bulletin-04-28-13 - St. Peter and Paul Catholic Church

Universidade Federal de Rio de Janeiro
Instituto de Matem´atica
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CALCULO
3—EXERC´ICIOS PARA PROVA 2
Prof. Marianty Ionel
Material: Stewart: Sec. 16.5, 16.6, 16.7, 16.8, 16.9 ou Diomara: cap. 7.
´
Parametriza¸c˜ao de uma superf´ıcie. Area
de superf´ıcies. Integral de superf´ıcie de uma
fun¸ca˜o escalar. Integral de superf´ıcie de um campo vetorial. Teorema de Stokes. Teorema
de Gauss.
Exerc´ıcios:
1. Calcule a a´rea da superf´ıcie da esfera x2 + y 2 + z 2 = 12 que n˜ao se encontra no interior
do parab´oloide √
z = x2 + y 2 .
Resp: 12π(2 + 3)π
2. pCalcule a ´area do c´ılindro x2 + y 2 = 2x limitada pelo plano z = 0 e o cone
z = x2 + y 2 .
Resp: 8
3. Calcule a integal de superficie
4
Resp: 8πa
3
RR
S
(x2 + y 2 )dσ, onde S ´e a esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 .
RR p
4. Calcula a integral de superf´ıcie S 1 + x2 + y 2 dσ, onde S ´e a helic´oide com a
equa¸ca˜o vetorial r(u, v) = u cos vi + u sin vj + vk, u ∈ [0, 1], v ∈ [0, π].
Resp: 4π
3
5. Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (xy, yz, zx) atrav´es da superf´ıcie S
que ´e a parte do paraboloide z = 4 − x2 − y 2 que est´a acima do quadrado 0 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1, com orienta¸ca˜o pra cima.
83
Resp: 180
R
6. Usando o teorema de Stokes, calcule a integral de linha C F · dr, onde F (x, y, z) =
(yz + x3 , 2xz + 3y 2 , xy + 4) e C ´e a curva obtida como interse¸ca˜o do cilindro x2 + y 2 = 1
com o plano x+y +z = 1, orientado no sentido anti-hor´ario. Calcula essa integral tamb´em
direitamente, com a defini¸c˜ao.
Resp: π
1
7. Calcule o trabalho realizado pelo campo de for¸ca˜
F (x, y, z) = (xx + z 2 )i + (y y + x2 )j + (z z + y 2 )k
quando uma particula se move sob sua influˆencia ao redor da borda da parte da esfera
x2 + y 2 + y 2 = 4 que est´a no primeiro octante, na dire¸c˜ao anti-hor´aria quando vista por
cima.
Resp: 16
8. Seja F (x, y, z) = (y 2 cos x, 2y sin x + e2z , 2ye2z ).
(a) Verifique se o campo vetorial F (x, y, z) ´e conservativo. Explique! Caso seja, determine
uma fun¸ca˜o Hpotencial para F (x, y, z)
p
(b) Calcule C F · dr onde C ´e a curva na interse¸ca˜o de z = 4 − x2 − y 2 com x + y = 2,
orientada positivamente de forma que a coordenada x seja crescente.
Resp: (b) −2
9. Considere o campo vetorial:
F (x, y, z) = −(
x2 yz
2
xy 2 z
4
+ y 3 + etan(1+x ) )i + (x3 −
)j + x2 y 2 k
5
5
5
Seja C a curva de interse¸ca˜o das superficies z = xy He x2 + y 2 = 1, orientada no sentido
anti-hor´ario quando projetada no plano xy. Calcule C F · dr.
Resp: 3π
2
10. Determine o fluxo do campo vetorial
F (x, y, z) = (y 2 x +
y
z
x
2
2
,
z
y
+
,
x
z
+
)
x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2
x2 + y 2 + z 2
atrav´es da superficie do s´olido W limitado pelas esferas de equa¸c˜oes x2 + y 2 + z 2 = a2 e
x2 + y 2 + z 2 = b2 com 0 < a < b, orientadas com sentidos opostos e exteriores ao s´olido
W.
5
5
Resp: 4π( b −a
+ b − a)
5
RR
11. Calcule a integral de superf´ıcie Σ F · dσ, onde F (x, y, z) = (cos z + xy 2 )i + xe−z j +
(sin y + x2 z)k e Σ ´e a superf´ıcie do s´olido limitado pelo paraboloido z = x2 + y 2 e o plano
z = 4.
Resp: 32π
3
2
2
12. Seja C a curva de interse¸ca˜o do c´ılindro eliptico x4 + y2 = 1 com a hemisfera
2
x2 + y 2 +
H z = 4, com z ≥ 0, orientada no sentido anti-hor´ario quando vista de cima.
Calcule C F · dr, onde F ´e o campo vetorial definido pelo:
F (x, y, z) = (2zy, x, xy +
2
x2
4z
+ z ln(4 + z 4 ))
2
+ 2y
√
Resp: −16 + 2 2π
13. Mostre, usando o teorema de Gauss, que o fluxo do campo vetorial F (x, y, z) =
3
(x2 + y 2 + z 2 )− 2 (x, y, z) que sai de qualquer superf´ıcie fechada S envolvendo a origem ´e
4π.
14. Calcular o fluxo
RR
Σ
F · n dσ do campo vetorial
F (x, y, z) = (xy 2 , x2 y, y)
sobre a superf´ıcie do cilindro x2 + y 2 = 1 limitado pelos planos z = 2 e z = −2, orientada
pelo normal apontando para fora.
Resp: 2π
15. Calcular
H
C
F · dr do campo vetorial
2
F (x, y, z) = (cosx, 3x + sin y, ez )
p
2
sobre a curva definida como interse¸ca˜o das superficies z = x2 + y 2 e x3 + y 2 = 1, orientada de √
tal maneira que a sua proje¸c˜ao no plano xy seja orientada no sentido anti-horario.
Resp: 3 3π
16. Calcular o fluxo
RR
S
F · n dσ do campo vetorial
F (x, y, z) = (3x2 y 2 − 2xz + 2x + 1,
x2
+
2z
2y
− 2xy 3 , z 2 − 2
)
2
2
+z +1
x + y + z2 + 1
y2
sobre a parte da superficie x + 2y 2 + z 2 = 1 onde x ≥ 0, orientada pela normal com
primeira
√ componenta positiva.
Resp: 2π
RR
17. Calcule S rotF · n dσ, onde F (x, y, z) = (x − x2 z, yz 3 − y 2 , x2 y − xz) e S ´e qualquer
superficie cujo bordo seja uma curva fechada no plano xy.
Resp: 0
3
3
3
18. Calculo o fluxo do campo F (x, y, z) = ( x3 + y, y3 , z3 + 2) atrav´es da superficie S do
s´olido
p
W = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 ≥ 1, x2 + y 2 + (z − 2)2 ≤ 4, z ≥ x2 + y 2 }
com campos de vetores
normais a S apontando para fora de W .
√
π
Resp: 15
(890 + 3 2)
3