Chapitre 5-géométrie dans l`espace

5 Géométrie dans l’espace
5.1 Repérage dans l’espace
Coordonnées cartésiennes : Un repère orthonormal de l’espace (euclidien) E est la donnée
de O,i , j ,k , où i , j et k sont trois vecteurs de norme 1 et deux à deux orthogonaux, et O un
point quelconque.
Tout point M admet un triplet unique de coordonnées (x, y, z), défini par : OM = xi + yj + zk .
(
)
Coordonnées cylindriques : On repère M par un couple de coordonnées polaires dans le plan
(O,i , j ) , avec r ≥ 0, et par z : OM = r cosθ i + rsinθ j + z k .
 x = r cos θ

 y = r sin θ
 z=z

(
)
Coordonnées sphériques : On repère M par ρ, θ et ϕ = k , OM . ϕ est la colatitude de M.
OM =sinϕ (ρ cosθ i + ρ sinθ j ) + ρcosϕ k .
 x = ρ sin ϕ cosθ

 y = ρ sin ϕ sin θ .
 z = ρ cos ϕ

5.2 Produit vectoriel
Définition 1 : Si u et v sont non colinéaires, le produit vectoriel de u et v est le vecteur
directement orthogonal à (u , v ) et de norme u × v × sin(u ,v ) .
Si u et v sont colinéaires, le produit vectoriel de u et v est le vecteur nul.
On le note u ∧v .
Calcul pratique : Dans un repère orthonormal direct, le produit vectoriel de u(x, y, z ) et de
v ( x′, y ′, z ′ ) est u ∧ v = ( yz ′ − zy′ ) i + ( zx′ − z ′x ) j + ( xy ′ − yx′ ) k .
Propriétés :
•
•
•
•
L’application produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique.
u et v sont colinéaires si et seulement si u ∧v = 0.
L’aire du parallélogramme construit sur u et v est égale à u ∧v .
Formule du double produit vectoriel : (u ∧v )∧ w=(u w)v −(v w)u .
5.3 Déterminant, produit mixte
On rappelle que le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace est donné dans un repère
orthonormé par u .v = xx′ + yy ′ + zz ′ .
Définition 2 : On appelle déterminant, ou produit mixte des vecteurs u , v et w de l’espace le
réel : det(u,v ,w)=u.(v ∧ w) .
Calcul pratique : Dans un repère orthonormal direct, le produit mixte de u(x, y, z ) , v(x′, y′, z′)
et de w(x′′, y′′,′′) est det(u ,v ,w) = ( y′z′′− z′y′′)x+(x′z′′− z′x′′)y +(x′y′′− y′x′′)z .
Propriétés :
•
•
•
L’application déterminant est une forme trilinéaire alternée (ou antisymétrique).
Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si det(u,v ,w)=0 .
Si les vecteurs u , v et w ne sont pas coplanaires, alors l’aire du parallélépipède construit
sur u , v et w est égale à det(u ,v ,w) .
5.4
Droites et plans
5.4.1 Plans
• Plan défini par un point et deux vecteurs indépendants :
• Plan défini par un point et un vecteur normal :
• Plan défini par trois points non alignés :
• Equation normale d’un plan : ax + by + cz = p, avec a2 + b2 + c2 = 1.
• Distance d’un point M0(x0, y0,z0) au plan d’équation ax + by + cz + d = 0 : d(M0, P) =
ax0 +by0 +cz0 + d
.
a 2 +b 2 +c 2
5.4.2 Droites
 x=a +αt
Représentation paramétrique d’une droite définie par A(a, b, c) et u(α,β,γ ) :  y =b+ βt .
 z =c+γt
• Droite définie par deux points distincts A et B : u= AB .
ax+by +cz + d =0
+by +cz + d =0 , avec (a, b, c) et (a’, b’, c’) non
• Droite définie par deux plans sécants :  ax
a′x+b′y +c′z +d ′=0
colinéaires.
• La distance d’un point M0(x0, y0,z0) à la droite D passant par A et de vecteur directeur u
u ∧ AM 0
est donnée par : d (M 0, D ) =
.
u
•
•
Etant données deux droites D et D’ non parallèles de l’espace, il existe un unique droite ∆
perpendiculaire à D et à D’. On l’appelle la perpendiculaire commune aux deux droites.
Exemple : perpendiculaire commune aux deux droites
D 2x+5y + z =9 et D’ 2x+3y −3z =7
 x+3y + 2z =5
 x+2y − z =5
5.5 Sphères
• La sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon R a pour équation cartésienne :
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2.
•
Inversement, l’ensemble des points M tels que x2 + y2+ z2 –2ax – 2by – 2cz + d = 0 est ∅
•
•
•
si a2+b2+c2-d<0, une sphère de centre Ω(a, b, c) et de rayon R =
a2+b2+c2-d>0.
Intersection d’une sphère et d’une droite :
Intersection d’une sphère et d’un plan :
Intersection de deux sphères
a 2 +b2 +c 2 −d si