Semaine 21

— Semaine K21 —
Programme de khôlles — Lycée César Baggio — Mathématiques Supérieures PTSI2 — 2012/2013
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CHAPITRE XXI
ENSEMBLES FINIS, DÉNOMBREMENT
§1.
E NSEMBLES FINIS
— Cardinal
— Propriétés des ensembles finis , cardinal d’une partie d’un ensemble fini.
— Applications entre ensembles finis . Lien entre cardinal, injection, surjection, bijection.
— Opération sur les ensembles finis : union disjointe, union.
— Parties finies de N : pour toute partie finie et non vide A de N, il existe une bijection strictement croissante et
une seule de ‚1, nƒ sur A, où n = card(A).
§2.
A NALYSE COMBINATOIRE
— Nombre d’applications d’un ensemble fini dans un ensemble fini , principe des Bergers. card(E × F),
card (F (E, F)), card P(E).
— Nombre d’injections d’un ensemble fini dans un ensemble fini, p arrangement ; Permutations.
— Nombre de parties
¡ ¢ à p éléments d’un ensemble à n éléments. Relation entre les coefficient binomiaux, relation
P
de Pascal, np=0 np (interprétation ensembliste).
CHAPITRE XXII
ESPACES VECTORIELS
§1.
S TRUCTURE D ’ ESPACE VECTORIEL
— Les axiomes d’espace vectoriel. Calculs dans un espace vectoriel
— Exemples fondamentaux d’espaces vectoriels Espace vectoriel R ou C, Espace vectoriel Kn , Espace vectoriel
d’applications, Espace vectoriel de suites, Espace vectoriel de matrices,
— Espace vectoriel produit
— Notion de combinaison linéaire
§2.
S OUS - ESPACES VECTORIELS
— Définition, caractérisation. Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
— Intersection de sous-espaces vectoriels. Sous-espace vectoriel engendré par une partie.
— Somme de deux sous-espaces vectoriels
§3.
FAMILLES DE VECTEURS
— Liberté
— Familles génératrices
— Base
§4.
S OMME DIRECTE ET PROJECTIONS
— Somme directe de deux sous-espaces vectoriels, caractérisations.
— Sous-espaces supplémentaires, caractérisations.
— Projection, projecteur.
§5.
E XISTENCE DE BASES — T HÉORÈME DE LA BASE INCOMPLÈTE
— Théorème de la base incomplète. Conséquences.
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D ÉMONSTRATIONS EXIGIBLES DES ÉTUDIANTS
— L’intersection d’une famille de sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E.
— Toute combinaison linéaire de combinaisons linéaires des vecteurs de la famille (x 1 , . . . , x n ) est encore une combinaison linéaire des vecteurs de (x 1 , . . . , x n ).
— Une famille est une base de E si, et seulement si c’est une famille libre et génératrice de E.
On pourra vérifier que les exercices
E8.14, E7.10, E8.17, E8.23, E7.9, E7.4, E8.6, E8.11,
ont été correctement (re)-travaillés.
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