ECOLE DE L`AIR MATH 2 2005

ECOLE DE L'AIR
MATH 2 2005
La r¶edaction du sujet suppose parfois, sans le dire, que quand le paramµetre t d¶ecrit R , le paramµetre s d¶ecrit aussi R .
1
prendre un mobile dont la vitesse est pour t 2 R ds
ecrira l'intervalle ] ¡ ¼=2; ¼=2[
dt (t) = 1+ t2 , t d¶
1.a)
0
Soit provisoirement ½ la courbure (pour distinguer du c du sujet) .Soit s quelconque , z(s) est l'a±xe de M
µ (s) et z¶(s)
¡
!
x"(s)
est l'a±xe de T (s) , ce qui impose jz 0 (s)j = 1 . Si on d¶erive une seconde fois z"(s) est l'a±xe du vecteur
=
y"(s)
¡¡!
¡
!
½(s)N (s) = ½(s)R ¼=2( T (s)) . Or une rotation d'angle ¼=2 se traduit par une multiplication par le complexe de module 1 et
d'argument ¼=2 , donc par i . z"(s) = ½(s)iz 0 (s) .
On a donc : z"(s) = ic(s)z 0(s) si et seulement si ic(s)z 0(s) = i½(s)z 0(s) Or z0 (s) est de module 1 donc toujours non nul. Le
r¶esultat pr¶ec¶edent ¶equivaut donc µa c(s) = ½(s) .
8s 2 R , z"(s) = c(s)iz0 (s) , si et seulement si c est la fonction courbure
1.b)
² Si c est la fonction nulle z v¶eri¯e l'¶equation
z" = 0 , donc z 0 est constante et de module 1 , il existe µ tel que z 0 (s) = eiµ
½
x = cos (µ) s + x 0
en int¶egrant z(s) = eiµ s + z0 . Soit
y = sin (µ) s + y0
µ
¶
¡
!
¡
!
¡
!
cos (µ)
On v¶eri¯e que pour une telle courbe T (s) =
et ddsT = 0
sin (µ)
une courbe de courbure toujours nulle est incluse dans une droite , la droite entiµere si s d¶ecrit R
² Si c est une constante non nul on a : z"(s) = ciz 0 (s) , donc en int¶egrant l'¶equation di®¶erentielle z 0 (s) = Ke cis . et comm
jz 0s)j = 1 il existe µ tel que z 0 (s) = eiµ eics . En int¶egrant
z(s) = eiµ
On a donc jz(s) ¡ z 0 j =
e ics
+ z0
ic
1
jcj
Une courbe de courbure c constante non nulle est incluse dans un cercle de rayon
R¶eciproquement on v¶eri¯e que pour un cercle de rayon R la courbure est constante et vaut
1
R
1
c
.
Si tous les points sont des sommets , la courbe est donc un morceau de droite ou un morceau de cercle.
1.c)
1
i
0
0
i ar ctan(s)
Si c(s) = 1+s
.La condition z 0 (0) = 1 donne K = 1 . Donc
2 on a z"(s) = 1+s2 z (s) , et donc z (s) = Ke
z(s) = cos (arctan(s)) + i sin(arctan(s)):
A simpli¯er par la trigonom¶etrie : si µ = arctan(s) on a µ 2] ¡ ¼=2; ¼=2[ et tan (µ) = s . Or
tan 2 (µ) + 1 =
1
sin (µ)
, et tan (µ) =
cos 2 (µ)
cos (µ)
1
donc cos2 (µ) = 1+s
2 et comme sur le domaine cos (µ) ¸ 0 , cos (µ) =
; on peut donc prendre la primitive telle que z(0) = i
p 1
1+s2
et sin (µ) =
p s
1+s2
. donc z 0(s) =
p
z(s) = arg sh (s) + i 1 + s2
Si on pose s = sh(t) , on a donc z = t + i ch(t) donc y = ch(x) . la courbe est incluse dans une cha^³nette.
2) sommet d'une parabole.
On remarquera que, t est homogµene µa une longueur et donc aussi p .
2.a)
µ
¶
° ¡
°
¡
!
!
p
1
° dM
°
M
On a ddt
(t) =
donc ds
(t)
=
(t)
u:
°
° = 1p p 2 + t2 . D'oµ
dt
dt
t=p
µ
¶
µ
¶
¡
!
¡
!
p
¡t
1
1
p
p
T (t) =
, N (t) =
t2+p 2
t
t2+ p2
p
ces deux vecteurs sont de norme 1 .
p 1
1+s2
s
+ i p 1+s
2
2.b)
¡
!
On d¶erive T par rapport µa t
Ã
! Ã
¡ pt
¡
!
dT
(p2 +t2)3=2
(t) =
=
¡t
:t + p 21 2
dt
(t2 +p2) 3=2
t +p
d'oµu la courbure en utilisant
dT
ds
=
¡ pt
(p2 +t2)3=2
2
2
¡t
:t + 2p +t
( t2+p2 )3=2
(t +p2)3=2
dT dt
dt ds
c(t) =
!
=
Ã
¡pt
(p 2+t2) 3=2
p2
(p 2+t2) 3=2
!
=
p2
p ¡
!
N (t)
2
+t
p2
(p 2+t2)3=2
qui est bien homogµene µa l'inverse d'une longueur (le rayon de courbure)
2.c)
t
2
On a donc dc
eriv¶ee par rapport µa t est donc nulle si et seulement si t est nul.
dt (t) = ¡3p ( p2+t2 )5=2 . La d¶
la parabole admet un seul sommet (au sens du sujet) le point t = 0 qui est aussi le sommet au sens usuel.
3) sommet d'une ellipse.
a et b sont homogµenes a des longueurs . La v¶eri¯cation de l'homog¶en¶eit¶e des formules et la v¶eri¯cation de dT
==N doivent
dt
vous prot¶eger de la grande majorit¶e des erreurs µ
de calcul.
¶
µ
¶
° ¡
¡
!
!°
¡¡!
aC
¡aS
° M
° p 2 2
dM
Je note S = sin et C = cos . On a donc OM =
donc en d¶erivant dt =
et ° ddt
° = a S + b 2 C 2 soit
bS
bC
µ
¶
¡
!
¡aS
T = p a 2S 21+b 2C 2 :
bC
µ
¶
¡
!
¡bC
et N = pa 2S 21+ b2C 2 :
(de norme 1) . Puis :
¡aS
¡
!
dT
dt
=
=
=
=
d'oµu comme
¡
!
dT
ds
=
¡
¢
¡ a2 ¡ b2 SC
µ
¶
µ
¶
¡aS
1
¡aC
p
:
+
3=2
bC
¡bS
a2 S 2 + b 2 C 2
(a2 S 2 + b 2 C 2 )
µ ¡ 2
¢
¡
¢ ¶
1
a ¡a ¡ b2 ¢S 2 C ¡ aC ¡a2 S 2 + b 2 C 2 ¢
3=2
¡b a2 ¡ b2 SC 2 ¡ bS a2 S 2 + b 2 C 2
(a2 S 2 + b 2 C 2 )
µ
¡
¢ ¶
µ
¶
1
1
¡ab2 C ¡ S 2 + C 2 ¢
¡ab 2 C
=
¡ba2 S C 2 + S 2
¡ba2 S
(a2 S 2 + b 2 C 2 )3=2
(a2 S 2 + b2 C 2 )3=2
ab
¡
!
N
2
2
2
2
(a S + b C )
¡
!
d T dt
:
dt ds
c=
homogµene µa l'inverse d'une longueur.
et donc :
ab
(a 2S 2+ b2C 2)3=2
¡
¢
dc
¡3ab a2 ¡ b 2 SC
=
5=2
dt
(a2 S 2 + b2 C 2 )
Comme a 6= b la d¶eriv¶ee est nulle si et seulement si sin(t) = 0 ou cos(t) = 0 . donc t = 0[¼=2]
Remarque : Si a = b on retrouve le cas du cercle oµ
u tous les points sont des sommets :
l'ellipse admet quatre sommets (au sens du sujet) qui sont aussi les sommets au sens usuel.
4.a) ¯gure 1
La courbe ¶etant C 3 la fonction Y est C 3 et donc continue . Le th¶eorµeme de Rolle permet donc de dire que comme Y change
de signe sur [u; v] , Y admet une racine sur [u; v] .
Par hypothµese s1 ; s2 ; w sont deux µa deux distincts et situ¶es strictement sur la m^eme p¶eriode de M . Les trois points sont
deux µa deux distincts et align¶es sur la droite Y = 0 .
Notons A; B; C ces trois points avec une notation telle que B 2]A; C [ .
² Soit la tangente en B partage le plan en deux demi plans ouverts , l'un contenant A l'autre C . Ce qui contred
l'hypothµese que la courbe reste incluse dans un seul demi plan ouvert. . D'oµu l'absurdit¶e.
² Soit la tangente est la droite ABC ce qui contredit la convexit¶e stricte.
4.b) ¯gure 2
D'aprµes l'absurdit¶e pr¶ec¶edente, la courbe pour s 2]s1; s2[ est donc situ¶ee dans l'un des demis plans ouverts d¶e¯ni par la
droite M (s1 )M (s2 ) . en rempla»cant s1 par s2 et s2 par s1 + L on a le m^eme r¶esultat. Reste µa prouver que les deux demis
plans sont distincts. Par l'absurde supposant que la courbe sur ]s 1 ; s2 [ et sur ]s2 ; s2 + L[ soit dans le m^eme demi plan (par
exemple Y > 0) .
On a alors que Y est minimum en s 2 et donc comme la fonction est C 1 on a Y 0 (s2 ) = 0 . Comme la courbe est r¶eguliµere
X 0 (s2 ) 6= 0 et la tangente en M (s2 ) est donc la droite Y = 0 . Elle passe par M (s 1 ) 6= M (s 2 ) ce qui contredit la stricte
convexit¶e.
chaque corde M (s1 )M (s2) partage le plan en demi plans ouverts contenant chacun un arc de courbe s1 < s < s2 ou s2 < s <
5.a)
L'image d'un segment par une fonction continue est un segment . On peut l'appliquer au segment [O; L] avec la fonction
continue Y . Il existe un minimum atteint en un point not¶e s1 et un maximum en un point not¶e s2 .
La fonction ¶etant C 1 la d¶eriv¶ee aux extr¶emums est nulle. Donc
il existe au moins deux sommets M (s1 ) et M (s2 )
5.b)
sur [s1 ; s2 ] la d¶eriv¶ee est de signe constant ( par hypothµese il n'y a pas d'autre racines , donc par continuit¶e pas d'autre
changement de signe) .Or on a un minimum en s1 et un maximum en s2 . La d¶eriv¶ee est donc positive sur [s1 ; s2 ] strictement
positive sur ]s1 ; s2 [ . Comme on suppose aussi Y (s) > 0 on a c0 (s)Y (s) positif sur [s1 ; s2 ] , strictement positif sur ]s1 ; s2 [:
Sur ]s2 ; s1 + L[ on a par la m^eme ¶etude des variations et l'hypothµese sur les racines de c0 : c0 (s) < 0 . La question 4 nous
donne Y (s) < 0 . Donc sur ]s2 ; s1 + L[ c0(s)Y (s) > 0 .
On intµegre donc une fonction continue positive , strictement positive en au moins un point donc
R s1+L
Y (s)c0 (s)ds > 0
s1
Si on intµegre par parties avec les fonctions C 1 , s et Y (la classe des donn¶ees ne laisse pas le choix)
Z s1 + L
Z s1 +L
Y (s)c0(s)ds = [Y c]ss11+L ¡
Y 0(s)c(s)ds
s1
s1
Le morceau tout int¶egr¶e est nul par p¶eriode L . Prouvons que l'autre est aussi nul . On prend le repµere de Frenet dans le
nouveau repµere :
µ 0 ¶
µ
¶
¡
!
X
¡
!
¡Y 0
T =
, N =
Y0
X0
¡
!
¡
!
cY 0 est donc l'oppos¶e de l'abscisse de c N de primitive T . On a donc
Z s1+L
s +L
Y 0 (s)c(s)ds = ¡ [X 0 ]s11
= 0 par p¶eriode
s1
D'oµu l'absurdit¶e 0 > 0 .
R s +L
Si on ne suppose pas Y (s) > 0 sur ]s 1 ; s 2 [ la question 4 montre que Y (s) < 0 et donc ... s11 Y (s)c0 (s)ds < 0 d'oµ
u l'absurdit¶e.
Il existe au moins un troisiµeme sommet M (s3 )
5.c)
Supposons qu'il n'y ai que trois sommets .
² s1 ¶etant un minimum la d¶eriv¶ee est positive µa droite de s1 (et n¶egative µa gauche) donc la d¶eriv¶ee est positive sur [s1 ; s3
et donc strictement positive sur ]s 1 ; s 3 [ .
² s2 ¶etant un maximum la d¶eriv¶ee est positive µa gauche de s1 (et n¶egative µa droite) donc la d¶eriv¶ee est positive sur [s3 ; s2
et donc strictement positive sur ]s 3 ; s 2 [ .
² La d¶eriv¶ee s'annule en s3 sans changer de signe.
² L'¶etude du 5:b reste alors valable sauf en s3 oµ
u c0 (s)Y (s) est nul au lieu d'^etre strictement positif (ou n¶egatif) . Il rest
R s +L
toujours des points oµ
u l'expression est non nulle . l'int¶egrale s11 Y 0 (s)c(s)ds est donc toujours strictement positiv
(n¶egative).. Mais elle est aussi nulle d'oµu l'absurdit¶e.
Si on suppose que s3 est compris entre s2 et s1 + L on a le m^eme r¶esultat en se pla»cant sur [s2 ; s2 + L] au lieu de [s1 ; s1 + L]
une courbe plane C 3 p¶eriodique strictement convexe admet au moins 4 sommets.
Remarque : pour l'ellipse M (s1 ) est un sommet du petit axe , M (s2 ) un sommet du grand axe. Su l'un des arcs de courbes
reliant M (s1 ) µa M (s2 ) il n'y a pas d'autre sommet. Sur l'autre il y en a deux.