Permutations Déterminant d`une matrice

Permutations
Permutations
Déterminant d’une matrice
Définition 1. On appelle permutation (de N ) un arrangement linéaire, sans omissions ni répétitions de N objets distincts (numérotés
de 1 à N ).
Une des notations utilisées pour décrire une permutation σ est
σ = (i1, i2, . . . , iN )
Exemples, pour N = 5 :
! σ1 = (3, 2, 5, 1, 4)
! σ2 = (2, 3, 4, 5, 1)
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
" σ3 = (1, 1, 2, 5, 1, 4)
1
Représentation graphique :
" σ4 = (2, 1, 2, 3, 5)
1
2
3
4
5
ensemble de départ
Définition 2. On appelle permutation (de N ) une application bijective de l’ensemble {1, 2, . . . , N } sur lui-même. On note alors
!
"
1 2 ··· N
σ=
i1 i2 · · · iN
1
2
3
4
5
ensemble d'arrivée
Exemple, pour N = 5 :
σ=
!
1 2 3 4 5
3 2 5 1 4
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
"
Définition. La composition (ou produit) de deux permutations σ1
et σ2 (de N ) est la permutation
τ = σ2 ◦ σ1
obtenue en appliquant σ1 puis σ2 au résultat :
τ (i) = σ2(σ1(i)) (image de i par τ )
2
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
3
Exemple :
!
1 2 3 4
σ1 =
3 2 5 1
!
1
τ = σ2 ◦ σ1 =
4
1
2
3
5
4
!
"
1 2 3 4 5
, σ2 =
2 3 4 5 1
"
2 3 4 5
3 1 2 5
4
2
3
4
5
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4
Exemple :
1
1 2 3 4 5
3 2 5 1 4
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
τ'
La permutation identité est l’élément neutre par rapport au produit :
!
"
1 2 ··· N
ι=
1 2 ··· N
La permutation inverse de la permutation σ est la permutation σ −1
telle que
σ ◦ σ −1 = σ −1 ◦ σ = ι
σ1 =
4
σ1
5
"
3
σ2
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
!
2
τ
σ2
1
1
5
σ1
1
Attention, le produit n’est pas commutatif :
σ2 ◦ σ1 "= σ1 ◦ σ2
"
→ σ1−1 =
5
!
1 2 3 4 5
4 2 1 5 3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
5
Chaque permutation possède son inverse unique (puisque les permutations sont des bijections)
Le produit de permutations est associatif
σ ◦ (τ ◦ κ) = σ ◦ (τ ◦ κ)
"
mais pas commutatif.
−1
1
σ1
σ
1
2
3
4
5
−1
1
σ
σ1
1
2
3
4
5
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
6
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
7
Matrices de permutations
Exemple.
!
"
1 2 3 4 5
σ=
2 3 4 5 1
Définition. A chaque permutation σ (de N )
"
" !
!
1
2 ···
N
1 2 ··· N
=
σ=
σ(1) σ(2) · · · σ(N )
i1 i2 · · · iN
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5




P =


σ
on associe une matrice P : N × N définie par ses éléments
)
1 si i = σ(j)
pij =
1≤i≤j≤N
0
sinon
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0







Remarque. Avec cette définition, la i-ème ligne de la matrice identité devient la σ(i)-ème ligne de la matrice P .
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
8
La matrice associée au produit σ2 ◦ σ1 de deux permutations est la
matrice produit P2P1 des deux matrices respectives.
Exemple.
σ1 =



P2 P1 = 

!
1
0
0
0
1 2 3 4
2 3 4 1
"
σ2 ◦ σ1 =

0 0 0

0 1 0 

1 0 0 
0 0 1
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
!
0
1
0
0
σ2 =
!
1 2 3
3 2 4
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1 2 3
1 3 2
"
4
1
 
0
 
 0
=
 1
0
4
4
"
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
9
Théorème. Soit P la matrice de la permutation σ. Alors la matrice associée à la permutation inverse σ −1 est P −1 et cette matrice
satisfait P −1 = P T .
Pr. Immédiat, par construction de la matrice P . !
Exemple.
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0





σ=
10
!
1 2 3 4
2 3 4 1
"
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL



P = Pσ = 

0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0





11
σ −1 =
!
1 2 3 4
4 1 2 3
"



P ' = Pσ−1 = 

0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
On vérifie que P ' = P T et que P P T = P T P = I

Dénombrement et énumération des
permutations




Théorème. Il existe N ! permutations de N .
Pr. Par induction sur N (Construction des permutations de N à
partir de celles de N − 1. !
2134
2413
2143
1
12
21
213
4213
4231
2431
2341
231
2314
3214
3241
3421
321
4321
4312
3412
3142
312
3124
1342
1324
1432
132
4132
4123
1243
1423
123
1234
Arbre des permutations.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, . . .
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
12
Inversions et parité
!
Remarque. Le nombre d’inversions est aussi égal au nombre de
croisements des arcs dans la représentation graphique.
!
"
1 2 3 4 5
σ=
2 3 4 5 1
inversions :
(2,1), (3,1), (4,1), (5,1)
!
1 2 3 4 5
τ=
3 1 2 5 4
inversions :
(3,1), (3,2), (5,4)
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
13
Exemples.
"
1 2 ··· N
i1 i2 · · · iN
On appelle nombre d’inversions le nombre de paires (ij , ik ) avec
j < k et ij > ik .
Définition. Soit la permutation σ =
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
14
"
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
!
# croisements : 4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
!
# croisements : 3
15
Définition. Une permutation est dite paire si elle a un nombre pair
d’inversions, impaire sinon.
Le signe d’une permutation est défini par
)
+1 si σ est paire
sign(σ) =
−1 si σ est impaire
Pr. On prouve la formulation équivalente, la permutation τ ◦ σ est
paire si σ et τ ont la même parité, impaire sinon.
Exemple.
(A)
(B)
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
!
On a donc sign(ι) = 1.
" !
"
Théorème. Pour toute paire de permutations on a
sign(σ ◦ τ ) = sign(τ ◦ σ) = sign(σ) sign(τ )
sign(σ) = sign(τ ) = −1
et donc en particulier sign(σ) = sign(σ ).
−1
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
1
16
Dans le cas général, si les lignes brisées (j, σ(j), τ (σ(j))) et
(k, σ(k), τ (σ(k))) du schéma (A) se croisent 0,1 ou 2 fois, les arcs
(j, τ (σ(j)))et (k, τ (σ(k))) du schéma (B) se croisent respectivement 0, 1 et 0 fois. La parité est ainsi conservée. !
sign(τ ◦ σ) = 1
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
17
Déterminant
Définition. Soit la matrice carrée A : n × n
On appelle produit
élémentaire"associé à la permutation quelconque
!
1 2 ··· n
le produit
(de n) σ =
i1 i2 · · · in
ai11ai22 . . . ainn
Ce produit contient donc exactement un élément de chaque ligne et
de chaque colonne de A.
On appelle produit élémentaire signé associé à σ le produit
sign(σ) ai11ai22 . . . ainn
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
18
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
19
Définition. Le déterminant d’une matrice carrée A : n × n, noté
Exemple.
n=2
+
,
a11 a12
A=
a21 a22
On a deux (= 2!) produits élémentaires signés :
!
"
1 2
pour σ1 =
, avec sign(σ1) = 1 : a11a22
1 2
!
"
1 2
pour σ2 =
, avec sign(σ2) = −1 : −a21a12
2 1
det(A) ou
est la somme de tous les produits élémentaires signés de A :
*
det(A) =
sign(σ)ai11ai22 . . . ainn
σ∈Pn
où Pn est l’ensemble des permutations de n.
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
20
sign(σ) = 1,
!
1
1
"
et
det(A) = a11
!
det(A) = a11a22 − a21a12
!
ou avec la règle mnémotechnique
- a21a12
+a11a22
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
22
21

a11 a12 a13


– n = 3 : A =  a21 a22 a23 
a31 a32 a33
!
– n = 2 : d’après l’exemple précédent il vient
a11 a12
a 21 a 22
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL

Exemples.
– n = 1 : A = [a11], une seule permutation de 1 σ =
|A|
σ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 3 2
1 2 3
3 1 2
"
"
"
sign(σ)
+1
−1
+1
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
-
1
0
0
1
0
-0
0
0
1
P
0
1
0
0
0
1
1
0
0
.
0
0
1.
0
1
0.
0
1
0
produit signé
+a11a22a33
−a11a32a23
+a31a12a23
23
!
!
!
1 2 3
3 2 1
1 2 3
2 3 1
1 2 3
2 1 3
"
"
"
−1
+1
−1
-
0
0
-1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
.
1
0
0.
1
0
0.
0
0
1
-
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
−a31a22a13
+a21a32a13
-
+
+
+
Attention ! Pour n > 3 il n’existe pas de règle mnémotechnique.
De plus
−a21a12a33
n # termes dans det(A)
4
4! = 24
10
10! = 3'628'800
20
20! ∼ 2.4 1018
50
50! ∼ 3 1064
det(A) = +a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 +
−a31a22a13 − a11a32a23 − a21a12a33
ou avec la règle mnémotechnique
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
24
Propriétés du déterminant
Théorème. Si A : n × n possède une rangée (ligne ou colonne)
nulle, alors det(A) = 0.
Pr. Chaque produit élémentaire doit contenir un élément de cette
rangée et est donc nul. !
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
En effet, soit A triangulaire supérieure (sans restriction de généralité), et soit la permutation σ = (i1, . . . , in) "= ι. Dans le produit
élémentaire ai11ai22 . . . ainn soit j % le plus petit indice tel que ij "= j.
On a alors ij ! > j %, car les lignes i avec i < j % sont déjà occupées,
et donc aij ! j ! = 0.

• · ×
0 • ×


0 0 ×

0 0 0
0 0 0
Théorème. Si A : n × n est une matrice triangulaire (inférieure
ou supérieure), alors
det(A) = a11a22 . . . ann
Pr. Le seul produit élémentaire susceptible d’être non-nul est celui
correspondant à la permutation identité ι.
!
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
26
25
·
·
·
·
0
·
·
·
·
·



 %
 j


27
Théorème. Pour toute matrice A : n × n on a
Théorème. Pour toute matrice A : n × n et toute matrice élémentaire d’ordre n on a
det(A) = det(AT )
1. det(Ei(α)A) = α det(A)
2. det(Eij A) = − det(A)
Pr. Soit αij les éléments de AT . On a
*
det(AT ) =
sign(σ)αi11 . . . αinn
3. det(Eij (λ)A) = det(A)
De plus, en choisissant A = I et sachant que det(I) = 1 (I est
triangulaire), il vient
σ∈Pn
=
*
sign(σ)a1i1 . . . anin
Théorème. Le déterminant d’une matrice élémentaire vaut
σ∈Pn
=
*
1. det(Ei(α)) = α
sign(σ −1)ai11 . . . ainn = det(A)
2. det(Eij ) = −1
σ −1∈Pn
3. det(Eij (λ)) = 1
!
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
28
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
29
σ ◦ τ . Or sign(τ ) = −1. Alors
Pr.
(du théorème précédent) :
1. En multipliant une ligne quelconque de A par α, chaque produit
élémentaire (qui contient exactement un élément de cette ligne)
est multiplié par α.
det(Eij A) =
*
σ∈Pn
=
*
σ∈Pn
2. La matrice Eij est la matrice de la permutation
!
"
1 2 ··· i ··· j ··· n
τ=
1 2 ··· j ··· i ··· n
sign(σ)aτ (i1)1 . . . aτ (in)n
=
*
sign(τ ◦ σ)ai11 . . . ainn
(−1)sign(σ)ai11 . . . ainn
σ∈Pn
= − det(A)
Ainsi le produit élémentaire de A associé a la permutation quelconque σ est le même que celui de Eij A associé à la permutation
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
30
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
31
3. Le résultat précédent implique en particulier qu’une matrice ayant
deux lignes identiques a un déterminant nul (puisque permuter ces
deux lignes ne change pas la matrice mais multiplie son déterminant par −1).
Soit A' la matrice obtenue A en remplaçant dans A la i-ème ligne
par une copie de la j-ème. On a det(A') = 0 (A' ayant deux
lignes identiques).
D’autre part, chaque produit élémentaire de Eij (λ)A est égal au
produit élémentaire correspondant de A plus λ fois le produit élémentaire correspondant de A'. Ainsi
Théorème. Pour toute matrice carrée A : n × n et toute matrice
élémentaire E d’ordre n on a :
det(EA) = det(E) det(A)
Pr. Immédiat par le théorème précédent. !
det(Eij (λ)A) = det(A) + λ det(A') = det(A)
!
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
32
Méthode de calcul efficace du déterminant
Les théorèmes précédents fournissent une méthode efficace pour calculer un déterminant.
Soit la matrice carrée A : n × n. Soit D la matrice échelonnée
obtenue en appliquant l’algorithme de Gauss à A. En répertoriant
les pas effectués dans cet algorithme, il vient :
soit, puisque les matrices élémentaires sont inversibles,
A = E1−1E2−1 . . . Ek−1D
34
33
Or l’inverse d’une matrice élémentaire est encore une matrice élémentaire, D est une matrice triangulaire, le déterminant de chacune
de ces matrices est donc explicitement connu. De plus le théorème
précédent appliqué récursivement implique :
det(A) = det(E1−1) det(E2−1) . . . det(Ek−1) det(D)
Exemple.

1 2

2 3
A=
1 2
1 2
D = Ek . . . E 2 E1 A
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
8
3
4
4
2
3
4
8





35


A1 = E41(−1)E31(−1)E21(−2)A = 

1

A2 = E3(− )E2(−1)A1 = 
4


A3 = E43(4)A2 = 
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0

2
8
2
−1 −13 −1 
0 −4 2 
0 −4 6

2 8 2
1 13 1 
0 1 − 12 
0 −4 6

2 8 2
1 13 1 
0 1 − 21 
0 0 4
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
1
E4( )A3
4
d’où

1 2

0 1
= 
0 0
0 0
8 2
13 1
1 − 12
0 1



=D

A = E21(2)E31(1)E41(1)E2(−1)E3(−4)E43(−4)E4(4)D
det(A) = 1 × 1 × 1 × (−1) × (−4) × 1 × 4 × 1 = 16
36
Autres propriétés des déterminants
Théorème. La matrice A : n × n est inversible si et seulement si
det(A) "= 0.
Pr. On a comme conséquence de la méthode de calcul précédente
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
37
Théorème. Pour toute matrice A : n×n les affirmations suivantes
sont équivalentes :
1. Le système homogène A(x = (0 admet des solutions non-triviales.
2. A n’est pas inversible.
3. det(A) = 0
det(A) "= 0 ⇔ det(D) "= 0
Or D étant la matrice échelonnée de A, D est triangulaire et
les éléments de la diagonale sont 0 ou 1. Alors det(D) "= 0 ⇔
tous les éléments de la diagonale sont 1, c’est-à-dire D est équivalente par ligne à I et donc A aussi. !
Théorème. Soit A : n × n et B : n × n des matrices quelconques
de même ordre. Alors
Autre manière de formuler le théorème précédent :
Pr. On décompose la preuve en deux cas :
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
38
det(AB) = det(A) det(B)
Algèbre Linéaire - Th. M. Liebling, A. Prodon, ROSO-EPFL
39
1. A est triangulaire supérieure :

a11 a12 · · · a1n

 0 a22 · · · a2n
A= .
.. . . . ..
 .
0 0 · · · ann









B=

(T
β
1
(
β2T
..
(T
β
n
première ligne de B par a11 puis en y ajoutant des multiples des
autres lignes de B, de même pour les autres lignes de AB. Il vient
donc
det(AB) = a11a22 . . . ann det(B)





Or, A étant triangulaire, det(A) = a11a22 . . . ann, et on a bien

( T + a12β
( T + . . . + a1nβ
(T
a11β
1
2
n


T
(
(
a22β2 + . . . + a2nβnT 

AB = 
.. 


(T
annβ
n
Ainsi, la première ligne de AB est obtenue en multipliant la
det(AB) = det(A) det(B)
2. Dans le cas général, on obtient en échelonnant A
A = Ek . . . E 1 D
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40
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Interprétation géométrique
d’où
AB = Ek . . . E1DB
Le déterminant d’une matrice a une interprétation géométrique
simple pour n = 2 ou 3.
et donc
det(AB) = det(Ek ) . . . det(E1) det(DB)
e2
Mais d’une part det(A) = det(Ek ) . . . det(E1) det(D).
D’autre part, pour la matrice DB le cas précédent s’applique,
det(DB) = det(D) det(B). Ainsi finalement
a2
det(A)
+
e1
1. n = 2
a1
Convention Le repère ((e1, (e2) est dit droit si on peut amener (e1
sur (e2 en le tournant d’un angle ϑ avec 0 < ϑ < π, gauche
sinon.
det(AB) = det(Ek ) . . . det(E1) det(D) det(B)
= det(A) det(B)
!
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41
Définition. On dit que la paire ordonnée ((a1, (a2) a l’orientation
42
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43
positive par rapport au repère ((e1, (e2) si elle est orientée comme
ce repère.
Si ((a1, (a2) a l’orientation positive, alors
/
0
det( (a1 (a2 ) = +aire du parallélogramme
Définition. On dit que le triplet ordonné ((a1, (a2, (a3) a l’orientation positive par rapport au repère ((e1, (e2, (e3) si il est orienté
comme ce repère.
Sinon
2. n = 3
Si ((a1, (a2, (a3) a l’orientation positive alors
/
0
det( (a1 (a2 (a3 ) = +volume du parallélépipède
/
0
det( (a1 (a2 ) = −aire du parallélogramme
Sinon
Convention (Règle de la main droite) Le repère ((e1, (e2, (e3) est
dit droit si on peut aligner (e1, (e2 et (e3 avec respectivement le
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pouce, l’index et le major de la main droite. On supposera par
la suite le repère donné droit.
44
Dans R2 équation d’une droite contenant deux points
Soit A et B les deux points donnés, et posons
/
0
det( (a1 (a2 (a3 ) = −volume du parallélépipède
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45
Dans R3 équation d’un plan contenant trois points
Soit A, B et C les trois points donnés, et posons
−−→
−→
−−→
(x = OX, (a = OA, (b = OB
−−→
−→
−−→
−−→
(x = OX, (a = OA, (b = OB, (c = OC
−−→
−−→
Les points X sur la droite satisfont AX colinéaire à AB. L’équation de la droite est alors
1
2
det( (x − (a (b − (a ) = 0
−−→ −−→ −→
Les points X du plan satisfont AX, AB, AC coplanaires. L’équation du plan est alors
1
2
(
det( (x − (a b − (a (c − (a ) = 0
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46
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47
Mineurs et cofacteurs
Définition. Soit A : n × n. Le mineur mij associé à l’élément
aij de A est le déterminant de la sous-matrice (n − 1) × (n − 1)
obtenue en biffant la i-ème ligne et la j-ème colonne de A.
Exemple.

1 2 0


A=2 4 1 
0 3 −1

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48
Définition. Le cofacteur cij associé à l’élément aij de A est
cij = (−1)i+j mij
La matrice des cofacteurs de la matrice A de l’exemple précédent
est




c11 c12 c13
+m11 −m12 +m13
C =  c21 c22 c23  =  −m21 +m22 −m23 
c31 c32 c33
+m31 −m32 +m33


−7 2 6
=  2 −1 −3 
2 −1 0
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50
La matrice des mineurs correspondante est


m11 m12 m13
M =  m21 m22 m23 
m31 m32 m33
3
3 3
3 3
3
34 1 3 32 1 3 32 43
3
3 3
3 3
3
 3 3 −1 3 3 0 −1 3 3 0 3 3 



 

3
3 3
3 3
3
−7
−2
6
32 0 3 31 0 3 31 23
3
3 3
3 3
3 

= 
 3 3 −1 3 3 0 −1 3 3 0 3 3  = −2 −1 3


2 1 0


3
3
3
3
3
3


 32 03 31 03 31 23
3
3 3
3 3
3
34 13 32 13 32 43
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49
On remarque que


 

1 2 0
−7 2 2
−3 0 0


 

T
AC =  2 4 1   2 −1 −1  =  0 −3 0 
0 3 −1
6 −3 0
0 0 −3
Ceci n’est qu’une manifestation d’un résultat général. En effet on
montre :
Théorème. Pour toute matrice A : n × n on a
AC T = C T A = det(A) I
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51
On a ainsi ramené le calcul d’un déterminant n × n à celui de n
déterminants (n − 1) × (n − 1).
Dans notre exemple numérique on a
Ainsi, en calculant l’élément d’indice ik de AC T , on obtient
)
det(A) si i = k
ai1ck1 + ai2ck2 + . . . + ainckn =
0
si i "= k
det(A) = a11c11 + a12c12 + a13c13
ce qu’on nomme, pour i = k, développement du déterminant par
rapport à la i-ème ligne de A.
Ou encore, en calculant l’élément d’indice kj de C T A, on obtient
)
det(A) si j = k
a1j c1k + a2j c2k + . . . + anj cnk =
0
si j "= k
ou encore
0 = a21c11 + a22c12 + a23c13
ce qu’on nomme, pour j = k, développement du déterminant par
rapport à la j-ème colonne de A.
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Théorème. Pour toute matrice inversible A : n × n on a
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= 2(−7) + 4(2) + 1(6)
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Règle de Cramer
On déduit de plus la formulation suivante
A−1 =
= 1(−7) + 2(2) + 0(6) = −3
Soit le système d’équations linéaires A(x = (b avec A inversible.
Alors ce système a une solution unique (x = A−1(b. Cette solution


peut s’écrire
det(A1)

1
1  det(A2) 

−1(
T(
(x = A b =
C b=


.
.
det(A)
det(A) 

det(An)
/
0
avec A = (a1 (a2 · · · (an et
1
2
1
2
(
(
A1 = b (a2 · · · (an , A2 = (a1 b · · · (an ,. . .,
1
2
An = (a1 (a2 · · · (b
1
CT
det(A)
54
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