Bases orthonormées Procédé d`orthogonalisation de Gram

Orthogonalité
Bases orthonormées
Procédé d’orthogonalisation de
Gram-Schmid
Projection
Définition. Soit V un EVMPS. Deux vecteurs !x et !y de V sont
dits orthogonaux si
!!x, !y " = 0
ce qu’on notera
!x⊥!y
Remarque. Quel que soit le produit scalaire défini dans V on a
toujours
!x⊥!0 ∀!x ∈ V
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1
Ensemble orthonormé
Théorème. (Pythagore généralisé)
Dans un EVMPS V, soit !x et !y deux vecteurs orthogonaux. Alors
&!x + !y &2 = &!x&2 + &!y &2
Définition. Dans un EVMPS V,
un vecteur !a est dit normé si &!a& = 1,
un ensemble de vecteurs S est dit orthogonal si ses vecteurs sont
deux à deux orthogonaux,
un ensemble de vecteurs S est dit orthonormé si S est orthogonal
et chacun de ses vecteurs est normé.
Pr. exercice. !
Ainsi, pour S = {!v1, . . . , !vm} ⊆ V
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2
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3
S orthogonal :
S normé :
S orthonormé :
!!vi, !vj " = 0 ∀i )= j
2
!!
v
,
!
v
"
=
1
(=
&!
v
&
) ∀i
i
i
i
.
!!vi, !vj " = 0 ∀i )= j
!!vi, !vj " = 1 ∀i = j
Ensemble
    orthogonal ? orthonormé ?

0 

 1
   
oui
oui
Q2 =  0  ,  1 



 0
0
  


−5 
 1

  

Q3 =  2  ,  1 
oui
non


 3
1 
   

0 
 0

   
Q4 =  2  ,  1 
non
non


 0

0
Exemples.
1. Dans R3 muni du produit scalaire euclidien !!x, !y " = !xT !y
Ensemble
 


 0 
 
Q1 =  0 


 0 
orthogonal ? orthonormé ?
oui
non
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4
2. Dans P3 muni du produit scalaire !p, q" =
Ensemble
W1 = {p(t) ≡ 0}
0
1
1 2
√
W2 = 1, 3 t
3
2
W3 = 3, t − 21
2 √
3
W4 = 1, 2 3(t − 12 )
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/1
0
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Bases orthonormées
p(t)q(t)dt
Définition. Dans un EVMPS V, un ensemble S = {!v1, . . . , !vn}
qui est à la fois une base et un ensemble orthonormé est appelé base
orthonormée.
Théorème. Dans un EVMPS V, soit S = {!v1, . . . , !vn} une base
orthonormée de V. Alors, pour tout !x ∈ V on a
orthogonal ? orthonormé ?
oui
non
non
non
oui
non
oui
oui
5
c’est-à-dire
6
!x = !!x, !v1" !v1 + . . . + !!x, !vn" !vn


!!x, !v1"


..
[!x]S = 

!!x, !vn"
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7
Théorème. Dans un EVMPS V, soit S = {!v1, . . . , !vr } un ensemble orthogonal ne contenant pas le vecteur nul de V.
Alors S est linéairement indépendant.
Pr. Soit !0 = k1!v1 + . . . + kr!vr . On montre que ce système n’a que
la solution triviale k1 = . . . = kr = 0. En effet, on a alors
4
5
!
0 = 0, !v1 = !k1!v1 + . . . + kr!vr , !v1"
Pr.
S étant
 une
 base, pour tout vecteur !x ∈ V il existe
k1

!k = 
 ..  ∈ Rn tel que !x = k1!v1 + . . . + kn!vn
kn
Calculons alors !!x, !v1" :
!!x, !v1" = !k1!v1 + . . . + kn!vn, !v1"
= k1 !!v1, !v1" + . . . + kr !!vr , !v1"
= k1 !!v1, !v1" + . . . + kn !!vn, !v1"
= k1 !!v1, !v1"
= k1
et, comme !!v1, !v1" > 0, il vient k1 = 0.
De manière analogue il vient k2 = . . . = kr = 0. !
car S est orthonormée.
On obtient de manière analogue !!x, !vi" = ki , i = 1, . . . , n !
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8
Projection orthogonale
w2
Pour montrer w
! 2⊥W, il suffit de montrer que w
! 2 est orthogonal à
chacun des vecteurs de S,
car alors tout vecteur !y ∈ W étant combinaison linéaire de S sera
aussi orthogonal à w
! 2. Calculons !w
! 2, !v1" :
w1
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Le vecteur w
! 1 appartient à W car il est combinaison linéaire des
vecteurs de S.
!w
! 2, !v1" = . . . = !w
! 2, !vr " = 0
x
avec w
! 1 ∈ W et w
! 2 ⊥ W, soit
w
! 1 = !!x, !v1" !v1 + . . . + !!x, !vr " !vr
w
! 2 = !x − w
!1
9
Pr.
Théorème. Dans un EVMPS V, soit S = {!v1, . . . , !vr } un ensemble orthonormé. Soit W le sous-espace engendré par S. Alors
tout vecteur !x ∈ V peut être décomposé en
!x = w
!1 + w
!2
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W
!w
! 2, !v1" = !!x − w
! 1, !v1" = !!x, !v1" − !w
! 1, !v1"
10
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11
Définition. Le vecteur w
! 1 précédent est appelé projection orthogonale de !x sur W
w
! 1 := projW(!x)
Or
!w
! 1, !v1" = !!!x, !v1" !v1 + . . . + !!x, !vr " !vr , !v1"
= !!x, !v1" !!v1, !v1" + . . . + !!x, !vr " !!vr , !v1"
Le vecteur w
! 2 est la composante de !x dans l’espace orthogonal à
W.
Cet espace orthogonal à W est noté W⊥ := {!x ∈ V| !x⊥W} et
on a
W⊥ = {!x ∈ V| !!x, !v " = 0 ∀!v ∈ W}
= !!x, !v1"
Ainsi !w
! 2, !v1" = 0 et on montre de manière analogue
!w
! 2, !vi" = 0 , i = 2, . . . , r.
!
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ou encore, pour une base quelconque S = {!v1, . . . , !vr } de W,
W⊥ = {!x ∈ V| !!x, !v1" = . . . = !!x, !vr " = 0}
12
13
W⊥ est donc l’ensemble des solutions du système
Exemple.
Dans R3 muni du produit scalaire euclidien, soit l’ensemble S orthonormé

 


4 

0
−


 
 5
S = !v1 =  1  , !v2 =  0 


3


0
5
et W = lin(S). Géométriquement, W est le plan passant par
l’origine engendré par S. Alors
6
2
3
W⊥ = !y ∈ R36 !!y , !v1" = !!y , !v2" = 0
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14
.
− 54 y1
+
y2
3
5 y3
=0
=0
Cet ensemble de solutions est :


 
3




 4 
!y = s  0  , s ∈ R




1

 
3




 5 
⊥
Une base orthonormée de W est !v3 =  0 


4


5
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15


1
 
Pour le vecteur !x =  1  on obtient :
1
On aurait aussi pu obtenir w
! 2 en calculant la projection de !x sur
⊥
W , soit
 
3
7 5 
w
! 2 = projW⊥ (!x) = (!v3T !x)!v3 =  0 
5 4
w
! 1 = projW(!x) = (!v1T !x)!v1 + (!v2T !x)!v2
 

 

4
4
0
−
1  5   25 
 
= 1  1  + (− )  0  =  1 
5
3
3
0
− 25
5
et



4
25


21
25
5
x3
W
w2
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v2
v3

1
  
  
w
! 2 = !x − w
!1 =  1  −  1  =  0 
3
28
1
− 25
25
⊥
W
x
v1
x1
w1
16
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1. !v1 =
Procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmid
x2
1
u1 ;
&!u1& !
k := 1;
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(Initialisaition)
2. Tant que k ≤ n faire (boucle)
Théorème. Soit un EVMPS V avec 1 ≤ dim(V) < ∞.
Alors V possède une (au moins une) base orthonormée.
(Wk : espace engendré par {!v1, . . . , !vk } )
projWk−1 (!uk ) := !!uk , !v1" !v1 + . . . + !!uk , !vk−1" !vk−1 ;
Pr.
On montre que le procédé suivant (dit procédé de Gram-Schmid)
fournit bien une base orthonormée à partir d’une base quelconque
de V.
!vk =
Procédé de Gram-Schmid
k := k + 1
Donné : B = {!u1, . . . , !un} une base quelconque de V.
w
! k := !uk − projWk−1 (!uk ) ;
1
!k ;
&w
! k&w
Fin
Résultat : BON = {!v1, . . . , !vn} une base orthonormée de V.
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On montre que le procédé fonctionne correctement en montrant par
induction que pour tout k = 1, . . . , n on a
Wk = lin({!u1, . . . , !uk }) et
!
{!v1, . . . , !vk } est une base orthonormée de Wk :
De plus, Wk , l’espace engendré par !vk et Wk−1, est bien le
même que celui engendré par !uk et Wk−1, c’est-à-dire Wk =
lin({!u1, . . . , !uk }).
Exemples.
– k = 1 : puisque B est une base, on a !u1 )= !0, et clairement alors
&!v1& = 1 et W1 = lin({!u1}).
1. Illustration graphique dans le plan.
w2
– pour k avec l’hypothèse d’induction vraie pour k − 1 :
puisque B est une base, on a !uk ∈
/ lin({!u1, . . . , !uk−1}) = Wk−1
et donc !uk )= projWk−1 (!uk ), c’est-à-dire w
! k )= !0. Alors !vk est
bien défini, &!vk & = 1 et, par le théorème de la projection,
!vk est orthogonal à Wk−1.
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2. Dans R4 muni du produit scalaire euclidien,
20



soit C(B) l’espace des colonnes de la matrice B = 

1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0





Les colonnes de B sont linéairement indépendantes et forment une
base de C(B). On cherche une base orthonormée. Pour appliquer
Gram-Schmid, on prend les vecteurs colonnes dans l’ordre suivant :

 
 
 

0
0
1 




 
 
 

0
1
1
 
 
 
!u1 =   , !u2 =   , !u3 =  

1
0
 1 





0
1
1 
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22
u2
v2
v1
u1
W1
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
21

0
 
0
1. !v1 = &!u11&!u1 =  
1
0
2. projW1 (!u2) = (!uT2 !v1)!v1 = (0)!v1 = !0

0
 
1
w
! 2 = !u2 − projW1 (!u2) = !u2 − !0 =  
0
 
0
1
 
1
!v2 = &w!12& w
! 2 = √12  
0
1
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23



3. projW2 (!u3) = (!uT3 !v1)!v1 +(!uT3 !v2)!v2 = (1)!v1 +( √22 )!v2 = 




w
! 3 = !u3 − projW1 (!u3) = 



1
 
0
!3 =  
!v3 = &w!13& w
0
0
1
1
1
1


 
 
−
 
0
1
1
1


 
 
=
 
1
0
0
0





Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
0
1
1
1





24
1
0
0
0











Soit V la matrice ayant comme colonnes ces trois vecteurs de
BON :


0 0 1
 0 √1 0 


2
V =

1 0 0
0 √12 0
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25

Pour tout !x ∈ R4, notons !y := projC(B)!x . On a alors :


!v1T !x


[!y ]BON = V T !x =  !v2T !x 
!v3T !x
et d’autre part,
!y = V [!y ]BON = V V T !x
La matrice V V T est donc la matrice de projection orthogonale sur
C(B).
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Ainsi on a obtenu la base orthonormée de C(B) :


 
 

0
0




 

1 1
0


BON = !v1 =   , !v2 = √   , !v3 = 

1

2 0 



1
0
26




0 0 1 
1 0 0 0
 0 √1 0  0 0 1 0



  0 √1 0 √1   0 12 0 12 
T
2
VV =
=


2
2 
1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 √12 0
0 12 0 12
 
1
 
2
Par exemple, pour !x =   on obtient pour !y := projC(B)!x :
3
4
 



 1
0 0 1 0  
3

 2   √ 
[!y ]BON = V T !x =  0 √12 0 √12    =  3 2 
3
1
1 0 0 0
4
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27



!y = V [!y ]BON = 

et on vérifie que



!y = V V !x = 

T



0 0 1 
1
3
1


0 √2 0   √   3
 3 2  = 
1 0 0
3
1
1
0 √2 0
3
1 0 0 0
0 12 0 12
0 0 1 0
0 12 0 12





1
2
3
4


 
 
=
 
1
3
3
3

– la projection de !y (c’est-à-dire la projection de la projection de
!x) est !y

   
1 0 0 0
1
1

  
1
1 
 0 2 0 2  3   3 
projC(B)!y = V V T !y = 
  =  
 0 0 1 0  3   3 
0 12 0 12
3
3









On remarque encore que
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28
– les colonnes de V forment bien un ensemble orthonormé, car




 0 0 1

0 0 1 0 
1 0 0
1

 0 √1 0 √1   0 √2 0  

T
V V =
 =  0 1 0  = I3
2
2 
1 0 0
0 0 1
1 0 0 0
0 √12 0
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