Cinématique - Introduction au calcul tensoriel

Cinématique Introduction au calcul
tensoriel
MEC 431 - Mécanique des milieux continus
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Cinématique - Introduction au calcul tensoriel – p.1/17
Contact
Thomas Dubos
Laboratoire de Météorologie Dynamique pièce 05 30 35
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Enseignement
Recherche
Mécanique des milieux
Mélange turbulent
continus
Instabilités hydrodynamiques
Mécanique des fluides
Applications à la basse
atmosphère et à la stratosphère
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Programme
Calcul tensoriel
Notations indicielles
Notations d’Einstein
Notion de tenseur et exemples
Notations intrinsèques
Produit tensoriel et produit contracté
Gradient d’un champ de tenseurs
Cinématique dans un tourbillon
Cinématique - Introduction au calcul tensoriel – p.3/17
Notations
Vecteur dans un espace euclidien : noté x.
Convention de sommation sur les indice répétés
Exemple : produit matriciel (AB)ik = Aij Bjk
Exemple : décomposition du vecteur x sur la base
orthonormée (ei )
xi = ei · x
x = xi ei
Symbole de Kronecker δij = 1 si i = j, 0 sinon
Exercice : δij δjk =? ; δii =?
Dérivée partielle :
ui (Xj )
ui,j
∂ui
=
∂Xj
ui,jk
∂ 2 ui
=
∂Xj ∂Xk
...
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Pourquoi les
tenseurs ?
Objets de la mécanique : scalaire λ, vecteur x = xi ei
Opérations :
divergence d’un champ de vecteurs
U = ui ei
div U = ui,i
gradient d’un champ scalaire
∇λ = λ,i ei
Questions :
effet d’un changement de base orthonormée ?
e′i = Pik ek
où
Pik Pjk = e′i · e′j = δij
x′i = Pik xk
gradient d’un champ de vecteurs ?
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Tenseurs d’ordre 2
matrice Mij d’une application linéaire u
Mij = ei · u(ej )
Mij′ = e′i · u(e′j ) = Pik Pjl Mkl
matrice τij d’une forme bilinéaire τ : E × E → R :
τij = τ [ei , ej ]
τij′ = τ [e′i , e′j ] = Pik Pjl τkl
Exercice : x et y sont des champs de vecteurs, a et b sont des
tenseurs d’ordre 2 ; trouver l’intrus !
δij
xi yi
xi + yj
xi yj
aji
aij bjk
λ,i
xi,j
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Algèbre tensorielle
Le produit tensoriel ⊗ généralise la multiplication :
(tenseur d’ordre p + q) = (tenseur d’ordre p) ⊗ (tenseur d’ordre q)
A = a⊗b
Aijkl = aij bkl
Le produit contracté généralise le produit scalaire :
(tenseur d’ordre p + q − 2) = (tenseur d’ordre p) · (tenseur d’ordre q)
B = A·c
Bijkm = Aijkl clm
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Exercices
Règle opératoire :
(τ ⊗ u) · (v ⊗ τ ′ ) = τ ⊗ (u · v) ⊗ τ ′
On pose τ = τij ei ⊗ ej . Montrer que ei · τ · ej = τij .
Interpréter τ = u ⊗ v comme l’application linéaire qui à w
associe (v · w)u
Soit e un vecteur unitaire. Donner l’expression des tenseurs
“projection orthogonale sur e” et “projection orthogonale sur
le plan orthogonal à e”
Soit une base orthonormée directe (ei ), des vecteurs (f i ),
τ = f i ⊗ ei . Quelle est l’image de ej par τ ? A quelle
condition τ représente-t-il une rotation ?
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Solutions
Règle opératoire :
(τ ⊗ u) · (v ⊗ τ ′ ) = τ ⊗ (u · v) ⊗ τ ′
ei · τ · ej
=
τkm ei · (ek ⊗ em ) · ej
= τkm (ei · ek ) ⊗ (em · ej ) = τkm δik δjm = τij
τ · w = (u ⊗ v) · w = u(v · w)
τ · w = (e · w)e : Projecteur orthogonal sur e
τ · ej = (f i ⊗ ei ) · ej = f i ⊗ (ei · ej ) = f j
donc τ est une rotation si et seulement si (f i ) est une base
orthonormée directe
Cinématique - Introduction au calcul tensoriel – p.9/17
Analyse tensorielle
Gradient du champ de tenseurs τ (X) :
τ (X + dX) − τ (X) = dτ = ∇τ · dX
Cas particulier des coordonnées cartésiennes :
τ = τij (X)ei ⊗ ej
dτ
= ei ⊗ ej dτij = ei ⊗ ej τij,k dXk = τij,k (ei ⊗ ej )(ek · dX)
∇τ = τij,k ei ⊗ ej ⊗ ek
∇∇τ = τij,kl ei ⊗ ej ⊗ ek ⊗ el
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Analyse tensorielle
Déterminer les gradients suivants :
∇X,
∇(αU ),
∇(u(r)er ) dans le cadre des coordonnées cylindriques.
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Solutions
τ (X) = X
dτ = dX = 1 · X
∇X = 1
τ (X) = α(X)U (X)
dτ = U dα + αdU = U (∇α · dX) + α∇(U ) · dX
= U ⊗ ∇α + α∇U · dX
∇(αU ) = U ⊗ ∇α + α∇U
τ (X) = u(r)er (θ)
dr = er · dX
rdθ = eθ · dX
der = eθ dθ
dτ = er (du/dr) (er · dX) + (u/r)eθ (eθ · dX)
∇(u(r)er ) = (du/dr)er ⊗ er + (u/r)eθ ⊗ eθ
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A suivre ...
Objets indépendants d’une base
Opérations indépendantes d’une base
produit tensoriel
produit contracté
gradient
produit doublement contracté
divergence, théorème de la divergence
⇒ Notation et manipulation efficaces d’objets complexes
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Trajectoires dans un
tourbillon étiré
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Trajectoires et champ
de vitesse
transformation
θ = ωt + α
r = λ(t)R
θ−α
r = Rλ ω
trajectoire
vitesse lagrangienne
vitesse eulérienne
ṙ = λ̇R θ̇ = ω
U = Rλ̇er + rωeθ
U = r λλ̇ er + rωeθ
ligne de courant
dθ
= ω θ = ωτ +θ0
dτ
λ̇
dr
= r r = r0 eλ̇τ /λ
dτ
λ
λ̇
r = r0 exp
λ
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Ligne d’émission
émission à l’instant τ , observation à l’instant t ⇒
r = r0 λ(t)/λ(τ )
θ = θ0 + ω(t − τ )
élimination du paramètre τ
r
λ(t)
=
r0
0
λ t − θ−θ
ω
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Dilatation
dx = drer + rdθeθ
= λdRer + λRdαeθ
= λer (eR · dX) + λeθ (eα · dX)
= λ(er ⊗ eR + eθ ⊗ eα ) · dX
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