans le
→ →
repère (A; AB;AD)
B a pour coordonnées (1;0) dans le
→ →
repère (A; AB;AD)
B
A
1 1
→ →
I a pour coordonnées  ,  dans le repère (A; AB;AD).
2 2
→
→
→
→
→
→
→
1 → 1 →
En effet, AC = AB + AD donc 2 AI = AB + AD et par suite, AI = AB + AD
2
2
III) Equation cartésienne d'une droite :
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pourquoi cartésienne ?
L'équation de la droite est établie dans le plan muni d'un repère cartésien ( constitué d'un
point et deux vecteurs non colinéaires).
C'est le mathématicien René Descartes 1596 - 1650 qui est à l'origine de ce type de repère (d'où "cartésien")
a) vecteur directeur d'une droite :
définition :
Un vecteur
directeur d'une droite d est un vecteur non
→
nul u dont la direction est celle de la droite d.
→
u
d
B
A
•
•
→
si C et D sont deux points distincts d'une droite d alors CD est un vecteur
directeur de la droite
→
→
si v est un vecteur d'une droite d alors k v (k 0) est un vecteur directeur de d
→
propriété (conséquence de
la définition): une droite de vecteur
directeur
u et une
→
→
→
droite de vecteur directeur v sont parallèles si et seulement si u et v sont colinéaires
b) équation cartésienne d'une droite :
a et b ne peuvent être nuls en même temps !
propriété : Dans un repère du plan,
toute droite d a une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a
→
Un vecteur directeur de d est le vecteur u (–b ; a)
0 ou b
0.
► démonstration
→
Soit un point A(x0;y0) sur une droite d de vecteur directeur u (r ; s).
→
→
Un point M(x;y) appartient à la droite d si et seulement si AM et u sont colinéaires
(propriété précédente).
r
→  x – x0 
→
Or, AM 
 et u  s .
 y – y0 
→
→
Dire que AM et u sont colinéaires revient à dire que s(x – x0) – r(y – y0) = 0
c'est à dire sx – ry –s x0 + ry0 = 0
Cette équation est bien de la forme ax + by + c = 0 avec a = s; b = –r et c = –sx0 +r y0 et
→
le vecteur u de coordonnées (–b;a) est bien un vecteur directeur de d.
définition : Une équation d'une droite de la forme ax + by + c = 0 avec a
est appelée équation cartésienne de la droite d
0 ou b
0
d' après la propriété précédente, toutes les droites ont
donc une équation cartésienne !
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