Intégrales curvilignes et de surfaces

Transcription

Intégrales curvilignes et de surfaces
Fabrice Dodu
F ORMATION C ONTINUE : DUT+3
D ÉPARTEMENT DE M ATHÉMATIQUES : INSA T OULOUSE
2000-2001
Version 1.0
Sommaire
I Le cours
6
1 Intégrales curvilignes
1.1
Notions sur les arcs paramétrés . . . . . . .
1.1.1
Définition . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
Premières définitions et propriétés .
1.1.3
Arcs orientés . . . . . . . . . . . .
1.1.4
Points particuliers et tangente . . .
1.1.5
Longueur d’un arc . . . . . . . . .
1.2
Circulation d’un champ de vecteurs . . . .
1.2.1
Définition . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Calcul pratique . . . . . . . . . . .
1.2.3
Champ dérivant d’un potentiel . . .
1.2.4
Formule de Green-Riemann . . . .
Sommaire Entrées canoniques
2
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8
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16
17
18
20
22
Exemples
2 Intégrales de surfaces
2.1
Notions sur les surfaces paramétrés . .
2.1.1
Définition . . . . . . . . . .
2.1.2
Définition : plan tangent . . .
2.1.3
Aire d’une surface non plane
2.2
Flux d’un champ de vecteurs . . . . .
2.2.1
Flux et intégrale de surface .
2.3
Théorèmes intégraux . . . . . . . . .
2.3.1
Théorème de Stokes . . . . .
2.3.2
Théorème d’Ostrogradski . .
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II Les annexes
A Les exemples
A.1
Exemples du chapitre 1 . . . . . . . . .
A.1.1
Arc paramétré dans le plan . .
A.1.2
A.1.3
Arc paramétré dans l’espace . .
A.1.4
Orientation et tangente . . . . .
A.1.5
Circulation d’un champ de IR3 .
A.2
Exemples du chapitre 2 . . . . . . . . .
A.2.1
La sphère . . . . . . . . . . . .
A.2.2
Le parapluie de Whitney . . . .
24
25
26
27
30
32
33
35
36
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Exemples
A.2.3
A.2.4
Equation cartésienne d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Equation cartésienne du plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B Les exercices
B.1
Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1
Points simples et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2
Périmètre du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.3
Longueur d’un arc défini par une équation cartésienne y = f (x)
B.1.4
Travail sur une demi-ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.5
Travail sur une helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.6
Travail d’un champ dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . .
B.1.7
Exercice : premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.8
Calcul d’aire d’une surface plane . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.9
Exercice : second bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2
Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1
Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne
B.2.2
Aire d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.3
Flux à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.4
B.2.5
Application à la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.6
Application à la formule d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . .
B.2.7
Exercice difficile : pour le plaisir... . . . . . . . . . . . . . . .
4
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62
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Exemples
C Les documents
C.1
Documents du chapitre 1 . . . . . . . . . .
C.1.1
Masse d’un fil . . . . . . . . . . .
C.1.2
Rappels de calcul vectoriel . . . .
C.2
Documents du chapitre 2 . . . . . . . . . .
C.2.1
Règle du tire-bouchon de Maxwell
5
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71
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75
Exemples
Première partie
Le cours
6
Documents
Exercices
Exemples
Afin de simplifier la compréhension du cours, nous ne considèrerons que des espaces vectoriels normés E
réels de dimension 2 ou 3, supposés munis de leur structure affine naturelle. Ainsi les éléments de E seront appelés vecteurs s’ils sont considérés comme des éléments de l’espace vectoriel E , et points s’ils sont considéres
comme des éléments de l’espace affine E.


x1


Notation. On notera indifféremment x = (x1 , · · · , xn ) ou x =  ...  un vecteur x ∈ E (n=2 ou 3).
xn
Si x, y ∈ E alors
n
X
a) x · y =
xi yi = x1 y1 + · · · xn yn .
i=1
q
b) kxk = x12 + · · · + xn2 .
c) si n = 3, x ∧ y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ).
7
Documents
Exercices
Exemples
chapitre suivant I
1
Intégrales curvilignes
1.1
1.2
Notions sur les arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8
Documents
Exercices
Exemples
N chapitre
1.1
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
section suivante I
Notions sur les arcs paramétrés
Définition . . . . . . . . . . . . .
Premières définitions et propriétés
Arcs orientés . . . . . . . . . . .
Points particuliers et tangente . . .
Longueur d’un arc . . . . . . . . .
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14
15
Exemples
N section
Définition
notion clé :
Arc paramétré
grain suivant I
Exemples :
exemple A.1.1
exemple A.1.2
exemple A.1.3
Définition 1.
Soit E un espace vectoriel normé (e.v.n.) de dimension 2 ou 3. Soit I un intervalle de IR
non vide et non réduit à un point.Un arc paramétré γ de classe Ck est une application
I −→ E
de classe Ck de I dans E notée γ
.
t 7−→ γ (t)
γ (t) = (γ1 (t), γ2 (t)) (resp. γ (t) = (γ1 (t), γ2 (t), γ3 (t))) est un arc paramétré de IR2
(resp. IR3 ).
γ (I) est appelé support de l’arc paramétré.
10
Documents
Exercices
Exemples
N section
J grain précédent
grain suivant I
Premières définitions et Exercices :
exercice B.1.1
propriétés
notion clé :
Points et arcs
Définition 2.
m est appelé point simple de γ (I) si il existe un unique tm ∈ I tel que m = γ (tm ).
Un point multiple est un point qui n’est pas simple.
Définition 3.
Un arc est dit simple si tous les points sont simples (i.e. si γ est injective).
Définition 4.
Un arc est dit fermé si γ (a) = γ(b).
Définition 5.
Un arc fermé est dit fermé simple si I est de la forme [a, b] ( fermé borné), γ (a) = γ(b)
et la restriction de γ à l’intervalle [a, b[ est injective.
11
Documents
Exercices
Exemples
N section
Arcs orientés
notion clé :
Arcs équivalents
J grain précédent
grain suivant I
Dans les exemples A.1.1 et A.1.2, les supports des deux arcs paramétrés sont les “
mêmes ”. Mathématique, on traduit ce constat par la définition suivante
Définition 6.
Soient (I, γ) et (J, δ) deux arcs paramétrés.
On dit que les deux arcs sont Ck −équivalents si
i) γ et δ sont de classe Ck .
ii) Il existe une bijection θ : I → J de classe Ck ainsi que sa réciproque telle que
γ = δ ◦ θ.
θ est appelé changement de paramètre.
Remarque 1.1. θ est donc nécessairement strictement monotone car est bijectif.
Définition 7.
On appelle arc géométrique de classe C k l’ensemble des arcs paramétrés Ck −équivalents.
On le note Γ.
Les représentants de Γ sont appelés arcs paramétrés admissibles (ou représentations
admissibles).
Définition 8.
Soit Γ un arc géométrique de classe Ck k≥ 1.
III
12
Documents
Exercices
Exemples
Soit (γ1 , γ2 ) ∈ Γ2 donc il existe θ tel que γ1 = γ2 ◦ θ donc γ10 (t) = γ20 (θ (t)) θ0 (t).
On dit que γ1 et γ2 sont de même sens (ou positivement Ck −équivalents) si θ0 (t) > 0
, et de sens contraire (ou non-positivement Ck −équivalents) si θ0 (t) < 0.
On note Γ+ = {(I, γ) ∈ Γ tel que γ est positivement Ck −équivalent}.
On note Γ− = {(I, γ) ∈ Γ tel que γ est non-positivement Ck −équivalent}.
Remarque 1.2. θ étant strictement monotone, il suffit de vérifier le signe de θ0 pour un
point quelconque de I.
Lemme 1.1.
Pour qu’un arc géométrique admette deux orientations, il suffit qu’il possède au moins
deux points simples.
JJJ
13
Documents
Exercices
Exemples
N section
Points particuliers et
tangente
notion clé :
Régulier, stationnaire,
tangente
J grain précédent
grain suivant I
Exemples :
exemple A.1.4
Définition 9.
Soit γ une paramétrisation de Γ arc géométrique de classe C k , (k ≥ 0).
i) Un point simple m = γ(tm ) de γ(I) est dit régulier si γ 0 (t) 6= 0.
L’arc γ est régulier si tous ces points simples sont réguliers.
ii) Un point simple m = γ(tm ) de γ(I) est dit stationnaire si γ 0 (t) = 0.
Remarque 1.3. Ces définitions sont indépendantes du choix de la paramétrisation.
Définition 10.
On appelle tangente au point m la droite passant par m et de vecteur directeur γ 0 (tm ).
Définition 11.
Soit (I, γ) un arc régulier.
On appelle vecteur tangent unitaire la quantité T(t) =
γ(t)
kγ 0 (t)k .
T(t) est dirigé dans le sens de l’orientation de l’arc (I, γ).
14
Documents
Exercices
Exemples
N section
Longueur d’un arc
notion clé :
Longueur d’un arc
Exercices :
exercice B.1.2
exercice B.1.3
J grain précédent
Documents :
document C.1.1
Définition 12.
Soit (I, γ) un arc paramétré de classe C k , (k ≥ 1).
On appelle longueur de l’arc γ, le réel positif noté Lγ défini par
Z
Lγ (I) = kγ 0 (t)kdt
(1.1)
I
En particulier, si (I, γ) est un arc paramétré de IR2 alors
Z q
2
2 Lγ (I) = γ10 (t) + γ20 (t) dt
I
De même, si (I, γ) est un arc paramétré de IR3 alors
Z q
2
2
2 0
0
0
Lγ (I) = γ1 (t) + γ2 (t) + γ3 (t) dt
I
15
Documents
Exercices
Exemples
N chapitre
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
J section précédente
Circulation d’un champ de vecteurs
Définition . . . . . . . . . . .
Calcul pratique . . . . . . . .
Champ dérivant d’un potentiel
Formule de Green-Riemann .
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Documents
Exercices
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17
18
20
22
Exemples
N section
grain suivant I
Documents :
document C.1.2
Définition
Exemples :
exemple A.1.5
notion clé :
Champ de vecteurs et
circulation
Définition 13.
Soit A ⊂ E ; espace affine réel de dimension fini attaché à un espace vectoriel E.
Un champ de vecteurs sur A est une application de A dans E.
Remarque 1.4. l’application (x, y) ∈ IR2 7−→ sin(x) cos(y), x2 est un champ de vecteurs de IR2 .
Définition 14.
Soient V un champ de vecteur continu sur A et (I = [a, b], γ) un arc paramétré de
classe C k tel que γ ([a, b]) ⊂ A.
On appelle circulation ou (travail) de V relative à γ, le réel défini par
Z
17
b
V (γ (t)) · γ 0 (t) dt
(1.2)
a
Documents
Exercices
Exemples
N section
Calcul pratique
notion clé :
Calcul du travail d’un
champ de force
J grain précédent
grain suivant I
Exercices :
exercice B.1.4
exercice B.1.5
Point de vue physique
Soient A = γ(a), B = γ(b) deux points de IR3 et V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
un champ de vecteur.
γ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Rb
Alors a V (γ (t)) · γ 0 (t) dt est le travail total produit par le champ de force V lorsque
une particule se déplace du point A au point B le long de la trajectoire paramétrée par γ
et ce travail est noté
Wy (V) =
AB
=
Rb
Ra
V (γ (t)) · γ 0 (t) dt
y Pdx + Qdy + Rdz
AB
Rappel : Wy (V) = −Wy (V)
AB
BA
y
Méthodologie : calculer le travail de V le long du segment curviligne AB (donc
orienté).
1. a) Déterminer une paramétrisation ([a, b], γ) de l’arc orienté.
III
18
Documents
Exercices
Exemples
b) Vérifier si cette paramétrisation est compatible avec l’orientation imposée par
l’énoncé.
c) Si la paramétrisation est compatible avec l’orientation alors
Wy (V) =
AB
Z
b
V (γ (t)) · γ 0 (t) dt
(1.3)
a
d) Si la paramétrisation n’est pas compatible alors
Wy (V) = −
AB
Z
b
V (γ (t)) · γ 0 (t) dt
(1.4)
a
e) Calculer une intégrale simple.
2. En utilisant la seconde formule, il suffit simplement d’“ intégrer ” la forme différentielle
ω = Pdx + Qdy + Rdz
JJJ
19
Documents
Exercices
Exemples
N section
J grain précédent
Champ dérivant d’un
potentiel
Exercices :
exercice B.1.6
exercice B.1.7
notion clé :
Potentiel et travail
Définition 15.
Soit U un champ de vecteur continûment dérivable.
On dit que U dérive d’un potentiel f si U = ∇f .
grain suivant I
Remarque 1.5. Si U dérive d’un potentiel alors rot U = rot (∇f ) = 0 d’après le document C.1.2.
Théorème 1.1.
Soit U un champ de vecteur dérivant d’un potentiel f .
Alors, on a :
W y (U) = f (B) − f (A)
AB
Démonstration.
On suppose que la paramétrisation [a, b], γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) est compatible
y
avec l’orientation du segment curviligne AB. Comme U = ∇f , on a d’après la formule
(1.3),
III
20
Documents
Exercices
Exemples
∂f
∂f
x(t), y(t), z(t) x0 (t) +
(x(t), y(t), z(t)) y0 (t)
∂x
∂y
∂f
+ (x(t), y(t), z(t)) z0 (t)
∂z
df
=
x(t), y(t), z(t)
dt
U (γ(t)) · γ 0 (t) =
Donc on obtient
b
df
x(t), y(t), z(t) dt
a dt
= f (x(b), y(b), z(b)) − f (x(a), y(a), z(a))
= f (B) − f (A)
W y (U) =
AB
Z
(1.5)
Remarque 1.6.
i) Si U dérive d’un potentiel alors son travail ne dépend pas du chemin suivi pour
aller de A vers B.
ii) Si la courbe est fermée alors son travail est nul (car A = B).
JJJ
21
Documents
Exercices
Exemples
N section
Formule de
Green-Riemann
notion clé :
Green-Riemann, Calcul
d’aire
J grain précédent
Exercices :
exercice B.1.8
exercice B.1.9
La formule de Green-Riemann permet de ramener, dans certains cas, une intégrale
double en une intégrale curviligne sur la courbe qui délimite le domaine d’intégration.
D
Figure 1.1 – Domaine D et sa frontière orientée Γ+
Théorème 1.2.
Soit D une partie de IR2 limitée par Γ+ un arc géométrique simple fermé orienté dans
le sens direct (figure 1.1). Soient P et Q deux fonctions de classe C 1 sur D.
III
22
Documents
Exercices
Exemples
Alors, on a
ZZ
D
Z
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) dxdy =
Pdx + Qdy
∂x
∂y
Γ+
(1.6)
Lemme 1.2. Soit D un domaine de IR2 .
Aire de D =
=
ZZ
Z
dxdy
(1.7)
D
x dy
(1.8)
Γ+
= −
1
=
2
Z
Z
y dx
(1.9)
Γ+
x dy − y dx
(1.10)
Γ+
Démonstration.
On obtient ces résultats en posant P(x, y) = y, Q(x, y) = 0 ou P(x, y) = 0, Q(x, y) =
x dans la formule (1.6).
JJJ
23
Documents
Exercices
Exemples
J chapitre précédent
2
Intégrales de surfaces
2.1
2.2
2.3
Notions sur les surfaces paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Théorèmes intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
24
Documents
Exercices
Exemples
N chapitre
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
section suivante I
Notions sur les surfaces paramétrés
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Définition : plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Aire d’une surface non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
25
Documents
Exercices
Exemples
N section
Définition
notion clé :
Nappe et surface
grain suivant I
Exemples :
exemple A.2.1
exemple A.2.2
exemple A.2.3
E est un espace affine de dimension 3 attaché à l’espace vectoriel E. On identifie E
à E par le choix d’une origine.
De la même manière que pour les arcs paramétrés, on définit la notion de nappe paramétrée comme suit
Définition 16.
Soit D un domaine (i.e. on peut mesure son aire qui est supposée finie) de IR2 .
Une nappe paramétrée de classe C k (k ≥ 0) de E est une application de classe C k :
Φ : D → E.
On appelle surface l’image par Φ de D et notée Σ = Φ(D).
26
Documents
Exercices
Exemples
N section
Définition : plan tangent Exemples :
exemple A.2.4
notion clé :
Plan tangent et vecteur
normal
J grain précédent
Exercices :
exercice B.2.1
grain suivant I
Documents :
document C.2.1
Définition 17.
Soit Σ une surface définie par une paramétrisation Φ : D → E différentiable en (u0 , v0 ).


x = Φ1 (u, v)
Φ(u, v) =  y = Φ2 (u, v) 
z = Φ3 (u, v)

 

∂Φ1
∂Φ1
(u , v )
(u , v )
 ∂u 0 0   ∂v 0 0 

 


 

 ∂Φ2
  ∂Φ2

 et 
 sont linéairement indépendants,
Si les vecteurs 
(u
,
v
)
(u
,
v
)
0
0
0
0
 ∂u
  ∂v


 


 

  ∂Φ

 ∂Φ
3
3
(u0 , v0 )
(u0 , v0 )
∂u
∂v
alors il existe un plan PM0 tangent à la surface Σ en M0 = Φ(u0 , v0 ) qui est caractérisé
par
PM0
∂Φ
∂Φ
= M ∈ E, P = Φ(u0 , v0 ) +
(u0 , v0 ) · (u − u0 ) +
(u0 , v0 ) · (v − u0 )
∂u
∂v
III
27
Documents
Exercices
Exemples
Remarque 2.1. P est paramétré par le développement d’ordre 1 de Φ en (u0 , v0 ).
Définition 18. (Avec les notations de la définition 17).
La normale à la surface au point M est la droite affine passant par ce point et perpendiculaire au plan tangent.
Un vecteur directeur est

 

∂Φ1
∂Φ1
 ∂u   ∂v 

 


 

 ∂Φ2   ∂Φ2 
 

N=
(2.1)
 ∂u  ∧  ∂v 

 


 

 ∂Φ   ∂Φ 
3
3
∂u
∂v
Un vecteur directeur unitaire est
n=
JJJ
N
kNk
(2.2)
Remarque 2.2.
a) De la même manière que pour la tangente d’un arc géométrique, il existe deux
vecteurs normaux à une surface N(u, v) et −N(u, v).
b) L’orientation de la surface est déterminée par un champ continu de normales
qui induisent ainsi une face pour la surface. Un paramétrage de la surface sera
III
28
Documents
Exercices
Exemples
compatible avec l’orientation si la normale qu’il génère coïncide avec le choix de
la normale fixant l’orientation. Pour une surface fermée, on considére le champ
de normales “sortant”. (Voir Document C.2.1).
JJJ
29
Documents
Exercices
Exemples
N section
Aire d’une surface non
plane
notion clé :
Aire d’une surface non
plane
J grain précédent
Exercices :
exercice B.2.2
On a vu (formule (1.7)) que si la surface D est plane (par exemple dans le plan xOy)
alors son aire est définie par
ZZ
Aire de D =
dxdy
(2.3)
D
Soit maintenant une surface Σ (non plane) alors son aire est donnée par le théorème
suivant
Théorème 2.1.
Soit Σ une surface non plane définie par une paramétrisation Φ différentiable Φ :
4 −→ IR3 .
Notons Tu et Tv les vecteurs définis par




∂Φ1
∂Φ1
(u, v)
(u, v)
 ∂u

 ∂v










 ∂Φ2

 ∂Φ2



Tu (u, v) = 
(u, v)  et Tv (u, v) = 
(u, v) 

 ∂u

 ∂v






 ∂Φ

 ∂Φ
3
3
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
III
30
Documents
Exercices
Exemples
Alors l’aire de Σ vaut
Aire de Σ =
Z
4
kTu (u, v) ∧ |Tv (u, v)k dudv
(2.4)
JJJ
31
Documents
Exercices
Exemples
N chapitre
2.2
2.2.1
section suivante I
Flux d’un champ de vecteurs
Flux et intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
32
Documents
Exercices
Exemples
N section
Flux et intégrale de
surface
Exercices :
exercice B.2.3
exercice B.2.4
Le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface est fondamental dans diverses
notion clé :
domaines. Pour différencier un flux “rentrant” d’un flux “sortant”, l’orientation de la
Flux, intégrale de surface
surface Σ est fondamentale.
Définition 19.
Soient Σ+ une surface orienté régulière et Φ une paramétrisation de Σ = Φ (4).
Soit V un champ de vecteurs de IR3 continu.
ZZ
On appelle flux du champ V à travers Σ+ , le nombre noté
V · dσ et défini par
Σ+
ZZ
V · dσ =
Σ+
ZZ
4
V (Φ(x, y)) · n(x, y) dx dy
(2.5)
où n est le champ de normale unitaire défini en (2.2).
Lemme 2.1.
Soit Σ une surface définie par l’équation {z = f (x, y), (x, y) ∈ D} où f est différentiable.
III
33
Documents
Exercices
Exemples
Alors le flux de V à travers Σ+ est
ZZ
V · dσ = ε
Σ+
ZZ
∂f
∂f
V (x, y, f (x, y)) · − (x, y), − (x, y), 1 dxdy(2.6)
∂x
∂y
D
où ε = 1 si le vecteur normal est orienté vers les z croissants, ε = −1 sinon.
JJJ
34
Documents
Exercices
Exemples
N chapitre
2.3
2.3.1
2.3.2
Théorèmes intégraux
Théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Théorème d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
35
Documents
Exercices
Exemples
N section
grain suivant I
Théorème de Stokes
Exercices :
exercice B.2.5
notion clé :
Stokes
Théorème 2.2.
Soient Σ+ une surface orientée par le choix d’un champ de normales et Γ+ le bord
fermé de Σ+ , orienté de manière cohérente avec Σ+ (règle du tire-bouchon de Maxwell
(figure 2.1).
Soit V un champ de vecteurs de IR3 continument différentiable, de composantes respectives V1 , V2 et V3 .
Alors le flux du rotationnel de V à travers la surface Σ+ est égal à la circulation de V
le long de l’arc Γ+ i.e
ZZ
rot V · dσ =
Σ+
36
Z
V1 dx + V2 dy + V3 dz
(2.7)
Γ+
Documents
Exercices
Exemples
N section
Théorème
d’Ostrogradski
notion clé :
Ostrogradski, volume
J grain précédent
Exercices :
exercice B.2.6
exercice B.2.7
Théorème 2.3.
Soit V un domaine de IR3 limité par une surface fermée Σ+ orientée vers l’ “ extérieur
” de V.
Soit V un champ de vecteurs de classe C 1 .
Alors l’intégrale de la divergence de V dans V est égale au flux de V à travers la surface
Σ+ i.e.
ZZZ
div V dxdydz =
V
ZZ
V · dσ
Lemme 2.2. (Avec les notations précédentes)
ZZZ
ZZ
Volume(V) =
dxdydz =
V
37
(2.8)
Σ+
zdxdy
Σ+
Documents
Exercices
Exemples
Γ−
Γ+
Figure 2.1 – Régle du tire-bouchon de Maxwell
38
Documents
Exercices
Exemples
Deuxième partie
Les annexes
39
Documents
Exercices
Exemples
Annexe A
Les exemples
Table des exemples
A.1 :
Exemples du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . .
Exemple A.1.1 :
Exemple A.1.2 :
Exemple A.1.3 :
Arc paramétré dans l’espace . .
Exemple A.1.4 :
Orientation et tangente . . . . .
Exemple A.1.5 :
Circulation d’un champ de IR3 .
A.2 :
Exemples du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . .
Exemple A.2.1 :
La sphère . . . . . . . . . . . .
40
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Exercices
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42
42
43
44
45
46
47
47
Exemples
Exemple A.2.2 :
Exemple A.2.3 :
Exemple A.2.4 :
Le parapluie de Whitney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Equation cartésienne d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Equation cartésienne du plan tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
41
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
A.1 Exemples du chapitre 1
Exemple A.1.1 Arc paramétré dans le plan
I = − π2 , π2 ,
γ(t) = (sin (t) , cos (t))
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
Retour au grain N
42
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.1.2 Arc paramétré dans le plan
I = [−1, 1] ,
√
γ (t) = t, 1 − t2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
Retour au grain N
43
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.1.3 Arc paramétré dans l’espace
I = [0, 4π] ,
γ (t) = (cos (t) , sin (t) , 2t)
25
20
15
10
5
0
-1
-0.5
-1
-0.5
0
0
0.5
0.5
1
1
Retour au grain N
44
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.1.4 Orientation et tangente
Suivant le choix de l’orientation de l’arc, on obtient deux vecteurs tangents de sens opposé.
Retour au grain N
45
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.1.5 Circulation d’un champ de IR3
Soit V(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un champ de vecteur de IR3 .
Soit (I = [a, b], γ) un arc paramétré par γ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Alors la circulation de V relative à γ est
Z
b
V (γ (t)) · γ (t) dt =
Z
=
Z
0
a
b
a
a
V (x(t), y(t), z(t)) · x0 (t), y0 (t), z0 (t) dt
b
P (x(t), y(t), z(t)) x (t) + Q (x(t), y(t), z(t)) y (t) + R (x(t), y(t), z(t)) z (t) dt
0
0
0
Retour au grain N
46
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
A.2 Exemples du chapitre 2
Exemple A.2.1 La sphère


x = a sin(u) cos(v)
D = {(u, v) , 0 < u < π, 0 < v < 2π} avec Φ (u, v) =  y = a sin(u) sin(v) 
z = a cos(u)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1
Retour au grain N
47
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.2.2 Le parapluie de Whitney
D = [−1, 1]2

x = uv
avec Φ (u, v) =  y = u 
z = v2

1
0.5
0
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
0.6
1
0.8
1
Retour au grain N
48
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.2.3 Equation cartésienne d’une surface
D = [−5, 5]2


x = x
 où f (x, y) = x + y2 sin(x).
avec Φ (u, v) =  y = y
z = f (x, y)
20
10
0
–10
–4
–20
–2
–4
0
–2
2
0
2
4
4
Retour au grain N
49
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exemple A.2.4 Equation cartésienne du plan tangent
Notons f , g et h les coordonnées de Φ dans un repère affine fixé de E.
Alors l’équation cartésienne de P dans ce repère est
x − f (u0 , v0 ) y − g(u0 , v0 ) z − h(u0 , v0 )
∂f
∂g
∂h
(u0 , v0 )
(u0 , v0 )
∂u (u0 , v0 )
∂u
∂u
∂f
∂g
∂h
(u0 , v0 )
(u0 , v0 )
(u0 , v0 )
∂v
∂v
∂v
=0
Retour au grain N
50
Documents
Exercices
Exemples
Annexe B
Les exercices
Table des exercices
B.1 :
Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.1 :
Points simples et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.2 :
Périmètre du cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.3 :
Longueur d’un arc défini par une équation cartésienne y = f (x)
Exercice B.1.4 :
Travail sur une demi-ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.5 :
Travail sur une helice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.6 :
Travail d’un champ dérivant d’un potentiel . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.7 :
51
Documents
Exercices
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53
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57
58
59
Exemples
Exercice B.1.8 :
Calcul d’aire d’une surface plane . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.1.9 :
Exercice : second bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 :
Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.2.1 :
Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne
Exercice B.2.2 :
Aire d’un cylindre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.2.3 :
Flux à travers une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.2.4 :
Exercice : premier bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.2.5 :
Application à la formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice B.2.6 :
Application à la formule d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . .
Exercice B.2.7 :
Exercice difficile : pour le plaisir... . . . . . . . . . . . . . . .
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Exercices
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Exemples
J précédent
B.1
suivant I
Exercices du chapitre 1
Exercice B.1.1 Points simples et multiples
Tracer les arcs paramétrés suivants, quels sont les points multiples (si ils existent) ?
a) ([0, 2π], γ) où γ (t) = (cos(t), sin (t)).
b) ([0, 4π], γ) où γ (t) = 1 + 12cos(t), 2 + 12 sin (t) .
c) ([0, +∞[, γ) où γ (t) = t, t2 .
Retour au grain N
Solution
53
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.2 Périmètre du cercle
Calculer le périmètre d’un cercle de centre l’origine et de rayon R.
Retour au grain N
Solution : à regarder en dernier ! !
Aide 1 Aide 2 Aide 3
54
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.3 Longueur d’un arc défini par une équation cartésienne y = f (x)
Calculer la longueur du segment curviligne d’équation y = f (x) entre les abscisses xa et xb .
x
Application : calculer la longueur de l’arc de chainette d’équation y = ach
pour x ∈ [0, a].
a
Retour au grain N
Solution : à regarder en dernier ! !
Aide 1
55
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.4 Travail sur une demi-ellipse
Calculer le travail du champ de force V(x, y) = y2 , x2 le long de la demi-ellipse supérieure orientée Γ+
Rb
1. la formule a V (γ(t)) · γ 0 (t) dt.
R
2. la formule Γ+ Pdx + Qdy.
b
a
Retour au grain N
Question 1
Question 2
Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4
Aide 1 Aide 2 Aide 3
56
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.5 Travail sur une helice
y
Soit le champ de vecteur V(x, y, z) = x + z, y2 , x . Calculer le travail de V sur l’arc orienté AB de l’hélice dont
la paramétrisation est x(t)
R = R cos(t), y(t) = R sin(t), z(t) = at avec A = (R, 0, 0), B = (R, 0, 2πa).
On utilisera la formule y Pdx + Qdy + Rdz
AB
12
10
8
z
6
4
2
0
–4
–2
0
y
2
2
4
0
x
4
Retour au grain N
Solution
57
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.6 Travail d’un champ dérivant d’un potentiel
Soit V un champ de vecteurs de IR3 de composantes respectives
P(x, y, z) = xy, Q(x, y, z) = αx2 + z, R(x, y, z) = y.
1. Calculez la divergence de V.
2. A quelle condition V dérive-t-il d’un potentiel ?
3. Calculer le gradient de la fonction f définie par f (x, y, z) =
yx2
+ yz + C (C étant une constante arbitraire).
2
y
4. En déduire le travail de V le long du segment orienté OA où O = (0, 0, 0) et A = (1, 1, 1).
Retour au grain N
Question 1
Question 2
Question 3
Question 4
Aide 1
Aide 1 Aide 2
Aide 1
Aide 1
58
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.7 Exercice : premier bilan
On considère une particule qui se deplace dans le champ de force V(x, y) = (x − ay, 3y − 2x)).
1. Calculer le travail reçu par la particule en fonction de a.
y
a) si elle se déplace sur le segment rectiligne OA avec O = (0, 0) , A = (2, 4).
y
b) si elle se déplace de O à A en suivant le trajet OA0 A où A0 est la projection de A sur l’axe des abscisses.
y
c) si elle se déplace de O à A en suivant le trajet OA00 A où A00 est la projection de A sur l’axe des ordonnées.
Conclusion ?
2. Calculer en fonction de a le travail de la particule qui parcours une fois, dans le sens trigonométrique le
périmètre du cercle de centre O et de rayon 2.
3. Pour quelle valeur de a le champ de force V dérive-t-il d’un potentiel f ? Déterminer V(x, y). Que peut-on
dire alors des travaux calculés précédemment ?
Retour au grain N
Solution
59
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.8 Calcul d’aire d’une surface plane
Calculez
l’aire D délimitée par l’ellipse Γ+ d’équation x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t) en utilisant
Z
a)
x dy.
ΓZ
+
b) −
y dx.
Γ+
Retour au grain N
Solution
60
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.1.9 Exercice : second bilan
Soit V le champde vecteurs de IR2 de composantes
respectives notées P(x, y) = −yx2 et Q(x, y) = xy2 .
On définit D = (x, y) ∈ IR2 , x2 + y2 − 2y < 0 . Notons Γ+ le bord de D orienté dans le sens trigonométrique.
a) faire uneZfigure représentant D.
b) calculer
c) calculer
Z ΓZ+
d) Conclusion.
Pdx + Qdy.
∂Q
∂P
(x, y) −
(x, y) dxdy
∂x
∂y
D
Retour au grain N
Solution
61
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
B.2
suivant I
Exercices du chapitre 2
Exercice B.2.1 Plan tangent à une surface définie par son équation cartésienne
En vous inspirant de l’exemple A.2.4, déterminer l’équation
cartésienne
du plan tangent P à la surface Σ si celle-ci


x
est définie par la paramétrisation suivante Φ(x, y) =  y .
f (x, y)
Retour au grain N
Solution
62
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.2.2 Aire d’un cylindre
Soit Σ la surface définie par (x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 − 2ax = 0, 0 < z < h .
a) Representer Σ.
b) Calculer son aire.
Retour au grain N
Solution
63
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.2.3 Flux à travers une surface
2
Soit V le champ de vecteurs de IR3 défini par V(x, y, z) = xz, z, −z2 . Soit Σ la surface définie par l’équation
z = x2 + y2 , z ≤ 1, un champ de vecteurs normaux étant orientée vers les z croissants.
a) Représenter Σ et son orientation.
b) Calculer le flux du champ V à travers la surface orientée.
Retour au grain N
Solution
64
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.2.4 Exercice : premier bilan
Calculer le flux du champ vectoriel V(x, y, z) = (y, x, y + z) à travers le triangle
Σ = {2x + y + z = 2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ; la normale étant orientée vers les z croissants.
Retour au grain N
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65
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.2.5 Application à la formule de Stokes
p
Soit Σ+ le cône d’équation z = 1 − x2 + y2 , z > 0 orienté vers le haut.
Soit le champ vectoriel de IR3 défini par V(x, y, z) = (−y, x, 1 + x + y)
1. Calculer le flux du rotationnel de V à travers Σ+ .
2. Retrouver le résultat en appliquant la formule de Stokes.
Retour au grain N
Question 1
Question 2
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Aide 1 Aide 2
66
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.2.6 Application à la formule d’Ostrogradski
Calculer le flux du champ de vecteurs de IR3 défini par V(x, y, z) = (0, 0, z) à travers la sphère d’équation x2 +
y2 + z2 = 1.
Retour au grain N
Solution
67
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Exercice B.2.7 Exercice difficile : pour le plaisir...
Théorème B.1. (Avec les notations du théorème 2.2).
Si Σ est une surface fermée, alors on a
ZZ
rot V · dσ = 0
Σ+
On va vérifier ce théoreme sur le cas suivant.


x = z cos(θ)
Soient le cône Σ1 paramétrisé par Φ1 : (θ, z) ∈ [0, 2π] × [0, 1] −→  y = z sin(θ)  et Γ1+ son bord orienté
z = z
dans le sens trigonométrique.
a) Tracer Σ1 .
b) Déterminer une normale de Σ1+ et vérifier si celle-ci correspond avec l’orientation de Γ1+
c) Soit V le champ de vecteur défini par V(x, y, z) = (yz, −xz, 0).
Déterminer sa circulation le long de Γ1+ et le flux de rot V à travers Σ1+ .

x = ρ cos(θ)
d) Soit Σ2 la surface paramétrée par Φ2 : (θ, ρ) ∈ [0, 2π] × [0, 1] −→  y = ρ sin(θ) .
z = 1
2
Déterminer une normale de Σ+ et vérifier si celle-ci correspond avec l’orientation de Γ1+ .
III
68
Documents
Exercices
Exemples
e) Soit Σ la surface fermée définie par Σ = Σ1 ∪ Σ2 . D’après le théorème précédent, le flux du rotationnel de V
à travers cette surface est nul. Tracer Σ et vérifier par le calcul.
Retour au grain N
Solution
JJJ
69
Documents
Exercices
Exemples
Annexe C
Les documents
Table des documents
C.1 :
Documents du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . .
Document C.1.1 :
Masse d’un fil . . . . . . . . . . .
Document C.1.2 :
Rappels de calcul vectoriel . . . .
C.2 :
Documents du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . .
Document C.2.1 :
Règle du tire-bouchon de Maxwell
70
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Documents
Exercices
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71
71
72
75
75
Exemples
J précédent
C.1
suivant I
Documents du chapitre 1
Document C.1.1 Masse d’un fil
Cours :
Longueur d’un arc
La masse d’un fil (de section constante) de longueur l et de masse linéique ρ (masse par unité de longueur) vaut
m = ρl. Malheureusement, si le fil n’est pas de section constante alors la masse linéique ρ n’est plus contante et
est une fonction d’un paramètre t.
Notons (I, γ) un arc géométrique dont le support γ (I) “ modélise ” notre fil, alors on admettra que
Z
m = ρ(t)kγ 0 (t)kdt
I
71
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
suivant I
Document C.1.2 Rappels de calcul vectoriel
Cours :
Champ de vecteurs et
circulation
Potentiel et travail
Dans toute la suite, on supposera que Ω est un ouvert de l’espace affine euclidien de dimension n = 3.
Définition 20.
Soit f une fonction de Ω dans IR différentiable.
n
∂f
On appelle gradient de f , le champ de vecteur noté ∇f et défini par ∇f = ∂x
i
i=1
Définition 21.
Soit V un champ de vecteur de IR3 dont les composantes P, Q, R sont des applications différentiables dans Ω.
On appelle rotationnel de V, le champ de vecteur noté rot V et défini par


∂Q
∂R
(x,
y,
z)
−
(x,
y,
z)
∂z

 ∂y
∂R
rot V(x, y, z) =  ∂P
(x,
y,
z)
−
∂z
∂x (x, y, z) 
∂Q
∂P
∂x (x, y, z) − ∂x (x, y, z)
Si V est un champ de vecteur de IR2 , on définit son rotationnel par
III
72
Documents
Exercices
Exemples
rot V(x, y) =
∂Q
∂P
∂x (x, y) − ∂x (x, y).
Définition 22.
Soit V un champ de vecteur de IR3 dont les composantes P, Q, R sont des applications différentiables dans Ω.
On appelle divergence de V, la fonction noté div V et défini par
div V(x, y, z) =
∂P
∂Q
∂R
(x, y, z) +
(x, y, z) +
(x, y, z)
∂x
∂y
∂z
(C.1)
PETIT FORMULAIRE
Soient c une constante, f , g deux fonctions différentiables sur Ω, U et V deux champs de vecteurs continument
différentiables sur Ω.
Alors, on a :
i) ∇(cf ) = c∇f .
ii) ∇(f + g) = ∇f + ∇g.
iii) ∇(fg) = f ∇g + g∇f .
iv) rot (cU) = c rot U.
v) rot (U + V) = rot U + rot V.
vi) div (cU) = c div U.
vii) div (U + V) = div U + div V.
JJJ
III
73
Documents
Exercices
Exemples
viii) div (V) = 0 ⇔ V = rot U.
ix) rot (V) = 0 ⇔ V = ∇f .
JJJ
74
Documents
Exercices
Exemples
J précédent
C.2
suivant I
Documents du chapitre 2
Document C.2.1 Règle du tire-bouchon de Maxwell
Cours :
Plan tangent et vecteur normal
~ est le sens de progression du tire bouchon de Maxwell dont le manche subirait la petite rotation qui
Le sens de C
~
amène A sur ~B.
C
B
A
III
75
Documents
Exercices
Exemples
Si le contour est orienté comme ci-dessous, alors ~n a le sens de progression du tire bouchon de Maxwell dont le
manche tournerait dans le sens choisi.
N
JJJ
76
Documents
Exercices
Exemples
Entrées canoniques
Le gras indique un grain où le concept est défini ;
l’italique indique un renvoi à un exercice ou un exemple,
le gras italique à un document, et le romain à un grain où
le concept est mentionné.
L
A
Nappe et surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Aire d’une surface non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Arc paramétré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Arcs équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
O
Longueur d’un arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 71
N
Ostrogradski, volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
P
C
Calcul du travail d’un champ de force . . . . . . . . . . . 18
Champ de vecteurs et circulation . . . . . . . . . . . . 17, 72
Plan tangent et vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . 27, 75
Points et arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Potentiel et travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 72
F
R
Flux, intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Régulier, stationnaire, tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
G
S
Green-Riemann, Calcul d’aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
77
Documents
Exercices
Exemples
Solution de l’exercice B.1.1
L’arc paramétré de l’exercice B.1.1 est
a) un cercle de centre 0 et de rayon 1 parcouru une fois donc (1, 0) est un point multiple.
C’est un arc fermé.
1
0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
-1
b) un cercle de centre (1,2) et de rayon
multiples.
1
2
parcouru deux fois donc tous les points sont
2.4
2.2
2
1.8
1.6
0.6
0.8
1
1.2
1.4
c) un parabole d’équation y = t2 , t > 0 qui est un arc simple.
100
80
60
40
20
0
2
4
6
8
10
Retour à l’exercice N
1. une paramétrisation possible est t ∈ [0, 2π],
q
kγ(0 t)k =
(−R sin(t))2 + (R cos(t))2
√
2.
=
R2
= R
R 2π
3. Lγ ([0, 2π]) = 0 R dt = 2πR
γ(t) = (R cos(t), R sin(t)).
Aide 1, Exercice B.1.2
Etape 1 : on détermine une paramétrisation du cercle.
Etape 2 : on calcule kγ(0 t)k.
Etape 3 : on applique la formule générale (1.1).
Une paramétrisation possible
est : t ∈ [xa , xb ],
q
On calcule kγ 0 (t)k =
γ(t) = (t, f (t)).
(1)2 + (f 0 (t))2 et la longueur est donc
Z xb q
k
1 + (f 0 (t))2 dtk
xa
x
.
Application : f (x) = ach
a
r
Z a
x 2
Lγ ([0, a]) =
1 + sh
dx
a
Z0 a
x
=
ach
dx
a
0
= ash (1)
Paramétrer ce segment curviligne et appliquer la formule générale (1.1).
Aide 1, question 1, Exercice B.1.4
Une paramétrisation de l’ellipse (complète) est t ∈ [0, 2π],
γ(t) = (a cos(t), b sin(t))
Une paramétrisation de la demi-ellipse est t ∈ [0, π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)).
En t = 0, on est au point (a, 0) et en t = π, on se trouve au point (−a, 0), la paramétrisation
est donc compatible avec l’orientation de l’énoncé.
Calculez V(γ(t)) · γ 0 (t).
Rappel si X = (X1 , X2 ) et Y = (Y1 , Y2 ) sont des vecteurs de IR2 alors X · Y est un scalaire qui
vaut
X · Y = X1 Y1 + X2 Y2
On a : γ(t) = (γ1 (t), γ2 (t)).
V (γ1 (t), γ2 (t)) = V (a cos(t), b sin(t)) = b2 sin(t)2 , a2 cos(t)2 .
γ 0 (t) = γ10 (t), γ20 (t) = (−a sin(t), b cos(t)).
Par définition du produit scalaire entre les vecteurs V et γ 0 , on obtient
0
2
2 2
2
V (γ(t)) · γ (t)) = b sin(t) , a cos(t) · (−a sin(t), b cos(t))
= −ab2 sin(t)3 + a2 b cos(t)3
Il reste à intégrer cette dernière expression entre 0 et π.
Utilisez les formules de Moivre pour linéariser sin(t)3 et cos(t)3 .
Formules de Moivre
(C.2)
e it − e −it
sin(t) =
2i
it
e + e −it
cos(t) =
2
it n
nit
e
= e
On va linéariser sin(t)3 en utilisant les formules de Moivre :
sin(t)
3
3
e it − e −it
=
2i
1
3it
2it −it
it −2it
−3it
e − 3e e + 3e e
−e
=
−8i"
#
3it − e −3it − 3e it − 3e −it
e
−1
=
4
2i
=
−1
(sin(3t) − 3 sin(t))
4
En faisant de même pour cos(t)3 , on obtient :
cos(t)3 =
1
(cos(3t) + 3 cos(t))
4
On obtient finalement
Z
π
0
π
a2 b 2
ab
sin(3t) − 3 sin(t) +
cos(3t) + 3 cos(t) dt
V (γ(t)) · γ 0 (t) dt =
4
4
0
h
iπ a2 b sin(3t) π
h
iπ ab2 − cos(3t) π
+ 3 cos(t)
+
+ 3 sin(t)
=
4
3
4
3
0
0
0
0
−4ab2
=
3
Z
On a vu à la précédente question qu’une paramétrisation admissible de Γ+ est
t ∈ [0, π], γ(t) = (a cos(t), b sin(t)).
Donc chaque point M d’abscisse x et d’ordonnée y parcourt cet arc.
Exprimez x et y en fonction de t, puis déterminez la différentielle dx et dy.
On a : x(t) = a cos(t), y(t) = b sin(t). Leurs différentielles respectives sont donc
dx = −a sin(t)dt
dy = b cos(t)dt
Calculer
champ V.
R
Γ+
Pdx + Qdy où P (resp. Q) désigne la première (resp. seconde) composante du
On a : P(x, y) = y2 et Q(x, y) = x2 .
Z
Pdx + Qdy =
Γ+
Z
y2 dx + x2 dy
ZΓπ+ 2
2
=
−a(b sin(t)) sin(t) + (a cos(t)) b cos(t) dt
0
On retrouve bien sûr la même intégrale que précédemment.
La paramétrisation est γ(t) = (R cos(t), R sin(t), at) avec t ∈ [0, 2π] et est bien compatible
avec l’orientation (γ(0) = A et γ(2π) = B).
On a : dx = −R sin(t)dt, dy = R cos(t)dt, dz = a dt et on obtient
Z 2π h
i
2
2
y
W (V) =
(R cos(t) + at) (−R sin(t)) + R sin(t) R cos(t) + (R cos(t)) a dt
AB
0
Z 2π
= −aR
t sin(t) dt
0
On intègre par parties
sin(t).
On obtient donc
Rb
a
f (t)g0 (t) dt = [f (t)g(t)]ba −
Rb
a
f 0 (t)g(t) dt en posant f (t) = t et g0 (t) =
W y (V) = 2πaR
AB
On applique la formule (C.1) et on obtient
div V(x, y, z) = y
V dérive d’un potentiel si et seulement si rot V = 0.
rot V(x, y, z) = (0, 0, x(2α − 1))
1
Donc rot V = 0 =⇒ α = .
2
1
Pour α = , il existe une fonction g telle que V = ∇g.
2
x2
∇f (x, y, z) = yx, z + , y
2
Donc on a ∇f = V
y
Comme V dérive du potentiel f , d’après la relation (1.5) son travail le long d’un arc orienté OA
vaut
W y (V) = f (A) − f (O)
OA
=
3
2
A’’
O
A
A’
y
1. a) on choisit une paramétrisation du segment OA, par exemple t ∈ [0, 2], γ(t) = (t, 2t).
Comme cette paramétrisation est compatible avec l’orientation (de O vers A) alors on
Z 2
applique la formule (1.3) et on a W y (V) =
V (γ(t)) · γ 0 (t) dt.
OA
Calculons V
(γ(t)) · γ 0 (t).
0
V (γ(t)) = V (γ1 (t), γ2 (t))
= V (t, 2t)
= (t − 2at, 3 ∗ 2t − 2t)
V (γ(t)) · γ 0 (t) = (t − 2at) ∗ (1) + (3 ∗ 2t − 2t) ∗ (2)
= t − 2at + 8t
= 9t − 2at
Il ne reste plus qu’à intégrer une fonction (en la variable t) élémentaire.
Z 2
W y (V) =
(9t − 2at) dt
OA
0
= 18 − 4a
b) On calcul le travail sur l’arc orienté
y
paramétrisations des arcs OA0 et
y
A0 A.
y
OA0 A
y
=
OA0
∪
y
A0 A.
On doit donc déterminer les
y
Un paramétrage de l’arc OA0 compatible est t ∈ [0, 2],
y
le long de OA0 est donc
γ(t) = (t, 0). Le travail de V
W y 0 (V) =
OA
=
=
2
Z
V (t, 0) · (1, 0) dt
Z0 2
Z0
(t, −2t) · (1, 0) dt
2
t dt
0
= 2
y
On fait de même sur l’arc A0 A avec la paramétrisation suivante (qui est compatible avec
l’orientation de l’arc) t ∈ [0, 4],
γ(t) = (2, t).
W y0 (V) =
AA
=
4
Z
V (2, t) · (0, 1) dt
Z0
4
3t − 4 dt
0
= 8
Donc le travail total de V pour aller de O à A0 puis à A vaut
W
y
OA0 A
(V) = W y 0 (V) + W y0 (V)
OA
AA
= 2+8
= 10
y
A0 A
Remarque importante. On aurait pu choisir pour paramétrer l’arc orienté
la paramétrisation suivante t ∈ [−4, 0], α(t) = (2, −t) mais dans ce cas cette paraméy
trisation n’est pas compatible avec l’orientation de l’arc A0 A (on va de α(−4) = A à
α(0) = A0 ). Il suffit d’appliquer alors la formule (1.4). On obtient donc
Z 0
W y0 (V) = −
V (2, −t) · (0, −1) dt
AA
−4
Z 0
= −
(3t + 4) dt
−4
= − (−8)
= 8
Quelque soit la paramétrisation que vous choisissez, vérifier toujours si celle-ci est
compatible avec l’orientation imposé par l’exercice.
y
y
c) on fait de même en trouvant deux paramétrisations des arcs OA00 et A00 A.
y
– arc OA00 paramétré par t ∈ [0, 4],
γ(t) = (0, t).
W
y
OA00
– arc
y
A00 A
paramétré par t ∈ [0, 2],
(V) = 24
γ(t) = (t, 4).
W
y
A00 A
(V) = 2 − 8a
Le travail total vaut donc
W
y
OA00 A
(V) = 26 − 8a
Conclusion : le travail pour aller de O à A dépend du chemin suivi donc le champ de
force V ne dérive pas en général d’un potentiel (remarque 1.6).
2. une paramétrisation du cercle orienté de centre O = (0, 0) et de rayon 2 est
t ∈ [0, 2π], γ(t) = (2 cos(t), 2 sin(t))
Rappels :
R
– cos(t)2 dt = 12 (t + cos(t) sin(t)) + C.
R
– sin(t)2 dt = 12 (t − cos(t) sin(t)) + C.
–
R
cos(t) sin(t) dt = 12 sin(t)2 + C.
WCercle+ (V) =
Z
Z
2π
V (2 cos(t), 2 sin(t)) · (−2 sin(t), 2 cos(t)) dt
0
2π
=
4a sin(t) − 8 cos(t) + 8 sin(t) cos(t) dt
0
Z 2π
Z 2π
Z 2π
= 4a
sin(t)2 dt − 8
cos(t)2 dt + 8
sin(t) cos(t) dt
0
0
0
h
i2π
h
i2π
h
i2π
2
= 2a t − cos(t) sin(t)
− 4 t + cos(t) sin(t)
+ 4 sin(t)
2
2
0
0
0
= 4π (a − 2)
3. Deux méthodes possibles :
(a) Si V dérive d’un potentiel alors son travail est indépendant du chemin suivant et donc
W
y
OA00 A
(V) = W
y
OA0 A
26 − 8a = 10
a = 2
(V)
(b) Le rotationnel d’un champ V(x, y) = (V1 (x, y), V2 (x, y) de IR2 est
rot V =
∂V1
∂V2
(x, y) −
(x, y)
∂x
∂y
De plus V dérive d’un potentiel si rot V = 0 (Formule C.1.2).
Calculons rot V = 2 − a et donc a = 2.
Dire que pour a = 2, V dérive d’un potentiel f équivaut à
∂f
(x, y)
∂x
∂f
V2 (x, y) =
(x, y)
∂y
V1 (x, y) =
Calculons
f.
(
∂f
x − 2y = ∂x
(x, y) (1)
∂f
3y − 2x = ∂y (x, y) (2)
Intégrons (1) par rapport à x (y considéré comme une constante).
2
f (x, y) = x2 − 2xy + g(y) où g(y) est une fonction en y.
Intégrons (2) par rapport à y (x considéré comme une constante).
3y2
2 − 2xy + h(x) où h(x) est une fonction en x.
2
2
obtient x2 − 2xy + g(y) = 3y2 − 2xy + h(x) c’est-à-dire
f (x, y) =
donc on
(
g(y) =
h(x) =
3y2
2
x2
2
Donc
x2
3y2
− 2xy +
+C
2
2
Conclusion : si V dérive d’un potentiel, on a vu que son travail est indépendant du
chemin (question 1) et si le chemin est fermé (cas du cercle) alors son travail est nul
(remarque 1.6). On peut vérifier ce résultat numériquement avec
WCercle+ (V) = 4π (a − 2) = 0 ⇔ a = 2.
f (x, y) =
a)
Z
x dy =
Γ+
Z
2π
a cos(t) (b cos(t) dt)
0
= ab
Z
2π
cos(t)2 dt
0
t + cos(t) sin(t)
= ab
2
= a bπ
2π
0
b)
−
Z
y dx = −
Γ+
Z
= ab
2π
b sin(t) (−a sin(t) dt)
0
Z
2π
sin(t)2 dt
0
t − cos(t) sin(t)
= ab
2
= a bπ
2π
0
a) x2 + y2 − 2y = 0 ⇐⇒ x2 + (y − 1)2 − 1 = 0.
On reconnait l’équation d’un cercle de centre A(0, 1) et de rayon 1. D est donc le disque
de centre A et de rayon 1 privé de sa frontière.
2
1.5
1
0.5
–1
–0.5
0.5
1
b) Une paramétrisation admissible de Γ+ est donc
t ∈ [0, 2π], x(t) = cos(t), y(t) = 1 + sin(t).
On obtient alors
dx = − sin(t) dt
dy = cos(t) dt
Z
Pdx + Qdy =
Γ+
Z
Z
2π
2
2
2
− (1 + sin(t)) cos(t) sin(t) + cos(t) (1 + sin(t))
0
2π
dt
2
=
cos(t) (1 + sin(t)) (1 + 2 sin(t)) dt
0
Z 2π
Z 2π
Z 2π
2
2
=
cos (t) dt +
3 cos (t) sin(t) dt +
2 cos2 (t) sin2 (t) dt
0
0
0
2π h
i
2π
t + cos(t) sin(t)
+ − cos3 (t)
=
2
0
0
2π
cos(t) sin(t) + t − 2 sin(t) cos3 (t)
+
3
0
π
= π+0+
2
3π
=
2
c) On passe en coordonnée polaire et on obtient
x = ρ cos(θ)
où (ρ, θ) ∈ 4 = [0, 1] × [0, 2π].
y = 1 + ρ sin(θ)
cos(θ) −ρ sin(θ) =ρ
On rappelle que le jacobien est |J (ρ, θ) | = sin(θ) ρ cos(θ) ∂P
2
2
Après calcul, on obtient ∂Q
∂x (x, y) − ∂y (x, y) = x + y
Notons f (x, y) = x2 + y2 alors on a (voir Cours Intégrales Doubles)
ZZ
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (ρ cos(θ), 1 + ρ sin(θ)) |J(ρ, θ)| dρdθ
D
4
ZZ
4
f (ρ cos(θ), 1 + ρ sin(θ)) |J(ρ, θ)| dρdθ =
Z
=
Z
=
Z
0
0
1 Z 2π
0
1 Z 2π
0
1
ρ cos (θ) + (1 + ρ sin(θ))
ρ + ρ + 2ρ sin(θ) dρdθ
2
3
2π (1 + ρ) + 2ρ
0
Z
2
2
2
2
[− cos(θ)]2π
0
1
3
=
2π ρ + ρ dρ
0 1 1
+
= 2π
2 4
3π
=
2
d) Le résultat était bien sûr attendu. C’est la formule de Green-Riemann (formule 1.6).
dθ
ρd
En supposant que f est différentiable en (x0 , y0 ), le plan tangent admet l’équation cartésienne :
x − x0 y − y0
z
−
z
0
∂f
1
0
(x
,
y
)
0
0
=0
∂x
∂h
0
1
(x0 , y0 ) ∂y
soit en développant
z − f (x0 , y0 ) = (x − x0 )
∂f
∂f
(x0 , y0 ) + (y − y0 ) (x0 , y0 )
∂x
∂y
a) x2 + y2 − ax = (x − a)2 + y2 − a2 .
Σ est le cylindre dont la base (dans le plan xOy) est le cercle de centre A(a, 0) de rayon a
et de hauteur h. Ainsi, en coordonnée polaire, on obtient comme paramétrisation
5
4
3
z
2
1
0
–2
0
1
–1
2x
y0
3
1
2
4
Figure C.1 – a = 2, h = 5


x = a (cos(u) + 1)
 où (u, v) ∈ [0, 2pi] × [0, h]
Φ(u, v) =  y = a sin(u)
z = v
b) On applique
 la formule (2.4)
 :
 
−a sin(u)
0



Tu (u, v) =
a cos(u)
et Tv (u, v) = 0 .
0
1
Ainsi on obtient :
Z
2π Z h
kTu (u, v) ∧ Tv (u, v)kdudv
Z 2π Z h q
=
(a cos(u))2 + (−a sin(u))2 dudv
0
0
Z 2π Z h
=
a dudv
aire de Σ =
0
0
0
0
= 2π a h
z
y
x
On applique la formule
(2.6) avec ε = 1et f (x, y) = x2 + y2 .
(x2 +y2 )2
∂f
∂f
V(x, y, f (x, y)) · − ∂x
(x, y), − ∂y
(x, y), 1 = −2x2 (x2 + y2 ) − 2y(x2 + y2 ) −
2
x = ρ cos(θ)
On passe en coordonnée polaire
avec (ρ, θ) ∈ [0, 1] × [0, 2π].
y = ρ sin(θ)
ZZ
V · dσ =
Σ+
=
=
=
1 Z 2π
4
ρ
−2ρ4 cos(θ)2 − 2ρ3 sin(θ) −
ρ dρdθ
2
0
0
Z 1 Z 2π ρ5
5
2
4
−2ρ cos(θ) − 2ρ sin(θ) −
dρdθ
2
0
0
Z 2π −1
2
1
3
cos(θ) − sin(θ) −
dρdθ
3
5
12
0
π
−
2
Z
z
2
2
1
y
x

x
Paramétrer la surface Φ(x, y) =  y  où ? ? est ...
??



x

Φ(x, y) = 
y
2 − 2x − y
Calculer une normale (formule (2.1)) induite par cette paramétrisation et vérifié si sa directeur coïncide avec l’orientation imposée par l’énoncé.
N(x, y) = (1, 0, −2) ∧ (0, 1, −1) = (2, 1, 1)
Sa directeur est compatible avec l’orientation de Σ. On normalise n(x, y) =
ZZ
1
Il ne reste plus qu’à calculer √
(y, x, 2 − 2x) · (2, 1, 1) dx dy
6
Σ+
√1 N(x, y).
6
On va fixé la première variable x qui d’après le dessin va de x = 0 à x = 1. Exprimer y en
fonction de x (i.e. déterminer l’équation de la droite du plan xOy passant par le point (1, 0) et
le point (0, 2).
Quand x parcourt l’intervalle [0, 1], y parcourt l’intervalle [0, 2 − 2x].
ZZ
V · dσ =
Σ+
=
=
=
=
Z 1 Z 2−2x
1
√
(2y + x + 2 − 2x) dxdy
6 0 0
Z 1h
i2−2x
1
2
√
y + (2 − x)y
dx
0
6 0
Z 1
1
2
√
(2 − 2x) + (2 − x)(2 − 2x) dx
6 0
Z 1
1
2
√
6x + 8 − 14x dx
6 0
3
√
6
Appliquer la formule (2.5) ou la formule (2.6), donc il faut
1. Déterminer une paramétrisation du cône Φ telle que cône= Φ(D).
2. Calculer un vecteur normal unitaire.
3. Calculer l’intégrale sur le domaine D.
p
Le cône est défini à l’aide de l’équation
z
=
1
−
x2 + y2 donc une paramétrisation est
p
Φ(x, y) = (x, y, f (x, y)) où f (x, y) = 1 − x2 + y2 . Donc cône = f (D) (formule (2.6).
−∂f −∂f
On sait qu’un vecteur normal unitaire est (formule (2.1)) alors n = ∂x , ∂y , 1 .
rot V(x, y, z) = (1, −1, 2)
Il reste donc à intégrer
ε
ZZ
rot V (x, y, f (x, y)) · n dxdy
D
On vérifie que D est le disque du plan xOy de centre O et de rayon 1 et ε = 1.
Pour intégrer
ZZ
rot V (x, y, f (x, y))·n dxdy, paramétrer le disque en coordonnées polaire.
Disque
x = ρ cos(θ)
y = ρ sin(θ)
avec [ρ, θ] ∈]0, 1] × [0, 2π].
On obtient alors
ZZ
rot V (x, y, f (x, y)) · n dxdy =
disque
ZZ
=
Z
=
Z
=
Z
0
0
x
disque
1 Z 2π
p
x2 + y2
!
y
−p
x2 + y2
+ 2 dx dy
(cos(θ) − sin(θ) + 2) ρdρ dθ
0
1
[sin(θ)]2π
0
+ [cos(θ)]2π
0
+ 4π ρdρdθ
1
4πρdρ
0
= 2π
Le calcul de
ZZ
x
disque
p
x2 + y2
dxdy n’était pas nécessaire car cette fonction en la variable
xRR
est impaire et le domaine d’intégration est symétrique par rapport à la droite x = 0 donc
√x
disque x2 +y2 dxdy = 0.
ZZ
y
p
dxdy.
Il en est de même pour le terme
x2 + y2
disque
Quel est le bord orienté de Σ+ :
ATTENTION : ne pas confondre avec le domaine D de f .
Le bord de Σ+ est le centre de centre O et de rayon 1 parcouru dans le sens trigonométrique
dont une paramétrisation est γ : t ∈ [0, 2π] =⇒ (x = cos(t), y = sin(t), z = 0).
Pour calculer la circulation de V le long de ce cercle, on peut utiliser les deux méthodes
suivantes :
a) Calculer V (γ(t)) · γ 0 (t) (formule (1.3).
b) ZCalculer les différentielles dx, dy et dz (voir exercice B.1.4) et appliquer la formule
y
V1 dx + V2 dy + V3 dz.
Cercle
On utilise la méthode b).
dx = − sin(t) dt
dy = cos(t) dt
dz = 0
On obtient donc
Z
y
Cercle
V1 dx + V2 dy + V3 dz =
Z
0
2π − sin(t) ∗ (−sin(t)) + cos(t) ∗ (− cos(t)) + 0 dt
= 2π
On applique le théorème d’Ostrogradski (formule (2.8)). Les normales à la sphère sont supposées sortantes.
Notons V la boule de centre O et de rayon 1.
ZZ
V · dσ =
ZZZ
=
ZZZ
Σ+
div V dxdydz
V
dxdydz
V
= Volume de la boule unité
4π
=
3
Pour ceux qui ne connaissent pas le volume d’une boule :
il suffit de passer
 en coordonnée sphérique.

x = ρ sin(θ) cos(φ)
(ρ, θ, φ) =⇒  y = ρ sin(θ) sin(φ)  où (ρ, θ, φ) ∈]0, 1] × [0, π]×]0, 2π[.
z = ρ cos(θ)
Le jacobien vaut det J( ρ, θ, φ) = ρ2 sin(θ).
ZZZ
dxdydz =
V
Z
0
1Z π
0
Z
2π
ρ2 sin(θ) dρdθ, dφ
0
4π
=
3
1
0.8
0.6
0.4
–1
–0.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
0.5
1
a)
1
b) De par
 la paramétrisation
  Φ , un vecteur
 normal est
z cos(θ)
−z sin(θ)
cos(θ)
1
n =  z cos(θ)  ∧  sin(θ)  =  z sin(θ)  qui ne correspond pas à l’orienta0
1
−z


cos(θ)
tion de l’arc fermé Γ1+ paramétré par γ 1 : θ ∈ [0, 2π],  sin(θ) 
1
c)
Z
0
Γ1+
V (γ(θ)) · γ (θ) dθ =
Z
2π
(− sin(θ) sin(θ) − cos(θ) cos(θ)) dθ
0
= −2π


x

y 
rot V =
−2z
En appliquant la formule de Stokes (2.6) (avec le signe −) car incompatiblité de l’orientation, on obtient
ZZ
Z
0
1
rot V · dσ = −
V γ (θ) · γ 1 (θ) dθ
Σ1+
Γ1+
= 2π

ρ cos(θ)
d) On paramétrise Σ2 par γ 2 : (ρ, θ) ∈ [0, 1] × [0, 2π],  ρ sin(θ) .
1

  
 
0
−ρ sin(θ)
cos(θ)
2
2





ρ cos(θ)
=
0  qui correspond à
Une normale à Φ est n =
sin(θ)
∧
0
0
ρ
1
l’orientation de l’arc fermé Γ+ .

1
0.8
0.6
0.4
–1
–0.5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
–0.2
–0.4
–0.6
–0.8
–1
0.5
1
e)
Comme Σ = Σ1 ∪ Σ2 , on a alors d’après le théorème énoncé
ZZ
rot V · dσ =
Σ+
ZZ
= 0
Σ1+
rot V · dσ +
ZZ
Σ2+
rot V · dσ
Vérification :
ZZ
Σ2+
rot V · dσ =
Z
=
Z
2π
0
0
Z
2π Z
1
rot V Φ (ρ, θ) · n2 dρdθ
0
2
1
−2ρdρdθ
0
= −2π

Intégrales curvilignes et de surfaces

Transcription

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