TD Maths DUT SGM

SGMû Maths ø TD Exercices Applications
IUT de Chambéry - L. Flandin
Première partie
Révisions de Géométrie
1
Espace affine
1. Définition
On appelle espace affine l’ensemble ε dont les éléments sont des points. A tout couple de points (M,N) de
−→
~ =−
ε on associe le vecteur V
MN.
ε −→ V
Si on choisit un point particulier O, alors l’application
−−→ est une bijection de ε vers l’ensemble
M −→ OM
V des vecteurs.
- Exercice 3
 




0
−1
2
~
~
~





1 , V2 =
0
−1  forment une base.
a/ Montrer que dans
les vecteurs V1 =
, V3 =
2
1
0
b/ Ecrire les formules de passage de la base B{~i, ~j, ~k} à la base B 0 {V~1 , V~2 , V~3 }
- Exercice 1
Soit le repère R(0,~i, ~j, ~k) deux points M(x, y, z) et N(x0 , y 0 , z 0 ).
−−→
a/ Donner les composantes du vecteur M N .
b/ Donner les coordonnées du milieu de [MN].
2. Base
~
Soit V l’ensemble des vecteurs, on appelle base de V tout triplet de vecteurs ~i, ~j, ~k tel que tout vecteur V
~ = x~i + y~j + z~k Les réels x, y, z sont les composantes de V
~ dans
de V puisse s’écrire de manière unique V
 
x
~
~
~
~
la base B = {i, j, k}. On notera plus commodément V =  y 
z
3. Changement de repère
Un repère R de l’espace affine ε est constitué par
- un point origine de l’espace, noté O ;
- une base B = {~i, ~j, ~k} de l’espace vectoriel V.
Soit le repère R{O,~i, ~j, ~k}, un nouveau repère R0 {O0 , ~i0 , j~0 , k~0 } est défini par :
- les coordonnées de la nouvelle origine dans le repère R : O0 (x0 , y0 , z0 )
- les 
composantes
des
vecteurs
de base dans la base B{~i, ~j, ~k} :

 nouveaux



α1
α2
α3
~i0 =  β1 , j~0 =  β2 , k~0 =  β3 .
γ1
γ2
γ3
La matrice de passage s’écrit


α1 α2 α3
P =  β1 β2 β3 
γ1 γ2 γ3
Les coordonnées de M dans le repère R

 
x − x0
α1 α2
 y − y0  =  β1 β2
z − z0
γ1 γ2
s’écrivent en fonction de celles de M dans le repère R0 :

 0 
α3
x
 x − x0 = α1 x0 + α2 y 0 + α3 z 0
y − y0 = β1 x0 + β2 y 0 + β3 z 0
β3   y 0  ⇐⇒

γ3
z0
z − z0 = γ 1 x 0 + γ 2 y 0 + γ 3 z 0
- Exercice 2
a/ Changement de repère par translation.
On définit R0 {O0 , ~i0 , j~0 , k~0 } et O0 (x0 , y0 , z0 ) tel que : ~i0 = ~i, j~0 = ~j, k~0 = ~k. Exprimer x0 , y 0 et z 0 en fonction
de x, y et z.
b/ Changement de repère par rotation. (2 dim.)
1
O0 (−1, 1)
(~i, ~i0 ) = (~j, j~0 ) = π4
c/ Trouver l’équation dans le repère R0 (de la question précédente) de la courbe d’équation : x2 + y 2 + xy +
x − y = 0.
Ecrire les formules de passage du repère R{O,~i, ~j} au repère R0 {O0 , ~i0 , j~0 } défini par
R3
- Exercice 4
a/ Montrer que les vecteurs ~i, ~i + ~j, ~i + ~j + ~k forment une base.
~ = ~i + 2~j − ~k.
b/ Trouver dans cette base les composantes du vecteur V
2
Droites et plans de l’espace affine
1. Equation d’une droite dans ε
~i, ~j, ~k} un repère de ε et D la droite définie par le point A(x0 , y0 , z0 ) et le vecteur directeur
Soit 
R{O,

α
 x = x0 + λα
~ =  β . Les coordonnées d’un point M appartenant à la droite s’écrivent :
y = y0 + λβ λ ∈ R Ces
V

γ
z = z0 + λγ
relations constituent une représentation paramétrique de la droite. On peut obtenir l’équation cartésienne
y−y0
z−z0
0
en éliminant λ de ces équations (2 équations) : x−x
α = β = γ
- Exercice 5
a/ Donner la représentation paramétrique de la droite passant par les points A(2, 1, 0) et B(−1, 3, 1).
b/ Donner dans le plan l’équation cartésienne de la droite (D) passant par les points A(a, 0) et B(0, b).
- Exercice 6
Dans un espace de
2 (le plan), l’équation cartésienne d’une droite est de la forme ux + vy + h = 0.
dimension
v
~
Le vecteur V =
est un vecteur directeur de cette droite.
−u
a/ Quel est le vecteur directeur de la droite 2x − y + 3 = 0 ? Représenter cette droite dans le plan.
b/ Mêmes questions pour la droite −x + y2 + 1 = 0. Commentaires.
2. Equation d’un plan


α1
~
Soit R{O,~i, ~j, k} un repère de ε3 et (P ) le plan défini par A(x0 , y0 , z0 ) et les vecteurs V~1 =  β1  et
γ1
2


α2
−−→
−
→
−
→
−−→
−→
−
→
−
→
~
V2 =  β2 . Par définition si M ∈ (P ) ⇐⇒ AM = λV1 + µV2 ⇐⇒ OM = OA + λV1 + µV2 d’où
γ2

 x = x0 + λα1 + µα2
y = y0 + λβ1 + µβ2 λ ∈ R µ ∈ R C’est l’équation paramétrique du plan.
les coordonnées de M

z = z0 + λγ1 + µγ2
x − x0 α1 α2
−−→ −
→ −
→
L’équation cartésienne s’écrit en égalant le déterminant des vecteurs AM , V1 , V2 à 0. y − y0 β1 β2 = 0
z − z0 γ 1 γ 2
β β2
α α2
qui s’écrit en développant par rapport à la première colonne (x − x0 ) 1
− (y − y0 ) 1
+ (z −
γ1 γ2
γ1 γ2
α α2
z0 ) 1
= 0 soit (x − x0 )(β1 γ2 − γ1 β2 ) − (y − y0 )(α1 γ2 − γ1 α2 ) + (z − z0 )(α1 β2 − α2 β1 ) = 0 qu’on peut
β1 β2
écrire u(x − x0 ) + v(y − y0 ) + w(z − z0 ) = 0 ou encore ux + vy + wz + h = 0
- Exercice 7
a/ Ecrire l’équation du plan (xOy) qui a pour vecteurs directeurs ~i et ~j.
b/ Ecrire l’équation du plan déterminé par les points A(a, 0, 0), B(0, b, 0) et C(0, 0, c).
c/ Quelle est l’équation du plan parallèle à Ox et contenant la droite (D) d’équation x−1
2 =
3
y−1
1
=
z
1
Produits de vecteurs
1. Produit scalaire
 

 
0
1
0
~ =
Soit un repère orthonormé R{O,~i, ~j, ~k} avec ~i =  0 , ~j =  1 , ~k =  0 , deux vecteurs V
1
0
0
 
 0 
x
x
~ .V~ 0 est un nombre : V
~ .V~ 0 = xx0 + yy 0 + zz 0 .
 y , V~ 0 =  y 0 , le produit scalaire noté V
z
z0

- Exercice 8

 

−1
0
0
~
~


2
Calculer le produit scalaire de V =
et V =  1 .
1
3
2. Norme
p
p
~ le scalaire || V
~ ||= V
~ .V
~ = x2 + y 2 + z 2
On appelle norme euclidienne ou (module) du vecteur V
- Exercice 9


−1
~ || avec V
~ = 1 
a/ Calculer || V
2
~ de même direction que V
~ et qui a pour norme 1 (vecteur normé).
b/ Donner le vecteur W
3. Interprétation géométrique du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par le cosinus de leur angle.
~ .V~ 0 =|| V
~ || × || V~ 0 || cos(V
~ , V~ 0 )
V
|| V~1 ||= 3 et || V~2 ||= 2. Calculer la norme du vecteur || V~1 + V~2 ||
4. Produit vectoriel de deux
 vecteurs

 0 
x
x
0
~
~


y
Soit deux vecteurs V =
et V =  y 0  rapportés à la base orthonormée {~i, ~j, ~k}. On appelle
z
z0
   0 
x
x
0
0
0
~
~
~
~
~
~
produit vectorielle de V par V , le vecteur noté V ∧ V de composantes V ∧ V =  y  ∧  y 0  =
z
z0


0
0
yz − zy
 −(xz 0 − x0 z) 
xy 0 − x0 y
- Exercice 11



1
2
~ =  −1  et V~ 0 =  −5 
a/ Calculer le produit vectoriel de V
3
1
 
 
 
0
0
1
b/ Soit ~i =  0 , ~j =  1  et ~k =  0 , calculer ~i ∧ ~j, ~j ∧ ~k et ~k ∧ ~i.
1
0
0
5. Interprétation géométrique du produit vectoriel

~
~ ∧ V~ 0 est un
Le produit vectoriel W
= V
~ et V~ 0 et de norme
vecteur orthogonal à V
~ ||=|| V
~ || × || V~ 0 || × sin(V
~ , V~ 0 ). C’est l’aire du
|| W
−→
−−→
parallélogramme construit sur les vecteurs OA et OB
0
~
~
représentant d’origine O de V et V .
- Exercice 12
Soit le triangle ABC représenté sur la figure ci-dessous :
- Exercice 10
On a représenté les vecteurs V~1 et V~2 sur la figure suivante.
3
4
−→ −→
~ =−
a/ Représenter le vecteur W
AB ∧ AC.
~ ||. Que vaut l’aire du triangle (ABC) : A(ABC) ?
b/ Donner l’interprétation géométrique de || W
c/ Calculer cette aire avec A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c).
Étant donnés trois vecteurs ~u,~v et w,
~ on appelle produit mixte de ces 3 vecteurs la quantité : [u, v, w] = ~u.(~u ∧ w)
~
On peut démontrer que l’on a invariance par toute permutation circulaire des vecteurs et antisymétrie du produit
mixte par toute permutation non-circulaire.
Remarques :
Si deux des trois vecteurs sont égaux ou colinéaires, le produit mixte est nul. Application du produit mixte Si les
vecteurs ~a, ~b et ~c ont un produit mixte non nul ils forment une base.
Mettre Calculer module et argument de z.
b/ Résoudre dans C, l’équation :
Résoudre dans C, l’équation :
(3 + 2j)z + 1 − j = 0
z + 3z̄ = 4 + j
- Exercice 18 Module et argument d’un nombre complexe
1. Déterminer le module et l’argument de z =
1−j
1+j
2. Les vecteurs ~u et ~v ont pour affixes respectives u = 1 + j
Deuxième partie
||
Nombres complexes
Troisième partie
- Exercice 13 Formes cartésiennes, Règles de calcul, Représentation dans le plan
a/ Mettre sous forme cartésienne les nombres complexes suivants :
√
2+ı 3
1
1
z1 = (2 − 3ı)(1 + ı)
z2 = (1 + 2ı)2
z3 =
z4 =
+
1−ı
1+ı 1−ı
Fonctions Numériques
z5 =
2+ı
1 − 2ı
n
- Exercice 19 limites
b/ Représenter les dans le plan complexe.
c/ Résoudre dans C l’équation z + 2z = ı
d/ Résoudre dans C l’équation 4z 2 + 8 | z |2 −3 = 0
- Exercice 14 Forme trigonométrique, Module et argument d’un nombre complexe
a/ Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :
z1 = −2ı
√
z2 = ( 3 + 3ı)
z3 = 1 + cos ϕ − ı sin ϕ
z4 =
cos ϕ − ı sin ϕ
sin ϕ − ı cos ϕ
- Exercice 20 Etude de fonction
z5 = (1 + ı tan ϕ)2
b/ Module et argument de z + z 2 si z = eıθ
a+b
si a = eıα et b = eıβ
c/ Module et argument de 1+ab
d/ Soit z = x + ıy, avec x 6= 0.
Montrer que Arg z = Arctan xy + kπ avec k = 0 si x > 0 et k = 1 si x < 0.
e/ Utiliser ce résultat pour démontrer que
2 Arctan 12 = Arctan 43
Arctan 12 + Arctan 15 + Arctan
1
8
- Exercice 21 Réciproque
= π4 .
- Exercice 15 Formule de Moivre, Formule d’Euler. Applications trigonométriques
a/ Donner la formule d’Euler exprimant sin θ et cos θ en fonctions d’exponentielles complexes.
b/ Utiliser cette formule pour calculer le produit sin θ sin θ0 en fonction d’une somme de fonctions trigonométriques.
c/ Linéariser sin5 x
d/ Linéariser sin3 x cos2 x
- Exercice 22 Dérivées
- Exercice 16 Racines nime d’un nombre complexe
√
3
a/ Trouver les racines carrés de z1 = ı ; z2 = 1 + ı ; z3 = −1
2 −ı 2 .
√
b/ Calculer et représenter les racines cubiques de z1 = ı ; z2 = −1 + ı ; z3 = 1 + ı 3.
- Exercice 17 Résolution dans C de l’équation ax2 + bx + c = 0
a/ Résoudre dans C : 4x2 − 2x + 1 = 0 et représenter les solutions dans le plan complexe.
b/ Résoudre dans C : x2 + 2ıx − 5 = 0 et représenter les solutions dans le plan complexe.
c/ Résoudre dans C : x4 − 2x2 cos ϕ + 1 = 0 avec ϕ ∈]0, π[.
d/ En déduire la factorisation du trinôme x4 − 2x2 cos ϕ + 1 en un produit de deux polynômes du deuxième degré.
Cas particulier où ϕ = π2 ; ϕ = π3 .
5
- Exercice 23 Primitives
6
et
v = 1 − 3j. Déterminer l’angle (~u, ~v ).
b/ Montrer que ϕ est impair. Limiter en conséquence l’intervalle d’étude
c/ Dresser la table de variation de ϕ
d/ Entre quelles valeurs doit être compris ϕ(x) pour que f soit définie ?
e/ Montrer que
3
1 − 4x2
f 0 (x) = √
2
1 − x |1 − 4x2 |
f/ Simplifier f (x) en intégrant f 0 (x). On distinguera les cas −1
2 ≤x≤
g/ En supposant connu le graphe de arccos(x) tracer celui de f (x).
+1
2 ,
+1
2
≤ x ≤ 1,
−1 ≤ x ≤
−1
2
Cinquième partie
Quatrième partie
Fonctions Logarithmes et Exponentielles
Fonctions Puissance, Racine et Trigonométrique
6
4
Fonctions puissances, Racines, Exposants rationnels
- Exercice 24
a/ Etudier les fonctions f (x) = x−1 , g(x) = x−2 .
b/ Généraliser à la fonction fn (x) = x−n avec n ∈ N.
- Exercice 25
Soit la fonction
1
g(x) = (1 − x)5/3
2
a/ Etudier la dérivabilité de g(x) sur l’intervalle [0, 1[
b/ Calculer g 0 (x)
c/ Etudier la dérivabilité de g en x = 1
d/ Tonner le tableau de variation de g et construire son graphe sur [0, 1]
- Exercice 26
Pour tout entier n, on considère la fonction définie sur ] − 1, +∞[ par
1
pour n = 0 f0 (x) = √
1 + x3
x3n
pour n ≥ 1 fn (x) = √
1 + x3
a/ Trouver les limites de f0 aux bornes de son ensemble de définition. Sens de variation de f0 . Construire C0
b/ Calculer fn0
c/ Sens de variation de f1
d/ Sens de variation de f2
5
Fonctions trigonométriques
- Exercice 27
Etudier les variations et construire dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction f définie
pour x 6= π2 + kπ par
sin x − cos x
f (x) =
cos2 x
- Exercice 28
Soit la fonction f x 7−→ arccos(4x2 − 3x). On pose ϕ(x) = 4x3 − 3x
a/ Calculer ϕ0 (x)
7
Fonction logarithme
- Exercice 29 Différentielle logarithmique
a/ Etudier la fonction f x 7−→ ln | x |, la fonction ln x étant supposée connue.
b/ Calculer (lnR| x |)0
c/ En déduire dx
x = ln | x | +C.
Plus généralement, on mémorisera le résultat :
Z
du
= ln | u(x) | +C
u(x)
si u(x) est une fonction dérivable et si u(x) 6= 0.
d/ On appelle du
u la différentielle logarithmique :
du
= d(ln | u |).
u
Calculer la différentielle logarithmique des fonctions : f = u.v, f = uv , f = uα .
e/ Calculer la différentielle logarithmique de f (x) =
√
x x2 +1
(x−1)3
- Exercice 30 Application de la fonction logarithme de base a : Diagramme de Bode
Les diagrammes de Bode sont utilisés en électronique pour représenter les fonctions de transfert T (jw) avec w > 0.
Ils sont constitués de deux courbes :
20 log | T | = f (log w)
arg T = g(log w)
On considère la fonction de transfert T = 1 + j ww0 .
a/ Donner le module et l’argument de T .
b/ Etudier les variations de la fonction 20 log | T | en fonction de log w
c/ Montrer que la droite 1 y = 20(log w − log w0 ) est asymptote à la courbe.
d/ Etudier les variations de arg T en fonction de log w
e/ Donner l’allure des courbes 20 log | T | et arg T en fonction de log w.
7
Fonction exponentielle
- Exercice 31
On cherche la limite suivante :
lim (1 +
x→+∞
a x
)
x
a/ Est-ce une forme indéterminée ?
b/ Montrer en posant x = X1 qu’on peut lever l’indétermination en cherchant limX→0
1.
en échelle logarithmique
8
ln(1+aX)
.
aX
c/ Rapprocher cette limite de la définition de la dérivée en 1 de la fonction ln x.
d/ En déduire lim+∞ (1 + xa )x .
1000000
1
1 100
puis 1 + 1000000
.
e/ Vérifier votre résultat en calculant 1 + 100
- Exercice 32 Etudier la fonction
f (x) = xx
Sixième partie
Equations Différentielles
- Exercice 40 Régime propre d’un circuit R, L, C
La loi d’Ohm appliquée à l’instant t > 0 aux bornes du dipôle RLC donne l’équation :
L
d2 q
dq
q
+R +
=0
dt2
dt
C
Cette équation caractérise le régime
propre du circuit.
q
L
R
a/ On considère le cas R < 2 C
d’un amortissement faible. On pose λ = 2L
, w02 =
l’expression de la charge q(t).
= 0.
b/ Exprimer q(t) avec les conditions initiales q(0) = q0 et i(0) = dq
dt
1
LC ,
w2 = w02 − λ2 . Donner
t=0
- Exercice 33 Equations à variables séparables
a/ Résoudre x + yy 0 = 0
b/ Résoudre x2 y 0 − y = 0
dy
c/ Résoudre x dx
+ 3y = 0
d/ Trouver la solution de l’équation différentielle 2xy 0 + y = 0 qui prend pour x = 2 la valeur y = 1
- Exercice 34 Equation différentielle linéaire du premier ordre : Solution particulière ”simple”
a/ Résoudre y 0 + y = cos x + sin x
b/ Résoudre y 0 + y = 2
c/ Résoudre xy 0 − y = (x − 1)ex
c/ Représenter
la fonction q(t) caractérisant le régime périodique amorti. On tracera d’abord les fonctions
q
2
±q0 1 + wλ 2 e−λ t . d/ Indiquer sur le graphe de q(t) la grandeur T = 2π
w appelée pseudo-période.
q
L
e/ On considère le cas R > 2 C d’un amortissement important. On pose β 2 = λ2 − w02 . Donner l’expression de
la charge q(t).
= 0.
f/ Déterminer q(t) avec les conditions initiales q(0) = q0 et i(0) = dq
dt
t=0
g/ Trouver limt→∞ q(t) et représenterqce régime dit apériodique.
L
h/ Enfin, on considère le cas R = 2 C
de l’amortissement critique. Déterminer q(t) toujours avec les mêmes
conditions initiales.
i/ Représenter le régime critique.
- Exercice 35 Equation différentielle linéaire du premier ordre : méthode de la variation de la
constante
a/ Résoudre xy 0 − 2y = x3
b/ Résoudre y 0 + y tan x = sin 2x
c/ Résoudre y 0 (x2 − 1) + xy = 1
- Exercice 36 Equation différentielle linéaire du second ordre sans second membre
a/ Résoudre y 00 − 5y 0 + 6y = 0
b/ Résoudre 4y 00 + 4y 0 + y = 0
c/ Résoudre y 00 + y 0 + y = 0
- Exercice 37 Equation différentielle linéaire du second ordre avec second membre sinusoïdal
a/ Résoudre y 00 − 5y 0 + 6y = 3 cos 2x
b/ Résoudre y 00 − 5y 0 + 6y = 3 sin 2x
- Exercice 38 Chute d’un corps avec résistance de l’air proportionnelle à la vitesse
Soit un corps de masse m subissant en chute libre une force de freinage F~ = −k~v proportionnelle à ~v (k coefficient
de forme est positif). Le principe fondamental de la dynamique donne, en projection selon l’axe verticale orienté
vers le bas :
dv
mg − kv = m
dt
a/ Donner la solution complète de cette équation différentielle.
b/ Le corps est laché sans vitesse initiale. Donner l’expression de v(t). Quelle est la vitesse limite atteinte par le
corps ?
- Exercice 39 Etablissement du courant dans un circuit contenant une bobine d’induction et une
résistance
La loi d’Ohm appliquée à l’instant t aux bornes du générateur donne l’équation :
di
e(t) = 0 à t = 0
L + Ri = e(t)
avec
e(t) = E à t > 0
dt
a/ Donner la solution complète de cette équation différentielle.
b/ Donner l’expression de i(t) en tenant compte des conditions initiales.
9
10
- Géométrie -
- 4 Fonctions ln et exp -
1. Identifier clairement les nombres et les vecteurs
1. Connaître les fonctions logarithmique de différentes bases
2. Calculer les produits scalaires et vectoriels de deux vecteurs, un vecteur unitaire (et connaître les
interprétations géométriques associées)
2. Connaître les fonctions exponentielles de différentes bases
3. Reconnaître si un ensemble de vecteurs forme une base (à 3D)
4. Savoir changer de base des points, des vecteurs et des courbes de l’espace
5. Savoir retrouver des équations paramétriques et cartésiennes de droites et de plans dans R
3. Réaliser sans état d’âme des calculs avec ces fonctions
4. Identifier les domaines de définitions
5. Apréhender la différentielle loagrithmique
6. Comprendre la projection des vecteurs
- Equations différentielles - Nombres complexes 1. Savoir passer des formes cartésienne au trigonométrique d’un nombre dans C
2. Calculer aisément dans C (discriminants, racine énième, produit, puissance, etc)
3. Résoudre les linéarisations des fonctions trigonométriques.
1. Savoir résoudre des équations différentielles simples :
– à variable séparable
– linéaire du premier ordre avec ou sans second membre
– linéaire du second ordre simple avec ou sans second membre
2. Connaître des exemples d’application en physique, etc
- Fonctions de plusieurs variables -
- Fonctions 1. Savoir réaliser une étude de fonction
1. Savoir définir une fonctions de plusieurs variables
2. Dériver aisément tout type de fonction
2. Savoir calculer ses différentes dérivées partielles
3. Calculer les limites aux points pertinents (cas des FI)
3. Connaitre l’interprétation géométrique à 3D
4. Savoir étudier une fonction réciproque simple
4. Connaitre la notion de différentielle (df (x, y, z) =)
5. Maîtriser le calcul différentiel des fonctions usuelles (méthodes de dérivation, d’intégration)
Fonctions Puissances, Racines et trigonométriques
1. Connaître les fonctions trigonométriques (directes et inverses)
2. Utiliser facilement les relations contenant des fonctions puissances (et racines)
3. Etudes des fonctions puissances et composées de puissances (dérivation, etc.)
4. Connaître les formules de Moivre et d’Euler, savoir les appliquer
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