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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL SERRA DOS ÓRGÃOS
CENTRO UNIVERSITÁRIO SERRA DOS ÓRGÃOS
Centro de Ciências e Tecnologia
Curso de Graduação em Matemática
Análise I – 2012-1 - 1ª Lista de Exercícios
(Exercícios retirados dos livros “Análise Real”, vol.1, de Elon Lages Lima, “Principles of
Mathematical Analysis”, de Walter Rudin, e “Análise Matemática para Licenciatura”,
de Geraldo Ávila.)
1. Seja X ⊆ um subconjunto não vazio tal que n, m ∈ X ⇒ n + m ∈ X. Prove
que existe k ∈ tal que X é o conjunto dos múltiplos de k.
2. Seja ℘(X) o conjunto das partes de X, ou seja, o conjunto formado por todos
os subconjuntos de X. Denote por |S| a cardinalidade do conjunto S.
Supondo que X é um conjunto finito, prove que |℘(X)| = 2|X|.
3. Construa uma bijeção entre o conjunto e o conjunto dos números
ímpares positivos.
4. Construa uma bijeção entre o conjunto e o conjunto dos quadrados
perfeitos.
5. Dado n ∈, construa uma bijeção entre e seu subconjunto {m∈|m ≥ n}.
6. Sejam A um conjunto finito e B um conjunto enumerável infinito. Prove
que A ∪ B é um conjunto enumerável infinito.
7. Sejam A e B conjuntos enumeráveis. Prove que A ∪ B é um conjunto
enumerável.
8. Prove que, se um conjunto infinito E = A ∪ B não é enumerável, então pelo
menos um dos conjuntos A, B não é enumerável.
9. Prove que o conjunto dos números irracionais não é enumerável.
10. Construa uma bijeção entre o intervalo (0, 1) e a reta inteira.
11. Mostre que todo conjunto infinito contém um subconjunto enumerável.
12. Prove que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
13. Use o método de diagonalização de Cantor para mostrar que o conjunto
das sequências infinitas de inteiros positivos não é enumerável.
14. David Hilbert (1862−1943) observou certa vez que um hotel com um
número infinito de quartos sempre pode acomodar mais hóspedes, até
mesmo uma infinidade deles, mesmo que os quartos do hotel já estejam
todos ocupados. Mostre como fazer isto.
15. Sejam u e v números reais tais que u é racional, u ≠ 0, v é irracional. Prove
que u + v e uv são irracionais.
16. Prove que não existe número racional a tal que a2 = 12.
17. Seja A um subconjunto não vazio dos números reais limitado
inferiormente. Seja B = {–x| x∈A}. Prove que inf A = –sup B.