1iereS. vecteurs coplanaires

1iéreS
Ex 1 : A, B, C sont trois points distincts de l’espace. Les vecteurs AB , AC et BC sont-ils coplanaires ?
1 Ex 2 : A, B, C sont trois points distincts de l’espace. E est le point tel que BE = 4BC et F le point tel que AF = AE
2
Les points A, B, C, E, F sont-ils coplanaires ?
Ex 3 : Sur le cube ABCDEFGH :
1 M est le point tel que EM = EH
3
1 et N est tel que AN = AB
3
1 1. Démontrer que MN = EA + DB .
3
2. Les vecteurs EA , MN et HB sont-ils coplanaires ?
Ex 4 : On se place dans le repère orthonormé ( D ; DA , DC , DD' )
On note : E(
1
1
1
3
; 0 ;1 ) F( 0 ; ; 1 ) G( 1 ; 1 ; ) H( 0 ; 1 ; )
2
2
4
4
1. Démontrer que les vecteurs FE , FG et FH sont coplanaires.
2. On note K( 1 ; 0 ; β )
a ) Pour quelle valeur de β les droites ( KG ) et ( FH ) sontelles parallèles ?
b ) En déduire que pour cette valeur de β le point K est dans le
plan (EFG).
3. Calculer les longueurs FH2 , HG2 et FG2 . Le triangle GHF
est-il rectangle ?
Ex 5 : Expliquez pourquoi la droite passant par le point A ( 7 ; −1 ;3) et dirigée par le vecteur u = 2i − j
est parallèle au plan O ; i, j
(
)
 −1 
 4
 −7 
   
 
Ex 6 : Les vecteurs u  3  , v  0  et w  9  sont-ils coplanaires ?
 2
 2
 4
 
 
 
( O ; i, j , k )
Ex 7 : Intersection d’une sphère et d’un cylindre. L’espace est muni d’un repère orthonormé
1. Quelle est l’équation de la sphère S de centre Ω( 2 , 0 , 0 ) et de rayon 3 ?
2. Quelle est l’équation du cylindre C d’axe (Ox) dont la section par le plan ( yOz ) est un cercle de rayon 3 ?
 y 2 + z 2 = 9
3. Montrer qu’un point M(x, y, z ) appartient à C et à S, si et seulement si :

2
 ( x − 2 ) = 0
4. En déduire que la sphère S et le cylindre C se coupent suivant un cercle dont on précisera le rayon,
les coordonnées du centre et l’équation du plan qui le contient.
5. Déterminer l’intersection du cylindre C avec le plan d’équation z = 0 .